CC BY
23
DOI: 10.24143/1812-9498-2018-1-28-54 УДК 519.2 (075.8)
Г. А. Попов
ОЦЕНКА СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ В ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Рассматривается задача оценки скорости сходимости в законе больших чисел для случая, когда исходный набор случайных величин распределен по закону гамма-распределения. Важность задачи обусловлена тем, что при малом числе исходных случайных величин знание того, насколько точны и близки к истинным значения, полученные на основе усреднения, становится актуальным, особенно если получение каждого дополнительного значения связано со значимыми затратами ресурсов. Основной результат работы содержит оценки для модуля разности функции распределения среднего значения для совокупности набора из N случайных величин, входящих в исходную совокупность, где N - произвольно, и функции распределения их предельного значения, являющегося константой (средним значением). Результат включает три случая: когда аргумент функции распределения больше среднего значения, равен ему и меньше среднего значения. Получены оценки для модуля разности распределений, зависящие не только от числа случайных величин N, но и от аргумента функции распределения. Зависимость полученной оценки от аргумента функции распределения имеет экспоненциальный характер, а от объема набора N эта зависимость порядка корня из N. Для удобства практического применения, а также для решения обратной задачи на основе полученного результат оценки модуля разности распределений упрощены. На основе полученных упрощенных оценок приводится решение следующей обратной задачи: найти минимальный объем набора N, при котором модуль разности распределений (точность оценки математического ожидания на основе среднего значения) не превосходит заданной (малой) величины. Представлены формула для нахождения указанного минимального объема N и алгоритм, позволяющий находить точное значение N для рассматриваемой оценки.
Ключевые слова: закон больших чисел, скорость сходимости, гамма-распределение, минимальный объем набора.
Введение
Закон больших чисел (ЗБЧ) - одна из ключевых теорем теории вероятностей, имеющая важное прикладное значение. Наглядная сеть его проста - среднее значение совокупности независимых (или почти независимых) случайных характеристик при неограниченном росте числа характеристик практически совпадает со средним значением распределения, определяющего формирование значений этих характеристик. Человечество интуитивно применяет этот прием оценки и сравнения значений различных характеристик с незапамятных времен. Создание аппарата теории вероятностей позволило не только строго обосновать правильность этого правила, но и провести научный анализ различных вопросов, связанных с ЗБЧ; в частности, границ применимости - по степени зависимости, однородности характеристик, моментным характеристикам исходных распределений, пространства задания их, по скорости сходимости и др. В данной работе объектом исследования является именно последний вопрос - скорость сходимости в ЗБЧ. Для достаточно «хороших» распределений эта скорость достаточно велика - обратно пропорциональна объему совокупности характеристик, что вытекает, например, из оценок на основе неравенства Чебышева. Однако при малом объеме данных в совокупности характеристик задача знания того, насколько точны и близки к истинным значения, полученные на основе усреднения, становится актуальной, особенно если получение каждого дополнительного значения связано со значимыми затратами ресурсов. Поэтому рассматриваемая задача представляет теоретический и практический интерес. Отметим еще одну важную сферу приложения данной задачи - математическую статистику, где проблема выявления минимального объема выборки, достаточной для получения обоснованных выводов, может оказаться особенно актуальной, поскольку часто получение каждого дополнительного элемента выборки связано с проблемами и значимыми затратами.
В работе мы ограничились достаточно узким, но важным классом распределений исходной характеристики - случаем, когда ее функция распределения относится к классу гам-
ма-распределений. Это позволило, во-первых, получить максимально точные оценки скорости сходимости, что важно для приложений, и, во-вторых, проследить зависимость этих оценок от уровня выбранного отклонения среднего значения совокупности данных от среднего значения исходного распределения.
Существует большое число работ по данной тематике. С классическими результатами можно познакомиться в монографиях [1, 2], среди других работ отметим [3-6].
1. Вспомогательные утверждения
В процессе получения требуемых оценок нам понадобится формула Тейлора с остатком в интегральной форме [7].
Лемма 1. Пусть функция fx) имеет в некоторой окрестности точки х = х0 производную «-го порядка. Тогда для любого х из этой окрестности справедливо соотношение
f (х) = Е « = 0 f /|Х° ^ ( х - х0 i + (й-1)!( х - х0 )И J0 (1 - u )И-1 /(И)( х0 + u (х - х0 )) du. (1)
Из формулы (1) могут быть получены формулы Тейлора с остатками в форме Лагранжа и Коши.
По аналогии с доказательством формулы (1) может быть получен следующий аналог этой формулы для остатка в форме Пеано.
Лемма 2. Пусть функция fx) имеет в некоторой окрестности точки х = х0 производную «-го порядка, которая непрерывна в точке х0. Тогда для любого х из указанной окрестности точки х = х0 справедливо соотношение
f (х )=z;=0 ^kH (х - х0 )k(х - х0)«ф(х - х0), (2)
где
и
ф(х-Х0) = J0 (1 -u)«-1 (f(;)(x0 + u(x-X0))-f(;)(x0))du (3)
ф(x - x0 0; ф(x - x0 0 при x ^ x0.
Замечание 1. В данной лемме наложены несколько боле строгие ограничения на функцию f( ) по сравнению с классической формулой Пеано. Именно, в классической формуле Пеа-но требуется лишь существование производной ;-го порядка в точке х0, а не в ее окрестности, как в лемме 2. Однако наложение последнего ограничения позволяет получить аналитическое выражение для бесконечно малой величины, представляющей собой остаток в форме Пеано. Отметим, что если существует (;+1)-я производная функции f ), то после интегрирования по частям в (3) из (2) получаем (1) с заменой ; на ; + 1.
Доказательство леммы 2. Для простоты изложения примем, что х0 = 0. Общий случай сводится к данному заменой функции fx) на функцию g(x) = fx + x0). Для произвольного k > 0 рассмотрим интеграл
R,
( x ) = Jf (k >( u )( x - u )k-1
Проинтегрировав по частям, получаем:
x x
Rk+1 ( x ) = Jf(k+1) (u )( x - u )kdu = J( x - u )kdf(k ^ (u ) =
= (x - u)k f(k) (u) + k Jf(k) (u)(x - u)k-1 du = -xkf(k) (0) + kRt (x)
u=0
0
0
0
x
т. е.
Rk+1 (х) = -хк/(к)(0) + кЯк (х). (4)
Применив формулу (4) рекуррентно к раз, получим :
*к+! (х) = -хк/(к) (0) - кхк-1/(к-1) (0) - к (к -1) хк-2/(к-2) (0) -... -
,к!
т. е.
к (к -1) •... • 2х1 /(1) (0) + к!^ (х) = -£—/(1) (0)х1 + к! |/(1) (и)Си,
1=1 1! 0
^+1 (х Ь-!^ /(1)(0) х1 + к!(/ (х)-/(0)).
1=1 1!
Разделив обе части последнего выражения на к! и положив к = п - 1, выводим:
1 х п-1 1
-I-{/п (и)(х - и)п-1 Си = .1 /(1) (0)^ + /(х) - /(0). (5)
\п /! 0 1=1 1 !
Отсюда, в частности, сделав в интеграле замену и = ху, после переноса слагаемых из одной части равенства в другую получаем соотношение (1).
Для доказательства соотношения (2) воспользуемся равенством
х п
|/(п)(0)(х - и)п-1 Си = /(п)(0)—.
Тогда соотношение (5) можно переписать в виде
(/«(и)-/п)(0))(х-и)п-1 Си = -!п=1 -1!/(1)(0)х1 + /(х)-/(0),
откуда после замены переменных и = ху выводятся соотношения (2) и (3). В силу непрерывности /(п)(х) в точке х = 0 для любого е > 0 существует 5 = (е) > 0 такое, что как только |х| <5, необходимо
/(п) (х) - /(п) (0) <в, откуда выводится неравенство: тах0£и£1 /|-п-1 (хи)) - /(п) (0)
Последнее означает, что тах0£и£1 /^п)(хи)- /^п)(0) ^ 0 при х ^ 0. Из определения функции ф (х) имеем:
|ф(х)<Ю (1 - и)п-уп\их)-/ (п)( х0)| Си <
< 8.
< тах0<и<1
/(п) (хи) - /(п) (0) 1 ^ 0 при х ^ 0.
п
Лемма 2 доказана.
Следствие 1. Для любого у е [0;п) функция Яп(х) может быть записана в следующем виде:
*п (х )=(п-&(1 -0)' /1+е( х - х-)) •
где 9 - некоторое число, 0 < 9 < 1.
0
(х — х )п
В частности, при у = 0 Rn (х) = --f п (х0 + 9 (х — х0)) - остаточный член в форме
(х — х )П
Лагранжа; при у = п — 1 Яп (х) = ^-у-(1 — 9)п f (п)(х0 + 9(х — х0)) - остаточный член
(п — 1)!
в форме Коши.
Лемма 3. Пусть функция v(x) дважды дифференцируема и удовлетворяет условиям: v(0) = 1 и е"х ( х2 + 2 х ) + v"( х)( х2 + 2 х + 2) + 2у ( х)( х +1)> 0 для всех х > 0. (6)
Тогда для х > 0 справедливо неравенство
1 — ее — <(1 + v( х) ) . (7)
В частности, выполнены неравенства:
х
1 — е~х < 2- при v(х) = 1; (8)
х + 2
1 — е~х <(1 + е-кх )при V (х) = е'кх и любых к; (9)
1 — е~х <(1 + (1 + х)—а) —:+2 при у(х) = (1 + х)—а и а > 1. (10)
Доказательство. Обозначим / (х) = 1 — е~х — (1 + V (х) )- х
х + 2
Так как f (0) = 0, то достаточно доказать, что f'(х) < 0 для всех х > 0, где
Дх) = е-х —(1 + v(х)) * — ^(х)— .
У ' У У '\х + 2)2 ^ 'х + 2
Положим g(х) = е~х (х + 2)2 — 2(1 + v(х)) —v'(х)х(х + 2) = /'(х)(х + 2)2. Так как g(0) = 0, то достаточно доказать ^ (х) < 0 для всех х > 0, где
g' (х) = — е~х (х2 + 2х) — V '(х)(х2 + 2 х + 2) — 2v' (х)( х +1).
Неравенство ^(х) < 0 равносильно условию (6). Первая часть утверждения 2 доказана. Рассмотрим теперь возможные варианты функции v(x).
1. v(x) = 1. Тогда V '(х) = 0 и V ''(х) = 0 для всех х, что очевидно влечет выполнение условия (6) и неравенства (8).
2. v(х) = е(к > 0). Тогда V '(х} = —ке~кх и V ''(х) = к2е~кх, и условие (6) запишется
в виде
или
е~х (х2 + 2х) + к2е-кх (х2 + 2х + 2) — 2ке~кх (х +1) > 0
ф( х) = е(к—1)х (х2 + 2х) + к2 (х2 + 2х + 2) — 2к (х +1) > 0.
Так как ф(0) = 2к (к — 1), то условие ф(0) > 0 влечет к > 1. Поэтому для выполнения условия ф(х) > 0 при к > 1 достаточно выполнение неравенства
ф'(х) = е(к—1)х [(х2 + 2х)(к — 1) + 2х + 2] + 2к2 (2х + 2) — 2к > 0.
В свою очередь, условие ф '(0) = 2 + 2k2 - 2k > 0 влечет k > 1 + ^ « 1,618, и неравенство
Ф" (х) = e[k-1)x [(x2 + 2x)(k -1)2 + 2 (2x + 2)(k -1) + 2~
+ 4k2 > 0
выполняется для всех x > 0. Отсюда, двигаясь в представленном анализе в обратном порядке, приходим к выводу, что при k > 1 выполняется неравенство f (x) < 0 для всех x > 0. Но
при k < 1 = k0 имеем e< e к°х для всех x > 0, что влечет справедливость (9) и при k < k0. Неравенство (9) доказано.
3. v(x) = в~кс2 (k > 0). Тогда v '(x) = -2kxe"fa2 и v ''(x) = e fa2((2kx)2 -2k), и условие (40) запишется как
e~x (x2 + 2x) + e~fa2 ((2kx)2 - 2k) (x2 + 2x + 2) - 4kxe~^ (x +1) > 0
или
ф(x) = e^-x (x2 + 2x) + ((2kx)2 - 2k) (x2 + 2x + 2) - 4kx(x +1) > 0.
Так как ф(0) = -4k < 0 и limф(x) = +<», то при любом k > 0 последнее неравенство
выполняется только для достаточно больших x. Следовательно, функция v(x) = e-(k > 0) не может быть использована в оценках (7) для любого x.
4. v(x) = (1 + x) " (а > 0). Тогда v'(x) = -а(1 + x) " 1 и v''(x) = а (а +1)(1 + x) " 2, и условие (44) запишется как
e~x (x2 + 2x) + а (а +1)(1 + x)-а-2 (x2 + 2x + 2) - 2а (1 + x)-а-1 (x +1) > 0
или
ф( х) = ф( х, а ) = е"х (х2 + 2 х)(х + 1)а+2 + а (а —1)( х +1)2 + а (а +1) > 0. (11)
Заметим, что при а = 1 последнее неравенство запишется в виде
ф(х, 1) = е"х (х2 + 2х) (х +1)3 + 2 > 0,
что очевидно выполняется для всех х > 0.
Так как функция ф(х, а) при фиксированном х возрастает по а, то из последнего неравенства вытекает справедливость (10) для всех а > 1. Наконец, при а < 1 второе слагаемое отрицательно и неограниченно растет по модулю, а первое слагаемое стремится к нулю с ростом х, и, следовательно, неравенство (11) не выполняется. Утверждение леммы 3 выполняется. Следствие 2. Для любого х > 0 справедливы неравенства
ee - <1 -ln I1+xl-i ^du; (12)
2 ' • и + 2
е х < 1+ Л — 21п (х + 2)---—Цат — — 1 ча для любого а > 1; (13)
а — 1 а — 1 (х +1) а (х +1)
е~х < 1 — 1п(х +1). (14)
Доказательство. Проинтегрируем обе части (9) от 0 до х, положив к = 1:
х -(1 - е~х )< £ (1 + е~х )$1--— % Сх = х + (1 - е~х )- 21п (х + 2)- 2^—— Си.
0 & х + 2' 0 и + 2
После приведения подобных членов получаем:
—и
2е~х <2-21п(х + 2)-2Г
У ' ■'о и + 2
откуда следует (12).
Для доказательства (13) проводим аналогичные преобразования, используя (10) вместо (9); имеем при а >1:
(1 - )<Г (1 + (1 + х )-а) Сх - 2 [х —^Сх - 2 [х -1-<
^ ' Г0 ^ ' > Jо х + 2 -<о (1 + х)а (х + 2)
< х + -1- (1 -(1 + х )-"+1)-21п (х + 2)-2 [х-—
а -1\ ^ > ) К ' -!о (х + 2)а
откуда выводим:
< 1 + —--21п(х + 2)- 1121
а -1 4 7 а -1 (х + 1)а 1 а (х + 1)а
что равносильно (13).
Аналогично при а = 1 выводим:
х -(1 - )< I"х (1 + (1 + х)-1 С - 2 Гх—1—Сх - 2 Г %-1--Сх <
V / М V ' Г -Ь х + 2 ->0 (1 + х)(х + 2)
1п (х +1)- 21п ( х + 2)- 2Г %-1-- Сх =
У ' У ' ->0 (х + 2)(х +1)
= х + 1п (х +1)- 21п (х + 2)- (21п (х +1)- 21п (х + 2) ) = х - 1п (х +1),
откуда следует (14). Лемма 3 доказана.
Лемма 4. Для любого Т > 0 и любого 5 > 0 справедлива следующая оценка для интеграла
-21
ошибок I = I (Т) = |т ехр {-х2 }Сх:
" г Г Г л
I <
Т 1
+----тт
2Т2 + 1 2Т2 + 1
/Л • А
2т
ет 2. (15)
& чу
В частности, справедлива оценка:
(* " 2 т2 1
Г е-х Сх < е-Т —. (16)
■>Т 2Т
Доказательство. Сделав замену х = у + Т, после интегрирования по частям получаем:
I = Г е-х2 Сх = е-2 Г" е-2-2УТСу = е~Т'Г"е-2 С (-е^ ) =
Jт ¡т 2Т^Т ^ '
-Т
Т $ (е-" )) У=0 "I: )("2У)" СУ %= (17)
= е'? '-Т (1 "Г е-2* 2 УСУ ).
Отсюда очевидным образом выводится оценка (16):
Т- Г™ —х2 7 -Т2 1
I =1 е х dx < е 1 —.
¡Т 21
Однако оценка (17) бессодержательна при малых значения Т (т. к. неограниченно растет), и поэтому продолжим цепочку преобразований, еще раз проинтегрировав по частям:
I = е-'-1 $1 — 11
Т $1 — 1 ]•; уе'у d (— е-2 'Т )' =
= "1 — Т^2 У"" (— е-2,1)) 1 +1 — 2 '" Уе-2 } 1 $1 — Т /0"(1 — 2'2 У е-='> ) =
= е- — 1 — - и — :
2Т
_Т2 1 1 _ _Т' = е Т----I + е
+ е—Г™ 2' V2 е-2'Td'.
")Т ¿0
2Т 2Т2 2Т2 ^
Получили рекуррентное соотношение для I, откуда находим:
2Т2 —Т2 1 2 г™ 2 '2
I =
2Т2 +
-е—2— "1 + - Г™' V2е-2'Td'), 1 2Т $ Т'
—2 'Т
откуда, оценив е единицей, выводим:
I <■ Т
2Т2 +
1 ' $1+1 ' 7е'' Су
Вычислим интеграл в правой части (18):
/Г ' е'' су =—2 Г
на основе которого (10) переписывается в виде
I <-
Т
(
2Т2 +1
1+Ч1
& ТУ 2 ,
V '
— I е
'=0 ■>0
Л
™2 /0 е-):
1 п 2^2'
Далее, сделаем в последнем интеграле в (9) замену 'Т = т. Тогда
1 Г™ 'V'2е-2'ТС' = -1 Г™ т2е^е^ <Л Г™ т2е^т = Л Г
Т ¡0 Т4 ¡0 Т8Т
е Т е Ст < Т4 J° Т
Отсюда, ввиду (9), следует:
I <
Т
2Т2 +1
1 + -
2Т4
(18)
. . и2е иСи =-7.
8Т4 4Т4
Последнее соотношение, совместно с (11), влечет (6). Лемма 4 доказана.
Следствие 3. Пусть случайная величина £ имеет нормальное распределение с параметрами (а, о). Тогда для любого е > 0 при любом фиксированном 5 > 0
(
Р
^ — а
с
(
>8 1< 2
8
Доказательство вытекает из равенства Р
_ 1 /п
282 +1 + 282 +1V 2
V '
2!,
^ — а
>8 1 = 2 е х £
и соотношения (15).
™
™
-Т
е
1
Т
е
8
е
2. Основной результат
Пусть дана бесконечная последовательность положительных независимых одинаково распределенных случайных величин ; п > 1}, имеющих гамма-распределение с параметрами с > 0 и а > 0, т. е. для х > 0
1 ГХ
F(х, с, а) = Р(^ <х)= — са+1 ¡0 ^е^, (19)
где Р - знак вероятности и Г(а) - гамма-функция Эйлера. Тогда математическое ожидание каж-
а
дой из случайных величин М (^п) = —, где М - знак математического ожидания. В силу закона
с
больших чисел для любого х, являющегося точкой непрерывности предельного распределения К (х / (ас-)), справедливо соотношение
Нт Р
N ^да
"У л
/ - ... п
п=1— < х N
= К (х
(х / (ас^1)), (20)
ч .0, если х < Ь,
где К (х / Ь) = 0 1 ^ - функция распределения постоянной (равной Ь) случайной вели-
если х > Ь
чины. Представляет интерес оценка скорости сходимости в соотношении (20).
0, если х < Ь,
0.5, если х = Ь,
1, если х > Ь.
Положим К ( х / Ь ) =
Справедлива следующая теорема. Теорема 1. Для любого N > 0 выполнено неравенство: а
А. Пусть х >—. Тогда для любого а > 0 и любого N > 1 при Иа > 1 справедливо
с
неравенство
Г, Г 1 ч„ 2 (N а -1)-(1 - я02) - . I -("а-1)- V V > 4У 0 '
/ \ / I 1 \\ 1бе N0. I — I -\"а-1^sо 4 'Л
(х)- К (х / (ас- )) <—. -ехр /--^-0-3е 4 -4-. (21)
I" () ( ( )) Nа -1 Р{ 1 -^ | (Nа - 1)П (1 -О + 2
Если N < а 1, то
FN (х) - К (х / (ас"1)) < е-N(г-а)zNа. (22)
а
Б. Пусть 0 < х <—. Тогда для любого а > 0 и любого N>1 при Иа > 1 справедливо
с
неравенство
FN (х)- К (х / (ас-1))
16 N а__1__1
< пу/ 2^а Ыа.-1 (1 + 71 - (1 - .02)2 2 - .С Х
,-|-(1 + ^2.-2 -1 )"'}е
(N а-1)" (1 - .02)
(23)
х ехр/ -(1 -1) 3-
(N а-1) 4(1 - .02) + 2
Если N < а , то
FN ( z• 1, а)-К ( z / а) <
( ^ )
Г ( Nа +1)'
(24)
а
В. Пусть х = —; тогда для любого а > 0 и любого N > 1 справедливы неравенства:
с
FN (х)- К (х / (ас-1))
242 1
л/я л/^а ' 12^ Т^ЛТ^а '
- +-+
ш
+ е 2 х
ТЖ 1 .
- +--тш
л/2 (Nа +1) Nа +1
2 (^/N0)3
(25)
Если N > а , то
FN (х)- К (х / (ас-1))
2^2
N а 1
N а
ТП Ыa-1 VNа-л/2л(Ыa-1) л/2п\ Ыa-1 ^а-1 1
+--тт
^^ N а
£
2 (д/N а-1)
11
+--,
2 N а - Г
(26)
//
где FN (х) = Fы (х, с, а) = Р
"У "Ц
N
<х
хс -а и .0 = , ' =1= < 1.
^а2 +(хс )2
Доказательство. Прежде всего отметим, что без ограничения общности можно считать, что с = 1. Действительно, пусть z = х • с. Тогда из (19) после замены переменных ^с = и имеем:
Р (Ъ < х) = —1—— Г (сГ)а-1 е-*С (с) = —1—— Г" и°-1е-иСи = Р (сЪ < сх), ^ п ' Г(а)Г0 У ' У ' Г (а) Г0 ^ Ъп ''
или, если обозначить пп = сЪ,п, п > 1,
1 г
Р(Ъп < х) = Р(Пп < z) = К^С = Fl (z•1• а).
Отсюда выводим:
FN (х, с, а) = Р
"У" сЪ, N
< сх
\ " ^ N
= Р у п=1Пп
N
< z
= ^ (z•1•а)-
Итак, без ограничения общности полагаем с = 1. Так как сумма гамма-распределенных
Еы
п1 пп имеет
гамма-распределение. Найдем его параметры. Второй параметр является суммой вторых параметров случайных величин пп по всем п от 1 до N т. е. равен Ыа. Тогда математическое ожида-
п
^ы
N а
Х-*™ ^уа „ „ „
ние случайной величины У Пп равно -, где LN - первый параметр этой случайной вели-
чины. С другой стороны, М (у^ Упп) = У п=1 У „=1М (пп)=ы = Ыa• Получаем равенство:
<
1
х
2
«а-1
1
2
е
х
х
3
N а
-= N а, откуда находим значение первого параметра CN = 1. Таким образом, случайная веСы
личина ^ пи имеет ФР F (х, 1, Ма). Отсюда выводим (см. (19)):
О
" N ) 1 м
(М, а) = Р $£п„ < N2 ' = F (N7,1, N а) = ^^ [ "^ ,
что после замены переменных ' = № дает
1 сг
FN (2,1,а) = —-——-NNа Г и^е-Nudu. (27)
^ " ' Г(Nа) ^
а)
Найдем максимальное значение функции ^^е'№, входящей в состав подынтегральной функции в (19). Пусть N достаточно велико, так что Na > 1. Имеем:
(иЫаЛе-Ыи )' = и^е-" (N а — 1 — Ш ) = 0, (28)
откуда выводим: и* = а--> 0 является точкой экстремума. Так как из (28) следует, что
N
(иЫа_1е~ш) > 0 при и < и* и (иЫа_1е~ш) < 0 при и > и*,то точка и = и* является точкой максимума.
Пусть вначале 2 > а . Тогда К (г / а) = 1. Заметим также, что после замены переменных V = ^ получаем:
Г ( N а) N ~Ыа = N-ш Г™ vNа_V Vdv = ^ и^е'
С учетом последнего равенства и соотношения
Г (N а +1) = N а Г (N а)
имеем:
( г Д а) — К ( г / а) = , (29)
где
А1 =
иЫа_1е-ЫиСи — Г (N а) NК (2 / а) = ^и^е^и. (30)
Рассмотрим вначале случай ^ < 1. Выберем произвольное 0 е (0; N) и преобразуем интеграл в правой части (30), сделав замену V = 0и :
= е^^*г™ vNа_1e-Vdv < e-(N_e)г0_^Г(Nа)
или
Г™ ^^е-< Г (N а) е" Нгевг—Nа 1п(0). (31)
Так как 0 произвольно, то найдем такое значение 0, при котором правая часть в (31) принимает минимально возможное значение. Функция h (0) = 0г — Na 1п (0) достигает своего ми-
,,/аЧ Na Na нимального значения при выполнении условия л (0) = г —— = 0, т. е. при 0* =-. Поскольку г > а , то 0* < N. Отсюда вытекает, что минимальное значение выражения eeг_Мa 1п(0) равно ( ^а
e*z_Na 1п(0*) Мa| г 1
е = е | —— | , что позволяет переписать неравенство (31) в виде
V Na '
/ \Ыа
Г™ и^е-^Си < Г ( N а) е"^ г _а) ( — %
N а '
Ввиду (29) и (30), находим:
( \
\FN(z,1,а)-K(z/а) =——а--NNa+1r(Na)e~N(z-a)|^ | = eN^a>zN
1 NV ; v Г ( N а +1) v ' & N а '
_а_^а*1 Г ( М« ) е-N (г _а) I — 1 = е" (г _а) N
Г ( N а +1)
что влечет (22) после замены г = хс .
Рассмотрим теперь основной случай Na > 1. Так как г > и* = а — N_1, то подынтегральная
функция ^^е^ при и > г убывает.
Для оценки интеграла в правой части (30) воспользуемся формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной форме (1): для любых и и и0
2
ln(u) = ln(u0) +—(u -u0)-(u-f-T-—- dт.
W V ! u0 (2 -1)! J0(u0 + т(u -u0)
На основе последнего соотношения из (30) выводим:
Д1 =| expj(Na-1)ln(u0) + (Na----1 (u -u0) + N——1 (u -u0)-
U0 а '
-( N а -1)( u - u0 )2 f -^—-— d т- Nul du =
v д 0} f0 (u0 + t(u -u0))2 j
= (u0 )Na 1 e~Nu° f exp / -( Na - 1)(u - u0 )2 f -'1т—-т^г d т-—(u - u0 )j dv.
V 0) Jz V /V 0) J0 (u0 + т (u - u0 ))2 aV ,\
Примем u0 = a. Поскольку u - u0 > 0, то после замены v = (u0 ) 1 (u - u0 ) и подстановки значения a вместо u0 из последнего соотношения получаем:
j; exp j-( Na -1) v2 (u0)2^ + - гт0 v)2d т - v }dv = e-N aj; exp j-( N a-1) v2 £
= aN<VNa Г exp / -(Na -1) v2 f ' 1 т dт - v l dv.
(32)
'(1 + т v )2
После замены переменных ' =- (откуда т =-) получаем:
1 — т 1 +'
1-1 1 — Т Г™ 1
Г -7 С Т = \ 7-т-7-т-7-гт С'. (33)
^ (1 + тV)2 ^ (' +1)(и (' +1) + '(и — и0))2
На основе последнего соотношения из (32) выводим:
Д1 < а ^е^ Г™ ехр /—( Na — 1) V2 Г™------1---— С' — VI dv. (34)
1 Гг ^ ' Г0 (' +1)(и0 (' +1) +'(и — и0))2 \ У '
Ввиду неравенства (1 + аЬ)2 < (1 + а2)(1 + Ь2), имеем: (1 + г(1 + у))2 <(1 + г2)(1 + (1 + у)2), на основе которого из (33) получаем:
г" 1 Г" 1 ,1
\ -т Сг<-! --г- Сг--.
30 (г+1)(1 + г(1 + у))2 3о (г+1)(1 + г2) 1 + (1 + у)2
^ 1 1" 1 г -1 I
Поскольку (г+1)(1 + г2) = I $ 7+1- 7чГ 1, то
г" 1 1 "" Гт 1 гт г -1
! -т-7 Сг = - Нт II ! —Сг - ! -
^ (г +1)(1 + г2) 2г +1 0 1 + г
= ^Нт 2 т
" " Т , 1 # #
(35)
1п
& &
Т +1
фт2 +1
+1'
что позволяет вывести из (34) неравенство
+ агС£ (Т )
Д1 < а Ыae~Ыa Г" ехр ]-( Nа- 1)Пу2-1-- - у1 Су. (36)
1 -1 [ ^ 4 1 + (1 + у)2 \ " '
Для оценки последнего интеграла сделаем замену у = .-. Тогда у изменяется от
л/1+(1+у )2
^ -1
а z у0 = == (соответствует у =--1) до 1 (соответствует у = "). Выражая переменную
1 + ' Z
2
а
а
у через у из замены переменных, получая два решения квадратного уравнения, выбираем
.2 +^2.2 - у4 2 - 52 +1
у =-2-, поскольку в этом случае у' = 2--■у > 0 для всех у е (0; 1). Тогда
1 - . (1 - .2) >/2 - у2
интеграл в (36) перепишется в виде
J =Г" ехр/-^а- 1)—у2-1-2 - у1 Су =
^ 1 ^ 4 1 + (1 + у)2 3
1 -(N„-1)4/ I ^ +у/2.2 - / 1 ^У—у2 + 1
22
(37)
р1 -(«а-^-у I у + ^2У - у ^2 - у +1 ,
■ 2! е 4 ехр /--2-3-_ , .Су.
Гу0 1 - у
1 - .2 I (1 - .2) л/2 - .2
Производная функции g (у ) =-1—^ ехр / —3 = ехр / -21п (1 - у2) — У
(1 - у 2Г I 1 - у I I у ' 1
(1 - у2)
2 ^ I 1 - у 2 | у )-тгуг I равна
ехр /-21п (1 - у2 2з.
1 1 ' 1 - у2 3(1 - У2 )2
Следовательно, в области у > 0 функция g(s) достигает своего максимального значения при у = V1/2 , что влечет оценку g(у) < 4е- для всех у е (0; 1) . Последняя оценка позволяет переписать (37) в виде
1 ,1 -(Na-l);V I
, («1 -(ла-1 ьу
J < 4е Г е 4 ехр
^0 I 1 - у
21
2
1
у +
2
&
уСу.
4
Очевидно, функция 5 + , 1 = возрастает, поэтому при 5 е[0; 1] эта функция
л/2 — 52
не превосходит величины 1 + . 1 - = 2 . Далее, т. к. производная
л/2 — 12
?л/2 — 52 #2 . 5л/2 — 52 2
=-2 . > 0, то функция ехр Г--2-3 убывает по 5 и, следова-
ч У (1 — 52) л/2 — 52 1 1 — 5 4
тельно, не превосходит своего значения в точке 50. С учетом сказанного, последнее неравенство
можно переписать в виде
5Л/ 2 — 5
"Г7
I Г1 _(Мa_1)^
3 < 8е_1ехр / —-^—^-^ е ^ 5С5 =
1 — 50
_1 I 5^2 502 I 1 = 8е ехр /--^-2 1
2 2 1 " _(Na-1)П502 _ -(Мa_1)П)
1 — 50 1( Na — 1) '
Воспользовавшись (10), отсюда выводим:
3 16 1 Г 2 1 ^(N-1)1502 (N а_ 1) 4(1 _ 5^) (38)
3 < 16е ехр/--2-2-3-е 4 ---. (38)
1 _ 50 4 (N а — 1)п (N а —1)^4(1 — 502) + 2
Из (36) и (37) на основе (38) выводим: при N а > 1
д < N а - N а ^ Г ^./^У 1 ^ а—1)^ (N а_ 1) 4(1 _ О
Д1 <а е —--- ехр Г ——5-^ 4 ---
2
1) 1 1 — 50 1 ^а—1)П(1 — 502) + 2
На основе (29) и (30) из (29) находим:
(г,1,а) — К(г/а)|<—^--^^а^е^а 16е '
Г (Na +1) п( Na — 1)
п
5 2"Г7 2 ( 2 (Na — 1)-(1 — 502)
, 5^2 — 50 I —(!Va—1)--502 V ! 4^ 0 >
х ехр > " 4
1 _ 50 1 (N а —1)4(1 — 502) + 2
Воспользовавшись формулой Стирлинга [8, с. 371]:
Г ( N а + l) = л/2лNa "— где 0 < 0( N) < 1, из последнего неравенства получаем: при г > а и N а > 1
/а +1) = ^2пма$ —#М"ее(м)/(12м>,
( 1 ) К ( / ^ 16е-' N а | -(мa—^ (N а —1) 4 (1 — 502) (39)
^ (г,1, а) — К (г / а) <—. -ехр Г------3 е 4 ---,(39)
1 М ' У Л п^ьНа N а — 1 М 1 — 502 | 7
1 (N а — 1)-(1 — 502) + 2
откуда после замены г = хс вытекает (21).
а
Теорема 1 для случая х > — доказана.
с
5
Пусть теперь 2 < а. Тогда К(2 / а) = 0 и соотношение (29), ввиду (30) и определения функции К( ), перепишется в виде
1 г№ , а
К (2,1,а) _К(2 / а) =—-——- [ 2 ^е^й» = —---^^Д,, (40)
1 ^ ' У п Г (N а) ^ Г (Nа +1) 2
[2 Nа_1 _ Ж
где Д2 = |о и е
Д2 =Ю
Рассмотрим, как и выше, вначале случай N а < 1. Из (40) после замены переменных t = N2v получаем:
и.а.-Аи/СХ)-^ Г1 vNа_1e-NZvdv < 1 ( N2)- Г = ^
К (2,1, а) _ К (2 / а^-^Ц- [1 у^е-^Су <—^ (N2 )Nа Г1 у^йу
Г (N0)*0 Г (' ■><> Г (Nа +1)
что после замены 2 = хс влечет (24).
Рассмотрим общий случай N а _ 1 > 0. Из определения Д2 , аналогично (32), получаем:
" 1 1 #
Д2 =( и е~ |;ехр 1) -1 (и _ и, )_
& и0 а'
_(Жа _1) (и _ и0 )2 Ц и+Т("и _ и0 ))2й т _ а(и _ и0)!
*0 ,-т(и _ и0 ))2 а
Полагая и0 = а и сделав замену у = и—и(> 0), имеем:
ехр/_(Nа _1)у2 (и0)2 Ю
Д2 = аNае^а [' 2ехр/"^а" 1)у2(и0)2 Г1-1 Т 2йт~уIСу.
1 0 (и0 _ и0ту) 4
,-т Т t .
После замены t =- во внутреннем интеграле, имеем ( т =-):
1 _т 1 +1
Г1 1 _т , гм 1 ,
I -—тС Т = I -гй».
^ (1 _ту)2 ^ (»+1)(1 +»(1 _у))2
Ввиду неравенства (1 + аЬ)2 < (1 + а2)(1 + Ь2), получаем:
р! 1 _ Т 1
1 ^^ Т>[ (41)
Ч1 _ТуГ ^ (» + 1)(1 + »2 )(1 + (1 _ у))2 Используя (35), соотношение (41) можно оценить в виде
р1 1 _Т - 1
-й Т>-
30 (1 _ту)2 4 1 + (1 _ у)2' что позволяет из (41) получить следующее неравенство:
2
Д2 = а^е-^ [1 2 ехр | _ (Nа _ 1) у2 --1-- _ у 3 йу.
[1_2 [ ^ } 4 1 + (1 _у)2 3
V
По аналогии со случаем г > а (см. (36) и далее) сделаем замену 5 = . . Тогда
Ф + (1 _ V )2
1 _ г
аг 5 изменяется от 50 = == (соответствует V = 1--) до 1 (соответствует V = 1).
V
1 +■г
2
а
а
Выражая переменную V через 5 из замены переменных, получая два решения квадратного
_ —52 +>/25 2 — 54
уравнения, выбираем V =-2-, поскольку в этом случае
1 — 52
(252 — 54 ) — 54 52 1
V =-Ц-\ Ч = 2-,-5 , =-,-. 1 , (42)
(1 — 52 ) (52 +4252 — 54 ) (52 +4252 — 54 ) (1 + 425_ — 1)
1—5%/2—52
возрастает с ростом 5. Поскольку V = 2-2 . ■ 5 > 0, интеграл в (41) перепишется в виде
(1 — 52) л/2 — 52
Д2 = а ше-ы° {ехр Г — (Na — 1) 52 п - -
2 П —52 +4252 — 54 К 1 —
1 — 5 2 — 52
4 1 — 55 | (1 — 52 V 72 — 52
(1 — 5 2 ^
-5С5.
„ 1 _ 5л/2 — 52 1 — 252 + 54 1 _
Поскольку --— =-—-. . =-. — убывает,
(1 — 52 )2 (1 — 52 )2 (1 + ^л/2—Т7) (1 + 1 _ (1 _ 52)2 "
—52 +у/252 — 54
а -2-= V возрастает с ростом 5, то из последнего выражения с использованием
1 — 52
равенства (42) получаем:
Д2 < 2 а^е-^ -- 1 ехр
(1 + у11 — (1 — 502)2 )
(1 + ^ 25°-2 — 1)
£ехр |—( Nа — 1) 5^
— (Nа — 1)52 п} , 1 2 5С5 <
< 2^^"(1 ^ 1 — _ 502)2 у 2 ^ V ^{_(1 + ^Г }1ехр^На _ 52 7}
или
N а — N а 1 С . __, _1 ^ ( г 2 /хг
^ 1 1 ' 1 4 11 (N^1)—50 _(Na_1)-
8 Na _Ыа 1 { _,_12
Д2 (1 ^ 1 _ (1 _ ^ 2 _ 502 ехр И' + }
— е
На основе последней оценки и (40), аналогично выводу (39) получаем:
\Т7 I 1 \ / \\ 16 N а 1
^(г,1,а) — К(г /а) = —, -7--,--х
1 М } ^ П ^^/2ПМa Na — 1 (1 + ^ 1 _ (1 _ ^) ^
.........п (1 5 2\ (43)
{—(1 + ^ 25—2 — 1 ^ е
2 4 , _(мo_l)—502 (Na —1) 4С — 502) х ехр /—(1 + у125°°2 — 1) } е 4 4
(N а —1)4(1 — 502) + 2
откуда после замены г = хс вытекает (23).
1
е
Рассмотрим теперь случай 2 = а . Так как — = .— [ехр. - — 3 йх, то ввиду (27) и опреде-
2 л/2п 0 0 2 \
ления функции К( ) получаем:
FN (2,1,а)- К(2 / а) =
Г ( N а +1)
-NA
1Г
.И а_1 _ Ш,
и е с
2—[<т ехр/^зСх
V2-
х 2
Воспользовавшись формулой Стирлинга, преобразовав интегральные выражения аналогично выводу (32), из последнего соотношения получаем $ у = — (и - и0) #:
а
К (2,1,а)_ К (2 / а) =
^а _ N а
а е
[>р |_(^^ а -1) у2 £
——С т- у I СУ - — ( 2
(1 _ ту Г
нм а+1а ^^^а
л/2——N
а
N а
е
е( N )/(12№)
[01ехр {-(* а—1) у2 £ (^с т_ у }* ехр {
- —} Сх 2
(44)
Для оценки сверху выражения (44) рассмотрим разность
51 = = [
10 ехр/-(N а _1) у2 [0 (1С е~Чу -[>хр{-(N а-1) у2 ^ (1 -т) й т} е^ёу
1 _(N а_1)у2 |(1_т)ст
1 - ехр/-(N а-1) у2 I [0 С т-[0 (1 _т) й т
Су
(45)
Воспользуемся леммой 3 для проведения оценок в (45). Из трех представленных вариантов оценивания, приведенных в лемме 3, выберем неравенство (8) для оценивания ввиду его простоты, хотя оно в 2 раза завышает асимптотический порядок в отличие от (9) и (10).
Оценим сверху разность интегралов в последнем выражении в (45). Имеем (0 < у < 1):
0 <1
0
1 1 — Т
О7-?
С Т_[> _Т) С Т = [
¡•1 (1 _т)ту (2 — ту )
(1 — ту )2
с т.
(46)
Отсюда, после последовательных замен переменных q = выводим (обозначено р = 1 — у ):
1-_- (т = ), »= (1 - у) д, 1—т д+1
1
1 (1 -т)ту (2 -ту )
с т = [
0
ду ( 2д + 2 - ду )
Г(1 -р)( 2» + 2р -»(1 -р))
0
(1 --у) 10 (д+1/(1+д (1 - у)) (»+ р)(1 -р)(»+ 2р + »р)) г 1 -р
г
0
' +
г
0
(»+р) (1+») (1 -р)р л
' <
(47)
(»+рГ(1+») ^ (»+р)(1+») ^ (»+ р)>+1)
Разложим на простые дроби подынтегральные выражения в последних двух интегралах:
1 -р 1 1 1-р ---=---1---1--— •
(»+р)(1+»)2 »+р »+1 (»+1)2'
1
е
-V
е
е
[
да
0
(1 _Р)Р = 1 + (1 _р)(2р +1) __1_
(' + р) (' +1) ' + Р (' + р) ' +1
Отсюда вытекает:
1 — Р
^ ('+р)(1+'у
—(—рР—dq = Нт (' + р)2 (' +1) т
= 1im
"т+1 #+(1 _Р)Г1 — 1
1п
V &
т+Р
т +1
1п
т+Р
Т + ]
1 1 + С — Р)( 2Р +1)
11
Л)
Р т + Р
= 1—р;
(1 — р)( 2р +1)
/у
что позволяет оценить интеграл в (46) с учетом (47) в следующем виде:
,1 (1 _т)ту(2 — XV) , (1 _р)(2р +1) 1 „1 -р , чр + 3 4_V
^ ^-'-—^-'-Ст< 1 -р+^——'-< 1 _р + 3—= (1 -р)^----
Г0 (1 -xv)2 Р Р ^ ' Р
1 _ V
На основе последней оценки из (8), полагая
2 р1 1 — х
(•11 — Т (*1
х = X = (Na — 1) V2 ^-^х —J° (1 — Т)С
'С _ ™)
— туи т
с учетом того, что минимум функции 2v — V2 + 2 на промежутке V е [0; 1] достигается при V = 0,
выводим:
1 _(Мa_1)v2 J(1_т)dт " 2 ) 1 _(Na_1)v2 J(1_x)dт
51 < 2Г е 0 е_ И--Idv < 2Г е 0 е~
1 ^ I X + 2 I м
1—
2
4 —
V--+ 2
1 — V у
dv =
(48)
= 2 Г е .ю
1 _(мa_1)v2 Г(1_т v ( 4 — v)
« 0 а-*_Ь_>
2v — V2 + 2
dv < 2 Г е ¡0
_(Мa_1)v2 /2 —V
е у 2vdv.
Далее, как и выше, рассмотрим два случая: N а > 1 и N > 1. При N а > 1 после замены переменных у = ^¡Na"Tv получаем:
я 4 Г -У
5, <- е
N а —
1 }е 2 УСУ:
4
N а — 1
Из (44) и (45) выводим следующую цепочку оценок:
FN (г,1,а) — К(г / а) <
NN а+1а Мa+1e-N а
^/2лNа
Nа
"51 +
е
0( N )/(12 N)
+
NМa+1a N а+1е" N а
^/2лN а
N а е
е
0( N )/(12 N)
2
£ехр{—( N а —1) V2 ЮС — x)d т} е~"<Ь —е" ^ Л
<
^а й
<Ж51 +
^/м0
51 +
_0( N )/(12 N)
720J°exp{—(Nа —1)V2ЮС — x)dx}е^ —е 2Л
•\/2л 1 л/2П
0(м)
— 1
1 _(Na-l) ^
е
e-Vdv +
Nа г1 _(^-"Ь _„ ,
е 2 е dv —1= I е
727 ^
-\/2п
Г1
.)0
1 Г™
/-Пj°
(49)
(50)
т
Г
0
Р
е
<
х
2
е
0
Ввиду неравенства у = \/№—1у
2
I1 е_N а—1) Т е^йу = , 1 Г ^ ^а- И0
e 2 e VNa-1í
из последних неравенств имеем:
4Ña VÑa
^(z,1,a)-^(z/a) < ,— 51 +
-\/2л 1 V2n
9( N)
12 N - 1
VN a-V2n
1 !■« a-1 Jo
V2n
2V Na -1
2ylNa -1
+
J0 e-Na-1)T(1 - e~v)dv
Т2П
+
+
VNa f! -(Na-1)-
I e
Jo
V i x
2 1 Г«--
2 dv —¡= e 2 dx
V2n Jo
(51)
Оценим каждое слагаемое в правой части (50). Пусть вначале N а > 1. Тогда из (49) следует
л/№, л/Йа 4
2^2 yfÑa
л/2— 1 72— Nа -1 V— Nа -1' Для оценки второго слагаемого воспользуемся неравенством 1 — е~х < х (х >0):
VNa
е(N)
-1
Т2П
N a
2V N a -1 v N a -112N
(52)
(53)
Аналогично оценивается третье слагаемое (у = V Na — 1у ):
Na (*1 -(Na-1)v
-jo
(1 - е-)dv
ур2—
Оценим последнее слагаемое:
VNa (*1 -(Na-1) — 4Na < —I е 2 vdv = —¡=-л/2п Jo V2n Na -
—f
t-1Jo
e 2 ydy <
Na
N a-1)
. (54)
/Na f1 -(Na-1)v-
Ie
V2n Jo
1 x
1 (*«--
2 dv —¡= e 2 dx
0
л/2П ■
0
VNa 1 p V2n VNa-1Jo
i x2
1 r« —
= e 2 dx Jo
<
/N a 1 Г ЛП JNa-1 J-
a У
T,
1 да x
' + .— Je 2 dx
N a N a-1
-1
л/2— V Nа-72—; Воспользовавшись неравенством (15), из последней оценки выводим:
/№ Г1 -(Na-1)V
J1
Jo
^ dv -J-
"л/Na-1 1 . "
-;=--1--min
V2Na Na
ё
f jo
e 2 dx
1
Na
N a -1
##
1
+ —
2
1 + -
1
N a-1
1 Л
2
-1
2 (^ N а — 1)
Ввиду неравенства (для а < 1) (1 + х)а -1 = а^ (1 +»)а С < а^ 1сС» = а х, получаем оценку:
л/2п Jo
х
1 -(Na-1)— 1 pa
e 2 dv —¡= e 2 dx •Ш Jo
1
N a
Na-1 2
VNa-1 1 .
+--min
л/^Na Na
л/2п V Na -1
##
(55)
1
2 (^Na -1)
11
+ —
2 Na -1
y
y
y
2
e
e
1
e
y
y
Na-1
2
e
<
e
х
1
х
3
2
Из (51) на основе (52)-(55) выводим:
I , , V „/ . ч| 242 4^0 I N а 1 (г,1,а) — К(г/а) --+--+
^/Ма
+ -
4л Na — 1 V Na — 1 12N 72л (Na — 1) 727 V Na — 1
N а
^а — 1 1
+--min
^/2Na Na
№
Л)
2 (у/ Nа — 1)
11
+--,
2 N а — 1
'У
что совпадает с оценкой (26).
Рассмотрим теперь случай N > 1, включающий также случай N а < 1. Из (48) имеем:
51 < 2£
< 2| е-^е""^2
2vdv < 4 Г1
0
< 4Г е ^ " /2vdv,
0
откуда после замены у
= ^¡Nav
получаем:
51 <
N а
(56)
Неравенство (51) перепишем в виде
1т- / 1 \ ът( / М ^/Мac ^ (г,1,а) — К(г / а) +
\/2п 1 \/2л
6( к)
— 1
<•1 — Мa— —VI 1Г е 2 е
dv +
+
^/Na г
2 (
V
Г е
.10
1 — е
dv
+
4 N а Г1 —N а-
Г е
0
л/2п
— 1
2 ^ — ^ I
42л-
0
(57)
Аналогично (52)-(54) модифицируются оценки в (57). Именно, второе слагаемое в последнем выражении в (50) оценивается следующим образом (у V):
^/N0
42П
е( N)
— 1
е "а т Л1—2) dv < J е
е 2 е
0
42П 12 N
^ N0 — 1
2 а»—
0
Л/^О 12N'
(58)
Для третьего слагаемого получаем следующую оценку:
42л
(1 — е
лЦа 1 г1 _к«^ (, V) , лЦа 2 с _мa— , < ,— е2 е 2 V11 —I dv < ,— е2 е 2 vdv <
^ 1 21 -/"л ^
1 V-
- (-1 _ N0— 22
42л
(59)
<
/N0 1 г^
Г0 е 2уСу^Т^ТПО
42л N0 ы 42л4~Na '
Четвертое слагаемое в (57) оценивается на основе (15) следующим образом (см. вывод (55)):
N0 1-1 _ N0^- 1 ,™ _хг
е 2 dv —¡= е 2 Сх
0
42л
(
42л-
^/Na
<
N а 1
42л 4Na
(
+ -
>/2 (N0 +1) N0 +1
Из (57) на основе (56), (58)-(60) получаем:
-тт
/л_1
\2; —7г!
<
м
1
л/2л
е 2 х
(60)
2 (^/N0)"
^ ( г,1, а) — К ( г / а)^^0— + — +
1
+
1
42л N0 12N 42л4 N0 42л
( Г- ))
е 2 х
+
1
>/2 (N0 +1) N0 +1
-min
1л _1
\2; 2Т^
2 (^/N0)'
что влечет (25).
Теорема 1 доказана.
N а—1
1
2
е
х
1
х
3
4
V
2
0
V
х
V 1
1 — N0
™
2
2
2
е
1
е
V
2
е
у
J
2
е
1
х
х
Замечание 2. В оценках (21) и (23) константа 16 может быть заменена на 8, если отбро-
сить последним множитель
(N а-1)4(1 - ^2) (N а-1)4(1 - ^2) + 2
в этих оценках. Это следует из оценок при
выводе (38) и (43), если не пользоваться неравенством (10), а просто отбросить последнее экс-
поненциальное выражение е
-(N0-1) 4
. Однако при указанном оценивании теряется дополнитель-
ная зависимость от х, входящая в указанный множитель, что в ряде задач может представлять интерес. Наконец, вместо (10) можно воспользоваться (11) или (12), но при этом усложнятся и без того громоздкие оценки (21) и (23).
Замечание 3. Как видно из теоремы 1, во всех случаях, кроме случая х = а / с, скорость сходимости имеет экспоненциальный порядок, причем эта скорость сходимости определяется
величиной
хс
--1
а
То есть чем ближе хс к параметру а, тем медленнее сходимость.
Случай х = а / с соответствует ситуации, когда рассматривается значение функции распределения суммы в точке скачка предельного распределения - в этом случае ее аргумент равен среднему значению, к которому, по ЗБЧ, сходится усредненная сумма. При х = а / с скорость
сходимости наиболее слабая: имеет место порядок где N - количество случайных слагае-
мых в сумме. Таким образом, интегральная оценка скорости сходимости, не зависящая от х, определяется случаем х = а / с. Именно эта скорость сходимости обычно рассматривается во многих приложениях ЗБЧ, в частности, при имитационном моделировании. Последнее обстоятельство порождает значительные проблемы при практическом использовании методов имитационного моделирования и получении результата с заданной точностью, особенно когда исходная имитационная модель громоздка и требует больших временнь1х или ресурсных затрат при моделировании. В этом случае для увеличения точности результата на один порядок необходимо увеличить число итераций при моделировании в 100 раз, что часто практически неприемлемо.
Непосредственно из теоремы 1 нетрудно вывести следствие 4.
Следствие 4. Для любых а> 0 и с > 0 и любого х > 0 справедливо соотношение
Нт
^ ( xN; аN; с ) = К (х / (ас"1).
Напомним, что класс гамма-распределений обладает следующим свойством замкнутости: если случайные величины £ и п независимы и имеют гамма-распределение с параметрами
(а; с) и (в; с) соответственно, то случайная величина ^ + п также имеет гамма-распределение
с параметрами (а + в; с). В силу данного свойства, если случайные величины {^п; п > 1} неза-
N
висимы и имеют гамма-распределение с параметрами (а; с), то сумма У^п
п=1
имеет гамма-
распределение с параметрами (аN; с) . В силу данного свойства случайная величина имеет распределение
'у и 4
у Nzn
N
Р
N
■ < х
= ^ (Ш; аN; с),
что на основе перехода к пределу при N ^ да в утверждениях теоремы 1 влечет утверждение следствия 1.
Следствие 5. Справедливы следующие предельные соотношения:
Нт
N -^да
ехр<
1 - 50
-(^/2-502 -ю)1\/2пУае^
(N а-1) 4
(
Р
у Ч
N
\
< х
К (х / (ас- ))
< Р,
5
5
0
2
где R не зависит от х, ш = 1 при хс < а, ш = 0 при хс > а, и
V1
R =
если хс > а;
8
—, если хс <а; п
3, если хс = а.
Замечание 4. Отметим, что в случае хс = а , определяющем скорость сходимости в общем случае без учета значений х, из следствия 5 следует неравенство
Нт
N ^да
р "у ^ ^ / - . .. п -< х 1 #
N 2
V & '
3
л/2п
= 1,187.
Доказательство. Следует из (21), (23) и (25) с учетом замечания 2, оценок
< 1 и равенства 50 = 0 при хс = а.
2
< 1,
-
(1 + >/1 - (1 - *02)2 )
Оценки (21)-(26) имеют достаточно сложный вид, что усложняет их практическое использование. Поэтому ниже, в следствии 6, приводится их более грубая, но упрощенная версия. Следствие 6. Пусть N а > 2 . Тогда справедливы неравенства:
а
а) при х > —
с
FN (х)- К (х / (ас-1))
<
16е_1
2пN а
ехр<
1 - 50
б) при 0 < х <
а
FN (х)- К(х / (ас-1))
16е"
-(N0-1^ V
п\] 2пNа
а
в) при х = —
с
FN (х)- К (х / (ас-1))
2,5^2 +^°л/2 +1 е-1 $1 +.Е 24 2 \2
3. Оценка параметра объема гамма-распределения на основе заданного требования по точности приближения
В предыдущем разделе получена оценка для скорости сходимости в ЗБЧ. Однако во многих приложениях часто приходится решать обратную задачу: необходимо найти наименьший набор случайных величин, такой, чтобы среднее их значение отличалось от точного с вероятностью не меньше заданной величины. Например, указанная задача очень важна при имитационном моделировании: найти минимальное количество итераций - такое, чтобы точность результирующей средней оценки не превышала заданной величины.
Формализуем указанную задачу в рамках рассмотренной выше постановки ЗБЧ. Пусть бесконечный набор ; п > 1} независимых одинаково распределенных случайных величин,
имеющих бета-распределение с параметрами (а; с); заданы точность ошибки 8 > 0 при ис-
п
1
2
1
0
е
с
<
е
1
<
пользовании средней оценки в качестве результирующей и величина уровня доверия 1 -е к конечному результату, где е > 0 близко к нулю. Тогда одна из классических форматизаций рассматриваемой задачи формулируется следующим образом: требуется найти наименьшее число N - такое, чтобы
(
Р
у
¿-)п=Р п
N
- М (^)
Л
>5
<е.
(61)
а
Заметим, что М (^ ) = М (^п) = — для всех п > 1. Соотношение (46) может быть переписано следующим образом:
Р12Х >N+ 5#1 + Р"^п <N
< е
или
1 - К
а
+ 5 I, с, а
Л ( + К,
а
-5 1, с, а I =
К
а
+ 5 1, с, а
- К (х
(х / (ас4 ))
+
+
К
-б', с, а#-К ( х / (ас-1))
<е.
Последнее неравенство выполняется, в частности, если выполняются одновременно следующие два неравенства:
К + , с, а' - К(х / (ас- )) К (х / (ас"1))
""а 5# ^
--о I, с, а
е
< 2
е
< —. 2
Как видно из следствия 6, все полученные оценки для разностей
К (х)- К (х / (ас-1 ))|
при N а > 2 представимы в виде
К (х)- К (х / (ас-1))
А
< 1 е-К2Т,
где Кь К2 - некоторые неотрицательные константы и Т = N а. Именно (50 =
^ 16е | 50 | -л ^ п 2 а
К1 =—т= ехр /-—3 е4 ; К2 =- 50 при х > —; 2п I 1 - 50 I 4 с
хс -а
у/М
22 + а
.. 16е-1/2 п502 ^ п 2 Л а
К1 =—пГ'е4 ; К2 =т50 при 0 < х <-; п\12п 4
с
К =-
2,5^2 +1 е-1 "1+ ЛР
24 2 V 2
+ — е 1 + 2 . -
Л
а
; К2 = 0 при х = —.
И=1
И=1
с
с
с
)
1
Тогда поставленная задача сводится к нахождению минимального решения неравенства
<К{[ <8, (62)
где 8 > 0 - требуемая точность конечного результата и для замкнутости множества решений неравенства мы заменили строгое неравенство на нестрогое. Отметим, что при —2 = 0 решение
неравенства (62) дается соотношением Т > &—1 % . Поэтому ниже предполагается, что К2 > 0 .
При известных значениях констант —ь —2, е имеются достаточно эффективные алгоритмы численного решения неравенства (62), что важно для многих практических применений полученных результатов; в частности, для решения задачи (61). Однако для изучения переходных явлений, связанных со сходимостью в ЗБЧ, желательно иметь аналитическое выражение (даже приближенное) для минимального решения неравенства (62). Опишем предлагаемый алгоритм нахождения этого решения.
Из (62) выводим:
1
" 8 #
2
" 8 #
где 5 = - 1п
--1п(Т)- —2Т < 1п — , или 2К2Т + 1п(Т) > 5, (63)
& —1'
" 8 #
. Пусть А есть минимальное решение неравенства (63).
& —1'
Т
Положим х = 1--, где Т - решение (63). Так как А < Т для любого решения Т, то мож-
А
но считать, что х > 0 . Тогда Т = А (1 - х) неравенство (63) перепишется в виде
2—2А (1 - х) + 1п (А) + 1п (1 - х) > 5, или 2—2Ах - 1п (1 - х)< 2—2А + 1п (А)-5 . (64)
Чем ближе Т к А, тем меньше х. Поэтому необходимо выбрать значение х как можно ближе к нулю. Тогда нахождение минимального решения неравенства (63) равносильно нахождению максимального решения х второго неравенства (64).
Воспользуемся неравенством, вытекающим из разложения в ряд Тейлора функции
1п (1 - х )>- х - 2 х2,
причем чем меньше х, тем точнее правая часть приближает левую. Нетрудно выяснить, что если выполнено неравенство (2 —2А) х + х + 2 х2 < 2—2А + 1п (А) - 5 , то выполнено и (64). Максимальное решение последнего неравенства равно
2
= -(2—2А +1) + 2—2А +1)2 + 4 (—2А) + 21п (А) - 25 = -( 2—2 А +1) + ( 2—2 А +1)
1
1 + 4 (—2 А) + 21п (А)- 25 (2—2А +1)2 '
(65)
Основные требования к решению (65):
- (2—2А +1)2 + 4 (—2А) + 21п (А) - 25 > 0 (дискриминант неотрицателен);
- х0 > 0;
- х0 ^ 0 (т. е. х0 должно быть как можно ближе к нулю для того, чтобы решение Т было как можно ближе к А).
Воспользовавшись (при у = ) неравенством (1 + z)У < 1 + yz, справедливого для всех z > 0
2 (K2A) + ln (A)-5 ln (A )-8-1
и 0 < у < 1, из (65) получаем: x0 < —-----—--= 1 +---—--, откуда следует, что
2K2 A +1 2K2 A +1
ln(A)-8-1 . ч
A таково, что —-—--«(>)-1 (т. е. приблизительно равно, одновременно удовлетворяя
2 K2 A + 1
соответствующему неравенству), или 5 +1 - ln (A) « (<) 2K2A +1. Обозначая y = K2A , последнее сравнение можно переписать в виде ln (y) « (>) - y + 5 + ln (K2) , т. е. решение y находится как абсцисса точки пересечения логарифмической кривой и линейной функции. Из взаимного расположения графиков указанных функций заключаем, что если величина C = 5 + ln (K2) достаточно велика (что может выполняться при малом значении требуемой точности s конечного результата), то y находится на интервале (1; C), причем существенно ближе к C. Поэтому, обозначая y = C - Cz и разлагая логарифм в ряд Тейлора (взяв 2 члена разложения), получаем соотношение ln (C) - z -1 z2 «ln (y)«(>)- y + 5 + ln (K2)- C + Cz + C = Cz , откуда
г *(<)-(С + 1) + -у/(С +1)2 + 21п(С) . Возвращаясь к переменной А, последнее соотношение переписывается в виде (напомним, 5 = -1п
" в # 8 )
& К1'
А = А0 «(>)5 + 1КП(К2)$2 + (5 + 1п(К2))-д/(5+ 1п(К2) +1)2 + 21п(5 + 1п(К2))#. (66)
Соотношение (66) и предлагается использовать в качестве приближенного значения минимального решения (62), а также в качестве начального приближения А0 для нахождения более точного решения этого неравенства.
В действительности может оказаться, что значение Т = А0 не является минимальным решением неравенства (62). Для проверки того, является ли А0 минимальным решением неравенства (62), и в случае, если оно не является таковым, нахождение минимального решения (на основе А0), может быть использована следующая процедура. Напомним, нас интересует не точное минимальное решений Т неравенства (62), а натуральное число N, связанное с Т соотношением Т = N а .
К
Обозначим /(Т) = е~К2 - в ; р, 0<р< 1 - доля, на которую изменяется текущий ва-\Т
риант решения неравенства / (Т )< 0; (Т )< 0 (параметр метода). Так как Т = N а, значение N найдено, если текущие значения двух соседних вариантов решений отличаются меньше, чем на 1 при а > 1, либо меньше, чем на 1 / а при а < 1.
Предварительный шаг. 0. Полагаем т = 0; а0 = А0; ат1п = Д,; атах = А0; атек = Д,. Найдем границы интервала, внутри которого и расположено решение неравенства.
1 Если / (атек )> ^ то полагаем ат1п = атек; атек = Оп^ Отах := (1 + р) Отах , и возвращаемся
к началу шага 1; в противном случае переходим к шагу 3.
2. Если / (атек )< 0, то полагаем ат^ = атек; Отек = Ош^ Отт := (1 - р) Отп и возвращаемся
к началу шага 2; в противном случае переходим к шагу 4.
3 . П°лагаем атек = атек + (1 - р) (Отах - °тек ) . Если Отах - Оек < т1п (1; 1/ а) и / (Оек ) > 0, то
переходим на шаг 5; в противном случае при / (атек )> 0 полагаем ат1п = атек и переходим на начало шага 3, а при / (атек) < 0 полагаем атах = атек и переходим на шаг 4.
4. Шлагаем атек = атек -(1 -р)(атек -amin) . Если атек -amin <min(l; 1/а) и f (аТеК)<то переходим на шаг 5; в противном случае при f (атек )< 0 полагаем amax = атек и переходим на начало шага 4, а при f (атек) > 0 полагаем amin = атек и переходим на шаг 3.
5. В качестве минимального решения неравенства (62) выводится значение T = атек. То-
а
гда соответствующее значение N равно N =
а
, где ]х[ - верхняя целая часть числа
х, т. е. наименьшее целое число, которое > х .
Пример. Приведем пример реализации описанной процедуры. Пусть е = 0,001; а = 1;
|0,5-1 -1|
х = 0,5; с = 1. Тогда 50 = , 1 =!= = 0,447. Возьмем р = 0,2.
л/СоТзГГ)
5-I)2 +12
16еч/2 П 0.4472 п 2
Так как хс = 0,5 -1 <а = 1, то K1 =—= e4 = 1,446; K2 = - 0,4472 = 0,157
W 2п 4
и 8 = -ln I 0,001 I = 7,277 . По формуле (66) & 1,446 '
7,277 + ln ( 0,157 ),
A« —-^-Ц2 + 7,277 - ln ( 0,157 ) -
0,157 V V '
- 7,277 + ln (0,157 ) +1)2 + 2ln (7,277 + ln (0,157 )) ' = 25,64.
Так как f (A ) = 0,0031 > 0, то в соответствии с шагом 1 приведенной процедуры находим amax = 25,64 -1,2 = 30,767 и f (amax ) = 0,000081 > 0.
Вновь находим a = 30,767-1,2 = 36,92 и/ (a ) = -0,0013 < 0.
max 7 7 7 «/ \ max / 7
Таким образом, корень находится на промежутке (30,767; 36,92). При этом атек = 30,767. В соответствии с шагом 3 процедуры полагаем amin = атек = 30,767 и находим атек = 30,767 + 0,2 - (36,92 - 30,767) = 31,997
Так как amax - атек = 1,23 > а-1 = 1 и f (атек) = -0,000 32 < 0, то переходим к шагу 4, положив a = a = 31,997 .
max тек '
В соответствии с шагом 4 находим a^ = 31,997 -(1 - 0,2) -(31,997 - 30,767) = 30,964 . Так как f (a^ ) = 0,000 011 > 0 и a^ - amin = 0,197 < 1, то переходим к шагу 5, полагая
N = ]30,964[ = 31. Таким образом, процедура завершена.
Отметим, что относительная погрешность оценки N на основе (66) в примере равна |26 - 31|
31
= 0,16, т. е. 16 %.
Заключение
В работе получены текущие и асимптотические оценки скорости сходимости в законе больших чисел в случае, когда исходные случайные величины независимы и одинаково распределены с функцией распределения, принадлежащей классу гамма-распределений. Также рассмотрена обратная задача нахождения минимального объема набора случайных величин, обеспечивающая близость среднего их значения к предельному с вероятностью не меньше заданной. Предложено соотношение для приближенной оценки решения обратной задачи, а также процедура нахождения точного ее решения.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ 1. Петров В. В. Суммы независимых случайных величин. М.: Физматлит, 1972. 416 с.
2. Золотарев В. М. Современная теория суммирования независимых случайных величин. М.: Наука, 1986. 410 с.
3. Бакланов Е. А. Дополнительные главы теории вероятностей. Новосибирск: Изд-во ММФ НГУ, 2012. 18 с.
4. Петров В. В. Об абсолютной сходимости рядов случайных величин почти наверное // Записки научных семинаров ПОМИ. 2014. Т. 431. С. 140-144.
5. Юдин М. Д. Предельные распределения сумм зависимых случайных величин и векторов: дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Минск: Белорус. гос. ун-т, 1997. 144 с.
6. Попов Г. А. К скорости сходимости в законе больших чисел (тез. докл.) // Тр. 5-й Междунар. конф. по теории вероятностей и матем. статистике. Вильнюс, 1989. Т. 3. С. 178-179.
7. Бугров Я. С., Никольский С. М. Высшая математика: учеб. для вузов. В 3-х т. / под ред. В. А. Са-довничего. М.: Дрофа, 2004. Т. 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. С. 284.
8. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1970. Т. 2. 800 с.
Статья поступила в редакцию 07.02.2018
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ
Попов Георгий Александрович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; д-р техн. наук, профессор; зав. кафедрой информационной безопасности; [email protected].
G. A. Popov
EVALUATION OF THE CONVERGENCE SPEED IN THE LAW OF LARGE NUMBERS FOR GAMMA-DISTRIBUTED SEQUENCES
Abstract. The paper considers the problem of estimating the rate of convergence in the law of large numbers for the case when the initial set of random variables is distributed according to the law of the gamma distribution. The problem is urgent due to the fact that with a small number of initial random variables, accurate and close to the true values are the values obtained on the basis of averaging, in particular, if the receipt of each additional value is associated with significant resource costs. The main result of the paper contains estimates for the modulus of difference in distribution function of the mean value for the set of N random variables in the original population, where N is arbitrary, and distribution function of their limiting value, which is a constant (mean value). The result includes three cases: when the argument of distribution function is greater than the average value; when it is equal to it and when it is less than the average value. Estimates are obtained for the modulus of difference of distributions, which depend not only on the number of random variables N, but also on the argument of distribution function. The dependence of the obtained estimate on the argument of distribution function has an exponential character, and on the volume of the set N this dependence makes about the root of N. For convenience of practical application, and also for solving the inverse problem on the basis of the obtained result, estimating the modulus of the difference of distributions is simplified. On the basis of the simplified estimates obtained, the solution of the following inverse problem is given: to find the minimum volume of the string N at which the modulus of the difference of distributions (the accuracy of estimating the mean value on the basis of the mean value) does not exceed a given (small) value. The paper presents a formula for finding the specified minimum volume N, and an algorithm for finding the exact value of N for the estimate under consideration.
Key words: law of large numbers, rate of convergence, gamma distribution, minimum volume of a set.
REFERENCES
1. Petrov V. V. Summy nezavisimykh sluchainykh velichin [Totals of independent random values]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1972. 416 p.
2. Zolotarev V. M. Sovremennaia teoriia summirovaniia nezavisimykh sluchainykh velichin [Modern theory of summation of independent random values]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 410 p.
3. Baklanov E. A. Dopolnitel'nye glavy teorii veroiatnostei [Additional chapters of probability theory]. Novosibirsk, Izd-vo MMF NGU, 2012. 18 p.
4. Petrov V. V. Ob absoliutnoi skhodimosti riadov sluchainykh velichin pochti navernoe [Quite surely on absolute convergence of sets of random values]. Zapiski nauchnykh seminarov POMI, 2014, vol. 431, pp. 140-144.
5. Iudin M. D. Predel'nye raspredeleniia summ zavisimykh sluchainykh velichin i vektorov. Dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Limit distributions of totals of dependent random values and vectors. Diss... Doc. of Physics and Mathematics]. Minsk, Belorusskii gos. un-t, 1997. 144 p.
6. Popov G. A. K skorosti skhodimosti v zakone bol'shikh chisel (tezisy doklada) [On convergence speed in the law of large numbers (Report theses)].Trudy 5-i Mezhdunarodnoi konferentsiipo teorii veroiatnostei i ma-tematicheskoi statistike. Vilnius, 1989. Vol. 3, pp. 178-179.
7. Bugrov Ia. S., Nikol'skii S. M. Vysshaia matematika: uchebnik dlia vuzov v 3-kh t. [Higher mathematics: textbook for higher educational institutions in 3 Vol.]. Pod red. V. A. Sadovnichego. Moscow, Drofa Publ., 2004. Vol. 2: Differentsial'noe i integral'noe ischislenie. P. 284.
8. Fikhtengol'ts G. M. Kurs differentsial'nogo i integral'nogo ischisleniia [Course of differential and integral calculation]. Moscow, Nauka Publ., 1970. Vol. 2. 800 p.
The article submitted to the editors 07.02.2018
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Popov Georgiy Aleksandrovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Doctor of Technical Sciences, Professor; Head of the Department of Information Security; [email protected].
