Задачи теплопроводности со случайным тепловыделением Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 .Чуковский С.Ф О сходимости рядов Уолша в пространствах, близких к Л°° // Мат заметки 2001 Т. 10, № 6. С. 861 - 868

2 Rodin VA., Semenov ЕМ. Radcmacher series in symmetric spaces // Analysis Mathematica 1975 Vol. 1 P. 207-222

УДК 518:517.944

А. Д. Луньков

ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ CO СЛУЧАЙНЫМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИЕМ

Рассмотрим задачу расчета нестационарных температурных полей в двумерных составных областях, возникающую в случае, когда тепловой поток проходит через однородное тело (то есть коэффициент теплопроводности не зависит от координат).

Стандартная детерминированная задача такого вида выглядит следующим образом: в многосвязной области D в прямоугольной системе координат (х,у) задано нестационарное уравнение теплопроводности

1 дО

—г— = Д0 + q(x,y,t), А - двумерный оператор Лапласа. (1)

a dt

Даны начальные условия 0(дг,;у,О) = h0(x,y) и граничные условия

дО

(предполагаем, что они 3-го рода) X -+ аб = авж.

дп

Внесем некоторые изменения в уравнения и, следовательно, в постановку задачи. Предположим, что функция q, называемая функцией тепловыделения, зависит от геометрических и временных координат, а также и от случайных факторов, а именно: пусть q - случайный процесс вида

<7 =?o+9i/(0- (2)

Здесь / и q0 - детерминированные (неслучайные) функции времени, - случайная величина. Тогда и температура 0 - случайный процесс. В общем случае даже при нулевом значении математического ожидания <7, процесс qxf не будет стационарным в широком смысле.

Рассмотрим метод сведения стохастической задачи к детерминированной. Будем искать решение в виде

0(х,у,/) == Q0(x,y,t) + чМ*>уЛ (3)

Тогда уравнение теплопроводности принимает вид

84

_^ + 91_1 = Д0о+%+(?1Дв,+?,/(/)■ (4)

от от

Граничные условия 3-го рода принимают вид

56(1 „

—У- + <7, —+ а0о + си/,0, = а9ж дп дп

Приравняв случайные, а затем и неслучайные составляющие левой и правой частей уравнения (4) (то есть слагаемые, содержащие и не содержащие получаем уравнения

ЯА

= ДО, + /(,); (5)

^ = д0 + Ав0. (6)

от

Приравняв подобным образом случайные и неслучайные составляющие граничных и начальных условий, получим новый набор

условий:

Э61 дп

в,(*,Л0)-0, (56)

X ^ + а90=аеж, (6а)

дп

Х^- + а0,=О, (5а)

0о(х,^О) = Ао(*,^). (66)

Таким образом, имеем уравнения теплопроводности (5) и (6) с граничными условиями (5а, 56) и (6а, 66) соответственно Эти две краевые задачи дают решения, комбинация которых, полученная согласно (3), удовлетворяет исходной задаче теплопроводности для уравнения (1). Каждое из уравнений (5) и (6) можно решить численно способом, описанным в [1]. Результатом такого процесса решения для некоторой точки \х,у) в некоторый момент времени I будут значения 0Ц и 0Г Общее решение, определяемое в соответствии с (3) - случайный процесс для каждого фиксированного (х,у).

Основные характеристики этого процесса можно получить с помощью следующих элементарных вычислений:

А/0 = М(0о +<?101)-0о + 0,М7,,

К0(11,12) = М((8(дг,у,/,) - МЭ(х,М)Х9(х,у,12)- М0(дг,у,12))) = = ^((<7,0,{х,у,1х) + 0О -М/,0,(х,у,1г)-Ме0)х * (9101 (*>>'.<2) + «о - Щ>)) =

= Ч*.УАШ*.У.1г)М(Я1 -Мчд1 =Ч*.УАШ*Мг)ОЧ\ £Ю(*,у,0 = [ 0,(х,ЛО

В стационарном случае можно приближенно подсчитать и спектральную плотность случайного процесса по формуле

1 +ОП

50(со) = -в1(х,у,0)0д1 Г в,(*,>,т)со8(а»т)А.

В общем случае температура не является стационарным в широком смысле процессом, даже если тепловыделение стационарно (корреляционная функция не будет функцией разности аргументов).

В качестве примера рассмотрим задачу, заданную в области, граница которой - эллипс с центром в начале координат, с полуосями 0,5 и 0,25 Параметры уравнения и функции, от которых зависят начальные и граничные условия, определим так:

а = 1; А. = 1; й0=1; <?о='; вж=и / = Ю00*51п(/).

Случайная величина ц-^ подчиняется распределению Гаусса с математическим ожиданием, равным 1 и дисперсией, равной 1

Приведем значения математического ожидания и дисперсии температуры для некоторых характерных точек границы области.

При 1=0,00025

(*■>■) (0.5,0) (0 353,0 176) (0,0 25) (-05,0)

ш 1,038 1,03722 1,03723 1,038

ов 0,0000001017 0,0000001009 0,0000001006 0,0000001017

При 1=0,005

(.х.У) (0.5,0) (0.353,0.176) (0,0.25) (-0 5,0)

ш 1,227 1,193 1,185 1,227

№ 0,0002334 0,0002187 0,0002146 0,0002334

Подсчитаны также характеристики и внутри области. Там среднее и дисперсия, как правило, меньше, чем на границе.

Метод обобщается на тот случай, когда область состоит из нескольких частей, различающихся по коэффициентам теплопроводности. Этот случай рассмотрен в [1]. Если же тепловыделение будет случайным процессом более общего вида, то задача может быть решена с помощью статистического моделирования такого процесса и решение для каждой реализации процесса детерминированного уравнения теплопроводности может быть найдено способом, описанным в [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1 Луньков А.Д. Плоские нестационарные задачи теплопроводности в составных областях // Математика Механика: Сб. науч тр Саратов Изд-во Сарат ун-та, 2001 Вып. 3. С. 163 - 166.

2 Федик И И , Колесов В С., Михайлов ВН. Температурные поля и термонапряжения в ядерных реакторах М.: Энергоатомиздат, 1985.

УДК 519.6

М. А. Ляшко

ОПТИМАЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ ИНТЕРВАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

В статье рассматривается система п линейных алгебраических уравнений с п переменными

х = Ах + Ь, АеЯпхп, (1)

про которую известно, что её коэффициенты могут независимо изменяться в некоторых заданных промежутках: а у е[а(у,я//], а,га,/еЛ, а^ ¿а у,

/>( е], Ь,,Ь, е Я, Ь;<Ь1, /,у = 1 ,п. Согласно принятой терминологии [1], замкнутые промежутки действительной оси называются интервалами и обозначаются а, Ь, с,.... Арифметические операции над интервалами а = [а;сг] и Ь = [6,Л] определяются следующим образом:

а * Ь = {а * Ь | ае а,6 6 Ь}, где * е {+,-,х,-т-}. (2)

Достаточно очевидно, что в результате любой операции получается интервал (деление возможно, если делитель не содержит нуля), причем

а*Ь =[тт{а*Ь,а*Ь,а*Ь,а*Ь};тгк{а*^,а*Ь,а*Ь,а*Ь}\. (3)

Такое определение арифметических операций над величинами, которые могут принимать значения из некоторого промежутка, имеет преимущества перед определением результата операций над приближенными числами в классической теории погрешностей. Например, если интерпретировать интервал а = [1;3] как приближенное число а = 2 ± 1, а интервал Ь = [2;4] как Ь = 3 ± 1, то в результате их перемножения получим число а -Ь = 6± 5, которое можно интерпретировать как интервал [1;11], в то время как формула (2) или (3), учитывающая все значения сомножителей и не приобретающая лишних даёт интервал [2;12].

Обозначим множество действительных интервалов Ш, множество л-мерных векторов с интервальными компонентами - Ш", множество квадратных матриц пхп с интервальными коэффициентами - /Я"*". Меняя значения коэффициентов системы (1) в указанных числовых проме-

87