CC BY
34
УДК 517.9 ББК 22.16
ОБ ОДНОЙ ПЕРЕОПРЕДЕЛЕННОЙ СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ
Шамсудинов Файзулло Мамадуллоевич
Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа, Кургантюбинский государственный университет им. Носира Хусрава [email protected]
ул. Айни, 67, 735140 г. Кургантюбе, Республика Таджикистан
Аннотация. В данной работе рассматривается система из двух уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными, причем эти уравнения связаны в силу неизвестной функции. Для рассматриваемой системы при а = ¡3 = 7 =1 получены представления многообразия решений через одну произвольную функцию одной независимой переменной и одну произвольную постоянную и изучены свойства полученных решений. На конце для названной системы поставлена и решена начально-краевая задача А\.
Ключевые слова: переопределенная система, сингулярное уравнение, прямоугольник, многообразия решений, сингулярная точка.
о
см
е
чим
Пусть D — прямоугольник D = {(х,у) :0 < х < 51, 0 <у < S2}. Далее обозна-
Г1 = {у = 0, 0 cr<£i}, Г2 = {х = 0, 0 <у<52}. В области D рассмотрим систему
f д2и ai(x,y) ди bi(x,y) ди сл(х,у) fi(x,y)
+--о--1--3-ТТ" +--"Г"^" U =
дхду
дх
г& ду г
a+fi
I-а+/3
д2и + а2(х,у) ди + С2(х,у) _ ¡2(х,у)
(1)
дх2
г7 дх
fi
fi
о где г2 = х + у2, a,j(х,у), Ъ1(х,у), Cj(х,у), j = 1, 2, — заданные функции области D,
§ а = ft = 7 =1.
lis Проблеме исследования дифференциальных уравнений и переопределенных си-
g стем с регулярными, сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами посвя-
@ щены работы [1-8].
г
Целью настоящей работы явилось получение представления многообразия решений уравнений (1) при помощи произвольной функции и произвольной постоянной.
В настоящей работе на основе способа, разработанного в [4; 5], получено представление многообразия решений системы уравнений (1).
В дальнейшем обозначим С2(И) — класс функций, которые имеют непрерывные производные первого порядка в И и такие, что
еС(И).
дхду
Пусть ах(х, у) е С1(И), Ъг(х, у), С1(х, у), ¡г(х, у) е С(И). В этом случае первое уравнение системы (1) представим в виде
+ ьЛх, уЛ + а1(х> ^Л и = ^(х' У) + сЛх, У)и (2)
дх г ) \ду г ) г2 '
где
сэ(х, у) = -сх(х, у) + г2К^) +а1(х, у)Ь\(х, у). Введя новую неизвестную функцию
Л (*,„) = £ + и, (3)
оу г
при сэ(х, у) = 0, сведем задачу к решению дифференциального уравнения первого порядка
дщ + bl(х, у) = ¡х(х, у)
о + 2 . V /
х 2
Решение уравнения (4), согласно [4], запишем в виде
(х + г\-б1(0'0) Л (х, У) = ( —— ) ехр (х, у)] х
Ч ^ + f ш (Г'0) ехр ^(-' ^ dt
(5)
где
i( ) Г h(t, у) - h(0,0) шь(х, У) = -Ло , „-
/о V^+V2
dt.
Теперь, решая уравнение (3), выражаем и(х, у) через Л(х, у)
fy + r \-ai(0'0) и(х, у) = ( —^j exP [-^a1 (х1 У)] Х
СУ / с л U2 \ ¿2
a1(0,0)
(6)
х (x) + J (х, s)exp[^ai (х, s^ ^-х-J ds
где
< (*-У)= Г 0)
УХ2 + в2
В (6) вместо (х,в), подставляя его значение из (5), получим
-«1 (0,0)
I У + т \
и(х, у) = ехр (х, ( х
ах(0,0) / _\ -&1(0,0)
[Х) + ехр \Ша1 (X, 8) - , ^
'0 \ в
' , ,_ч ь 1(0,0)
"У ^ в + Ух2 + 32у , ^ Ж + Ух2 + 82 ^
х{'М%) + ехР К1 (х,в) - О^Ю] --------х
Х (в) + ] # + ^ ^-¡-! еХР ^ I =
= М1 (Мх),Ф1(У),Ь(Х,У)) . (7)
Пусть во втором уравнении системы а2(х,у) е с2(х,у), ¡2(х,у) е С (Б)
и выполнено условие
^а2(х,у)^
Тогда второе уравнение системы представим в виде
^ди + а.2(х,у) N = ¡2(х,у) + с4(х,у)и(х,у) дх \дх г ) г
Введя новую неизвестную функцию
М*,У) = £ + и, (9)
при с4(х,у) = 0 сведем задачу к решению следующего дифференциального уравнения первого порядка
дУ2 = ¡2(х,у) дх г
Из уравнения (10) находим §2(х,у)
(10)
м*,у) = Му)+ Г ёЩ (11)
и0 г + У
Теперь уравнение (9) представим в виде
д ( х + г \а2(т
{ехР КМ] ——) п(х,у)}
(12)
( х + г\а2°0) д2(х,у)ехр [и1а2~у~)
где
a
0
Ü2(t, У) - a>2(0, 0)
1 ✓ N / У; - 2Vй> V 1,
Ч1 (x, У)= -ло о-dt.
Потребовав выполнение условия
д (а\(х, у)\ д (а2(
faiix^y^ = д_ /^^уЛ в D (13)
дх \ г J ду \ г J '
а также продифференцировав равенство (12), после некоторых упрощений получим выражение
(1(х) + (1(х) = exp (х, у)}(У+Л*1 (0,0) х
х х
v ( + Г /i(--jM- \ с^хх, о) Г г 11 )
Х1 Ыу) + Ь ттл?] —х-j,exph-(х'8) -
ai (0,0Ь _\ —ь 1(0,0)
(,-\ ai(0,0) / -\ ■
+ х2 + 2 х + х2 + 2
—х—) {—;—) Х
(,_\ bi(0,0)
^Г+П exp^ (t, s)]dt \d s-
, -- ai (0,0) / -ч —Ьi(0,0)
д [У r ! ! -, 1 s + ух2 + sM I х + ух2 + q2
- дх exp К(х- s) - ^ (х- -х-1 1-1 Х
(.-\ a\ (0,0) / .-\
+ х2 + 2 х + х2 + 2
х ) V * )
х I ^ ' ) + £ + ( ) exp К (t- s)] dt \ ds-
(14)
X
Из условия независимости левой части (14) от у, получим
I {ехр к.,)](^ г(0,0) к ¡:
-1{ехр
(у + г\а1 (0,0) (х + г\-Ь1(0,0)' < У) - <) [-у-)
х
(0,0)
х 1 Ф1(У) +
Мехр К ((,у)]Л |}
2 + 2
ехр [ш«а1 (х, у) - < (х, ^^¡¡т^ ^Х
X
(0,0)
(15)
х 1 Му) +
№, у) (1 + Уё+у2 У ^
-р+^у---) ехр К^,у)\ ^
Преобразуя последнее слагаемое равенство (14), согласно (15), для определения ^1(х) получим следующее дифференциальное уравнение
¿1(Х) + р1(х) = р1(х),
X
где
Б1(х) = МО) +
¡2(1, 0)
(16)
(17)
Решение уравнения (16), согласно [4], запишем в виде
у1(х) = ехр -«2 (х, 0)] х-а2(0,0)х
К , 0)]
х ( С1 + у Р^)е2(0,0) ехр (1, 0^ ^ ) = С1, f2(х, 0)),
где
1 Гх 02(1, 0) -02(0, 0) 4*2 (x, 0)= -7-^
(18)
с1 — произвольная постоянная.
х
0
х
0
х
0
0
В равенстве (15), выполняя операции дифференцирования, получим
, J , , ■,+ f1 Щ, V)dt \
та«*, й^2+ l -j— j
_L 2 ,'( Л , 2 д Г Щ, у) + гф2 (у) + г — dt =
о V^ + y2) 9У Jo
fx + r\-bl (0'0)
r■iа2ix, у) - blix, y))exp ix, y^i-^—J X (19)
X \My) + [ ( ) ex-vK if, y)]dt) + flix, y).
В равенстве (20), переходя к пределу при х ^ 0, определим ф1(у) в виде
ГФ1(У) = У
а2(0, у) - biiO, у)
fii0, у) , ai(0, у)
+ (у) + ф' (у)
2
(20)
= N2(ф2(у), МО, у))(а2(О, у) = Ь-1 (О, у)),
где ф2(у) — произвольная функция одной независимой переменной у. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 1. Пусть в системе уравнений (1) коэффициенты и правые части удовлетворяют следующим условиям:
1) а1 (х, у), а(x, у) е C^(D), _
bl(x, y), Су(х, y), Л-(х, у) eC(D), ] = 1, 2;
2 д ( а1(х, у)
2) Clix, у) = г2— -'— + cllix, у)blix, y),
dx \ г
д f аlix, у) c2(x, у) = г— '
дх \ г
3) а1(х, у) и а2(х, у), fi(x, у) и f2(x, у) соответственно удовлетворяют условиям совместности (13) и (19);
4) | а1(х, у) - а1(0, 0) | < Н1rai, Н1 = const, о < ai < 1, | Ьг(х, у) - Ь\(0, 0) | < Н2г^1, Н2 = const, о < pi < 1,
| а2(х, 0) - а2(0, 0) | < Н3х71, Н3 = const, о < < 1;
5) а1 (0, 0) < 0, h(0, 0) > 0, а2(0, 0) > -1;
( / , \-bl (о,о) \
6) flix, у) = о гъ\ , 72 > 1,
f 2 (x, 0) =oixVl ) , Ul > 0. ISSN 2222-8896. Вестн. Волгогр. гос. ун-та. Сер. 1, Мат. Физ. 2014. № 5 (24) 51
Тогда любое решение системы уравнений (1) из класса C2(D) представимо в виде (7), (18), (20).
При этом
\imu(x, у) = щ(х), lim ^limu(x, у)^ = О (х-а2т) ,
limu(x, у) = о((У±1)-а*(0А ,
\ X )
li т{ха2(0,0) limu(x, у)} = с ь x^ö I I
(®u а2(х, у) \
Рх,а2 (u)|x=ö = $х,а2 (u)|x=ö = ( + -~2-Ч |x=Ö = W2(V).
При помощи полученного интегрального представления в явном виде находится решение следующей начально-краевой задачи.
Задача А^. Требуется найти решение системы уравнений (1) из класса C2(D), удовлетворяющее следующим условиям
т\,
Нт < ха2(°,° Ити(х, у) 1
х:^-0 I У^0 I
РХ,а2 (и)\х=0 = gl(У),
где т\ — заданная известная постоянная, д\(у) — заданная функция точек контура Г2.
О разрешимости задачи А\ получено следующее утверждение.
Теорема 2. Пусть коэффициенты и правые части системы уравнений (1) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. В задаче Ах д\(у) е С(Г2). Тогда задача Ах имеет единственное решение, которое дается при помощи формул (8), (19), (21) при с! = ть ф2(у) = д\(у).
Замечание 1. Представление многообразия решений системы уравнений (1) получено в явном виде, когда первое уравнение системы является главным и коэффициенты уравнения системы связаны.
Замечание 2. Когда коэффициенты уравнений системы (1) не связаны, представление многообразия решений названной системы получено при помощи резольвенты двухмерного интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью.
Замечание 3. Система уравнений (1) также исследована в случае, когда второе уравнение системы (1) является главным, при выполнении условий а2(х, у) е еСХ(р), С2(х,у), ¡2(х,у) еС(Л).
Автор выражает глубокую благодарность академику АН Республики Таджикистан Н.Р. Раджабову за обсуждение настоящей работы и ценные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бицадзе, А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных / А. В. Бицад-зе. - М. : Наука, 1981. - 448 с.
2. Михайлов, Л. Г. Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями / Л. Г. Михайлов. — Душанбе : Дониш, 1986. — 115 с.
3. Нахушев, А. М. О задаче Дарбу для гиперболических уравнений / А. М. Нахушев // ДАН СССР. — 1970. — Т. 195. — № 4. — C. 776-779.
4. Раджабов, Н. Введение в теорию дифференциальных уравнений в частных производных со сверхсингулярными коэффициентами / Н. Раджабов. — Душанбе : Изд-во ТГУ, 1992. — 236 с.
5. Раджабов, Н. Интегральные уравнения типов Вольтерра с фиксированными граничными и внутренными сингулярными и сверхсингулярными ядрами и их приложения / Н. Раджабов. — Душанбе : Деваштич, 2007. — 221 с.
6. Раджабов, Н. Переопределенная линейная система второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями / Н. Раджабов, М. Эльсаед Абдель Аал. — Саарбрюккен : LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. — 234 с.
7. Шамсудинов, Ф. М. Интегральные представления решений и граничные задачи для общего гиперболического уравнения второго порядка с сверхсингулярной точкой / Ф. М. Шамсудинов, Н. А. Вирченко // Докл. АН Украины. — 2003. — Т. 1. — C. 17-22.
8. Shamsudinov, F. M. About an overdetermined system second order with singularity coefficients / F. M. Shamsudinov // Abstracts Annual Iranian Mathematics conference. — 2005. — P. 211-212.
REFERENCES
1. Bitsadze A.V. Nеkotoryе klassy uravmniy v chastnykh proizvodnykh [Some Class of Equations of Partial Division]. Moscow, Nauka Publ., 1981. 448 p.
2. Mikhaylov L.G. Nеkotoryе pеrеoprеdеlеnnyе sistеmy uravmniy v chastnykh proizvodnykh s dvumya nеizvеstnymi funktsiyami [Some Partial Differential Systems of Equations and Partial Division of two Unknown Functions]. Dushanbe, Donish Publ., 1986. 115 p.
3. Nakhushev A.M. O zadache Darbu dlya giperbolicheskikh uravneniy [About the task of Darboux for hyperbolic equalizations]. DAN SSSR [Doklady Mathematics], 1970, vol. 195, no. 4, pp. 776-779.
4. Radzhabov N. Vvеdеniе v tеoriyu diffеrеntsialnykh uravmniy v chastnykh proizvodnykh so svеrkhsingulyamymi koeffitsiеntami [An Introduction to the theory of partial differential equations with super-singular coefficients]. Dushanbe, Izd-vo TGU Publ., 1992. 236 p.
5. Radzhabov N. Intеgralnyе uravmniya tipov Voltеrra s fiksirovannymi granichnymi i vnutrеnnymi singulyarnymi i svеrkhsingulyarnymi yadrami i ikh prilozhеniya [Integral equations of Voltaire type with fixed border and internal singular and super-singular kernels and their applications]. Dushanbe, Devashtich Publ., 2007. 221 p.
6. Radzhabov N., Elsaed Abdel Aal M. Pеrеoprеdеlеnnaya limynaya sistеma vtorogo poryadka s singulyarnymi i svеrkhsingulyarnymi liniyami [Overdetermined linear system the second order with singular and super-singular lines]. Saarbrücken, LAP LAMBERT Academic Publishing Publ., 2011. 234 p.
7. Shamsudinov F.M., Virchenko N.A. Integralnye predstavleniya resheniy i granichnye zadachi dlya obshchego giperbolicheskogo uravneniya vtorogo poryadka s sverkhsingulyarnoy tochkoy [The integral representation of solutions and boundary-value problems for a general second-order hyperbolic equation with supersingular point]. Dokl. AN Ukrainy [Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine], 2003, vol. 1, pp. 17-22.
8. Shamsudinov F.M. About an overdetermined system second order with singularity coefficients. Abstracts 36th Annual Iranian Mathematics conference, 2005, pp. 211-212.
ON AN OVERDETERMINED SYSTEM OF SECOND ORDER DIFFIRENTIAL EQUATIONS WITH SINGULAR POINT
Shamsudinov Fayzullo Mamadulloevich
Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,
Department of Mathematical Analysis,
Qurghonteppa State University
Ayni St., 67, 735140 Qurghonteppa, Tajikistan
Abstract. In this paper we consider the over determined system of second order differential equations with a singular point. The system of equations (1) consists of a hyperbolic equation and one partial differential equation of second order with a singular point. The first equation of system (1) under certain conditions on the coefficients can be represented as a superposition of two first order differential operators. Solving this equation and substituting its value in the second equation, we obtain the compatibility conditions for the coefficients and right-hand sides. On the basis of the conditions of independence from the left side of the variable y, to determine any function ^ (x), we obtain an ordinary differential equation of the first order. Another arbitrary function ^ (y) is determined from the condition of the independence of the left part at the appropriate, passing to the limit.Thus, the obtained representing the solution manifold system using a single arbitrary function of one independent variable and one arbitrary constant study of properties of the solutions, as well as consider the problem of A.
Key words: over determined system, singular equation, rectangle, variety of solutions, singular point.
