О решениях уравнений Колмогорова Текст научной статьи по специальности «Математика»

соответствии с (5). Решения, полученные по (5), будут удовлетворять уравнению (4), условиям (4а), (46), а также дополнительным условиям на внутренних границах. Эти дополнительные условия - (6в) и (7в). Подобно тому, как это сделано в [1 ], можно получить основные числовые характеристики температуры как случайного процесса. Были проведены расчёты для некоторых модификаций задач, описанных в |2], [3].

Рассмотрено также обобщение представлений (2)-(3) для задачи (1) на любое конечное число случайных величин - слагаемых, определяющих тепловыделение и температуру в фиксированной точке области:

<1=чо + 2>,/,(<); о=о0+ £е,/ДО-

Для нахождения некоторого решения краевой задачи из [I] нет необходимости накладывать какие-либо условия на случайные составляющие ряда. Мы получаем п краевых задач и решаем их независимо друг от друга. Линейная комбинация всех решений в фиксированной точке даст нам решение уравнения (1) в этой точке.

Метод, описанный в [2], применим и к трёхмерным (в частности, к осесимметричным) телам, нестационарные уравнения теплопроводности для которых исследованы в [3], [4]. Здесь отличие от \2] - лишь в некоторых граничных условиях и в методах решения краевых задач.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Луньков АД. Задачи теплопроводности со случайным тепловыделением // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 83 - 86.

2. Луньков АД. Плоские нестационарные задачи теплопроводности в составных областях // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Выи. З.С. 163-166.

3. Федик И.И., Колесов B.C., Михайлов В.II. Температурные поля и термонапря-жених в ядерных реакторах. М.: Энергоатомиздат, 1985.

4. Бенерджи П., Баттерфшк) И. Метод граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984.

УДК 519.21

В. Н. Михайлов, В. Ю. Михайлов О РЕШЕНИЯХ УРАВНЕНИЙ КОЛМОГОРОВА

Рассмотрим однородную цепь Маркова с конечным числом состояний п и непрерывным временем t, с матрицей интенсивностей переходов А = i, j = 1,...,л; A.f/>0 при и Х„ ■ Обозначим через

j*í

p¡(t) вероятность того, что в момент времени t система находится в со-

стоянии /=1,...,л. Тогда вектор-столбец £>(/) = (р}(/), р2 (<),..Р,,('))' должен удовлетворять уравнениям Колмогорова [1]

М = Ат.т ¿р;(0)=1. (1)

Л .=1

Пусть а - произвольный л-мерный вектор и / =(1Д,...,1)Г -п -мерный вектор, компоненты которого равны 1. Запишем (1) в эквивалентной форме

так как Г ■ /»(/)= Л(«)+ Рг(0 + — + />„(0 = 1. то

^ = В = Ат-аГ. (2)

Л

ТЕОРЕМА 1. Если ц - собственный вектор матрицы Л7 , соответствующий собственному значению ноль, то есть Ат ц-о, то решение уравнения (2) имеет вид

р(г) = ей'-р(0)+(1-е-')-д, (3)

где а = Щ в матрице 5.

Действительно, дифференцируя (3), будем иметь

Ш = В.е*'.т+е-.щ. (4)

ей

С другой стороны, правая часть (2) преобразуется следующим образом:

В р{1) + а =В ев'' + (5)

но В ■ <7= (лг - Щ • I1 )■ Ц - А1 - Д-ц-Х1 -(1 = —Ц, поэтому (5) совпадает с (4), что и доказывает теорему.

ТЕОРЕМА 2. Если существует вектор а , для которого матрица В -невырожденная, то решение уравнения (2) имеет вид

где Е - единичная матрица.

Доказательство проводится непосредственной подстановкой (6) в (2).

Рассмотрим стационарное распределение Вероятностей р{1) = 1/ > 0. Из (1) и (2) следует, что вектор Ц, должен удовлетворять уравнениям

Аг ■ <7 =0 или ВЦ+а= 0. Таким образом, для вычисления ц надо найти собственный вектор матрицы А1. Если найдём вектор а такой, что существует обратная матрица В~\ то ц = -В"1 а , то есть стационарное распределение находится без вычисления собственного вектора.

68

Цепь Маркова называется эргодической, если lim p(t)=q для любо-

/->00

го начального распределения вероятностей р(о), где q - стационарное распределение.

ТЕОРЕМА 3. Для эргодичности цепи Маркова необходимо и достаточно, чтобы существовал вектор в такой, что ев'' -» 0 при / —» оо.

Доказательство. Необходимость. Пусть цепь Маркова эргодиче-

ская, то есть lim p(t)=q и q — стационарное решение. При этом условии

/—>00

выполняется равенство (3). Совершим в нём предельный переход при i —> оо, в результате получим

lim ев' ■ р(0) = 0.

t —>00

Так как это верно для любого начального распределения р(0), то

lime®' =0. /->00

Достаточность. Пусть существует вектор а такой, что е"' —>0 при 1—>сс. В этом случае обратная матрица В'1 существует и верно соотношение (6). Совершая в нём предельный переход при t —>оо, получим

lim p(l)=-B~x ä

/->00

для любого начального распределения р(0).

Покажем, что q=-B~l а является стационарным распределением, то есть АТ ■ q = 0. Имеем

/ у* -т \ __у- _ ___ ~~Т __Т

B q = -ä или ^А -a-l )-q=A -q-al ■ q = A -q-a=—a, поэтому Лт ■ q = О, то есть q - стационарное распределение.

ЛЕММА. Для эргодической цепи Маркова имеет место соотношение

еА1 =евТ 1 +(\-e")sT, T¡\tS=q lT, В = A1 -S , то есть a=q.

Будем считать, что система приносит доход d¡¡ в единицу времени своего пребывания в состоянии x¡ и доход d¡j при переходе из состояния x¡ в состояние х ¡ [2, 3]. Обозначим v¿(f) математическое ожидание суммарного дохода за время t, если процесс начинается из состояния x¡. Введём обозначения

gi=du+ thj-dij, g=(g1,g2,-,gn)T> v(í) = (v(í)„v(/)2,...,v(f)n)r.

j=Uj*¡

Тогда для вектора полных доходов v(/) имеет место соотношение

^-J*A.V{f). (7)

dt

ТЕОРЕМА 4. Если цепь Маркова — эргодическая, то есть Лг ■ с] = о и В = Ат -ч ~1т, то решение уравнения (7) имеет вид

у(/) = \евТ ' + (1 - в"' )• 5Г ] • 57(0) + Г(бг)"' • (>' ' - Е) + 5Г • (г + е"' -1)

При Г—>оо из этого соотношения получаем асимптотическое представление для вектора полных ожидаемых доходов

•я-

что совпадает с результатом, полученным в [2] другим путём. Для дискретных цепей Маркова подобный результат получен в [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беляман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

2. Ховард /'.А. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Советское радио, 1964.

3. Козлова С.И., Мастяева И.Н. Динамическое программирование / Моск. экон -стат. ин-т. М.. 1984.

4. Козлова С.И., Михайлов Ii.II. Асимптотические оценки вероятностей состояний однородных цепей Маркова // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 64 - 67.

УДК 519.212

В. Н. Михайлов, С. А. Точилкина

БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В работе [1] был предложен алгоритм расчёта распределения функции от конечного числа независимых дискретных случайных величин. В работе [2] показано, что алгоритм решения этой задачи имеет экспоненциальную вычислительную сложность. Рассмотрим частный, но важный для практического исследования случай, когда необходимо найти распределение суммы независимых одинаково распределённых случайных величин гн.ч 2+...+игде«=2\ Введём обозначения

Случайная величина г|| является суммой двух случайных величин £,] и £,2, случайную величину т|2 можно рассматривать как сумму двух независимых случайных величин Г)2 и ту2: Л2=Л 1+Л'|. гДе Очевидно, случайная величина т^ распределена одинаково с т)|. Наконец, лдглы+л'*-!. где л'м одинаково распределённые независимые случайные величины, являющиеся суммами п/1 исходных случайных величин Следова-