О некоторых асимптотических формулах для факториала n! Текст научной статьи по специальности «Математика»

— (l,r*,...,(í*)")r, что означает выполнение включения (14) в точке А* е Rn+l. Значит А - решение задачи (1).

2. Выполнено условие 2 теоремы. Тогда Q+ (A*)C\Q~(A*)=0, и функция £(í), построенная по правилу (15), будет однозначной. Равенство (8) приводит к включению ) U Q~(A ). Из равенств (9) -

(12) следует, что E,(í,) = -i;(fí+1),/= 0,п. Наличие упорядоченного набора точек с перечисленными свойствами, как и в силу [4, с. 292 - 294] свидетельствует о выполнении включения (14) в точке А*, то есть А - решение задачи (1).

Теорема доказана.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сорта Е. В. О наилучшем приближении многозначного отображения полиномиальной полосой // Современные проблемы теории функций и их приложение: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов, 27 янв. - 3 февр. 2006 г. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 164 - 165.

2. Выгодчикова И. Ю. О сведении задачи о псевдовнутренней оценке многозначного отображения полиномом к задаче о внешней оценке // Современные проблемы теории функций и их приложение: Тез. докл. 13-й Сарат. зимней шк. Саратов: ООО Изд-во «Научная книга», 2006. С. 45 - 46.

3. Пшеничный Б. Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. М.: Наука, 1980.

Л.Демьянов В. Ф., Малозёмов В. Н. Введение в минимакс. М.: Наука, 1972.

УДК 517.15

Г. А. Сорокин

О НЕКОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ФОРМУЛАХ ДЛЯ ФАКТОРИАЛА п\

В теоретических исследованиях и практических расчетах встречается необходимость в приближенном представлении выражения п! с помощью элементарной функции от п. Такое представление дает формула Стерлинга [1, с. 59]

_f у _©_

n\=s¡2тш(-1 еПп (0<©<1).

Эта формула в виде точных неравенств

4lññ п"е~" < и!< -у/2лй п"е "+Пп (1)

позволяет получить хорошие оценки снизу и сверху для больших чисел п !.

В [2, с. 107 - 109] получена следующая более точная оценка:

В данной статье рассматриваются две асимптотические формулы для факториала и!, позволяющие вычислить и! точнее, чем формулы (1) и (2).

При изложении применяются две леммы.

ЛЕММА 1. Для любой последовательности {ап} и любого натурального п > 1 справедливо тождество

Я л

=иая+1 + ££(аА-ак+1). (3)

*=i *=i

Равенство (3) проверяется непосредственно.

ЛЕММА 2. Для любого натурального числа п>1 справедливо равенство

. , . (720 г Л 1\ к + х

Inn! =ln —Tjylnri - V | к + - In-. (4)

V7

к = 1

Доказательство. Положим в формуле (3) ак =1п£ . Имеем

к

In п != £1п£=«1п(и+1) +

* = | ш ^ + '

В правой части этого равенства выделим из суммы последнее слагаемое, а оставшуюся сумму представим следующим образом:

1 п-1 l п-\( к г- "-V 1А

1пи!=и1пи — У1п—+ У bt + - In— =ln(/w")-yht+ - In

2 ьГi к + 1 tk 2 J k + l tl 2 J

k + l

Выделив из последней суммы шесть первых слагаемых, будем иметь

Мы получили равенство (4).

С помощью леммы 2 доказывается основная

ТЕОРЕМА 1. При любом натуральном п >7 справедливо неравенство

^■г^.^^-Н^У (5,

у 6,5

Доказательство. При п= 7 (5) обращается в равенство. При п= 8 и п = 9 справедливость (5) проверяется непосредственно. Имеем

40319,89<8!<40320,004; 362878,4<9!<362880,24. Для доказательства (5) при п> 10 рассмотрим следующие функции и их производные:

, 1+х „ f, 74«-1,13 X2

Ж*)-In---2л: 1+ ' ----J

1-х I 222« 1 - д--4

*Р(х)= In

1 + х 1-х

2x1 Ii-

3 1-х2

Ф'(х)=

(1-х2)2111л

(3,39-(148« + 1,13)х ), чр'(х)=-

4х

20-х2)2

<0.

Далее достаточно выяснить знаки ф и ¥ в промежутке [0;--]

2 и +1

На этом промежутке Ч'(х) убывает от нуля, поэтому *Р(х) <0.

3,39 - (148« + 1ДЗ)х > 3,39 - (148« +1,13)-

1

(2« +1)

1

— («(13,56«—135,44) + 2,26) > 0 при «>10.

(2« +1)

Следовательно, ср(х) возрастает от нуля и ср(х) > 0. Отсюда и из неравенства ¥(х) < 0 следует, что

2х 1 +

74« -1,13 х

222« 1 -;

<lnl±*<2x 1-х

1 + — —— 3 1-

2 А

Разделим это неравенство на 2х и возьмем х =---, где к > 10

2к + \

произвольное натуральное число. Так как тогда

1+х к+1

1-х

1

2к +1

0;

, то мы получим неравенства

1 +

74«-1,13

1

<U + A|ln*±i<1 + .

1

\2к(к +1)

222« Щк +1)

Эти неравенства верны и при к-7, 8, 9.

Сложим эти неравенства по к от к =7 до к=п~\

""'1 11 и заметим, что ^ - —— =— —. В результате будем иметь

к=1к(к-1-1) 7 п

(и-7) 1 +

74« -1,13 621б«2

и-1

к = Т

X k + i: In

П, к +1

;(«-7) fi + —1. Я 84« J

Из этого неравенства и леммы 2 следует неравенство (5). Обозначим левую и правую части (5) соответственно через Ап и 5„ Из (5) вытекает

ТЕОРЕМА 2. lim = lim — = 1.

я—>со Ап П->»5„

Действительно, разделив (5) на Ап, получим

132

(7-л)(-1,13) 1,13

¡<-^~<e 6216"2 <еЬШп (6)

Ап

л}

Отсюда имеем lim — = 1. После деления (5) на Вп аналогично получим Ап

п\

lim — = 1. Таким образом, мы получили две асимптотические формулы

для «! : А„ап\ и п\^Вп (и-»со). Эти формулы точнее асимптотической формулы Стирлинга.

В заключение сравним результаты вычисления п\ по формуле Стирлинга и по формуле (5). Правая часть (6) при п> 10 не превосходит числа 1,13

е62160 =1,000018..., а при п >100 не превосходит числа 1,0000019. Следовательно, относительная ошибка, происходящая при вычислении п\ по формуле (5), не превосходит 0,002% при п > 10 и 0,0002% при п > 100. По формуле Стирлинга относительная ошибка не превосходит 1% при п >10 и 0,1% при п >100 [3, с. 328J. Так, например, по формуле Стирлинга 10! «3598696, между тем как точное значение 10!=3628800. Относительная ошибка составляет 0,83%. По формуле (5) 3628780<10!<3628800,7. Правая часть дает точное значение, а левая с ошибкой меньше 0,0006%.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа: В 2 т. М.: Наука, 1968.

Т. 2.

2. Сорокин Г. А. О двухсторонней оценке факториала и! // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та. 2003, Вып. 5. С. 107 - 108.

3. Франклин Ф. Математический анализ: В 2 т. М.: Изд-во иностр. лит., 1950. Т.2.

УДК 517.5

П. А. Терехин

ВСПЛЕСКИ НАД КОЛЬЦОМ ЦЕЛЫХ Р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ"

Пустьр - простое число и Qp - полер-адических чисел. Напомним, что всякое р-адическое число х е Q допускает разложение в ряд по возрастающим степеням числа р:

1 1

х = а_т — + ... + а_1- + аа-ЬЩр + ... + а„р +..., р Р

' Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых ученых -кандидатов наук (проект МК-2569-2005.1) и РФФИ (проект 06-01-00003).

133