Всплески над кольцом целых p-адических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

(7-л)(-1,13) 1,13

¡<-^~<e 6216"2 <еЬШп (6)

Ап

л}

Отсюда имеем lim — = 1. После деления (5) на Вп аналогично получим Ап

п\

lim — = 1. Таким образом, мы получили две асимптотические формулы

для «! : А„ап\ и п\^Вп (и-»со). Эти формулы точнее асимптотической формулы Стирлинга.

В заключение сравним результаты вычисления п\ по формуле Стирлинга и по формуле (5). Правая часть (6) при «>10 не превосходит числа 1,13

е62160 =1,000018..., а при п >100 не превосходит числа 1,0000019. Следовательно, относительная ошибка, происходящая при вычислении п\ по формуле (5), не превосходит 0,002% при п> 10 и 0,0002% при п > 100. По формуле Стирлинга относительная ошибка не превосходит 1% при п >10 и 0,1% при п >100 [3, с. 328J. Так, например, по формуле Стирлинга 10! «3598696, между тем как точное значение 101=3628800. Относительная ошибка составляет 0,83%. По формуле (5) 3628780<10!<3628800,7. Правая часть дает точное значение, а левая с ошибкой меньше 0,0006%.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: В 2 т. М.: Наука, 1968.

Т. 2.

2. Сорокин Г. А. О двухсторонней оценке факториала и! // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2003, Вып. 5. С. 107 - 108.

3. Франклин Ф. Математический анализ: В 2 т. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. Т.2.

УДК 517.5

П. А. Терехин

ВСПЛЕСКИ НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ Р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ"

Пустьр - простое число и Qp - полер-адических чисел. Напомним, что всякое р-адическое число х е Q допускает разложение в ряд по возрастающим степеням числа р:

1 1

х = а_т — + ... + а_1- + аа-ЬЩр + ... + а„р +..., р Р

* Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых -кандидатов наук (проект МК-2569-2005.1) и РФФИ (проект 06-01-00003).

133

с коэффициентами ак е {0,1,...,р-1}, к>-т. Для ненулевого р-адического числа х существует и единственно целое рациональное число -т = 0,±1,±2,... такое, что а_т В этом случае величину |х\р= рт называютр-адической нормой числа х. Если |х\р<\, то число х называют целым р-адическим. Множество всех целых р-адических обозначают Ър. Таким образом, любое целое /ьадическое число хеХр однозначно представляется в виде

х = а0+ахр + ... + а„р" + ..., где ак е{0,1,...,р-1}, к>0. Примем следующие обозначения: А = 0{0,1,...,р-1}А - семейство всех конечных последовательностей а = (а1,...,ак), состоящих из чисел 0,1,...,р-1; | а | - длина последовательности а е А, т.е. |а|=& при а = (а,,.. ; ^(a) = A(a^,...,ak) = {xeZp:ak_j=aj,l<j<k}, где а = (а1,...,ак)еА и а0,...,ак_1 - коэффициенты в представлении целогор-адического числа х.

Семейство 5 = {0} и {Д(а): а е А} образует полукольцо множеств и функция множества |Д(а)|= р '1 является мерой на полукольце лебе-говское продолжение которой совпадает с индуцированной на 7. нормированной мерой Хаара сЬс в поле р . р-адическая норма | • \р определяет топологию в поле ф , в которой множества Д(а), а е А, являются откры-то-замкнутыми шарами и любое открытое множество в Ър является конечным или счетным объединением таких шаров (см., например, [1, с. 24]). Отсюда следует, что а -алгебра © всех борелевских множеств в 2,р совпадает с наименьшей а-алгеброй 21(5), содержащей все множества полукольца 5.

Пусть С(Ър) - пространство вещественных непрерывных функций на компакте Ър и У(2р) - пространство регулярных борелевских мер на Ър. Напомним, что принадлежность цеУ(Хр) означает, что ц - счетно-

аддитивная вещественная функция, определенная на ® и такая, что для любого множества £ е 03 и произвольного е > 0 найдутся открытое множество С з Е и замкнутое множество Р а Е такие, что | ц | (й \ Е) < е и | ц | (Е \ Г) < е , где | ц | (А) - полная вариация меры ц на множестве А е . Из теоремы Рисса об общем виде непрерывного линейного функционала следует, что пространство, сопряженное к С(Ър), изометрически изоморфно пространству У(%р) с нормой ||ц|| =К<яг(ц)=|р.|(2р), причем

| - общий вид непрерывного линейного функционала в С(Ъ ).

р

ЛЕММА. Справедливо равенство

||n||„=sup Х|ц(Д(а))|.

А>0 |а|=*

Доказательство. По определению полной вариации меры р. и с учетом равенства = 21(5) имеем p(Zp)=sup£jn(A(a„))¡, где верхняя

п

грань берется по произвольным конечным наборам попарно непересекающихся множеств Д(а„) из полукольца 5. Положим для такого набора к = тахя | ап |. Тогда А(а), |а|=£, - система составляющих для набора А(ап). Поэтому

2>(Л(ая))| = Х

Z Ц(Д(«))

{|а|=А:Д(а)сД(ал)}

< X I ц(Д(а))|,

|а|=*

откуда {(я|(/р)<5ир ^Чц(л(а))|. Обратное неравенство очевидно, по-

к >0 ¡а[=л'

скольку Д(а), | а |= к, - частные случаи рассматриваемых наборов. Лемма доказана.

Пусть функция /еС(<0^) имеет носитель зиррБирр/сЪ р. Для каждого / = 0,1,...,/7-1 рассмотрим операторы У1/(х) = /(р~ (х-1)). Далее, обозначим К(а) = Ка -.Уа - произведение операторов, а = (а,,...,ал)е А , где первым действует оператор Уа , последним - Уак . Ясно, что У(а), осе А, — изометрические операторы в пространстве С(Ър~) и Бирр У (а)/ с Д(а).

Определение. Пусть функция фе С(0>р) имеет носитель эирр зиррфСЙ^. Семейство функций {К(а)ф:аеА} назовем семейством функций-всплесков, порожденным функцией ф.

ТЕОРЕМА. Пусть функция феССО1^,) имеет носитель зиррфс:^ и положительна ф(х)>0 для всех хеХ . Тогда семейство функций-всплесков {К(а)ф: а € А} является системой представления в пространстве х&Т.р в следующем смысле: для любой функции /еС(Хр) справедливо 00

представление /= ^ с(а)У(а)ц>, ряд в правой части которого сходит-

А=0|и|=А

ся абсолютно по индексу к, т.е.

к=0

с(а)К(а)ф <ао. |а)=А ^

Доказательство. Пусть X — пространство числовых семейств

(ха)аеА с нормой ||х||1оо =^^=0шах[ха |<оо. Сопряженным к про-

странству X будет пространство Y числовых семейств у = (у ) А с нор-мой I у I ( = sup ! >'а I < °° • Определим оператор Т: X ■> С{Z ) посред-

сс

ством равенства Тх = ^ ^ хаУ(а)ц>. Сопряженный оператор

к=0Ш=к

Т*: У(Ър) У имеет вид Т*|д = | ^ У(а)(рс/ц: а е А|. Для ф = % - характеристической функции множества Ър соответствующий оператор Т обозначим через Г0. Будем иметь = {ц(А(а)): а е А}. С учетом леммы находим I Г0*ц| = || ц¡^. Пусть теперь с > 0. Вычислим

II Нх,1 111

||сГ0*|Л-7,*ц|| ,=зирТ I (сУ(а)х-У(а)ф)й?ц <

11 11ХД I

— зир ]Г ||с^(а)х-К(а)ф|с|ц|(Д(а)) = ||ех-ф||с||ц||к.

|а|=£

Отсюда | 7"У|[ | ^ с|г0*ц|ш ] -1 сГ0*ц - Т"ц Ц^ [ > (с -1| с-/ - ф ||с)|| ц | у. Выберем с> О так, чтобы у = с -|| ~ф||с > 0- По условию теоремы имеем О < т < ф(х) < М < оо для всех хеЪр. Положим с = . Тогда | с - ф(х) |< с - т = М - с = А/~т < с, откуда ||с%-ф|| <с, так что у>0.

Итак, установлено неравенство Т^ц >у||ц-||,,; которое показывает, что

II II оо,1 "

оператор Т* является инъекцией. Следовательно, оператор Т отображает пространство X на С(Хр). Поэтому для любой функции f еС(Жр) существует числовая последовательность х = (ха )аеА е X такая, что f = Тх.

оо

Последнее означает, что справедливо представление / - У У^ д:аК(а)ф,

к=0\а\=к

причем ряд в правой части сходится абсолютно

X

к=0

loth*

= X max | ||| К(а)ф || = || Ф || \\х\\ ^ксс.

С

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Владимиров В. С., Волович И. В., Зеленое Е. И. р -ацический анализ и математическая физика. М.: Физмаглит, 1994.