CC BY
15
II«,, \\"P= (2/m)-' (2527-1)!1Г^0((2^Г'),
||ДИ„ (2/.ЯГ1 ). (6)
В нечётном случае для p = 2s + \, s = 1,2,...
((2пкП
9Í+2 „I
11 (2илГ"' ТгШуТГ+0«2™)тЧ),
II Ди„ 112= (7)
II §41?
Из (6), (7) при л—>ооследует, что lim-'--а это в СИЛУ (5)
(II Un ||р ' II ||£)
даёт оценку K¡t >1 . Из [3] следует, что 1 = Кг. Теорема доказана.
ВИВЛИОГРЛФИЧКСКИЙ СПИСОК
1. Тимофеев ВТ. Неравенства типа Ландау для функций нескольких неременных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676 - 689.
2. Тимофеев В.Г. Наилучшее приближение в равномерной и 1.2 -метриках оператора дифференцирования на некоторых классах функций многих переменных. Саратов, 1985. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 11.04.85. № 2451 - 85.
3. Тимофеев В.Г. OG одном экстремальном неравенстве типа Ландау с итерированными операторами Лапласа в L7(Rm) // Теория функций и приближений. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 1986. Ч. 3. С. 112 - 115.
4. Стейи П., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
УДК 519.212
С. А. Точилкина ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИКИ X1 ПИРСОНА
Для проверки гипотезы о законе распределения случайной выборки обычно используют асимптотические свойства статистики Пирсона. Очевидно, что для выборки малого объёма данный подход будет давать погрешность. В статье рассматривается построение точного закона распределения статистики Л"2 Пирсона, приводятся результаты расчётов, которые сравниваются с соответствующим асимптотическим законом распределения х2.
Пусть Х\уХг,---Л - случайная выборка объемом п из генеральной совокупности с функцией распределения F(x). Проверка простой г ипотезы HQ: F(x)=Fn(x), где Fq(x) - некоторая заданная функция распределения, состоит в подсчёте статистики Хг Пирсона и построении критической области, для чего и необходимо знать закон распределения статистики X1. Для нахождения статистики X7 формируют набор взаимно не пересекающихся множеств Е\,Е2,...£к таких, что в объединении полностью покрывают множество возможных значений для распределения F0(x) из гипотезы Я0. Тогда каждое значение X, попадает в одно из множеств £,, причём относительно выдвинутого в гипотезе Н0 закона распределения Fa(x) находят по-
к
ложительпые вероятности p/=P(Ej | /I„)=P(X,е£,} | //0), j=\,...,k, ^ pt = 1.
М
Для каждой реализации случайной выборки известны числа rij - количест-
к
во элементов выборки, принадлежащих множеству где ^Гп/ - п. Ста-
/=1
тистику А2 Пирсона находят по формуле
^nL-n. (и
,=i "Pi i=i "А
С точки зрения теории вероятностей, случайная выборка интерпретируется как последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, тогда в случае выполнения гипотезы //п вектор (п\,п2,...,Пк) является случайным вектором, распределённым по полиномиальному закону с параметрами п и (р\.рг,...,£>*)• Таким образом, статистика X2 Пирсона является и функцией от выборочных значений Х\уХ2у • .уХп, и функцией от случайного вектора, распределённого по полиномиальному закону распределения. Отсюда следует, что статистика У подчиняется дискретному закону распределения, причём число её различных значений не более числа различных значений у случайного вектора, распределённого по полиномиальному закону с параметрами п и (р\,р2,...,рк), то есть не
более чем С*+1,-1 ■
Таким образом, чтобы найти закон распределения статистики X2, необходимо перебрать всевозможные размещения значений выборки X\Jii,...J(n по множествам Е[,Еъ...,Ек и найти для каждой совокупности значений значение функции по формуле (1). С другой стороны, можно интерпретировать статистику Пирсона как функцию, определённую по формуле (1), от и независимых дискретных случайных величин ...£„, распределенных по закону P(&=j)=Pj, j = \к, i =1,и. Тогда 8(1)«/- количество случайных величин из последовательности равных по значению j. Подробнее расчёт закона распределения функции от независимых одинаково распределённых дискретных случайных величин рассмотрен в
[I |. На практике таким способом можно подсчитать до л= 16. При больших ■значениях и значительно увеличивается время работы программы.
Для сокращения времени расчёта точного закона распределения статистики Пирсона можно использовать древовидную схему расчёта. Пусть цьТ)2,--'>Л/1 - независимые случайные вектора, распределённые по полиномиальному закону с параметрами 1 и (р\,рг,...,рк). Это означает, что множество значений такого распределения совпадает с набором строк единичной матрицы размером к х к , причём вероятность значения вектора ц„ соответствующего / строке единичной матрицы, равна р,. Тогда случайный вектор г|=(иь«2,••-,"*), распределённый по полиномиальному закону с
п
параметрами л и (рьрг, •••,/?*), можно представить как сумму: =
¡=1
Применяя к полученному представлению ц древовидную схему расчёта, получаем закон распределения случайного вектора ц. После расчёта закона распределения ц находим закон распределения статистики Пирсона как функцию от компонент случайного вектора т|. На основе выше описанных двух методов расчёта на языке FORTRAN написаны подпрограммы, которые находят законы распределения статистики X2 Пирсона для заданных л и набора вероятностей р\,р2,..-,рк- Результат расчёта закона распределения статистики Л5 для п—\6, р1=рг=ру=1/3, приведены в следующей таблице.
X И Р(Х2>Х) Е
0.1250 0.14063900 1.00000000 0.93941306 0.06058694
0.5000 0.11719917 0.85936100 0.77880078 0.08056021
0.8750 0.20091286 0.74216182 0.64564853 0.09651330
1.6250 0.13394191 0.54124896 0.44374731 0.09750165
2.0000 0.06278527 0.40730705 0.36787944 0.03942761
2.3750 0.10045643 0.34452178 0.30498277 0.03953901
3.1250 0.02870184 0.24406535 0.20961139 0.03445396
3.5000 0.05022822 0.21536351 0.17377394 0.04158957
3.8750 0.05580913 0.16513530 0.14406366 0.02107164
4.6250 0.03348548 0.10932617 0.09901341 0.01031276
5.3750 0.01435092 0.07584069 0.06805085 0.00778984
6.1250 0.02232365 0.06148977 0.04677062 0.01471915
6.5000 0.01674274 0.03916612 0.03877421 0.00039191
7.6250 0.00669710 0.02242338 0.02209288 0.00033050
8.0000 0.00089693 0.01572628 0.01831564 0.00258935
8.3750 0.00159455 0.01482935 0.01518420 0.00035485
9.1250 0.00608827 0.01323481 0.01043594 0.00279887
9.5000 0.00111618 0.00714654 0.00865170 0.00150516
9.8750 0.00304413 0.00603035 0.00717251 0.00114215
11.3750 0.00060883 0.00298622 0.00338805 0.00040183
12.5000 0.00076103 0.00237739 0.00193045 0.00044694
12.8750 0.00101471 0.00161636 0.00160040 0.00001596
14.0000 0.00025368 0.00060165 0.00091188 0.00031023
16.6250 0.00023416 0.00034797 0.00024543 0.00010254
17.3750 0.00007805 0.00011381 0.00016868 0.00005487
Окончание табл.
21.1250 0.00001673 0.00003575 0.00002587 0.00000988
21.5000 0.00001673 0.00001903 0.00002145 0.00000242
26.3750 0.00000223 0.00000230 0.00000187 0.00000043
32.0000 0.00000007 0.00000007 0.00000011 0.00000004
В двух первых столбцах таблицы приводится точный закон распределения статистики Пирсона X2 — значения X и вероятности Р=Р(Х2=Х). В третьем столбце рассчитана вероятность "хвоста" для точного закона распределения статистики Пирсона X2, в четвёртом - вероятность "хвоста" для асимптотического закона распределения х(2). Пятый столбец содержит абсолютную погрешность е-~\Р{Х2^С)-Р^(7)>Х)\ между вероятностью "хвоста" точного и асимптотического законов распределения. Анализ последних трёх столбцов показывает, что критическая область, построенная на основе асимптотического закона распределения, не совпадает с критической областью, построенной по точному закону. И для некоторых значений уровня значимости наблюдается значимая потеря точности. Приведённый пример с равными вероятностями р\-р1=ру=\/Ъ даёт наименьшие отклонения от асимптотического закона, чем случаи, когда не выполняется требование р\=рг~ръ■ Таким образом, в некоторых случаях следует использовать точный закон распределения статистики Пирсона.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Михайлов В.Н., Точилкина С.А. Метод расчёта закона распределения функции от дискретных случайных величин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Сяратоп-Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 86 - 89.
2. Михайлов В.Н., Точилкина С.А. Распределение векторной функции от независимых дискретных случайных величин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сараг. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 93 - 96.
3. Кендапл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.
УДК 517.51
С. В. Тышкевич
О КВАЗИПОЛИНОМАХ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ НА ЗАДАННЫХ МНОЖЕСТВАХ*
В работе И. В. Белякова [1] была рассмотрена задача наименьшего уклонения от нуля отображений Чебышева, свойства которых во многом повторяют свойства классических многочленов Чебышева, на дельтоиде
Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект HLLI-1295.2003.1).
