CC BY
36
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 19. Выпуск 3.
УДК 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-298-310
О полных рациональных тригонометрических суммах и
интегралах1
Чубариков Владимир Николаевич — доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математических и компьютерных методов анализа, Механико-математический факультет, Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова. e-mail: chubarikl@mech.math.msu.su chubarik2009@live.ru
Аннотация
Найдены асимптотические формулы при т ^ ж для числа решений системы сравнений вида
gs(x!) +-----+ gs(xk) = gs(xi) +-----+ gs(xk) (mod pm), 1 < s < n,
где неизвестные x\,...,xk,у\,...,ук могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю рт, а степени многочленов д\ (х),..., д„(х) те превосходят п. Указаны такие многочлены д\(х),..., дп(х), для которых эти асимптотики справедливы при 2к > 0, 5п(п + 1) + 1, а при 2к < 0, 5п(п + 1) + 1 данные асимптотики не имеют место.
Кроме того, для многочленов gi(x),... ,дп(х) с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят п, найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида
1
у е2{x),f (х) = 3i(x) + • • • + апдп(х), 0
где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам ai,...,an. Эта асимптотика справедлива при степени осреднения 2к > 0, 5п(п + 1) + 1, а пр и 2к < 0, 5п(п + 1) + 1 она не имеет места.
Ключевые слова: полные рациональные тригонометрические суммы, тригонометрические интегралы.
Библиография: 15 названий. Для цитирования:
В. Н. Чубариков. О полных рациональных тригонометрических суммах и интегралах // Чебышевский сборник, 2018, т. 19, вып. 3, с. 298-310.
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 19. No. 3.
UDC 511.3 DOI 10.22405/2226-8383-2018-19-3-298-310
On complete rational trigonometric sums and integrals2
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант № 16-01-00-071
2The work was carried out at the financial the support of RFBR, grant № 16-01-00-071
Chubarikov Vladimir Nikolaevich — doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of the department of mathematical and computer methods of analysis, dean of the mechanics and mathematics faculty of the M. V. Lomonosov Moscow State University. e-mail: chubarikl@mech.math.msu.su chubarik2009@live.ru
Abstract
Asymptotical formulae asm ^ то for the number of solutions of the congruence system of a form
gs(x!) +-----+ gs(xk) = gs(xi) +-----+ gs(xk) (mod pm), 1 < s < n,
are found, where unknowns x1,... ,xk,y1,... ,yk can take on values from the complete system of residues modulo pm, but degrees of polynomials gi(x),..., gn(x) do not exceed n. Such polynomials g1(x),..., gn(x), for which these asymptotics hold as 2k > 0, 5n(n + 1) + 1, but as 2k < 0,5n(n + 1) + 1 the given asymptotics have no place, were shew.
Besides, for polynomials gi(x),..., gn(x) with real coefficients, moreover degrees of polynomials do not exceed n, the asymptotic of a mean value of trigonometrical integrals of the form
1
J e2*if {x),f (x) = aigi(x) + • • • + angn(x), 0
where the averaging is lead on all real parameters a1,... ,an, is found. This asymptotic holds for the power of the averaging 2k > 0,5n(n +1) +1, but as 2k < 0,5n(n +1) +1 it has no place.
Keywords: complete rational trigonometric sums, trigonometric integrals.
Bibliography: 15 titles.
For citation:
V. N. Chubarikov, 2018, "On complete rational trigonometric sums and integrals" , Chebyshevskii sbornik, vol. 19, no. 3, pp. 298-310.
Введение
Настоящая работа находится в русле исследований по круговому методу Харди — Литт-лвуда — Рамануджана ([1], [2]) в форме тригонометрических сумм И. М. Виноградова ([3], [4]). К этому кругу вопросов относится р-адический метод доказательства теоремы И. М. Виноградова о среднем, открытый в 1942 г. Ю. В. Линником [6], [7]. В 1963 г. А. А. Карацуба и Н. М. Коробов [9], [10] нашли другой р-адический метод и получили новое доказательство теоремы И. М. Виноградова.
Под р-адическим методом в задачах теории чисел понимают использование сравнений по модулю и арифметических функций с периодом, равными степеням простого числа р.
В 1971 г. Г. И. Архипов [11] доказал р-адическим методом первую теорему о среднем для кратных тригонометрических сумм.
Развивая метод И. М. Виноградова, Хуа Ло-кен ([8], стр. 201-276) при к > к0, к0 х 3к2 log к, п > 11, вывел асимптотическую формулу вида
lim p°,5n(n+l)-2fc Jk (р) = 7q,
р ^те
где Jk(Р) — число решений в целых числах 1 < xi,... ,Xk,yi,... ,Ук < Р системы уравнений вида
xl + • • • + 4 = У1 + • • • + ysk(1 < s < п),
причём 7,а — соответственно особый интеграл и особый ряд рассматриваемой асимптотики
2к
+те г +те г
7 =/■■ 7
—те —те
те те 91 Яп
1
е2жг(а1Х+-----+апхп)
(1а\... (1аг.
а =
91
Е Е
дп «1 = 1
(а1,д1) = 1
Е
а„ = 1 (а„ ,дп) = 1
(Я1...'
Я1...дп ,
1 ^ ехр(2ттг[ —х +
Х=1
1
+ ^хп ) Чп )
2к
Хуа Ло-кен там же нашёл показатель сходимости 2к1 = 0, 5п(п + 1) + 2 особого ряда а, т.е. для среднего значения полных рациональных тригонометрических сумм.
Для особого интеграла 7 показатель сходимости 2к2 = 0, 5п(п + 1) + 1 был найден в 1978 г. Г. И. Архиповым, А. А. Карацубой и автором [12].
В настоящей работе продолжены исследования полных рациональных тригонометрических сумм и тригонометрических интегралов с многочленом общего вида в экспоненте (см. [1]-[15]).
Отметим, что в ряде этапов исследования мы существенно пользуемся результатами из нашей книги [12] и работ Г. И. Архипова [11].
¡1. О среднем значении полных рациональных сумм общего вида
Пусть п > 2,а1,... ,ап — натуральные числа,
«-1
д3(х) = хв + ^ а(в, Ь)хг, в = 1,... ,п,
(1)
г=1
многочлены с целыми коэффициентами.
Пусть, далее, 5(рт; /) обозначает полную рациональную тригонометрическую сумму вида
^(рт;/) = Ее2-^, Дх) = £ а, (а„р) = 1, т3 < т.
Х=1 3=1 Р
Тогда среднее значение N(рт; д) этих сумм имеет вид
рт„ -1 рт 1 -1
N^9)= р-тп £ £ ... £ (рт ;/(х))р.
шах{тп,...,т1}<т а„=0 «1=0
(а„,р) = 1 (а,1,р) = 1
Положим £ = шах(т,1,..., тп}. Находим
т р -1 р1 — 1 .
N^9)= р-тп ^^ ••• £ р"
г=0 а„=0 а1=0 ^ (а„,...,а1,р)=1
апдп(х) +-----+ а^х)^
р1
2к
ап9пхП +-----+ аЩ(х) \
т у —1 у —1 /
ЕЕ••• Е ^ (V;
г=0 а„=0 а1=0 \
(а„,...,а1,р) = 1
2к
= рш(2к—п)а(р ш.д).
(2)
Запишем все рациональные коэффициенты многочлена в экспоненте суммы как дроби со знаменателем рт. Получим
N (рт; д) = р
рт-1 рт-1 f hM \ 2к п
—тп Е ••• Е s(pm;hß) , ВД = Еasgs(X),
а„=0 а1=0 ^ г / s=i
что равно числу решении следующей системы сравнении
gi(xi) + ••• + gi(xk) = gi(yi) + ••• + gi(yk) (mod pm)
9n(xi) +-----+ gn(xk) = gn(yi) +-----+ gn(yk) (mod pm),
(3)
где неизвестные xi,... ,xk,yi, дулю pm.
, yk принимают значения из полной системы вычетов по мо-
Если существует lim а(рт; д) = &р(д), где
^ (<7) = 1 + Е А(Р*),
t=i
pt—i pl-i
А('РЬ) = Е ''' Е IP—tS(Р*; (а^9п(х) + ■ ■ ■ + aigi(x))/pt)l
t\\2к
(4)
(5)
ап=0 ai=0 (a„,...,ai,p)=i
S (рг;(апдп (x) +-----+ aigi(x))/pt) = ^ e2
r- an9n(x)+-----+aigi(x)
(6)
Л) _
ж=1
то этот предел &р(д) называется особым рядом системы сравнений (3).
Заметим, что каждое решение системы (3) является решением следующей системы срав-
нении
xi +-----+ хк = yi +-----+ Ук (mod рт)
х™ +-----+ хГ1 = уЧ +-----+ ук (mod рт),
(3')
где неизвестные Х\,..., хк, у\,... ,Ук принимают значения из полной системы вычетов по модулю рт, и наоборот. Действительно, первые сравнения этих систем совпадают. Второе сравнение системы (3') является линейной комбинацией первого и второго сравнений из (3) и т.д.
Число решений N(рт) системы (3') равно рт(2к-п)а(рт). Пусть ар = lim а(рт)
Теорема 1. Особый ряд ар(д) = ар сходится при 2к > 0, 5п(п + 1) + 1 и расходится при 2к < 0, 5п(п + 1) + 1.
\2. Оценка полной суммы
Положим
s-1
f (х) = Е asgs(x),gs(x) = ж5 + J2 а(8,г)х1,Ь(у) = f (у + £) = ^ Ъиуг
s=i
t=i
и=0
Имеем
h(y) = Еа*
п / S S— i t / \ \
£<- £(> с"+£«•.') £ UKН
s=i \^=0 t=i w=0 4 7 /
п п п S— 1 S— 1 , \
= Е Vv ЕЧ D ts—v + Е yw Е «(*, *) Ц) ít—w + f(0 =
V=1 S=V S=1 W=1 t=W ^ '
п п п—1 п s— 1 / + \
= ЕyvЕЧS)v + ЕЕ Z«(s,*)(jeí—v + /Ю.
V = 1 S=V V = 1 s=v+1 t=v ^ '
Отсюда находим
b п = Ап;
6п—1 = ап—1 + Ап^^п^ с + апа(п - 1,п - 1),
п { s—1 \
bv = av + Е as( (I)e—v + — a(s, t) Ц) £í—v , (8)
s=v+1 \ t=v J
п / s—1 \
b1 = a1 + £ aJ (1) 1 + £ Ф, t) (1)£i—1 .
s=2 \ t=1 /
Пусть (a1,... ,ап, p) = 1, w = [log п/ logp], pT ||(a1,2a2,..., пап). Тогда т <w, pT ||( b1, 2 b2,..., п Ьп).
Лемма 1. Пусть I > 2(т + 1),
р pl tí \
S (р1;/) = £>, Su = £ е ^.
Тогда, если p—Tf ( v) = 0 (mod р), mo
V=1 X=1
x=v (mod р)
р1-т-l
P 2пгЩ>
е р ,
sv=Рт +1 Е
У=1
y=v (mod р)
в противном случае Sv = 0.
Доказательство. Произведем замену переменной суммирования. Имеем х = У + pl-T-1 z, 1 < у < р1-т-1,0 < z < pT+l.
2ttí
'v = / / е V
Отсюда находим
Sv = Е Е
y=1 z=0
= (mod р)
р1-т-1 +1 — 1
Е « ^ y,
y=1 z=0
y=v (mod р)
2жгЩ1 ^ 2жгр Tf'(y)z " е р .
Так как
рт+1—1
E2ttíp-Tf'(y)z = j pT+1, если p—Tf(y) = 0 (modp), _o \ 0, если p—Tf(y)^ 0 (mod p),
то из этого равенства следует утверждение леммы. □
Заметим, что сравнение
р-т f\v) = 0 (mod р), 1 < v < р, (8)
имеет не более п — 1 решений.
Лемма 2. Пусть а — корень крат,пост,и т многочлена, F(х) по простому модулю р, и пусть и — наибольшая степень числа, р, делящая, все коэффициенты многочлена Н(х) = F(а + рх). Тогда, число корней сравнения р-иН(х) = 0 (mod р) с учётом их кратности, не превосходит, т.
Доказательство, см., например, [12], с. 55, лемма 2. □
Рассмотрим далее любое решение ^о сравнения (8). Положим в равенстве (7) £ = щ и определим показатель 2 < щ < п и многочлен fi (у) из соотношений
pU1 \\(pbi,p2b2,...,рпЪп), f (щ + РУ) — f Ы = PU1 fi(y) = PU1Y.CsV
S=1
(ci,c2,...,cn,p) = 1,pU1 cs = psbs(1 < S < n). Таким образом, при I — ui > 2w + 1 получим
j-I
2ж, ¿Ш ^ 2-кг ¿1(у) 2жг ¿^ ,
Яио = е р1 Е е р1-и1 = ри1-1е р1 Б(р1-и1; Д).
у=1
Пусть — наибольший номер такой, что (Ь3,р) = 1. Тогда из равенства рвЬ3 = ри1 с3 находим,
что п > в > п,1. Следовательно, по модулю р степень многочлена /1 (х) не превосходит щ.
В предыдущем рассуждении многочлен /(х) заменим на /1 (ж), а многочлен Н(у) на МНОГО
гочлен к1(у) = ¡\(у + г]) = ^ . Определим т1 го условия рТ1 ||(с1, 2сг,..., псп). Тогда для
*8Ц8
s=0
любого rj имеем pT1 \\(di, 2^,... ,ndn) по тем же соображениям, что и для набора коэффициентов as и bs(1 < s < п). Таким образом, получим
S(v'-;/1) = £sw„= с"1 Ае2"^
•¡1=1 У=1 z=0
у=11 (mod р)
По лемме 1 для любого г] с условием p-T1 /[(rf) ^ 0 (mod р) имеем SUo,v = 0.
Число решений сравнения p-T1 fi(rj) = 0 (mod р) не превосходит m — 1. Возьмём любое решение rj = vi этого сравнения. Определим показатель щ = щ(щ, vi) и многочлен /2(у) условиями
р"'2\\(pdi,p2d2,..., pndn), pU2f2(y) = fi(vi +py) — f( vi).
при I — Ui — U2 > 2w + 1 получим
^l — u-i —1
/1(^1) P —' /2(.У) 2wi / (n) ,
SV0,V1 = e Р1—и1 £ е2Ж\1—и1—и2 = pU2-ie2mpl—u1S(pl-U1-U2 ]h).
y=i
Аналогично определяются показатели U3,..., щ, причём число t = t(vo, vi,...) находится из условий
I — ui — ■ ■ ■ — ut-i > 2w + 1,1 — ui — ■ ■ ■ — щ-1 — ut < 2w + 1. Собирая вместе полученные выше результаты, имеем следующее утверждение.
Теорема 2. Справедлива формула
. . 2wj(+ I I ft-l^t-l) )
sЫ;/) = E pui+u2+-+ut-t ^^ vi +P-1 + —4-1
(vo, vi,...,vt)
XS(pl-ui-u2-• • ; ft), (9)
где наборы ( u0, v\,... ,vt) пробегает решения системы сравнений р-Tsfs( us) = 0 (mod p) (0 < s < t).
§3. Показатель сходимости особого ряда
Нам понадобятся два утверждения, которые являются следствиями леммы 2.
Лемма 3. Пусть f(x) — многочлен степени п с целым,и коэффициентами, взаим-
.
(ui,u2,...) многочлена f (x) не превосходит п. Лемма 4. Справедливы неравенства
п >ui > и2 > • • • > 2. Доказательство, см.[12], с. 63, леммы 5и6. □
Из леммы 3 следует, что количество решений (щ, ... ,щ) системы сравнений
р-fs(Us) = 0 (mod р)(0 <s< t),
п.
Приведем только схему доказательства теоремы 1.
10. Пусть f(x) = a\Qi(x) + • • • + angn(x), (а\,..., ап,р) = 1 — любой многочлен с целыми коэффициентами, причём многочлены <jfi(x),...,gn(x) заданы соотношениями (1), (ui,... ,щ) —
( x),
2 имеем
Р-1 |S (рl; f)\<np-t.
20. Оценим количество К (ui,..., щ) многочленов f(x) с заданной в п.10 цепочкой показателей (ui,..., щ) наименьшей длины t. Из формул (7), (8), подетавляя £ = ру, находим
n
f(x) = h(x - О = Y^ bt9t(x -t=0
ап - bn,
an-i = bn-i + bn(yn-n^ (-ру) + Ьпа(п - 1,п - 1),
п / s-i \
а, = bv + Е bs({sv) (-py)s-v + E«(s,i)(D (-РУ)t-v) ,
s=, + i \ t='U J
n / s-i \
ai = bi + £ bs (s) (-py)s-i + - Ф, t) (i) (-py)i-i .
s=2 \ t=i /
Поскольку pU1 \\(pbi,p2b2,...,pnbn), получим pbi = pU1 с^ p2b2 = pU1 c2,.■ ■ ,pnbn = pU1 cn, ( С i, C2, ..., Cn, p) = 1. Следовательно,
f aU1-i = pu1-(u1-i)cU1-i + AU1-i,
av = pU1 vcv + Av, k ai = pU1-ia + Ai.
Повторяя это рассуждение для показателей v,2,...,Ut, приходим к системе равенств
' aUl-i = pU1-(u1-i)BU1-i + A{*l-i, < aU2-i = p^1-(^2-i)+^2-(^2-i)BU2-i + A^-i, ai = p(u1-i)+(u2-i)+-+(ut-i) b1 + A^. Отсюда находим К(ui,..., щ) < pA, где
A = nl — 0, 5-ui(-ui — 1) — 0, 5U2(U2 — 1) — ■ ■ ■ — 0, Ьщ(щ — 1).
Положим U = ui + ■ ■ ■ + Ut,B = A — n(l — U).
Имеем I — 2w — 1 <U < 1,2 <щ < ■ ■ ■ <ui <n. Преобразуем
t t t B = nU — ^ 0, 5us(us — 1) = y^(nus — 0, 5us(us — 1)) = ^ Hs(x),
s=i s=i s=i
где H(x) = nx — 0, bx(x — 1).
Найдем максимум H(x) на отрезке [2, п]. ^^одим Н'(х) = п — х + 0, 5. Следовательно, максимум Н(х) на отрезке [2, п] достигается в точке х = п. Отсюда получим, что B < 0, 5tп(п+1). Таким образом
К (Ui, ...,Ut) < pB-n(l-U) < pn(2W+i)p0,5tn(n+i)_
30. Оценим количество Ut наборов (ui,... ,щ), отвечающих условиям лемм 3 и 4. Имеем
п >ui >и2 > ■ ■ ■ >Ut > 2, l>ui + и2 + ■ ■ ■ + Ut > I — 2w — 1.
Отсюда находим Ut < ln.
40. Число ^многочленов с заданным (ui,..., щ) ^е числа корней (щ,..., щ)
сравнений (8) с условием 0 <u,i,..., < щ < р. Следовательно, Nt < рг.
50. Таким образом, количество многочленов с цепочкой показателей минимальной длины
IП plp 05tn(n+i)+n(2w+i)
60. Далее из пп.10, 40 и 50 при t0 = max {1, (I — 2w — 1)/п} имеем
A(P1) < Е n2klnpn(2w+i)p-t(2k-0,5n(n+i)+i).
t>to
□
§4. Теорема о среднем для числа решений системы сравнений по модулю, равному степени простого
Теорема 3. Пусть п > 2, т — натура,льны,с числа, р > п — простое число. Тогда, при 2 к > —- + 1 и т ^ ж имеем
N(рт;к; g) = рт(2к—п)(ар(д)+ О(тпр((т—1)/п))(0'5п(п+1)+1—2к)), где g = (д 1(х),..., дп(х)).
Доказательство. Так как ряд ар сходится при 2к > п(п^1") + 1 и
А(рЬ) < п2к(гр)'пр-1)/п)(0,5п(п+ 1+1-2к))
(см.[13], с.69), то из формулы (2) имеем
рт(2к—п)а(рт) = --'(ар + о(т-р
Теорема 3 доказана. □
N(рт; к; g) = рт(2к—п)а(рт) = Рт(2к-п)(ар + о(тпр((т—1)/п)(0'5п(п+1+1—2к)))).
§5. Теорема о среднем для числа решений системы сравнений по модулю, равному факториалу натурального числа
Теорема 4. Пусть п > 2, т — натуральные числа,, М = т!. Тогда при 2к > п(п+1^ + 2 и т ^ ж имеем
N(М) = N(М; к; g) = М2к—па(1 + о(1)). Доказательство. Пусть М = т! = П рар — каноническое разложение числа М на
р<т
простые сомножители. Тогда из мультипликативности функции N(М), сходимости особого ряда и из теоремы 3 имеем
N(М) = П N(рар) = П Рар(2к-п)(ар + О(аг^р((»Р—1)/п))(0,5п(п+1)+1—2к)) = р< т р< т
= М2к-п П ар(1 + О(а^р((ар—1)/п))(0'5п(п+1)+1—2к))) = М2к-па(1 + о(1)).
р< т □
§6. Показатель сходимости особого интеграла
Особый интеграл имеет вид
1
,= 1-1
2 к
йа1... (1ап,
— <Х, — <Х, 0
8— 1
где f (х) = а-\_д(х) + ■ ■ ■ + апдп(х),д8(х) = хя + £ Дмх1, 1 < в < п и коэффициенты
г=1
вещественные числа.
Пусть О — область точек (х\,... ,хк,у\,..., у к) в вещественном пространстве размерности 2 к, для которых выполнены условия
£(х? - VI)
г=1
< И, 0 <хг,уг < 1,5 = 1,... ,п.
Объём области О обозначим символом р,(К). Справедливо следующее утверждение.
Теорема 5. При 2к > 0, 5п(п + 1) + 1 справедливо предельное равенство
7 = Иш(2И)->(И).
н^о
Доказательство. При -1 < сЛ,..., сп < 1 функция
С1 с„
Р (с 1,..., Сп) = У •• J 1,..., z,п)dzl... (г„
—С1 — сп
где
^(г!,..., 2п) =
—оо —оо
е2ж^(х) dх
2 к
е2™ (*1»1+-+гпап) da1... daп,
представляет собой непрерывную функцию ввиду абсолютной сходимости интеграла 7(0) =
= 7( с 1,..., Сп).
Таким образом
Р (с) =
—оо —оо
е2ж^(х) (1х
2 к
(-Л йШ (27Гс«а3) \
Ш )
(1а\... (1ап
Для краткости записи положим А« = д3(х\) + • • • + дв(хк) — ^(ш) — • • • — д8(Ук), з = 1, Тогда из предыдущего соотношения имеем
, п.
1 1
Р (С1,..., св ) = —
ж"
(х1... (хк(у1... (укX
оо
X
Я ?(*
81п (2жа«( А| + с«)) йш (2жа«( А« — с«))
(ач
ая
ая
Используя значение интеграла Дирихле
йш ах , ж
-(х = — й^п а,
х 2
о
найдем
Р (с) = J ••• ! (sgn (А| + с«) — sgn (А| — С«))\(х1... (хк(у 1...(Ук =
оо
1
1
Отсюда получим
где
1 1
J•••J ¿Х1 ...Лхк(1у1 ...йук.
0 0 - са<Ха< с3(1<з<п)
„(0) = д ""
дс 1... дсп
= 11ш(2К)->(К),
с=0
1 1
¡¿(К)) = /•••/ йх1 ...йХкйу 1 ...йук
00 -к< \ц<к(1< вКп)
есть объём области П. Теорема доказана. □
е 2^тí (а1д1(х)+-----+апдп(х))
Заключение
Приведем результаты и программу дальнейших исследований.
1. Получение при Р > 1,а1,... ,ап — вещественных числах, возможно более точных оценок тригонометрических сумм вида
Б(Р) = 5(Р ;а.1,...,ап) = Б (Р ;аь...,ап; 91,..., 9п) =
= £
х<Р
1( Х), . . . , п( Х)
циентов имеет максимальный ранг, равный п, причем степени многочленов не превосходят п.
2. Доказательство аналога теоремы И. М. Виноградова о среднем: при к > к0, к0 х п2 1пп имеем
1 1
. = . (Р ;п,к) = J ^У |5 (Р ;а]_,... ,ап)12к йа.. .йап < 00
< с(п, к) Р2к-0,5п(п+1),
( п, )
3. Точные оценки полных рациональных тригонометрических сумм и интегралов и нахож-
1( Х), . . . , п( Х)
меныне максимальной из их степеней, например,
д3(х) = х3+п + д0,3 (х),в = 1,...,п,
где степень д0,я меньше, чем + п.
Утверждения, подобные теоремам 1-5 для многочленов ^(х),..., дп(х) общего вида, получаются аналогичными рассуждениями. Точные формулировки предполагается опубликовать позже.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Hardy G. H., Ramanujan S. Asymptotic formulae in combinatory analysis // Proc. London math Soc.(2), 17(1918), p. 75-115. *
2. Hardy G. H., Littlewood J. E. A new solution of Waring problem// Gôtt.Nachr., 1920, p. 33-54.
3. Виноградов H. M. Sur un théorème général de Waring// Мат.сб., 1924, т.31, с. 490-507.
4. Виноградов И. M. О теореме Варинга // Изв.АН СССР, ОФМН, 1928, № 4, с. 393-400.
5. Виноградов II.M. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1980.
6. ЛинникЮ.В. Избранные труды. Теория чисел. Эргодический метод и L-функции. — Л.: Наука, 1979. 432 с.
7. ЛинникЮ.В. Новые оценки сумм Вейля // Докл. АН СССР, 1942, т.37, № 7, 201-203.
8. Hua Loo-Keng. Selected Papers. — N.-Y., Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1983, pp. 888.
9. КарацубаА. А., КоробовН.М. О теореме о среднем // Докл. АН СССР, 1963, г. 1 19. № 2, 245-248.
10. КарацубаА. А. Теоремы о среднем и полные тригонометрические суммы // Изв. АН СССР,' сер. матем., 1966, т.ЗО, 183-206.
11. Архипов Г. И. Избранные труды. Орел: Изд-во Орловского гос.ун-та, 2013. 464 с.
12. Архипов Г.И., Карацуба А.А., Чубариков В.Н. Теория кратных тригонометрических сумм. — М.: Наука. 1987.
13. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. — Berlin-New York: Walter de Gruvter (de Gruvter Expositions in Mathematics 39). 2004.
14. Чубариков В. H. Кратные полные рациональные арифметические суммы от значений многочлена // Докл.РАН., 2018, т.478, № 1, 22-24.
15. АрхиповаЛ. Г., Чубариков В. И., Показатель сходимости особого ряда одной многомерной проблемы // Вестн. Моск. ун-та. Сер.1, Математика, механика. 2018. № 5. 58-61.
REFERENCES
1. Hardy G. H., Ramanujan S. Asymptotic formulae in combinatory analysis // Proc. London math Soc.(2), 17(1918), p. 75-115.
2. Hardy G. H., Littlewood J. E. A new solution of Waring problem// Gôtt.Nachr., 1920, p. 33-54.
3. Vinogradov I. M. Sur un théorème général de Waring// Мат.сб., 1924, v.31, p. 490-507.
4. Vinogradov I. M. On Waring's theorem // Izv. AN SSSR, OFMN, 1928, № 4, p. 393-400.
5. Vinogradov I. M. The method of trigonometric sums in the theory of numbers. — Moscow: Nauka, 1980.
6. LinnikJ. V. Selected papers. The theory of numbers. The ergodic method and L-functions. — Leningrad: Nauka, 1979. pp. 432.
7. LinnikJ. V. New estimations of Wevl sums// Dokl. AN SSSR, 1942, v.37, № 7, 201-203.
8. Hua Loo-Keng. Selected Papers. — N.-Y., Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, 1983, pp. 888.
9. KaratsubaA. A., KorobovN. M. On the mean-value theorem// Dokl. AN SSSR, 1963, v. 149, № 2, 245-248.
10. KaratsubaA. A. Mean-value theorems and complete trigonometric sums// Izv. AN SSSR, ser. math., 1966, v.30, 183-206.
11. ArkhipovG. I. Selected Papers. Orjol: Publ. House of the Orjol State University, 2013. pp. 464.
12. Arkhipov G.I., Karatsuba A.A., Chubarikov V.N. The theory of multiple trigonometric sums. — Moscow: Nauka. 1987.
13. Arkhipov G.I., Chubarikov V.N., Karatsuba A.A. Trigonometric Sums in Number Theory and Analysis. — Berlin-New York: Walter de Gruvter (de Gruvter Expositions in Mathematics 39). 2004.
14. Chubarikov V. N. The multiple complete rational arithmetical sums of polynomial values// Dokl.RAN., 2018, v.478, № 1, 22-24.
15. ArkhipovaL. G., Chubarikov V. N. The exponent of convergence of the singular series of a multivariate problem// Bull, of Moscow State Univ. Ser.I, Math., mech. 2018. № 5, 58-61.
Получено 08.08.2018 Принято к печати 15.10.2018
