О двухсторонней оценке факториала n! Текст научной статьи по специальности «Математика»

 / n-1 2 Л

inf j - ZcJ dx

(«•'О.....<V|) u ¡=0 /

Доказательство. Из [5, с. 28- 30] следует, что

2"(я!)2л/4Л+2 (2п +1)!

Отметим, что оценки (3) и (4) асимптотически точны.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. DeVore ftA. The approximation of continuous functions by positive linear operators. Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1972.

2. Sidorov S.P. On some extremal properties of Lagrange interpolator polynomials // J. Approx. Theory. 2002. Vol. 118, №2. P. 188-201.

3. Коркин А.И., Золотарев Е.И. О некотором минимуме. Поли. coop. сом. Е. И. Золотарева: В 2 т. Л.: Изд-во АН СССР, 1931. Т.!.

4. Чебышев ПЛ. Ноли. собр. соч.: В 3 т. М.; Л., 1948. Т. 2.

5. Ахиезер Н И. Лекции по теории приближений. М.: Наука, 1965.

УДК 517.15

Г. А. Сорокин

О ДВУХСТОРОННЕЙ ОЦЕНКЕ ФАКТОРИАЛА и!

Некоторые оценки величины п\ приведены в [1, с. 179 и с. 341]. В данной статье рассматривается двухсторонняя оценка л!, позволяющая для многих значений п вычислить п\ точнее, чем по формуле Стерлинга

л!=

где 0„ -> 0 при л ~> оо.

При изложении применяется

ЛЕММА. Для любого натурального числа л > 5 справедливо равенство

Доказательство. Это равенство мы получим из тождест аа

п п

Иак ="ал+1 + Тк(ак-«4+1). (2)

4=1 4=1

справедливого для любой последовательности {ак } и любого натурального л > 1. Равенство (2) проверяется непосредственно. Положим в формуле (2) ак = 1п к. Имеем

л п к

1пл! = = л!п(л+1) + -.

*= 1 к + 1

В правой части этого равенства выделим из суммы последнее слагаемое, а оставшуюся сумму представим следующим образом:

Выделив из последней суммы три первых слагаемых, будем иметь

1пя!=1п —4пп" - £ Л+- 1п

64

к = 4

П. А+1

Мы получили равенство (1).

С помощь леммы доказывается основная

ТЕОРЕМА. При любом натуральном п > 4 справедливо неравенство

ч„ 9423 49

19! _1_ , 48 + 12л

<л!<—л/л —

64

,2368 592л

(3)

Доказательство. При п = 4 неравенство (3) обращается в равенство. Для доказательства (3) при п > 5 рассмотрим следующие функции и их производные:

ф(л:) = 1п1 + Х - 2х 1-х

<р'« =

2 \

1 +

49

148 1-х2

= 1п

1-99*

1 + х 1-х

-2х\ 1 + ~

2 \

3 1

74

4х

<0.

Далее достаточно выяснить знаки ф и V)/ в промежутке [0;1/9|. На этом отрезке убывает от нуля, поэтому \\)(х) < 0.

ф(х) в промежутке (0; VI / 99 ] возрастает от нуля, поэтому ф(х) > 0. В промежутке (71/99 ;1/9] ф(х) убывает, но остаётся положительной, так как ф(1/9) = 0,00001... Итак, на [0;1/9] ф(л)>0. Отсюда и из неравенства ф(д:) < 0 следует, что

2х

1 +

49

148 1-х2

1-х

1

1 + —•

3 1-х

Разделим это неравенство на 2х и возьмём дс = 1/(2к +1), где к > 4 произвольное натуральное число. Так как тогда

1+х _к+1 1-х к то мы получим неравенства

2 к + 1

е[0;1/9],

, 49 1 [ , IV к +1 , 1

1 +----< А: +- 1п-<1 + -

148 Щк+1) ^ 2) к \2к(к +1)

Сложим эти неравенства по к от к = 4 до к = п -1. В результате будем иметь

9423 49 гг-'Г, 191 1

п----< У \к н— 1п-< п----.

2367 592л ¿Г41 2) к 48 12 п

Из этого неравенства и леммы следует неравенство (3).

СЛЕДСТВИЕ 1. Для п = 4, 5,..., 1953 формула (3) точнее формулы Стирлинга.

В самом деле, решив относительно п неравенство

- 191 1

^ ЛН I'

< — е 64

48 12л .

44,

получим

П ~ 12[ 1п[ — >/2л

п < , ,-—г-г = 1953,3...

64 ^ 191^1

48 у

СЛЕДСТВИЕ 2. При вычислении п\ по формуле (3) при любом п > 4 относительная ошибка будет меньше 0,02%.

Действительно, разделив (3) на его левую часть, получим

| 9423 191

1 ^-, < е2368 48 = 100014...

_ /• чл 191 | Г

— ук - е48 12" 64 ^е)

Отсюда видно, что ошибка меньше 0,02%.

В заключение сравним результаты вычисления 10! по формуле Стирлинга и по формуле (3).

По формуле Стирлинга 10!»359696, между тем как точное значение 10!= 3628800. Относительная ошибка составляет 0,83%.

По формуле (3) 3628655 < 10!< 3628962 левая и правая части этого неравенства дают приближенное значение 10! с относительной ошибкой,, равной всего лишь 0,004%.

БИЬЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Данилов ВЛ., Иванова А.П. и др. Математический анализ. Функции, пределы, ряды, цепные дроби. М.: Гостехиздат, 1961.