CC BY
11
40
вестн. моск. ун-та. сер. 15. вычисл. матем. и киберн. 2010. № 2
УДК 519.6
В.И. Пагурова1
О СОВМЕСТНОМ АСИМПТОТИЧЕСКОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ СЛУЧАЙНО ИНДЕКСИРОВАННЫХ ПОРЯДКОВЫХ СТАТИСТИК*
Исследуется совместное асимптотическое распределение нормированных центральных порядковых статистик при случайном объеме выборки. Данное сообщение является продолжением работ [1, 2], в которых распределение Стьюдента выступает в качестве предельного распределения для некоторого класса статистик. Результат исследования применяется при построении статистических выводов об отношении параметр сдвига/параметр масштаба для двупараметрических семейств распределений.
Ключевые слова: порядковые статистики, случайный объем выборки, двупараметриче-ское семейство распределений.
Пусть даны независимые случайные величины Х\,..., Хп, , Х\,..., Хп одинаково распределены с общей абсолютно-непрерывной функцией распределения (ф.р.) .Р(ж), /(ж) = -Р'(ж), 0 < А1 < ... • • • < ^к < 1, = А*, I — 1,..., к, принимает целые неотрицательные значения. Обозначим
^л-п]+1' ^ = 1, • • •, порядковую статистику ранга [А^п] + 1 в вариационном ряду х[п^ ^ ... ^ Х^п\ построенном по первоначальным наблюдениям Х1,..., Хп. Рассмотрим вектор Оп = (£?1)П,..., где
вг,п = л/й(Х$п] + 1 - СА.ШСА^/л/^а-Лг), г = 1 ,...,к. (1)
Основываясь на теореме 10.3 из монографии [3], заключаем, что при условии 0 < /(Сл4) < г = 1,... ,к, совместное асимптотическое распределение компонент вектора Оп при п ^ оо является ^-мерным нормальным распределением с вектором нулевых математических ожиданий и ковариационной матрицей
А = = ;.;, I.....к. (2)
Нас интересует асимптотическое поведение вектора Яп = (<21,п, • • •, Як,п)-, гДе
Яг,п = ^'(Х1Х1Ип}+1 - )/(Са»)/\/Лг(1 ~ А»), г = 1, . . . , к,
когда порядковые статистики Х^^ ... строятся по выборке случайного объема
Следующее утверждение, которое нам понадобится, можно найти, например, в монографии [4, с. 99].
р
Лемма. Пусть '/.„ и N(1) — независимые случайные величины, N(1) —> оо, £ оо. Если —> Я, п оо, тогда —> Z, I ^ оо.
Заметим, что компоненту <3г,п вектора Яп можно записать в виде
Яг,п = ^г^п/\ —~5 г = 1,
, /и,
р
С?г)П определяется соотношением (1). По вышеупомянутой лемме вектор Сгдгп ПРИ условии Нп —> оо в пределе при п ^ оо имеет ^-мерное нормальное распределение с вектором нулевых математических ожиданий и ковариационной матрицей А, определяемой соотношением (2).
1 Факультет ВМК МГУ, с.н.с., к.ф.-м.н., e-mail: pagurovaQyandex.ru
*Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 05-01-00535.
(I р
Предположим далее, что Л^/п —> 7, Р{7 > 0} = 1, —> оо. Следовательно, предельную
плотность /г(ж1,...,хк) компонент вектора можно записать в виде
Щ-Гк/2<р(у/^хи ■ ■ ■, у/чхк) = Е77к'2 * ехр (^]-хтА-1х) , ж = (жь ..., хк)т, (3)
(гя-)*/2 ' 42 '
<р(-) является ^-мерной нормальной плотностью с вектором нулевых математических ожиданий и ковариационной матрицей А.
Рассмотрим случай, когда имеет отрицательное биномиальное распределение Ь(г, г/п), г ^ 1,
т. е.
Р{Мп = к} = С^+к_1^У (1-^)* , * = 0,1,... .
Вычисляя характеристическую функцию фп(£) величины Нп/п и устремляя п к бесконечности, най-
<1
дем, что 'фп{Ь) (1 — й/г)_г, что доказывает сходимость Нп/п —> 7, где величина 7 имеет гамма-распределение с плотностью
гг ехр(^гж)жг_1
(г - 1)!
х > О,
или, что то же самое, распределение х!г/{^г)-, гДе Хк имеет распределение хи-квадрат с к степенями свободы. После вычисления математического ожидания в соотношении (3) получим, что при п ^ оо предельная плотность компонент вектора имеет вид
гГТ(г+1) / 1 -
А (6,..., ь)/(6, • • •, ь) ~ ли о, а).
Вышеизложенные соображения позволяют высказать следующее утверждение.
Теорема. Пусть даны независимые случайные величины Х1,... ,Хп,Мп, Х1,... ,Хп одинаково распределены с общей абсолютно-непрерывной ф.р. -Р(ж), /(ж) = -Р'(ж), 0 < А1 < ... < Л^ < 1, = Аг, 0 < /(Сл.) < с«; ъ = 1 -,■■■",к-, имеет отрицательное биномиальное распределение с параметрами (г,г/п). Тогда при п ^ оо предельным распределением вектора является к-мерное распределение Стьюдента с 2г степенями свободы и параметрами (О, А), т. е. имеет место соотношение (4).
Приложения. Пусть V).....)'„ — независимые и одинаково распределенные случайные величины с общей ф.р. .Р((ж — а)/Ь), зависящей от неизвестных параметров сдвига а и масштаба Ь, |а| < оо, Ь > 0. Обозначим с = а/Ь. Для проверки гипотезы
Н0 :с = с0
против альтернативы
Д
Н\ : с = со Н—-=, А > О,
л/п
в работе [5] построен асимптотически оптимальный С(а)-критерий Д. Неймана [6-8] и рассмотрена его модификация, основанная на оценках максимального правдоподобия неизвестных параметров. Однако условия регулярности, при которых существует С(а)-критерий, выполняются не всегда. Далее мы рассмотрим аналог критерия [5], основанный на случайно индексированных центральных порядковых статистиках. Этот критерий можно использовать в тех ситуациях, когда условия регулярности не выполняются и С(а)-критерий не существует (в частности, когда область выборочного пространства, в которой функция правдоподобия положительна, зависит от неизвестных параметров).
Обозначим Хг = (Уг — а)/Ь, г = 1,... ,п, /(ж) = ж). Будем считать, что 0 < А1 < Аг < Аз < 1, Р((хг) = Аг, 0 < /(Сл4) < оо, г = 1, 2, 3, величины ..., Уп, независимы, имеет отрицательное
биномиальное распределение b(r,r/n). Рассмотрим статистику
V(Nn) y(Nn)
T(v] I[X2Nn]+l ^[X2Nn] + l C , ■
1 ' v№) _ y(Nn) Y(iV„) _ Y(Nn) ■ W
^[aijv^ + l I[X3Nn]+l [ai jVn] + l [a3 jVn] + l
При n ^ oo имеем
вектор (£1, £2, £з) имеет нормальное распределение Ж3(0, А), А определяется соотношением (2). Подставив представления (6) в соотношение (5), получим
(Са2 + с) / в / xl /J_
(СХг ~ САз) i Vn(cx2 + с)/ v 2г+°Р\уЪ
ВД с) = [Т(У)(СА1 - Саз) - (Са2 + с)]^=вД/Зг + 0р( 1),
где
в = В2& - - ^з$з)(Сл2 + С)
(сах - са3)
Дисперсия с2 (с) величины в имеет вид
2/ \ й2 ^ (В21+в1^2В1в3а13)((х2+с)2 2(в1в2а12 ^ в2в3а23)(сх2 + с)
а (с) = в2 +-—-—-----—-—-,
(Сах - САЗ) (САХ - Са3)
поэтому величина в имеет нормальное распределение n(0, а2(с)) и при гипотезе на
Тг{¥,с о) „
(Т(с0)
при п ^ оо, 12г имеет распределение Стьюдента с 2г степенями свободы.
Таким образом, асимптотический критерий, являющийся аналогом асимптотически оптимального С(а)-критерия Д. Неймана [5] и основанный на случайно индексированных порядковых статистиках, для проверки гипотезы Но против альтернативы Н\ имеет асимптотический уровень значимости а и критическую область
ш [ 1Т(У)((м ^ Са3) ^ (Са2 + Ср)]^/п \
УУ — < ----- ^ *1—а,2г > ,
I <г(со) J
где Т(У) определяется соотношением (5), означает р-квантиль распределения Стьюдента с к степенями свободы. Асимптотическая мощность критерия при п ^ оо имеет вид
а,2г "Г , ч
Ь2г(-) означает ф.р. Стьюдента с 2г степенями свободы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бенинг В. Е., Королев В.Ю. Об использовании распределения Стьюдента в задачах теории вероятностей и математической статистики // Теор. вероятн. и примен. 2004. 49. № 3. С. 417-435.
2. Беврани X., Бенинг В. Е., Королев В. Ю. О точности аппроксимации отрицательного биномиального распределения гамма-распределением и скорости сходимости распределений некоторых статистик к распределению Стьюдента // Статистические методы оценивания и проверки гипотез. Пермь: Изд-во Пермского ун-та, 2005. С. 88-103.
3. David Н. A., Nagaraja H.N. Order Statistics. J. Wiley and Sons, 2003.
4. Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Berlin: Springer, 1997.
5. Pag uro va V.l. On asymptotically optimal tests in problems of sampling inspection by variables //J. Math. Sciences. 112. N 2. 2002. P. 4168-4173.
6. Neyman J. Optimal asymptotic tests of composite statistical hypotheses // Probability and Statistics. N.J.: J. Wiley and Sons, 1959. P. 213-234.
7. Moran P. A. D. On asymptotically optimal tests of composite hypotheses // Biometrika. 57. N 1. 1970. P. 47-55.
8. Бернштейн A.B. Асимптотически подобные критерии // Итоги науки и техники. Теория вероятностей и математическая статистика. 17. 1979. С. 3-56.
Поступила в редакцию 10.12.09
УДК 519.716
С.С. Марченков1
СМЕШАННОЕ id-РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЗНАЧНОЙ ЛОГИКИ*
Вводится понятие смешанного id-разложения функций многозначной логики. При любом к ^ 2 определяется степень смешанного id-разложения класса всех функций fc-значной логики, а также степень смешанного id-разложения класса всех булевых функций над классом самодвойственных монотонных функций.
Ключевые слова: функции многозначной логики, смешанное id-разложение.
В теории функций многозначной логики важное место занимают разнообразные разложения (представления) функций. Они используются в доказательствах полноты конечных систем функций в различных замкнутых классах, при оценке сложности реализации функций формулами и схемами в полных и неполных базисах, в вопросах построения надежных схем из ненадежных элементов и в других направлениях исследований функций многозначной логики.
Один из распространенных типов разложения основан на идее восстановления разлагаемой функции по ее "подфункциям", полученным всевозможными отождествлениями двух переменных. Некоторый вариант такого разложения был формализован в работе [2] в виде равномерного id-разложения. Дальнейшие исследования равномерного id-разложения проводились в работах [3, 4], где в основном рассматривались вопросы равномерного id-разложения одних замкнутых классов над другими.
В работе [4] введено понятие равномерного смешанного id-разложения, которое обобщает понятие равномерного id-разложения. В [4] это понятие использовалось исключительно для получения результатов отрицательного характера: о невозможности равномерного смешанного id-разложения класса функций fc-значной логики над некоторыми предполными классами.
В настоящей статье мы хотим обратиться к положительным аспектам понятия равномерного смешанного id-разложения (далее — смешанного id-разложения). Именно будут найдены степени смешанного id-разложения классов функций fc-значной логики над некоторыми "малыми" замкнутыми подклассами. Для произвольного к ^ 2 это класс ///, всех однородных функций из /'/■• которые сохраняют (к — 1)-элементные множества (теорема 1), а для класса í'j булевых функций это классы монотонных (теорема 2) и самодвойственных монотонных функций (теорема 3). Полученные результаты показывают, что смешанное id-разложение является значительно более сильным инструментом, нежели равномерное id-разложение.
Дадим необходимые определения. Пусть к ^ 2, Ек = {0,1,..., к — 1}, — множество всех функций на /•.'/. (множество функций fc-значной логики). Если f(xi,... ,хп) € //,■• n ^ 2, 1 ^ i,j ^ п и г ф j, то через fj будем обозначать функцию f(x\,..., Xj-i, Xi, Xj+i,..., xn), которая получается из функции f(xi,... ,хп) подстановкой переменной xi вместо переменной Xj.
1 Факультет ВМК МГУ, проф., д.ф.-м.н., e-mail: mathcybQcs.msu.su
* Работа выполнена при поддержке РФФИ, проекты 09-01-00701 и 10-01-00768.
