CC BY
16
(на самом деле здесь имеет место знак равенства), и получено первое из соотношений теоремы 2. Второе соотношение теоремы 2 сразу следует из первого соотношения и очевидной оценки
Jimpk'2 max | (V(a)f,g) |< J, f(x)dx-\\g\|e.
Л-wo |a|=i
Теорема 1 доказывается аналогично (и даже проще). Теорема 3, как уже отмечалось, непосредственно следует из теорем 1 и 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Терехин ПА. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. №8(447). С. 74-81.
2. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.
3. Koopman В.О. Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Spaces // Proc. Natl. Acad. Sei. U.S. 1931. Vol. 17. P. 315 - 318.
УДК 517.51
В. Г. Тимофеев
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ЛАНДАУ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp
Полученные автором [1 - 3] результаты позволяют оценить наилучшую константу К в неравенстве
\WJp<Kp\\u\#-\\bu\#, Ыйг, (1)
при любых 1 < р < оо .
Пусть
Qp={u:ueLp, Д ueLp}, где Ди понимается в смысле Соболева.
ТЕОРЕМА. При всех 1<р<оо для любой функции ueQp справедливо неравенство (1) с конечной константой Кр, причём для Кр справедливы оценки
1 = К2<Кр<Каа=К1=Л.
Доказательство. Повторяя рассуждения [1], получаем, что для всякой функции M£Í)p верно интегральное представление
2п /г ■ (т - 2) эп4 0Х>°\ 2ж/2-(т-2)
П.. •
i=lm. (2)
Каждое слагаемое в правой части интегрального представления является свёрткой двух функций, одна из которых принадлежит 1р, а другая - Ц.
Известно [4, с. 201], что если ие.Ьр, то свёртка и* § этих функ-
ций принадлежит Ьр и
11«*«1ИМ1Р-Ы1>-
Поэтому из (2) следует, что их е Ьр и, более того, или
||«д|р<^м||,+/2-||Л"1и (3)
где ./] и ,/2 были найдены автором ранее [1]. Поскольку
Л4; (4)
то, подставляя (4) в (3), получаем
Минимизируя правую часть последнего неравенства по Л , приходим к (1). Неравенство (1) справедливо для всех 1<у?<оо. Это означает, что
к,й4г.
Ранее [1,2] было установлено равенство = /С, =-¡2, которое даёт возможность утверждать, что для всех 1< р<со
Кр<К,=Кт=^2.
Получим теперь оценку снизу наилучшей константы Кр в (1). Если и б , то
Кр>_'!. Л' "р__(5)
' II и 11^11 Аи \CÓ
Положим
1, если x¡ < 0, g(*¿) = jбесконечно-дифференцируемая, если 0 < x¡ < я, 0, если x¡ > 71, К, СО = g(x, ~ nn)g(mi - x¡), un (x) = sin x¡ ■ h„ (x,).. Д, (xj для любого xeRm.
Вычислим для построенной функции и„(х) значение величин, входящих в правую часть (5). В чётном случае для р = 2s, s = 1,2,... имеем
11 ёх; "" 4 7 2i4-s!
114
SL ЧР=(2 ппГ' +СК(2пп)т"1),
II«,, 112= (2/m)-' (2527-1)!1Г^0((2^Г'),
||Ak„ Hg= (2ли)-1 {2S~sYs+ 0((2пя)-'). (6)
В нечётном случае для p = 2s + \, s = 1,2,...
9Í+2 „I
11 (2илГ"' ТгШутг + 0«2™)тЧ),
II Ди„ 112= (7)
II §41?
Из (6), (7) при п—>ооследует, что lim-'--а это в СИЛУ (5)
(II ип Ир ' II Аи„ ||£) даёт оценку K¡t >1 . Из [3] следует, что 1 = Кг. Теорема доказана.
ВИВЛИОГРЛФИЧКСКИЙ СПИСОК
1. Тимофеев ВТ. Неравенства типа Ландау для функций нескольких неременных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676 - 689.
2. Тимофеев В.Г. Наилучшее приближение в равномерной и 1.2 -метриках оператора дифференцирования на некоторых классах функций многих переменных. Саратов, 1985. 22 с. Деп. в ВИНИТИ 11.04.85. № 2451 - 85.
3. Тимофеев В.Г. OG одном экстремальном неравенстве типа Ландау с итерированными операторами Лапласа в L7(Rm) // Теория функций и приближений. Саратов: Изд-во Capar, ун-та, 1986. Ч. 3. С. 112 - 115.
4. Стейи П., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974.
УДК 519.212
С. А. Точилкина ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИКИ X1 ПИРСОНА
Для проверки гипотезы о законе распределения случайной выборки обычно используют асимптотические свойства статистики Пирсона. Очевидно, что для выборки малого объёма данный подход будет давать погрешность. В статье рассматривается построение точного закона распределения статистики Л"2 Пирсона, приводятся результаты расчётов, которые сравниваются с соответствующим асимптотическим законом распределения х2.
