Быстрый алгоритм вычисления распределения суммы дискретных случайных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕОРЕМА 4. Если цепь Маркова — эргодическая, то есть Лг ■ с] = о и В = Ат -ч ~1т, то решение уравнения (7) имеет вид

у(/) = \евТ ' + (1 - в"' )• 5Г ] • 57(0) + Г(бг)"' • (>' ' - Е) + 5Г • (г + е"' -1)

При Г—>оо из этого соотношения получаем асимптотическое представление для вектора полных ожидаемых доходов

•я-

что совпадает с результатом, полученным в [2] другим путём. Для дискретных цепей Маркова подобный результат получен в [4].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беляман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

2. Ховард /'.А. Динамическое программирование и марковские процессы. М.: Советское радио, 1964.

3. Козлова С.И., Мастяева И.Н. Динамическое программирование / Моск. экон,-стат. ин-т. М.. 1984.

4. Козлова С.И., Михайлов Ii.II. Асимптотические оценки вероятностей состояний однородных цепей Маркова // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Ичд-во Сарат. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 64 - 67.

УДК 519.212

В. Н. Михайлов, С. А. Точилкина

БЫСТРЫЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СУММЫ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

В работе [1] был предложен алгоритм расчёта распределения функции от конечного числа независимых дискретных случайных величин. В работе [2] показано, что алгоритм решения этой задачи имеет экспоненциальную вычислительную сложность. Рассмотрим частный, но важный для практического исследования случай, когда необходимо найти распределение суммы независимых одинаково распределённых случайных величин гн.ч 2+...+игде«=2\ Введём обозначения

Случайная величина т|| является суммой двух случайных величин £,] и £,2, случайную величину т|2 можно рассматривать как сумму двух независимых случайных величин Г)2 и ту2: Л2=Л 1+Л'|. гДе Очевидно, случайная величина т^ распределена одинаково с т)|. Наконец, лдглы+л'*-!. где л'м одинаково распределённые независимые случайные величины, являющиеся суммами п/1 исходных случайных величин Следова-

тельно, алгоритм вычисления суммы случайных величин можно разбить на к последовательных шагов, причём, на каждом шаге происходит построение закона распределения суммы двух независимых одинаково распределённых дискретных случайных величин, образованных на предыдущем шаге.

Пусть независимые случайные величины т| и г|' могут принимать значения Х|<дг2<...<*1 соответственно с вероятностями р\,рг,-. Сумма случайных величин г|+г)' будет принимать значения .ху=х,+х, с вероятностями рц=/>, ру,"/=1,5 ,у=1,5. Образуем из значений Ху матрицу X

X =

х\г ■■• *и

х2\ х22 ••• х2$

ХЛ ■•• хз

Матрица X является симметричной, так как х,+х/=х,+х,. Далее, х,,<х,г^, так как Х;+*у< аналогично ху<х&у, таким образом, в каждой строке и

в каждом столбце элементы матрицы строго возрастают. Для построения распределения л+г|' необходимо найти все одинаковые элементы, вычислить их вероятности, учитывая независимость, и расположить выделенные элементы в возрастающем порядке. При этом надо учитывать симметричность матрицы и возрастание элементов по столбцам и строкам. Так как хд=х#, то следует вычислять только диагональные элементы матрицы и элементы, находящиеся ниже главной диагонали, то есть хл, х,2,..., х,„ /=1,л\ при этом

Р{т)+Г]'=х&)=2ргр;.

Следовательно случайная величина П+ТГ будет иметь не более .у(л-+1)/2 различных значений и число операций алгоритма здесь будет пропорционально этой величине.

Если обозначить через л, максимально возможное число различных значений случайной величины т|,, то будем иметь

и общее число переборов 5, необходимых для вычисления распределения

к

случайной величины г\к=%\+£,т+■ •-^п > будет равно 5 = Л";.

¡=1

Заметим, что при использовании для решения этой задачи общего алгоритма [I] число таких переборов будет равно т". Имеем т"~2к13, т.е. число операций в предлагаемом алгоритме значительно сокращается. Надо учитывать также, что для некоторых дискретных случайных величин число различных значений их суммы будет меньше, чем и время расчёта распределения уменьшается еще более. Например, вычислительный эксперимент показал, что для т=3 и п=20 прямой расчёт распределения продол-

жался на компьютере более 2 часов. Применение быстрого алгоритма расчёта дало возможность вычислить закон распределения суммы при т=3 и л=1024. В качестве примера в табл. 1 приводим результаты расчёта распределения суммы 512 случайных величин имеющих следующий ряд распределения.

Таблица 1

0 1 2

Pi 0.25 0.25 0.5

В табл. 2 приводим некоторые значения А'(их общее количество равно 1025) в законе распределения £ - суммы 5 12 случайных величин, вероятности этих значений Р(^=Х), вероятности Р(1<Х) и Р(^<Х), значения Ртям функции распределения, вычисленной в соответствии с пределыюй теоремой по нормальному закону.

Таблица 2

X P(t=X) posx) Fnorm

550 0.00000028 0.00000098 0.00000126 0.00000083

565 0.00000847 0.00003478 ' 0.00004325 0.00003216

580 0.00013793 0.00069975 0.00083768 0.00069193

595 0.00122603 0.00799958 0.00922561 0.00823104

610 0.00591074 0.05262915 0.05853989 0.05490967

625 0.01534233 0.20407710 0.21941943 0.21199919

640 0.02125447 0.48792393 0.50917840 0.50000000

655 0.01555425 0.77971276 0.79526701 0.78800081

670 0.00594144 0.94270207 0.94864351 0.9450.9033

685 0.00116838 0.99IS80/7 0.99274915 0.99176896

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Михайлов ВН., Точипкина С.А. Метод расчёта закона распределения функции от дискретных случайных величии // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сараг. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 86 - 89.

2. Михайлов В.П., Точилкина С.А. Распределение векторной функции от независимых дискретных случайных величин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сараг. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 93 - 96.

УДК 681.3

В. В. Мозжилкин, О. М. Ромакина ДОКУМЕНТИРОВАНИЕ БОЛЬШИХ БАЗ ДАННЫХ

Разработка и документирование больших баз данных (БД) представляет собой серьёзную проблему вследствие значительного объёма информации, хранящейся в БД. По этой причине важны средства компактного описания проектных решений. В настоящее время широко используются CASE - средства, основанные на графической реализации модели сущ-

72