О точности аппроксимации для квантилей в выборке случайного объема Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

В.И. Пагурова

О ТОЧНОСТИ АППРОКСИМАЦИИ ДЛЯ КВАНТИЛЕЙ В ВЫБОРКЕ СЛУЧАЙНОГО ОБЪЕМА1

(кафедра математической статистики факультета ВМиК, e-mail: pagurova@yandex.ru)

Исследуется скорость сходимости к пределу распределения выборочной квантили при неограниченном увеличении объема выборки в предположении, что исходное распределение сосредоточено на полуоси, а параметр сдвига неизвестен. Объем выборки может быть как детерминированным, так и случайным. В качестве случайного объема выборки рассматриваются величины, имеющие распределение Пуассона и отрицательное биномиальное распределение.

Пусть Xi,... ,Хп независимы и одинаково распределены с общей функцией распределения (ф.р.) F(x), f(x) = F'(x), Х^ означает к-ю порядковую статистику в вариационном ряду х[п^ ^ X^ ^ ...

(п) (п)

... ^ Хп ■ Рассмотрим асимптотическое распределение выборочной квантили при п ^ оо,

О < а < 1, F(Ça) = а, оа = \Jа(\ — а). Н.В. Смирнов [1] доказал, что если /(£а) > 0, то

У = Уп(х) = Z°f(c , + g«, (1)

VnJ\Ça)

Ф(ж) — ф.р. стандартного нормального закона. В работе [2] доказано, что если /(£а) > 0 и /'(ж) ограничена на всей прямой, то при п ^ оо

sup

х £R

PiX[an]+l < У} ~ Ф(Ж) =0(n"t)

В настоящей работе исследуется асимптотическое распределение нормированной разности ^iiv^+i — x[Nn^ при п оо в предположении, что .V i. .V ... ,Xn,Nn независимы, Nn является неотрицательной целочисленной случайной величиной, ф.р. величин Xi, Х2, ■ ■ ■, Хп имеет вид F(x — а), а — неизвестный параметр сдвига, F(0) = 0, /(0) > 0. Далее всюду считаем, что /(£а) > 0, /'(ж) ограничена на всей прямой, ||/'|| = sup |/'(ж)|, sup-fa; : F(x) < 1} = оо, U^ означает к-ю порядковую

x£R

статистику в вариационном ряду, образованном на основании п независимых одинаково равномерно распределенных на отрезке (0,1) величин Ui, U2, ■ ■ •, Un. Предварительно рассматривается случай детерминированного объема выборки п.

Теорема 1. При п ^ оо

sup

x£R

P{X^n]+1 - х[п) <у}^ Ф(х) = О(п-), 0 < г <

1

у определяется соотношением (1).

Доказательство. Без нарушения общности будем считать, что осп — целое число. Тогда совместная плотность (х[п\ Х^+1) имеет вид

Мщу)=Сп(Р(у)-Р(и))ап-1(1-Р(у))^п-1Ни)/(у), и<у, Сп =

{an — 1)!((1 — о)п — 1)!'

и+у

Кп = Р{Х™+1 - < y} = Сп J f(u)du J (F(v) - F(îi))an_1(l - F(v))i*l~aïn~l f (v)d,v.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 05-01-00535.

После замены t = (F(v) — F(u))/( 1 — F (и)) получим

оо G (и)

Кп =

Сп

п

J gn{u)du J tan~^l ^ t){1-a)n~4i = J gn(u)Hn(u)du, (2)

о

9n(u) = n( 1 — F(u))n 1f(u) — плотность распределения (X^ — a), Hn(u) = P{/3an,(i-a)n ^ G(u)}, PrtS имеет бета-распределение с параметрами (г, s) и плотностью распределения

hrAx) = lf\tis\tr-1(^ty-1, 0 < i < 1, r,s>0, r(r)r(s)

G (и) = (F (и + y) - F(u))/( 1 - F (и)). Рассмотрим

ос

J gn(u)Hn(u)du < P{^n) - a ^ n"7} = (1 - F(n"7))n = (1 - /(0)n"7 + o(n"7))n = «(n"1) (3)

n—>'

при 0 < 7 < 1. На отрезке и G (Q, п~7) имеем

F (у) + 0(n~7) < G(«) < + n"7) + 0(n~7), тогда из соотношений (2) и (3) имеем

K„2 + o(n_1) < кп < +ОСП"1), (4)

= Р^"^ < ^(У + + 0(п"7)},

Здесь мы использовали известное соотношение Pk,n-k+i = Обозначим

п ~ ^лп {)

и рассмотрим случай |ж| ^ гп, тогда

р [ - арл/п^Т 1

-fi ni — * л ^ ¿П ( 1

I J

где

(F(y + n-7) + Р(та~7) - Т =-. (6)

Имеем

- Ф(ж)| < \Кп1 - #(zn)| + |#(zn) - Ф(ж)| . В работе [2] показано, что при п ^ оо

sup|Kni - #0„)| = 0(n"i), поэтому нужно показать, что при п ^ оо

1

sup |Ф(гп) - ф(ж)| = 0(п т), 0 < т < -. хек 2

Действительно,

, f'(v)vix2

F{y + n"7) = а+^х+ а + 0(п"7),

л/п 2/2(£а)п

тогда

/Т II /Т^ /Т>^ /~г || /т^ /У>2

°+ ^- ЮГ+ 0("г7) < F(v + « Q + + жг+

ж — — + 0(n"7+i) < zn < ж + + 0(n"7+i),

2 r„

2r„

поэтому

ф (х - тг~ + 0(n~"<+iЛ < #(zn) < Ф (х + + 0(n~"<+i) \ 2 rn J \ 2 гп

1 1 1 sup|#(zn)^#(s)| = 0(n"7+i), 7--= г, 0 < г < xeR 1 1

(7)

(8)

следовательно,

\Кп1^Ф(х)\ = 0(п~т)

при |ж| ^ гп.

Далее, при х ^ —гп имеем

Кп1 = 1{Щ < Ln(x)} Z (n - l)a|,

где I{Ä} — индикатор события А, Ln(x) = F(y + п 7) + 0(п 7), тогда

Кп1 = р{|>№ < L„(x)} - Ln(x)) > (n - l)(a - Ln(x))\ < (n f^f < ^

lj=1 J vn -U V® -knWJ n

(9)

по неравенству Чебышева, так как

и О! — Ьп(х) > 0 для достаточно больших п. Поскольку

Ф(-х) < ехр(^ж2/4)/л/2 (10)

при ж ^ 0, то при ж ^ —тп

Ф(ж) < о(п-1). (И)

Из условий (9) и (11) следует, что при ж ^ —гп имеем \Кп\ — Ф(ж)| = 0{п~1). Аналогичный результат следует и для ж ^ гп. Аналогичным образом

получаются такие же оценки для /\" ,,•_>• С использованием соотношения (4) получим доказательство теоремы.

Теорема 2. Пусть Ып имеет распределение Пуассона с параметром п, ~ П(п),

Р{ЖП = к} = ехр(—п)пк/к\, к = 0,1,..., тогда при п ^ оо

Бир

Р{Х

(Nn)

[aNn]+1 - x[Nn) <у}^ Ф(ж) = 0(п~П, 0 < г < ^

1

у определяется соотношением (1).

Предварительно докажем следующее утверждение. Лемма!. Если ~ П(п),

Fk{x) = Р

^ ^ (X[al] +1 Ca) < ж

и (У

при к оо, то

sup\Fk(x) - Ф(ж)| = О (к 2)

x£R

supBn(x) = sup PjX^, у} - Ф(ж) =0{n 2)

же R x£R 1 nJ

(12)

(13)

при n оо, у определяется соотношением (1).

Доказательство. Сначала рассмотрим

п/2

«Л = = к} \Рк(х) ~ Ф(ж)1 < Р {^п < = Р I ^^ < Л/П

к= 1

П

Из соотношения (10) следует, что Ф = о(п *) при п ^ оо. Используя неравенство Берри-

Эссеена, получим

«/1 = 0(гг4). (15)

Далее,

ос

Р{Мп = к}\Рк(х)^Ф(х)\^0(п-^) (16)

к=п/2+1

с использованием соотношения (13), доказанного в работе [2]. Из (15) и (16) следует, что при п ^ оо

= к} зир\Fkix) - Ф(я)| = 0(п"4). ^ хеи

(17)

Теперь рассмотрим

оо

Вп(х) = ]ГР{ЖП = к} к= 1

оо

/г=1

^ |®а/-I -ф(®)

к=1

'к

Ф ( х\1 - I - Ф(ж)

/г=1 = ^ +

^ I I - Ф \Х\ -

п \ V п

из соотношения (17). Далее, разложим в ряд Тейлора в точке г = 1, получим

х /т)

Ф(ху/г) = Ф(ж) - ф(хл/г])——(г - 1), |?7 - II < - II, ф(х) = Ф'(х).

2т]

Так как Е — 1| = 0(п~4) При п —> оо, то с использованием неравенства Маркова получим

(18) (19)

Р{г] < 0,5} < Р функция хф(х) ограничена на всей прямой и

п

^ 0,5 ^ = 0(п"),

(20)

= 0(п").

Из соотношений (18)—(20) следует соотношение (14).

Доказательство теоремы 2 следует доказательству теоремы 1. Вместо величины Кп рассмотрим

оо

1-11 = -а)к < ^(и)}^, (21)

*=1 £

ОО

ос « оо

Р{ЖП = *} / < < Р{Мп = к}( 1 - ¿^(п"7))* <

о /7 /==1

< ехр(^/(0)п1"7 + о^1"7)) = о(п~^), 0 < 7 < 1, вместо величин КпЛ и Кп2 рассмотрим

оо

¿„1 = Р{ЛГП = А^Р^"1* < ^(у + п"7) + 0(п"7)}, к=2

тогда

!-„■; = Y1 PiN* = k}p{uak~1} < F(V) + к=2

¿n2 + o(n_1) < Ln < Lni + o(n_1).

(23)

(24)

В случае |ж| ^ rn имеем

ОС f (тт{к-1) _ \

k = 2

O" n

определяется соотношением (6),

|Lni - Ф(ж)| < \Lnl - #(zn)| + |#(zn) - Ф(ж)|,

sup \ Lni — Ф(гп)| = 0(n~i ) по лемме 1, далее используем соотношение (8), в результате получим при \х\ < гп

\Lni — Ф(ж)| = 0(п_т), 0 < г < При х ^ —тп с использованием соотношения (9) и неравенства Чебышева имеем

ОО . , »/'-' СЮ ч

к = 2 1ч.-О /о I 1 J

4 к=2 к=п/2+1

(см. доказательство леммы 1). Таким образом, \Ьп\ — Ф(ж)| = 0(п~2) при х ^ При х ^ гп

имеем такую же оценку. Аналогичный результат получаем для ЬпИз соотношения (24) получаем доказательство теоремы 2.

Теорема 3. Пусть Ып имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г> п) ' г ^ 1 Целое> ~ Чг,

P{JVn = fc} = + Г Ч — f 1 - -

к

п'

п

к — 0,1,...,

тогда при п ^ оо

sup

х £R

V

= О (п

Р2г(х) — ф.р. Стьюдента с 2г степенями свободы и плотностью распределения

р2г(ж) = Д_ 2; [ 1 ' -

у/27ГгГ(г) \ 2г

^ОО < X < оо.

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 2. В предположении /(£а) > 0, ограниченности /'(ж) на всей прямой и ~ Ъ (г, имеем при п ^ оо

sup

жед

V

= 0(п").

Действительно, в предположениях леммы имеем утверждение (13) (теорема из работы [2]), ¿^(ж) определяется соотношением (12), утверждение леммы следует из условия (13) и теоремы 3 работы [5].

Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству теоремы 2. Имеем соотношение (21), где ~ Ь (г, Вместо соотношения (22) имеем

\-J\J р \-J\J

Y,V{Nn = k} / gk(u)P{Pakiil_a)k^G(u)}du^Y,P{Nn = k}(l-F(n-''))k =

fc=i fc=i

п ^

= — + Г = 0(п-Г^), 0 < 7 < 1.

пг \ п п /

Вместо соотношения (24) имеем

Lnз + 0(n-r^) Lnl + 0(п~гМ), (25)

Lni и Ln2 определяются соотношениями (23) при условии Nn ~ b (г, Далее, в случае |ж| ^ гп имеем

\Lnl - P2r(x)\ ^ \Lnl - P2r(zn)\ + \P2r(zn) - P2r(x)\ , sup \Lni — P2r(zn) \ = 0(n~i) по лемме 2. Соотношение

\P2r(Zn)^P2r(x)\=0(n-^)

доказывается аналогично доказательству соотношения (8), так как неравенство (7) справедливо также и для функции Р2г(х). Таким образом, при |ж| ^ гп имеем

11

\Lnl^ Р2г(х)\ = 0(п т), г = 7--, 0 < т < -. При х ^ —гп с использованием неравенства Чебышева имеем

ОО -./ПОс

fc=2 к=2 к=п+1

tpw.^ililvp + l-^fi-lVli^-vl

^ 1 & nr~l \ п) к n{r - \)\ к

к=2 к=1 v / \ / v / fc=1

= — (logn + С2 + 0(n-1)) = 0(n_1 log и) п

при п ^ оо. Здесь мы использовали формулу суммирования Эйлера-Маклорена (см. [8, гл. 3]). Далее,

1 к

Lni = 0{n~l logn).

ОО

х; р{Nn=k}-=o(n-%

к=п+1

поэтому при п —У оо Так как при ж ^ О

то при ж ^ —тп и при п ^ оо

Т2Ч "»-/2

Р2г(х)<С(1 + -

Р2г(ж) < 0(п~Г/2)

\ьп1 - Р2г(х)\ = 0(тах(п г/2,п Чс^п)). Аналогичная оценка получается и при ж ^ гп. Таким образом, при п ^ оо

8ир|Ьп1 ^Р2г (ж) I = 0(п"т), т = 7-^, 0<т<^. (26)

жед ^ ^

Совершенно аналогично доказывается такое же соотношение для Ьп2. Учитывая соотношения (25) и (26), получим г( 1 — 7) =7 — 1/2, отсюда 7 = (2г + 1)/(2(г +1)) и г 7-1 /2 г/(2(г + 1)), что и требовалось.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Смирнов Н.В. Предельные законы распределения для членов вариационного ряда // Тр. МИАН им. В.А. Стеклова. 1949. 25. С. 5-59.

2. Re i s s R. D. On the accuracy of the normal approximation for quantiles // Ann. Probab. 1974. 2. N 4. P. 741-744.

3. Reiss R. D. Asymtotic expansions for sample quantiles // Ann. Probab. 1976. 4. N 2. P. 249-258.

4. Бенинг В.E., Королев В.Ю. Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики // Теор. вероятн. и примен. 2004. 49. № 3. С. 417-435.

5. Беврани X., Бенинг В. Е., Королев В. Ю. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением и скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2005. С. 88-103.

6. Пагурова В.И. Об асимптотическом распределении случайно индексированного максимума // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2005. С. 104-113.

7. Пагурова В.И. Об асимптотическом распределении максимальной порядковой статистики в выборке случайного объема // Информатика и ее применения. 2008. Вып. 2. С. 54-58.

8. Barndorff-Nielsen O.E., Сох D. R. Asymptotic techniques for use in statistics. L.; N.Y.: Chapman and Hall, 1989.

Поступила в редакцию 22.11.07

УДК 530.145

К.С. Аракелов, Ю.И. Ожигов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЗАПУТАННЫХ КВАНТОВЫХ СОСТОЯНИЙ1

(кафедра квантовой информатики факультета ВМиК, e-mail: ozhigov@cs.msu.su)

При ассоциации двухатомной молекулы мы рассматриваем атомы как квантовые частицы, находящиеся в запутанном квантовом состоянии. Предлагаемая модель ассоциации основана на отборе таких состояний по принципу их плотности в конфигурационном пространстве, что в точности соответствует отбору по величине амплитуды двухчастичных состояний. Приведен результат одного шага такого отбора, вычисленный на основе метода коллективного поведения.

Введение. Квантовая физика является теоретической основой для описания атомных и молекулярных процессов. Эти процессы состоят из эффектов коллективной природы, которые не могут быть объяснены через простую комбинацию свойств отдельных частиц. Однако прямое применение квантовой теории к таким многочастичным системам наталкивается на вычислительные трудности принципиального характера, что делает такое ее применение невозможным. Именно с этой трудностью связано отсутствие в настоящее время удовлетворительного симулятора химических реакций. В данной работе мы предлагаем простой способ моделирования одного из главных химических процессов — ассоциации двух атомов в молекулу, основанный на методе коллективного поведения, предложенном в работах [1, 2]. Этот подход может стать основой для построения симуляторов химических реакций, учитывающих запутанные квантовые состояния участвующих в них частиц.

В стандартной квантовой теории поведение системы п частиц описывается волновой фукцией вида |Ф) = ^ Ар |r), г = (ri, г2,..., гп), где rj — коодинаты частицы j. Если система п частиц разбита

г

на две части, Si и и ее волновая функция есть произведение волновых функций, соответствующих каждой из подсистем: |Ф) = |Ф1)0|Ф2), то такое состояние объединения двух систем называется незапутанным. Фундаментальную роль в химических процессах имеют как раз запутанные квантовые состояния. Представление волновой функции n-частичной системы в виде |Ф), значения которой Af зависят от п троек координат, означает, что мы имеем дело с экспоненциальным ростом

хРабота поддержана фондом компьютерной компании НИКС, грант № F793/8-05.