О предельных распределениях некоторых числовых характеристик Интернет-графов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Труды Карельского научного центра РАН № 5. 2012. С. 110-121

УДК 519.2

О ПРЕДЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯХ НЕКОТОРЫХ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ИНТЕРНЕТ-ГРАФОВ

И. А. Чеплюкова

Институт прикладных математических исследовании Карельского научного центра РАН

Рассматривается множество случайных графов, содержищих N вершин. Степени вершин независимы и одинаково распределены по дискретному степенному закону с положительным показателем т. Получены предельные распределения максимальной степени вершины и числа вершин заданной степени при условии, что сумма степеней вершин равна n, в случае когда n, N ^ то так, что (n — Z(т)N)/N1/2 ^ то при т > 2 и (n — Z(т)N)/VNlnN ^ то при т = 2, где Z(т) - дзета-функция Римана.

Ключевые слова: случайные графы, предельные распределения, обобщенная схема размещений, степень вершины.

I. A. Cheplyukova. ON LIMIT DISTRIBUTIONS OF SOME NUMBERED CHARACTERISTICS OF INTERNET GRAPHS

Random Internet graphs consisting of N vertices are considered. The degrees of the vertices are drawn independently from a discrete power—law distribution with exponent т > 0. We obtain the limit distributions of the maximum vertex degree and the number of vertices with a given degree under the conditions that the sum of vertex degrees is equal to n as n, N ^ то such that (n — Z(т)N)/N1/2 ^ то, т > 2 and (n — Z(т)N)/VN ln N ^ то, т = 2 where Z(т) is the Riemann’s zeta-function.

Key words: random graphs, limit theorems, generalized allocation scheme, vertex degrees.

В настоящее время существует много работ (см., например, [6, 13-15] и др.), в которых рассматривается известный вид случайного графа, предназначенный для моделирования сложных сетей телекоммуникаций. Предполагается, что граф содержит N вершин, занумерованных числами от 1 до N. Будем считать, что степени вершин являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами пі,..., Пм, распреде-деление которых имеет вид:

Р {п ^ к} = к-т, т > 0, к = 1, 2,... (1)

Для удобства описания структуры графа в [15] введено понятие полуребра, т. е. ребра, инци-

дентного конкретной вершине, но для которой смежная вершина еще не определена. Все полуребра графа являются различными (занумерованными) и при образовании ребер соединяются между собой равновероятно. Кроме того, необходимо, чтобы суммарное число полуребер было четным, поэтому вводится вспомогательная вершина 0, степень которой равна 0 или 1 в зависимости от того, является ли число полуребер основных вершин четным или нет.

Во многих работах (см., например, [615]) изучалось асимптотическое поведение различных характеристик случайных графов

©

Интернет-типа при N ^ то. В частности, в [6] доказана локальная предельная теорема для суммы степеней вершин им = П1 +... + Пм при т € (1, 2). Понятно, что от им зависит поведение многих других характеристик графа, поэтому в такой ситуации представляется естественным предложить метод исследования, состоящий в предварительном получении предельных распределений для случайных графов с известным числом степеней вершин и последующим их усреднением по распределению . Для изучения случайных графов с известным числом степеней можно воспользоваться обобщенной схемой размещения частиц по ячейкам, введенной и исследованной в книгах В. Ф. Колчина [2, 3]. Впервые использование обобщенной схемы размещения частиц по ячейкам с целью исследования асимптотического поведения Интернет-графов было предложено в [7, 11].

В настоящей работе рассматривается подмножество Интернет-графов, для которых сумма степеней вершин известна и равна п. Расположим степени вершин в виде вариационного ряда П(1) ^ П(2) ^ ... ^ П(м). Обоб-значим через П(м) и ^г случайные величины, равные максимальной степени вершин и числу вершин степени г соответственно.

В [7] было найдено предельное распределение П(м) и при N, п ^ то и т > 0, так что 1 < п/Ж < £ (т), где £ (т) - значение дзета-функции Римана в точке т. Там же рассмотрены случаи п/Ж ^ 1 и п/Ж | С (т). В работе [8] получены предельные теоремы для рассматриваемых случайных величин в случае n/N ^ ((т) при выполнении следующих условий:

фиксированного г > 0

р . п - С(т)N - П(м) < г

->

2/2^Ж.

Теорема 2. Пусть N п ^ то так, что (п — с (т )N )/N1/2 ^ то, т > 2. Тогда для целых неотрицательных к справедливы следующие утверждения:

1. Если г ^ то, то

Р{^г = к} =

к^р.)к ехр{—Жр}(1 + о(1))

'равномерно относительно (к —

Npr)/у^р. в любом фиксированном конечном интервале;

2. Если г— фиксированно, то

Р{^г = к} =

е и2/2(1 + о(1)) v/2пNpr (1 - рг)

'равномерно относительно иг = (к — Npr)/^рг(1 — рг) в любом фиксированном конечном интервале.

Теорема 3. Пусть ^ п ^ то так, что (п — с (2)N )/^ЖГпЖ ^ то, т = 2. Тогда для любого фиксированного г > 0

■п - срж - ) < г

1. т > 2, п — £(т)Ж = O(VN);

2. т = 2, п — ((2)Ж = 0(у^ 1п N);

3. 1 < т < 2,п — ((тЖ = О(Ж1/т).

В [9, 10] рассматриваются случаи, когда п/(Ж 1п N) ^ С > 0 при т = 1, п/Ж1/т ^ С > 0 при 0 <т< 1 и (п — £(т )N )/Ж1/т ^ то при 1 < т < 2. Неисследованными остались случаи, когда (п — £(т)Ж)/N1/2 ^ то при т > 2

и когда (п — £(т)Ж)^\/ж1пЖ ^ то при т = 2.

Целью настоящей работы является получение предельных распределений случайных величин П(м) и ^г в этих случаях.

Справедливы следующие утверждения.

Теорема 1. Пусть N п ^ то так, что (п — с (т )N )/N1/2 ^ то, т > 2. Тогда для любого

л/2л

2/2^ж.

Теорема 4. Пусть N п ^ то так, что (п — с (2)Ж )/^Ж1пЖ ^ то, т = 2. Тогда справедливы утверждения теоремы 2.

В основе доказательства теорем 1-4 лежит обобщенная схема размещения частиц по ячейкам. Ниже приводятся вспомогательные леммы (леммы 1-7), с помощью которых доказываются данные теоремы.

Из (1) ясно, что

Рк = Р {пі = к} = к-т - (к + 1)-т,

к = 1, 2,...

(2)

Пусть £1,..., - независимые одинаково рас-

пределенные случайные величины, распределение которых имеет вид (2). Легко видеть,

111

г

1

— X

е

г

1

— X

е

что для натуральных чисел к1,..., км таких, что к1 + ... + км = п справедливо равенство

Р{пі = кі,... ,пм = км} = Р{6 = кі,... ,£м = км|£і + ... + См = п}.

(3)

Соотношение (3) означает, что для двух наборов случайных величин П1,..., Пм и £1,..., £м выполнены условия обобщенной схемы размещения.

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины

(,•) (о)

£1 у,..., £м , 3 = 1, 2, для которых

Р{£(і) = к} = Р{Сі = к|Сі < Г}, р{£(2) = к} = Р{£і = к|£і = Г}.

Обозначим

(4)

См = £1 + ... + £м, Рг = Р{£1 > г} (5)

с№ = £0) +... + £(м), з = 1,2.

Доказательства теорем 1-4 опираются на следующую хорошо известную лемму (см., например, [3]), вытекающую из соотношения (3).

Лемма 1. Справедливы равенства

Р{П(м) < г} = (1 — р)м.

Р{^г = к} =

к(1 ,м-Г Р{СМ2-к = п - кг}

Р(1 - РГ) Р {См = п} .

Р{См = п}

^ (1 + о(1)) (п - С(т)N)

т + і '

Доказательство. Утверждение этой леммы в случае, когда (п — С(т)Ж)/У^ ^ (1п N)/2, следует из теоремы 3 статьи [5]. Докажем справедливость леммы 2 в случае, когда

(п - С(тЖ)/^Ж < 1п л/^.

Обозначим

& = & - С(т^ г = 1,...,N

См = &і + ... + &м.

(6)

Р{См = п} = Р{См = п - с(т)N} = (7)

Рі + N^2 + Рз,

где

Рі = Р{См = п - с(т)N,

& < 7(п-С(тЖ),г = ^...^}; р2 = Р{См = п - С(тЖ&м >7(п - С(т)N), & < 7(п - С(т)N^г = 1,...,N - 1}; Рз = Р{См = п - с(тЖ,

У{& >7(п - С(тЖ),Сі > 7(п - С(т)N)},

7

і/(т+і)

п - С(т)N

(8

Рассмотрим предельное поведение суммы

См.

Лемма 2. При выполнении условий Теоремы 1 справедливо равенство

Покажем, что основной вклад в сумму (7) дает второе слагаемое. Рассмотрим вероятность Р2. Очевидно, что

Р2 = £ Р{&м = п - С(т) - к}х (9)

Мі

Р{&1 + ... + &м-і = к - С(т)(N - 1), & < 7(п - С(т)N^ г = 1,..., N - 1}, где Мі = {к : N - 1 < к< (п - С (т )N) - 7(п -С (т )N)}.

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины &(и), г = 1,..., N такие, что

Р{&і(и) = к - С(т)} = (10)

Р{Сі = к - С(т)|Сі < и}. Кроме того, пусть См (и) = &1 (и) + ... + £м (и).

Используя соотношение (2), легко показать, что при I ^ то справедливо

£ Рк = 1-{ (1+ о(1)).

к>1

(11)

Тогда отсюда и из (8)—(10) несложно видеть, что

р2 = (1+ о(1)) £ Р{&м = п - С(т) - к}х (12)

Мі

Р{См - 1 (7(п — С(т )N)) = к — С(т )(^^ — 1)}.

Обозначим через ^7(га-^(т)м)(£) характеристическую функцию случайной величины

£1 (7(п—С(тЖ)). Тогда, используя (6) и (8), получаем, что при любом фиксированном Ь справедливо равенство

exp

<(п-С(т)N) (У(а^)) t

(1З)

(т)Nt I yN

У

а

vN

а

Vn

(1 + «(і)),

(1Б)

V2n

2/2dx.

и n

N-1

F{cl < (Y(n - С(т)N))}

(1Т)

P(CW_i(y-1VN) >y-1VN}.

Используя (11), несложно показать, что (N — 1)P{£l(7(n — Z(т)N)) > y-1VN} <

(1В)

C2N 1-т/27 т,

и, применяя неравенство Чебышева, из соотношений (10) и (11), легко получить, что

Р{4-1(7-1^) > 7-1^N} < Сз72. (19)

Тогда из (11), (17)-(19) следует справедливость (16).

Представим вероятность Р2 в виде суммы

где ^>(t) обозначает характеристическую функцию случайной величины £1, а

a2 = 2Z (т — 1) — Z (т) — Z 2(т).

Учитывая, что случайная величина £1 имеет конечную дисперсию, согласно теоремам 2.6.2 и 2.2.2 [1], функция распределения случайной величины £1 принадлежит области притяжения нормального закона и логарифм ее характеристической функции имеет вид: t2 a2

iZ (т )t — (1 + o(1)).

Отсюда и из (13) получаем, что

<(п-С(т)) (t/(a^)) =

exp {—12/2} (1 + o(1)). Следовательно,

PKW-1(Y(n — Z(т)N)) < y^^a} ^

z

1

(2O)

i=1

где

= (1 + °(1)) Е f{c'n =n - с(т) - k}x

Ki

F{z1v-1 (Y(n - С(т)N)) = k - С(т)(N - 1)}, K1 = {k : (N-1) < k < -vN/y+С(т)(N-1)}, K2 = {k : -VN/y+С(т)(N-1) < k <

VN/y + z (т )(N - 1)}

(l4) K3 = {k : VN/y+z(т)(N-1) < k <

n - z (т) - Y

_ Y 1/(т+1)(n _

(n - z(т)N)},

Покажем, что при достаточно больших N

Р{7См-1(7(п — С(тЖ^ > ^} < С172. (16)

Здесь и далее С1, С2,... обозначают некоторые положительные постоянные.

Учитывая (8) и (10), и то, что 7(п — z(тЖ)^-1\Ж ^ то, получаем следующее неравенство:

РКлт-l(Y(n — z(тЖ)) > Y-1 ^} <

Ж — 1)Р{£1 (Y(п — Z(тЖ)) > Y-1VN}+

( Р{£1 < Y-1VN}

К4 = {к : п—Z(т)—Y1/(т+1)(n—Z(тЖ) < к ^ п — z (т) — Y(n — z (т Ж)}.

Заметим, что

Р{£м = п — z (т) — к} =

Р{£м = (п — Z (т Ж) + Z (т Ж — к}.

Отсюда и из (2) нетрудно получить, учитывая соотношение Y-

1\Ж/(п — Z(тЖ) ^ 0, что при к € К2 справедливо

Р{£м = п — z (т) — к} = (21)

т (п — z (т Ж )-т-1(1 + о(1)).

Следовательно, из (15), (20) и (21) находим, что

т (1 + °(1))

(n - z(т)N)т+1.

(22)

Покажем, что при всех остальных значениях г = 1, 3, 4 для Яг справедливы оценки вида:

R = Q((n - z(т)N) т 1).

(2З)

Из (2), (6) и (8) очевидно, что при k € Kl

F{cw = n - z(т) - k} <

C4(n - z(т)N)

т1

11З

e

Отсюда и из (15), (16) и (20) следует, что при г = 1 соотношение (23) выполнено.

Из (2), (8), (16) и (20) находим, что Е3 = о((п — Z (т Ж )-т-1).

Пусть к € К4. Из (2) и (20) следует, что

Я4 < РКм-1^(п — Z(тЖ))) >

(п — Z (т Ж )(1 — Y1/(т+1)} С5

т+1 ‘

т (1 + о(1))

(п — Z (т Ж )т+1'

Учитывая, что

N7-2т /(п — Z(тЖ)т ^ 0,

(24)

(25)

Се^ 2Y

-2т-1

(п — Z (т Ж )2т+1

(26)

о((п — Z (т Ж )-т-1).

Рассмотрим Р1. Легко видеть, что

Р < P{Zм = п — z(тЖ,

£ ^ а(п — z(тж),г = V

где 0 < а < 1 — 2/т.

Положим

в = т

1п(п — Z (т Ж) (п — Z(7■)JV) ,

(27) .Ж },

(28)

(29)

Е

Р{Пг(в) < и + Z(т)} = „«(»-С(т)) Р{£г ^ Z(т)}

^<«+С(т)

/ (в)

Р1 < /м(в)е"(га-С(т)м)х

(31)

Р{^м(в) ^ п — Z(тЖ},

мы:

/ (в) = Е е^-С(т)) Р{£1 = п — Z (т)}+

#1

Е ^-<: (т ))Р{£1 = п — z (т)},

(Y(n — z (т Ж))

Отсюда и из (2), (8), (10), используя неравенство Чебышева, получаем, что при г = 4 соотношение (23) верно.

Следовательно, из (20), (22) и (23) справедливо

где

А = {V : в(и — Z(т)) ^ 1},

^2 = {V : V < а(п — Z(тЖ) + Z(т), в(^ — z(т)) > 1} несложно показать, что

/ (в) = 1 + О((п — Z (т Ж )т (а-1)), Мпг(в) < С7, Мп2(в) < Св.

(32)

из соотношений (2), (7), (8) и (11), нетрудно получить, что

Отсюда и из (28), (31), используя неравенство Чебышева, можно получить, что

Р1 = 0(Ж (п — Z (т Ж )-т-1)

(33)

Из соотношений (7), (24), (26) и (33) следует справедливость утверждения леммы 2. □

Рассмротрим предельное поведение сумм

zM'),J = 1,2.

Лемма 3. Пусть N п ^ то, т > 2 так, что (п — Z (т Ж )/\Ж ^ то. Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Если г = п — Z(тЖ — г\Ж, где г - фиксированное число, то

/ (в) = е в-^-с(т ))х

^<а(га-С (т )м )+С(т)

Р{£1 = п — Z (т)}.

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины П1(в),..., пм(в), имеющие распределение вида

(30)

рк№ = п} =

^т (1 + о(1)) л/2л(п — Z (т Ж )т+1

2/2^ж.

2. Если г ^ то, Б = N(1 — рг + о(рг)), то Р^2) = п} = Ят (1+0(1))

Пусть ^м(в) = п1(в) +... + пм(в). Используя тождество (11) работы [4], получаем, что

(п — Z (т Ж )т+1'

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения этой леммы одновременно. Для этого обозначим рассматриваемые суммы че-~(?)

рез О0, где 5 = N при 3 = 1, а при

3 =2 значение Б определено в утверждении леммы. Рассмотрим независимые оди-никово распределенные случайные величины

£?> = £(0) — С (т), 3 = 1, 2, г = 1,..., Б иих

е

~(?) ~(?) ~(?) суммы Zs = £ 1 + ... + £<? . Тогда вероятно-

сти РК^ = п},3 = 1, 2 можно представить в следующем виде:

Р^ = п} = Р{Й° = п — Z (т )Б} = (34)

P,(j) + SPj + P

(j)

где

Рі(Л = Р{С(І) = п - С(т)£

< 7(п - С (т )£ ),г = 1,...,£};

Р?0 = Р{Й° = п - С(т)£ > 7(п - С(т)£),

< 7 (п - С (т )£ ),г = 1,...,£ - 1};

Рз(І) = Р{С(І) = п - С(т)£

У ^ > ^(п - С(т)£>7(п - С(т)£Ж і=к

а 7 определено соотношением (8) с заменой N на £.

Основной вклад в сумму (34) дает второе слагаемое.

Очевидно, что

P

(0)

Е F{C(j) =n - z (т) - k}x

(ЗБ)

M,-

Р{£'(0) + ... + £(- = к — Z (т )(Б — 1),

£?° < Y(п — Z(т)Б),г = 1,..., Б — 1},

где Мо = {к : (п — Z(т)) — а ^ к < (п — Z(т)) — Y(n — Z(т)Б)}, а1 = г, а2 = п — Z(т).

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины

£г(0)(и), 3 = 1, 2, г = 1,..., Б, такие, что

(j)

F{C(j)(u) = k - Z(т)} =

F{£'(j) = k - Z(т)|СІ0) < u}.

(Зб)

Обозначим Zf0 (u) = Cij)(u) + ... + Cf'^u).

Учитывая, что r = n — Z(т)N — zVN, из (2) и (В) следует, что

І

(1 - Pr) = 1 + O(N-i), і = І (Y(n - z(т)N))T + VN

(ЗТ)

Тогда из (4), (Б), (11), (ЗБ) и (ЗТ) находим, что

P2(j) = (1 + °(1)) Е P{CN = n - Z(т) - k}x

Mj

(ЗВ)

P{CS-i(7 (n — Z (т )S)) = k — Z (т )(S — 1)}.

Обозначим через ф (j) (t), j = 1, 2, характеристические функции случайных величин

£(j)(7(n — Z(т)S)). Тогда для характеристических функций случайных величин CiSj)(7(n — Z(т)£)) при t ^ 0 из (8), (11), (36) и (37) следует, что

^C^,')(7(n-C(r )S)) = Ф (j)(t) =

exp {—iZ (т )St} (t)(1 + o(1)).

Отсюда, аналогично тому как получено соотношение (14) при доказательстве леммы 2, несложно показать, что

f

У0)

t

t

а vs; = exp1— ^(1 + °(1)).

Следовательно,

P{§-i(Y(n - Z(т)S)) < yVSa}^ y

(З9)

І

V2n

2/2d

x.

Следуя проверке справедливости соотношения (16), можно показать, что

рЫ(_1С7(п — z(т)Б)) > } < ^2. (40)

Представим вероятность P2 в виде суммы з

Е R(j), j = 1,2, (41)

P

(j)

i=0

где

R(j) =

(1 + °(1)) E F{C(j) = n - z(т) - k}x

K

(j)

P{Zs-i(Y(n - Z(т)S)) = k - Z(т)(S - 1)},

k01) = 0,

k02) = {k і О < k < -VS/y+Z(т)(S—1)},

K(1) = {k і n—r < k < VS/y+Z(т)(S—1)}, /S/Y+Z(т)(S-1) < k VS/y + Z (т )(S -1)},

k(2) = {k і -VS/y+Z(т)(S-1) < k <

k20) = {k і VS/y+Z(т)(S-l) < k <

n - z (т) - Y

_ Y1/(т+1) (n _

(n - z (т )s)},

K0 = {k : n-Z(т)—Y

— Y1/(т +1) (n —

(n-Z(т)S) < k <

n - z(т) - Y(n - z(т)s)}.

11Б,

—x

e

Используя соотношения (2), (4) и (37),

(о)

несложно заметить, что при к € К1 , 3 =

1, 2, справедливо

Р{£р) = п — Z (т) — к} =

т (п — z (т )Б)-т-1(1 + о(1)).

Тогда из (39) и (41) находим, что

(і)

т (1 + о(1))

Е(і) = __■ V- ' "V-//---- е х72^£,

л/2л(п - С(т)N)т+і

(42)

Я(2) =

т (1 + о(1)) (п - С(т)£)т

Из соотношений (2), (4), (8), (37) и (40) несложно показать, что

Яр) = 0((п — z (т )Б )-т-1), 3 = 1,2. (43)

Пусть к € к30). Из (2), (4) и (37) нетрудно найти, что

Сіо

Р

(і)

т (1 + о(1))

\/2п(п - £(тЖ)т+і

е“х2/2^ж,

(45)

Р

(2) т(1 + о(1))

(п - С(т)£)т+і.

(і)

Рассмотрим вероятность Р3( , 3 = 1,2. Из (2), (4), (11), (25), (34), (37) следует, что при к < п - 2((т) - 27(п - С(т)£)

Р3(і) < Сіі£2^ Р{£р) + ®-

(і)

?(і) _

(46)

к - С(т)(£ - 2)}(7(п - С(т)£))-т-і х

Р{&Л >7(п - С(т)£)} = о

£

(п - С(т)£)

т+і

Рассмотрим Р1’ ,3 = 1,2. Легко видеть, что

Рр) < Р{С^') = п — Z (т)Б,

£Р < а(п — Z(т)Б), г = 1,..., Б},

где 0 < а < 1 — 2/т.

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины

пр)(в),..., п

ление вида:

П(і)(з),..., п_^)(з),3 = 1, 2, имеющие распреде-

Р{Пг0)(«) < и + С(т)} =

(47)

Е

е

«(^-С(т))

^<«+С (т )

Р{е(і) = V - С(т)} / (і)(в) ;

где

/ (і)(в) = Е

^<а(га-С(т )5)+С(т)

еК^-С(т)) х

(48)

Р{е(і) = п - С(т)},

а величина в определена соотношением (28)

при N = Б. Пусть ^(в) = пр)(в) + ... + Пр)(в). Используя тождество (11) работы [4], получа-

Р{<Й2і(7(п - С(т)£)) >

Ор) __

"3 ^ Y(п — Z(т)Б)т+1’

(п — z (т )Б )(1 — Y1/(т+1))}.

Используя неравенство Чебышева, отсюда и из (2), (4), (8), (36), (37) получаем, что

Яр) = о((п — Z (т )Б)-т-1). (44)

Следовательно, из (42)-(44) справедливо

ем, что

Р^ < (/(і)(в))5е-"(га-С(т)5)х

(49)

Р{%?(в) ^ п - С(т)£}.

Используя (2), (29), (37), (48), нетрудно показать, что

/ (і)(в) = (1 + о(1))/(в), тогда отсюда и из (4), (32) и (47) находим, что

/(і)(в) < Сі2, Мпг(і)(в) < Сіз

М(п(і)(5))2 < Сі4.

(50)

Применяя неравенство Чебышева, из (28), (49) и (50) получаем, что

Рр) = о (Б(п — Z(т)Б)-т-1) ,3 = 1,2. (51)

Утверждение леммы 3 следует из (34), (45), (46) и (51).

□

Рассмотрим предельное поведение суммы ZM при т = 2.

Лемма 4. При выполнении условий Теоремы

3 справедливо равенство

Р{<> = п}

2N (1 + о(1)) (п - С(2Ж)3 .

Доказательство. Рассмотрим случайные величины £, г = 1,..., N и сумму Zм, определенные соотношениями (6) при т = 2.

Тогда вероятность P{Zм = п} можно представить в виде суммы (7), где т = 2 и

Y = ( VN ln N/(n - Z(2)N) J

)і/з

(Б2)

Следуя доказательству леммы 2, несложно показать, что выполено сооношение (12) при заданных т и 7.

Кроме того, для характеристической функции случайной величины Єі(7(п - С(2)N)), заданной соотношением (10) при т = 2, справедливо

MN

^7(n-C(2)N)

exM -iZ 12)ND^N

t

VN ln N J VVN ln N

VN ln N t

(БЗ) (1 + «(1)),

Р{См-і(7(п - С(2)N)) >7 і\/Жїп¥} <

(N - 1)Р{^(7(п - С(2Ж)) > 7-і^N1^}+

/ / і /-------------- \ ^-1

/ Р{^ < 7"УN 1пN} \

) х

Р{См-і(7-і^ 1пN) >7-і^^1п¥}, (57)

аналогично тому, как получено соотношение (18), несложно показать, что

(N - 1)Р{Єі(7(п - С(2Ж)) > 7-і} <

Сіт7 2/1п N. (58)

Используя тот факт, что при I ^ то

ЕPkk2 < 2 lnl,

где <^(t) обозначает характеристическую функцию случайной величины £ 1.

Согласно теореме 2.6.2 и 2.2.1 [1], функция распределения случайной величины £1 принадлежит области притяжения нормального закона, и логарифм ее характеристической функции имеет вид

iZ (2)t — (ln N )t2/2.

Отсюда и из (53) получаем, что

Ф^п-С(2)N) (t/VN ln N) = (54)

exp {—t2/2} (1 + o(1)).

Следовательно,

P{ZN-i(y(n — Z(2)N)) < yVNlnN} ^

(ББ)

и, применяя неравенство Чебышева, получаем, что

рКм-l(Y(n — z(2Ж)) > Y-1^Ж1пN} ^

(59)

С1в Y 2(Сю — 1п Y/ 1п N).

Тогда справедливость неравенства (56) следует из соотношений (57), (58) и (59).

Представим вероятность Р2 в виде суммы

(б0)

i=1

где

=(1 + °(1)) Е F {Cw =n — z (2) — k}x

Ki

P{ZN- 1(Y (n — Z (2)N)) = k — Z (2)(N — 1)},

\/2n

e-x2/2dx.

Покажем, что при достаточно больших N и n справедливо

( / л/^ 1п N |

Н Zм-l(Y(п — Z(2)^)) >^—| < (56)

Cl5Y 2(С16 — 1п Y/ 1п N).

Учитывая, что для рассматриваемой вероятности справедливо неравенство

К1 = {к : (^ — 1) < к < — Ь + Z(2)Ж — 1)},

Ь принимает два значения в зависимости от того, как ведет себя отношение п/^ : если п/^ ^ то, то Ь = ^4/6; если п/^ ^ то , то Ь = 1п N/Y;

K2 = {k і -b+Z(2)(N-1) < k < b+Z(2)(N-1)};

K3 = {k і VN/y+Z(т)(N — 1) < k <

11Т

y

І

п — z (т) — Y1/(т+1)(п — z (т Ж)};

К4 = {к : п—Z(т)—Y1/(т+1)(п—Z(тЖ) < к ^

п — z (т) — Y(п — z (т Ж)}.

Несложно заметить, что при к € К2 справедливо соотношение (21) при т = 2. Тогда отсюда и из (55), (60) находим, что

Я2 =

2(1 + о(1))

(п - С(2)N)3 .

(61)

Используя (56), (60), аналогично тому, как получено соотношение (23) при доказательстве леммы 2, можно показать, что

Яі = о((п - z(2)N)-3), і = 1, 3, 4

(62)

следовательно, из (60)-(62) справедливо равенство

Р2 =

2(1 + о(1))

(п - Z(2)N)3.

(63)

Аналогично оценки (26) несложно получить следующее соотношение:

Рз = о((п — Z (2)^)-3). (64)

Рассмотрим Р1. Обозначим

х = (п — Z (2Ж )/^ 1п N.

Пусть х ^ (81п1пN)3. Положим

Я(-ш) = Е ехр{(к — z (2))ад}х

к^7(п-С(2)м )+С(2)

где к ^ Y(п — Z(2Ж)+ Z(2). Положим ZM(Y) = £1 ^) + ... + £м ^). Тогда Р1 имеет следующее представление:

Р1 = в-1/7Ям (^(п — Z(2Ж))-1) х (68)

р{ Zм ^ )= п — Z (2)^.

Обозначим через (£) характеристическую

функцию случайной величины £1 ^). Тогда, используя (65), получем, что

І^Т(і)| =

Я ((7(п - Z(2)N))-і + іі)

Я ((7(п - Z(2)N))-і)

п^ТЯ 1п N

- п-^'Я 1п N

^7

N

гіі.

Из (65) и (66) нетрудно найти, что |Я ((7(п - Z(2)N))-і + іі) І =

№(і)| + о(1Ж).

Тогда из (67) и (69) следует, что

(69)

По формуле обращения

Р{4(7)= п - z(2)N} = ^^ х

ех _и{п-і

(70)

Р{Є' = к - с(2)}.

(65)

Используя (2), можно показать, что при достаточно больших I справедлива оценка

(к - С(2))рг < С201

-і

(66)

к>1

Учитывая, что при 0 < у ^ 1 справедливо равенство еу = 1 + у + 5(у), где 5(у) ^ у2, из (2), (65) и (66) получаем, что

Я (№ — Z(2Ж))-1) = 1 + о Ж-1) . (67)

Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины £1 (Y),...,£м(Y), имеющие распределение вида:

Р{£1 ^ ) = к — Z (2)} =

Р{£1 = к — Z(2)} ехР{ 7(П-С(22)м) }

Я ((Y (п — Z (2Ж ))-1) ,

1^7(і)|Я < С2і |^(і)| .

Разобьем интеграл из равенства (70) на два интеграла: по области |і| < еу^Тп^ и по области еу^Ш^ < |і| < пу^Ш^, где е достаточно мало. По свойству характеристических функций решетчатых распределений с максимальным шагом 1, при е < |і| < п выполнено неравенство |^>(і)| < ехр{-С22}, а учитывая, что <^(і) = 1 + (еі4 + 1)Ф(еі4, т, 1), где Ф(,г, 8, а)

- трансцендентная функция Лерча, находим, что при достаточно малом е для |і| < е справедливо |^>(і)| < ехр{-С23і2}. Тогда из (70) получаем, что

Р{Ся(7) = п - с(2Ж} < 1пN)

і

Отсюда и из (67), (68), учитывая, что х ^ (81п1пN)3, находим оценку для Р^

Рі = (п - С(2Ж)-3)

(71)

і

Рассмотрим Р1 в случае, когда х < (81п 1п N)3. Заметим, что

Р1 < P{Zм ^ п, £* < Y(п — Z(2)^) +

Z (2), г = 1,...,^ }. (72)

Кроме того, используя (2), нетрудно показать, что справедлива следующая оценка:

М(£2, £1 < Y(n — Z(2)^) + Z(2)) < (73)

С251n(Y (п — Z (2)^) + Z (2)).

Используя неравенство Чебышева и то, что х < (81п1пN)3, из (72), (73) находим, что и в этом случае равенство (71) верно.

Тогда утверждение леммы 4 следует из (7), (63), (64), (71). □

Рассмотрим предельное поведение сумм

zN'),з = 1, 2.

Лемма 5. Пусть т = 2, N п ^ то так, что (п — Z (2)^ 1п N ^ то. Тогда справедливы следующие утверждения.

что

P2(j) = (1 + o(1))E P{£^) = n — Z(2) — k}x

(')

Mj

P{Z~S-i(Y(n — Z (2)S)) = k — Z (2)(S — 1)},

где Zs'^u) = Cij)(u) +... + f'^w), а случайные

величины |i(j)(u), j = 1, 2, i = 1,...,S, заданы соотношениями (36) при т = 2.

Обозначим через ф (j)(t), j = 1,2, характеристические функции случайных величин

fij)(Y(n—Z(2)S)) соответственно. Тогда для характеристических функций случайных величин С^')(7(n — Z(2)S)) при t ^ 0 из (11), (36), (37) и (52) следует, что

^j)(T(™-C(2)S)) = ^j)(t) =

exp {—iZ (2)St} (t)(1 + o(1)).

Отсюда, аналогично тому как получено соотношение (54) при доказательстве леммы 4, несложно показать, что

(74)

1. Если r = n — Z(2)N — ^N ln N, где z фиксированное число, то

P{ZN1) = n} =

V2N (1 + o(1)) Vn(n — Z (2)N )3

e-X /2dx.

t ^=exp{ — (1 + o(1)).

ф (j) V vsrns

Следовательно,

p{c^'2i(y (n — z (т )S)) < y vsrns}

(75)

2. Если г ^ то, Б = N(1 — рг + о(рг)), то Р . (2) = = 2^ (1+ о(1))

' (п — c(2)№)3 ■

Доказательство. Аналогично предыдущему случаю будем доказывать оба утверждения этой леммы одновременно. Для этого обозна-

~ (0)

чим рассматриваемые суммы через ), где Б = N при 3 = 1, а при 3 = 2 значение Б определено в утверждении леммы 5.

Рассмотрим независимые одинаково рас-

~(?) (0)

пределенные случайные величины £■ = —

z (2),3 = 1, 2, г = 1, ...,Б, и их суммы =

£р) + ... + £1(р). Тогда вероятности РК,0 = п}, 3 = 1, 2 можно представить в виде соотношения (34) при т = 2, где Y определено соотношением (52).

Очевидно, что выполнено соотношение (35) при т = 2.

Учитывая, что г = п — Z(2)^ — 1п N из (2) и (52) следует справедливость соотношений (37). Тогда из (4), (5), (11) и (35) находим,

\/2п

e x2/2dx.

Следуя выводу неравенства (56) при доказательстве леммы 4, можно показать, что при достаточно больших N и п справедливо

P ji(Y(n — Z(2)S)) > I ^ (76)

C25Y2 (C26 — ln Y/ln N).

Представим вероятность P2 в виде суммы (41), где

R(j) = (1 + o(1)) Е P{4' = n — Z(2) — k}x

(j)

(j)

(77)

p{c,S2i(y (n — Z (2)S)) =k — Z (2)(S —1)},

K (i) = K0 =

+Z (2)(S—1)},

1

0

к(і) = {к : п-г < к <

Увыв

7

+С (2)(в-1)},

К(2) = {к : -

7

+с(2)(в-1) < к <

/7 + С(2)(в - 1)},

К2Л = {к : Vв 1п £/7+С(2)(в-1) < к <

п

- С(2) - 7і/3(п - С(2)в)},

К3р) = {к : п — Z(2) — Y1/3(п — Z(2)Б) < к <

п — z (2) — Y(n — z (2)Б)}.

Используя соотношение (35), (41), (74)-(77) и действуя аналогично тому, как получены равенства (45) и (46) при доказательстве леммы

3, можно показать, что

Р

(і) = 2(1 + о(1))

^2п(п - С(2)N)3

(2) = 2(1 + о(1))

((п - С(2)в)3 ■

2/2^:

х,

Р

(78)

Р3Л = о(5(п - С(2)в)-3) ,і = 1, 2

Р{С^2) = п} =

Nт (1 + о(1)) (п-С^)^)т+т.

Доказательство. Утверждение этой леммы в случае, когда (п — Z(т)^)^^/N ^ 1п л/^, следует из теоремы 3 статьи [5]. Доказательство леммы 6 в случае, когда (п — Z(т)^)^\^ < \^, аналогично доказательству второй части

леммы 3. Поэтому вероятность P{zM2) = п} можно представить в виде (34), где основной вклад в сумму дает второе слагаемое.

Несложно проверить, что для Р^2) выполняется равенство (38). Используя теоремы 2.6.2 и 2.2.2 [1], и учитывая, что

^2(і) =

ф(і) - е рг 1 - Рг

где ф>2(£) обозначает характеристическую

функцию случайной величины £(2), несложно показать, что выполняется соотношение (39)

(2)

для случайной величины (п — Z(т)Б)).

Аналогично доказательству леммы 3 нетрудно видеть, что вероятность Р2 можно представить в виде суммы (41) при 3 = 2. Используя (2) и (4), несложно заметить, что при (2)

к € К1 , справедливо равенство:

Р{С^2) = п — Z (т) — к} = т (1 +о(1))

(1 - Рг)(п - С(т)в)т +Г

Тогда из (39) и (41) находим, что

Я(2) = т (1 + о(1))

1 (1 — рг )(п — Z (т )Б )т+1.

Оценки для Я(2), г = 0, 2, 3 проводятся аналогично оценкам Я(2), г = 0, 2, 3 при доказательстве леммы 3. Отсюда получаем, что

( 0)

Оценка Р1 , 3 = 1, 2 проводится аналогично оценки Р1 при доказательстве леммы 4, согласно которой

Рр) = о (Б(п — Z(2)Б)-3) .

Тогда утверждения леммы 5 следуют из (34) и (78). □

Лемма 6. Пусть N п ^ то, т > 2 так, что (п — Z(т)^)/^^ ^ то, Б = N(1 — рг + о(рг)). Тогда при фиксированных г справедливо

Р

(2)

т(1 + о(1))

(1 - Рг)(п - С(т)в)т +Г

Оценки вероятностей Р(2) и Р3(2) проводят-

Г»(2) г»(2)

ся так же, как оценки Р1 и Р3 при доказательстве леммы 3, согласно которым для веро-

(2) (2)

ятностей Р1 и Р3 справедливы соотношения

(46) и (51) при 3 = 2 соответственно.

□

Аналогично лемме 6, используя доказательства лемм 4 и 5, нетрудно показать, что справедливо следующее утверждение.

Лемма 7. Пусть т = 2,^, п ^ то так, что (п — Z(2)^)/^ 1п N ^ то, Б = N(1 — Рг + о(рг)). Тогда при фиксированных г справедливо

Р{СІ2) = п} =

2N (1 + о(1)) (п - С(2Ж)3 .

Теперь можно доказать теоремы 1-4.

При выполнении условий теоремы 1, учитывая, что г = п - С(т)N - £\/^, из (2) находим, что NPг = о(1). Тогда справедливость утверждения теоремы 1 следует из лемм 1, 2 и первой части леммы 3.

Пусть выполнены условия теоремы 2. Согласно пуассоновскому приближению биномиального распределения, равномерно относительно целых к, для которых (к - Npг)/у^рг

е

лежит в любом конечном интервале,

(N)pk (1 — Pr )N-k = (79)

(Np!r) exp {—Npr } (1 + o(1)).

Используя лемму 2 и второй пункт леммы 3, получаем, что

p{ZN2-к = n — kr}/P {Zn = n}^ 1,

отсюда и из (79) следует первая часть утверждения теоремы 2. Для доказательства второй части теоремы 2 воспользуемся тем фактом, что при Npr (1 — pr) ^ то равномерно относительно (k — Npr)/\/Npr (1 — pr)

(N^jpk (1 — Pr )N-k = (80)

(1 + o(1)) / (k — Npr )2 1 .

A/2nNpr (1 — Pr) I 2Npr(1 — pr H

Тогда справедливость второй части теоремы 2 следует из лемм 1, 2, 6 и соотношения (80).

Утверждение теоремы 3 вытекает из лемм

1, 4 и первого пункта леммы 5.

Справедливость теоремы 4 следует из лемм 1, 4, 7, второго пункта леммы 5 и соотношений (79) и (80).

Работа выполнена при поддержке Программы стратегического развития на 2012-2016 гг. «Университетский комплекс ПетрГУ в научно-образовательном пространстве Европейского Севера: стратегия инновационного развития».

Литература

1. Ибрагимов И. А., Линник Ю. В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.

2. Колчин В. Ф. Случайные отображения. М.: Наука, 1984. 208 с.

3. Колчин В. Ф. Случайные графы. М.: Физ-матлит, 2004. 256 с.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ:

Чеплюкова Ирина Александровна

старший научный сотрудник

Институт прикладных математических исследований Карельского научного центра РАН ул. Пушкинская, 11, Петрозаводск, Республика Карелия, Россия, 185910 эл. почта: chia@krc.karelia.ru тел.: (8142) 763370

4. Крамер Г. Об одной новой предельной теореме теории вероятностей // Успехи матем. наук. 1944. № 10. С. 166-173.

5. Нагаев А. В. Предельные теоремы, учитывающие большие уклонения, при нарушении условия Крамера // Труды академии наук УССР. 1969. Т. 13, № 6. С. 17-22.

6. Павлов Ю. Л. Предельное распределение объема гигантской компоненты в случайном графе Интернет-типа // Дискретная математика. 2007. Т. 19, № 3. С. 22-34.

7. Павлов Ю. Л., Чеплюкова И. А. Случайные графы Интернет-типа и обобщенная схема размещения // Дискретная математика. 2008. Т. 20, № 3. С. 3-18.

8. Павлов Ю. Л. О предельных распределениях степеней вершин в условных Интернет-графах // Дискретная математика. 2009. Т. 21, № 3. С. 14-23.

9. Павлов Ю. Л. Об условных Интернет-графах, степени вершин которого не имеют математического ожидания // Дискретная математика. 2010. Т. 22, № 3. С. 20-33.

10. Павлов Ю. Л. О предельных распределениях степеней вершин условного графа // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2011. Т. 18, № 3. С. 455-456.

11. Cheplyukova I., Pavlov Yu. Limit distributions of vertex degree in conditionnal power-law random graphs // Transactions of the XXVI International Seminar on Stability Problems for Stochastic Models. (Karniel, october 2007). Israel, 2007. P. 52-59.

12. Durrett R. Random Graph Dynamics. N.Y.: Cambridge University Press, 2007. 221 p.

13. Faloutsos C., Faloutsos P., Faloutsos M. On power-law relationships of the Internet topology // Computer Communications Rev. 1999. Vol. 29. P. 256-262.

14. Newman M. E. J., Strogatz S. H., Watts D. J. Random graphs with arbitrary degree distribution and their applications their applications // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 026118.

15. Reittu H., Norros I. On the power-law random graph model of massive data networks // Performance Evaluation. 2004. Vol. 55. P. 323.

Cheplyukova, Irina

Institute of Applied Mathematical Research, Karelian Research Centre, Russian Academy of Sciences 11 Pushkinskaya St., 185910 Petrozavodsk, Karelia, Russia

e-mail: chia@krc.karelia.ru tel.: (8142) 763370