CC BY
12
П. А. Терехин
УДК 517.5
О КОЭФФИЦИЕНТАХ ФУРЬЕ НО СИСТЕМЕ/J-АДИЧЕСКИХ ВСПЛЕСКОВ'
В статье изучаются р -адические аналоги семейств функций-всплесков. Установленные здесь соотношения для коэффициентов Фурье функций по элементам семейств р -адических всплесков позволяют (так же, как и в [1]) получить результаты о представляющих свойствах рассматриваемых систем.
Примем следующие обозначения: Qp -поле р-адических чисел (р = 2,3,5,7,11,13,... - простое число);
| |л - норма р-адического числа; {-j^ — дробная часть р-адического числа;
Zp ={xeQp :|*|р<1} - кольцо целых р -адических чисел;
00
А = |J{0,l,...,p-1}* - семейство всех конечных последовательностей 4=0
а = (а^—.а^), состоящих из чисел 0,1,...,р-1 (включая при к = 0 пустую последовательность);
|а|=/с - длина последовательности а = (а3,...,аА) £ А (длину пустой последовательности полагаем равной нулю);
Д(а) = Д(а„...,ал) = {л:егр :\х-ак -ак_1р-...-а1рк-1 \р< р'к} - круг в Zp-
| Д(а) |= р~'а' - мера на полукольце 5 = {0}-^{Д(а) :а е А}, лебегово продолжение которой совпадает на Z с нормированной мерой Хаара в Qр.
Пусть функция / имеет носитель Supp f czZp. Рассмотрим операторы
V,/(x) = p1/2/(—), ' = 0,1,...,р—1.
Р
Обозначим, далее, V(a) = ...Vai — произведение операторов, а = (а!,...,а4) е А, первым действует оператор Va), последним - Va, пустое произведение равно тождественному оператору /. Заметим, что SuppV(a)f с:Д(а).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 01-01-00123) и гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).
110
Определение. Семейство функций {У(а)/ :а е Л} назовем системой р-адических всплесков (или системой сжатий и сдвигов функции /).
Пусть /е£р(2.) и 8еЬр\гв), 1<р,р'<оо, - + —= 1. Обозначим
_ Р Р'
„*/2 ак ~ а* -аыР---"/"'
- коэффициенты Фурье функции g по элементам У(а)/ системы всплесков.
ТЕОРЕМА 1. При 1 < р < оо справедливо соотношение
Следует отметить, что при р = 1 теорема 1 не верна (можно показать, что предел в левой части может не быть равным выражению в правой части рассматриваемого соотношения, более того, этот предел может вообще не существовать). В то же время имеет место следующая
ТЕОРЕМА 2. При р = 1 справедливо соотношение
Ит^/2[шах|(У(а)/^)|1> J f(x)dx
к-*<в
Кроме того, если /(дг) ;> 0 п. в., то
\im pk,2L*x\(y(0L)f,g)\)= £ f(x)dx-\\gl. \Н=* / Р
Из теорем 1 и 2 непосредственно вытекает
ТЕОРЕМА 3. Пусть функция / еLP{Z1<р<оо, имеет отличный от нуля интеграл:
[ f(x)dx*О.
Тогда для любого бесконечного множества натуральных чисел К величина
определяет эквивалентную норму в пространстве V (Z ), —+ — = 1.
Р Р'
При доказательстве теорем 1 — 3 использованы некоторые общие результаты эргодической теории. Именно, следующие предложения 1 - 3 устанавливаются по хорошо известной общей для абстрактных динамических систем схеме (см., напр., Арнольд, Авец [2]).
Определим преобразование Т кольца Z р в себя посредством равенства
Тх = — (modZ ). Р
Предложение 1. Преобразование Т сохраняет меру Хаара:
\'Г1Е\=\Е\
для любого измеримого множества Е с Z .
Предложение 2. Преобразование Т является перемехпиванием: lim \ Т~"Аг\В |=| Л | -1Л I
л—>оо
для любых измеримых множеств А, В с Z р.
Рассмотрим оператор Uf(x)= f(Tx), индуцированный преобразованием Т. Оператор U изометрический в пространстве Lp(Zp), 1<р<оо.
Этот факт следует из леммы Купмана [3]. Справедлив аналог леммы Фейе-ра:
Предложение 3. Для любых функций f&L"{Zp) и geLp\Z/,), 1 1 ,
1<р,р <», — +— = ], справедливо соотношение Р Р'
lim(t/"/.£) = (/,1)(1, g),
Л-МО
где 1 - функция, тождественно равная единице. Далее, обозначим
'(<*)= ¿(a)g(x)d*, осе Д.
Из аналога леммы Фейера (предложение. 3), применённого к функции
, ч \g(x), х е Д(а),
= rt \ Í ч
[О, х« Д(а),
получим соотношение
lim l{a)U"f(x)J(xjdx = Дос) ¡^ f{x)dx.
При п >| а I имеем
bwUnf(x)J(x)dx = p-n/2^nM(V(aV)f,g), откуда находим
I ^ р~кр"12 max \<ym,g)l
Устремив здесь п—>°о, получим предельное соотношение
|/(а)|-|£ f(x)dx\<p~k Нтрп/2тах|(У(у)/,я)|.
с n-»» m="
Отсюда
I I f(x)dx I max I pk L g(x)dx |< lim p"'2 max | (V(y)f,g) |.
■p v ' n-»oo ITr"
Осталось заметить, что
(на самом деле здесь имеет место знак равенства), и получено первое из соотношений теоремы 2. Второе соотношение теоремы 2 сразу следует из первого соотношения и очевидной оценки
Jimpk'2 max | (V(a)f,g) |< J, f(x)dx-\\g\|e.
Л-wo |a|=i
Теорема 1 доказывается аналогично (и даже проще). Теорема 3, как уже отмечалось, непосредственно следует из теорем 1 и 2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Терехин ПА. Неравенства для компонентов суммируемых функций и их представления по элементам системы сжатий и сдвигов // Изв. вузов. Сер. Математика. 1999. №8(447). С. 74-81.
2. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999.
3. Koopman В.О. Ilamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Spaces // Proc. Natl. Acad. Sei. U.S. 1931. Vol. 17. P. 315 - 318.
УДК 517.51
В. Г. Тимофеев
ОЦЕНКИ НАИЛУЧШИХ КОНСТАНТ В НЕРАВЕНСТВАХ ТИПА ЛАНДАУ В ПРОСТРАНСТВАХ Lp
Полученные автором [1 - 3] результаты позволяют оценить наилучшую константу К в неравенстве
\WJp<Kp\\u\#-\\bu\#, Ыйг, (1)
при любых 1 < р < оо .
Пусть
Qp={u:ueLp, Д ueLp}, где Ди понимается в смысле Соболева.
ТЕОРЕМА. При всех 1<р<оо для любой функции ueQp справедливо неравенство (1) с конечной константой Кр, причём для Кр справедливы оценки
1 = К2<Кр<Каа=К1=Л.
Доказательство. Повторяя рассуждения [1], получаем, что для всякой функции M£Í)p верно интегральное представление
2п /г ■ (т - 2) эп4 0Х>°\ 2ж/2-(т-2)
Пк •
i=lm. (2)
