ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ВЕЛИЧИНЫ НИЖНЕГО ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА ρ ∈ (0, 1) С НУЛЯМИ ЗАДАННЫХ УСРЕДНЕННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 34-60.

УДК 517.521+517.547.22

ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ВЕЛИЧИНЫ НИЖНЕГО ТИПА

_ _ «_» _ _ , , _

ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ ПОРЯДКА р е (0,1) С НУЛЯМИ ЗАДАННЫХ УСРЕДНЕННЫХ ПЛОТНОСТЕЙ

Г.Г. БРАЙЧЕВ

Посвящается памяти профессора Игоря Федоровича Красичкова-Терновского

Аннотация. Найдены точные двусторонние оценки величины нижнего типа при порядке р е (0,1) целых функций, корни которых имеют заданные верхнюю и нижнюю усредненные плотности и распределены либо произвольно в комплексной плоскости, либо на одном луче. Проведен анализ полученных результатов и сравнение их с известными фактами для обычного типа целой функции.

Ключевые слова: тип и нижний тип целой функции, верхняя и нижняя усредненные плотности последовательности нулей.

Mathematics Subject Classification: 30D15

1. Введение

Исследование зависимости роста целой функции от распределения ее нулей на комплексной плоскости имеет важное значение как в самой теории целых функций, так и во многих ее приложениях (теория интерполяции и аппроксимации экспонентами, проблема нахождения радиусов полноты систем экспонент и общих функциональных систем, спектральная теория операторов, теория вероятностей, негармонический анализ, вопросы аналитического продолжения сумм степенных рядов и рядов Дирихле). Достаточно полно эта зависимость была изучена уже к середине прошлого века в случае «регулярно» растущих функций с «правильно» распределенными нулями (см. работы Б. Я. Левина [1], А. Пфлюгера [2], [3]). Здесь асимптотические формулы для целой функции и ее нулей взаимно определяют друг друга. При отсутствии подобной регулярности асимптотические законы перестают действовать, и на первый план выходят задачи определения точных границ изменения характеристик роста функции в зависимости от границ скорости изменения нулей. Классическими характеристиками роста целых функций являются тип и нижний тип, а скорость изменения нулей измеряется плотностями их распределения. Приведем точные определения.

Пусть Л = (Ага)^=1 — последовательность комплексных чисел, стремящаяся к бесконечности и выписанная в порядке неубывания модулей. Пусть далее пл(г) = ^ 1 — счи-

|А„Кг

тающая функция (с учетом кратностей) этой последовательности, а ^л(г) := /-&

о ^

G.G. Braichev, The exact bounds of lower type magnitude for entire function of order р е (0,1) with zeros of prescribed average densities. © Брайчев Г.Г. 2015.

Работа поддержана РФФИ (грант 13-01-00281). Поступила 22 октября 2015 г.

— ее интегральная, или усредненная, считающая функция. Без ущерба для общности мы предполагаем, что 0 ^ Л.

Зададим р > 0. Верхняя и нижняя плотности при показателе р (р-плотности) последовательности Л определяются равенствами соответственно

/A4 т";- -л(г) . ч -,. -Л(r)

Др(Л) := lim -Л(г), Д р(Л) := lim .

Верхняя и нижняя усредненные р-плотности последовательности Л определяются аналогичными равенствами

ТГГЗГ ^л(г) lim ^л(г)

ДГ(Л) := lim —^, Д* (Л) := lim

Типом целой функции f (z) при порядке p (коротко, р-типом) называют величину

ap(f) := lim r-plnmax |f (z)| .

Замена в этом равенстве верхнего предела на нижний приводит к определению нижнего р-типа целой функции, который будем обозначать ap(f). Хорошо известны следующие точные оценки (см., например, [1, гл. 4, §1], [4]):

ДР(Г < ap(f) í Др(Л>- (1)

Др*(Л) « ap(f) < ¡"ППР Др*(Л). (2)

Оценки сверху в (1), (2) справедливы при р Е (0,1), причем достигаются в случае, когда все нули функции расположены на одном луче, и для них в определении р-плотностей существуют обычные пределы (такие последовательности называют измеримыми). Оценки же снизу действуют при любом р > 0 и достигаются на довольно сложно устроенной последовательности комплексных чисел с равномерно распределенными на [0, 2п] аргументами.

Увеличивается ли нижняя граница для р-типа целой функции при учете не только верхней, но и нижней р-плотности ее нулей? Положительный ответ на этот вопрос вытекает из общего неравенства, приведенного в книге [5, с. 16]:

ap(f) exp - 1 . (3

Ар(Л) ехЛДр(Л) ) ехПАдЛ)

Долгое время считалось, что оценка (3) точна, но только недавно А.Ю. Попов [6, теорема 2.1] построил пример, обеспечивающий в (3) равенство и показывающий к тому же, что нижняя оценка (2) не может быть улучшена за счет учета нижней усредненной р-плотности нулей. Сказанное позволяет представить ответы к следующим экстремальным задачам.

Зафиксируем числа р > 0, в > 0, а € [0,в ], в * > 0, а* € [0,в *]. Тогда справедливы равенства

ве(в; р) := ^ {ар(/) : Л/ = Л С С, АДЛ) = в} = А (4)

^ ре

4(в*; р) := ^ {<7р(/) : Л/ = Л С С, Ар*(Л) = в*} = в*, (5)

Зс(а, в; р) := ^ {ар(/) : Л/ = Л С С, Ар(Л) = в, Ар(Л) > а} = в еа, (6)

ре

в£(а*,0*; р) := inf {ap(f) : Л, = Л С C, Д>) = в*, Др(Л) > а*} = в*. (7)

Как отмечалось выше, оценки сверху в (1) , (2) достигаются для целых функций с измеримыми нулями, расположенными на одном луче. Насколько уточняются оценки снизу в (1) — (3), если корни целой функции также лежат на одном луче? Именно для фиксированных чисел р Е (0,1), в > 0, а Е [0,в], в * > 0, а* Е [0,в*] требуется вычислить величины

sR+ (в; р) := inf {а,(/) : Лf = Л С R+, Ар(Л) = в} , (8)

sr+ (а, в; р) := inf К(/) : Лf = Л С R+, А р (Л) > а, Ар (Л) = в} , (9)

sR+ (в *; р) := inf {а,(/) : Л, = Л С R+, Ар (Л) = в*} , (10)

sR+ (а*, в *; р) := inf {а,(/) : Л, = Л С R+, А*р(Л) > а*, Ар (Л) = в*} . (11) Экстремальные задачи (8) — (11) решены совсем недавно.

Теорема A (А. Ю. Попов [7]). При любых р Е (0,1) и в > 0 справедливо равенство

sr+ (в; р) = вс(р),

где C(р) — max-. Ни^юняя грань sR+ (в; р) достигается на некоторой возрастающей последовательности положительных чисел. По поводу задачи (8) см. также [8], [9].

Теорема B (В. Б. Шерстюков [10]). Для произвольного р Е (0,1) и любых чисел в > 0 и а Е [0,в] имеет место равенство

а

па Г ва-р — ат-р

sR+ (а, в; р) =--+ max -ат.

+ Sin пр a>0 J Т +1

а(а/в)1/Р

Нижняя грань sR+ (а, в; р) достигается на некоторой возрастающей последовательности Л С R+, у которой Ар(Л) = а и Ар(Л) = в.

Переход от обычных плотностей к усредненным потребовал привлечения результатов тауберова типа, что вызвало появление корней некоторого трансцендентного уравнения (см. [11]).

Теорема C (Г.Г. Брайчев [12], [13]).

I. При фиксированных р Е (0,1) и в * > 0 экстремальная величина (10) находится по формуле

sR+ (в*; р) = C(р)рев*,

где функция C(р) определена в теореме A.

II. При фиксированных р Е (0,1), в* > 0, а* Е [0,в*] экстремальная величина (11) вычисляется по формуле

( ааУР \

а2

па* f в*а-р — а*т-р , + max ---ат

sr+ (а*, в*; р) = р . . ----- , .

+ Sin пр а>0 J Т +1

V аа1/р

где ai = ai (а*,в*) и a2 = a2 (а*,в*), ai ^ 1 ^ a2, — корни уравнения

'12)

a ln- = а*/в *. (13)

а

Величина (а*, в*; р) достигается для некоторой целой функции с нулями Л/ = Л

такими, что Ар(Л) = а* и Ар(Л) = в*.

По поводу задач (10), (11) см. также [14]—[17]. Обратим внимание на то, что в отличие от случая общего расположения нулей Л С C, учет нижней усредненной р-плотности существенно изменяет величину минимально возможного р-типа целых функций, когда

Л с R+.

Подводя итог, можно сказать, что влияние основных плотностных характеристик последовательности нулей Лf из C или из R+ целой функции f (z) на величину ее типа полностью изучено. С другой стороны, как показано в статье В. С. Азарина [18] (см. также обзор [19]), целая функция с измеримой последовательностью нулей может не иметь совершенно регулярного роста модуля, т. е. величины ее типа и нижнего типа могут не совпадать. Для полноценного описания поведения даже таких функций f (z) с известной плотностью нулей требуется знать точный диапазон изменения не только типа ар (f), но и нижнего типа а р(f). Исследованию экстремальных задач, включающих нижний индикатор и нижний тип целых функций при заданном диапазоне изменения плотностных характеристик нулей, посвящены работы А. А. Гольдберга [20], [21], А. А. Кондратюка [22], В. С. Азарина [23]. Отметим также результаты И. Ф. Красичкова-Терновского, связанные с оценками снизу для целых функций конечного порядка через близкую усредненную характеристику распределения нулей — индекс концентрации (см., например, [24]). Однако, самым естественным задачам, связанным с нижним типом при фиксированных значениях плотностей, уделялось гораздо меньше внимания. Недостаток же фактов общей теории побуждает к поиску частных ответов в каждой конкретной ситуации. Подтверждение этому можно найти в известной монографии А. Ф. Леонтьева [25, гл. VI, § 2, с. 405-409].

Работа посвящена нахождению точных двусторонних оценок нижнего типа целой функции с положительными или произвольно расположенными на плоскости нулями заданных усредненных плотностей. Приведем вначале известное соотношение

А р(—)

аp(f) > А*р(Л) > , (14)

р

которое вытекает непосредственно из формулы Иенсена и неравенств, связывающих обычные и усредненные плотности. Некоторые оценки предварительного характера для нижнего р-типа функции f (z) с — f С R+ даны в работе [17]. Оценки сверху нижнего р-типа через нижние р-плотности, подобные верхним оценкам из (1), (2), в математической литературе вообще отсутствуют. В работе [26] найдено объяснение этому факту. Именно, доказана принципиальная невозможность оценки сверху нижнего типа только через нижнюю плотность. Из нашей теоремы 5 также следует, что нельзя оценить сверху нижний -тип только через нижнюю усредненную -плотность. Однако, оценки нижнего -типа сверху, учитывающие обе р-плотности, возможны, и в [26] доказан такой точный результат, утверждающий дополнительно, что наибольшая возможная величина нижнего -типа не зависит от расположения нулей целой функции на плоскости.

Теорема D (Г. Г. Брайчев, О. В. Шерстюкова [26]). Для произвольного порядка р Е (0,1) и любых чисел а > 0 и в > 0 (а ^ в) справедливы равенства I.

sup {аp(f) : —f = — С C, А р(-) > а, Ар(—) = в} = = sup {аp(f) : —f = — С R+, А р(-) > а, А,(—) = в} =: S(а, в; р).

II.

а(в/а)1/р

пв [ вт Р - аа Р ,

S(а, в; р) =--sup -ат.

sin пр a>0 J т +1

a

Верхняя грань S(а, в; р) достигается на некоторой возрастающей последовательности Л, у которой А р(Л) = а и Ар(Л) = в.

В настоящей работе мы завершаем полное описание роста целой функции порядка р Е (0,1) при нерегулярном поведении ее нулей, заполняя вакуум в информации об оценках нижнего р-типа. Точнее, мы находим неулучшаемые оценки нижнего р-типа и снизу и сверху через усредненные р-плотности корней, решая экстремальные задачи в двух принципиальных случаях: корни функции лежат на одном луче; корни функции произвольно распределены на плоскости. Речь идет о следующих экстремальных задачах.

Пусть заданы числа р > 0, в * > 0 и а * Е [0, в * ]. Требуется вычислить экстремальные величины:

s*с(а*; р) := inf {а Д/) : Л, = Л С C, Ар(Л) = а *} , (15)

s*с(а*, в *; р) := inf {ар(/) : Л, = Л С C, А*,(Л) = а *, Ар(Л) ^ в *} , (16)

s*r+ (а *; р) := inf {а Д/): Л, = Л С R+, Ар(Л) = а *} , (17)

s*r+ (а *, в *; р) := inf {ар(/) : Л, = Л С R+, Ар(Л) = а *, А*(Л) ^ в *} , (18) S*с(а*, в *; р) := sup {ар(/) : Л, = Л С C, А*р(Л) = а *, А*(Л) ^ в *} , (19)

S*r+ (а *,в *; р) := sup {ар(/) : Л, = Л С R+, Ар(Л) = а *, А*(Л) ^ в *} . (20)

В § 2 мы решаем экстремальные задачи (15)-(18). Из полученных нами результатов следует, что наименьшие возможные значения нижнего р-типа в каждом из указанных случаев расположения нулей на плоскости не зависят от верхней усредненной р-плотности. Этот вывод непосредственно вытекает из теорем 1,2.

Теорема 1. Пусть р > 0. Для любых фиксированных чисел а * > 0 и в * > а * справедливы равенства

s*с(а *; р) = s*с(а *,в *; р) = а *.

При любом значении в * > а * существует последовательность Л С C с усредненными р-плотностями А*р(Л) = а * и Ар(Л) = в *, на которой нижние грани достигаются.

Теорема 2. Пусть р Е (0,1). Для любых фиксированных чисел а * > 0 и в * > а * справедливы равенства

* ( * \ * ( * п* \ п р £

s r+ (а ; р) = s r+ (а , в ; р) = --а .

+ + Sin пр

При любом значении в * > а * существует возрастающая последовательность Л С R+ с усредненными р-плотностями А*р(Л) = а * и Ар(Л) = в *, на которой нижние грани достигаются.

В § 3 решаются экстремальные задачи (19), (20), из которых следует, что наибольший возможный нижний р-тип целой функции, как и в случае обычных р-плотностей, не зависит от расположения нулей на плоскости, но зависит от обеих усредненных р-плотностей. Здесь доказывается следующая теорема.

Теорема 3. Для любого р Е (0,1) и любых фиксированных чисел а * > 0 и в * > а * справедливы равенства

S*с(а*,в *; р) = S*r+ (а *,в *; р) = рв * - sup Ф(Ь)

+ \ sin пр b>0

где

Ф(Ь)

т

-р

-

-Р

Т + 1

dT +

т

— aib

т + 1

dT = р

т-Р-1 ln dT,

b + 1 '

b«2 Р

b«2 Р

и a1, a2 — корни уравнения a ln—

a

а*/в* (0 ^ ^ 1 ^ а2 ^ е). Верхние грани достигаются на некоторой возрастающей последовательности Л, у которой Д*р(Л) = а* и Др(Л)= в*.

В последнем параграфе анализируется экстремальная величина из теоремы 3, даются простые двусторонние оценки этой величины. Обосновывается также вывод о невозможности получения оценки сверху нижнего р-типа функции только через нижнюю усредненную р-плотность ее корней.

b

2. ОЦЕНКИ снизу НИЖНЕГО р-ТИПА ЦЕЛОЙ ФУНКЦИИ

Доказательство теоремы 1. Пусть р > 0, а* > 0 и ß* > а* — фиксированные числа, а f (z) — целая функция порядка р с произвольно расположенными на комплексной плоскости нулями Лf = Л усредненных р-плотностей Др(Л) = а*, Д р(Л) ^ ß*. Из классической формулы Иенсена вытекает неравенство

2п

lnmax |f (z)| > -1 j lnf (re^)| d^ = ^л(г), |z|=r 2n J

0

которое после деления на rp и перехода к нижнему пределу при r ^ приводит

к оценке

аp(f) > Д*р(Л) = а *. (21)

Для завершения доказательства теоремы надо при любых значениях параметров р > 0, ß * > 0 и а * £ [0, ß*] построить такую целую функцию f(z), нижний р-тип которой удовлетворял бы равенству а p(f) = а *.

Если а * = 0, то, применяя известное неравенство Д р(Л)/р ^ Др(Л) = а * = 0, имеем Д р(Л) = 0. Но, как показано в работе [26], каждая целая функция с нулевой нижней р-плотностью корней имеет нулевой нижний р-тип.

Пусть теперь а * > 0. Из теоремы 2.1 работы А. Ю. Попова [6] извлекаем, что для любых р > 0 и k £ (0,1] существует целая функция f0(z) с нулевым множеством Л0, удовлетворяющая условиям

k _ф efc-i

Д*р(Ло) = -, Д *р(Ло) = —. р р

Кроме того, в доказательстве этой теоремы показано (см. [6, формула (2.23)]), что для неограниченного множества значений rs выполняется соотношение

lnmax |f0(z)| ,

|z|=rs k I , l

-p- =--+ o(1), rs ^ + ГО.

rp р

k

Отсюда с учетом (21) следует равенство а p(f0) = —.

p р

е*-1

Пользуясь тем, что функция - на промежутке (0,1] убывает от до 1, най-

X

, . 1П ек-1 в* ^ а*р

дем к Е (0,11 из условия —-— = —. Для числа а = —— рассмотрим функцию

к а * к

/ (¿) = /о(?1/р¿). Ее нулевое множество Л = д-1/рЛ0 имеет усредненную считающую

функцию Жд (г) = Жд0 (д1/рг). Поэтому выполняются следующие равенства

к

Д*р(Л ) = а Др(Ло) = а- = а *,

р

__ __ к ек-1 в *

Ар(Л) = а д*,(Ло) = а— = а-— = а *0- = в *.

' ' р р к а *

Нетрудно подсчитать и нижний р-тип функции / (¿) :

к

а р(/) = а^р (/о) = а- = а *. р р р

Подводя итог, заключаем, что функция / (¿) обладает характеристиками роста

Д*р(Л) = а *, Д*р(Л) = в *, а р(/) = а *,

т.е. является экстремальной в задачах (15), (16). Теорема 1 доказана.

Доказательство теоремы 2. Зададим числа р Е (0,1), а * > 0 и в * > а *. Пусть целая функция /(¿) имеет нижний р-тип а р(/) и положительные корни Лf = Л с усредненными

р-плотностями Д *р(Л) = а *, Др*(Л) ^ в *. Докажем сначала неравенство

ар(/) > *. (22)

р вт пр

Будем опираться на следующее представление, полученное в [15]:

г-р Ьшах |/(¿)| = У Л, (23)

о

Жл(г£)

где обозначено (¿) := ——-—. Зафиксируем е > 0. Из определения усредненных

(г£)р

р-плотностей последовательности Л следует, что (¿) ограничена и можно найти чис-

с а *

ло с > 0 так, чтобы для всех значений £ > - выполнялось неравенство (¿) > а* :=-.

г 1 + е

Интеграл в правой части (23) преобразуем и оценим следующим образом:

с/г

[ ¿р [ ¿р /■ ¿р

У ^(£)(1+ ¿)2 ^ > (1+ ¿)2 ^ + ] (£) - а*) (1+ ¿)2 ^ =

0 0 0 [' ¿р п р

= аЧ (Г+^Л + = +0<1)' г^

0

Мы воспользовались известным равенством (см. [29, раздел 2.29, № 24, с. 311])

/* ¿р , п р

7 (1 + ¿)2 вт п р

0

Таким образом, из (23) и доказанных неравенств получаем

п р

r-plnmax |/ (z)| > -а* + o(1), r ^

|z|=r sin пр

Переходя здесь к нижнему пределу при r ^ а затем устремив е к нулю, приходим

к неравенству (22).

Покажем теперь, что существует функция /(z) с положительными нулями Л^ = Л, реализующая равенство в (22). Для этого при любых р Е (0,1), ß * > 0 и а * Е [0,ß * ] достаточно построить однозначно определяющую последовательность нулей Л усредненную считающую функцию Nä(r) так, чтобы

Д*ДЛ) = а *, Л*,(Л) = в *, а Д/) = ^а *.

В работе [16] сконструирован пример целой функции с нулями заданных усредненных р-плотностей, расположенными в угле раствора 20, имеющей наименьший возможный р-тип. При в = 0 нули такой функции лежат на луче. Покажем, что в этом случае она реализует не только наименьший возможный р-тип, но одновременно и наименьший возможный нижний р-тип. Опишем принцип построения усредненной считающей функции N^(r) последовательности нулей Л из работы [16, §3] (иной подход к построению подобных примеров использован ранее в [12], [15]).

Пусть £n — некоторая последовательность положительных чисел с условием

Cn = o(fra+i), n ^ (24)

e

и а1, a2 — корни уравнения a ln - = а */ß* (0 ^ a1 ^ 1 ^ a2 ^ e). Величина Nä(t) на

каждом отрезке [£na- 1/р, £na- 1/р] определяется формулами

t

С"

а вне этих отрезков — как непрерывная функция, достаточно быстро приближающаяся к функции y = а * tp, t > 0, и удовлетворяющая оценке

NÄ(t) ^ а * tp, t Е U [Cna-1/p, £„a-1/p].

raGN

Nä(t) = ß * C" + рв *C"ln f, t Е [£„a-1/p, Cna-1/p], n Е N,

Обозначим

i/p aa0

a2

f ß *a-p - а *т-p ,

<^(a) = -ат, a> 0.

J t +1

i/p

aa

Нетрудно показывается, что функция ^(а) обладает свойствами

р(0+) = = 0. (25)

В [16, §3] получено соотношение

п а r r

a(r) := r-p lnmax / (z) ^ р ( —— + ^ ( — ) + ^ ( -- ) ) + o(1)

^п пр \£п+1,

справедливое для г Е [£га, п ^ В отличие от оценки работы [16], мы полагаем

здесь г = гга = ^£га £га+1, что теперь дает

*<"•> < р| s^nn*; + И fT + +o(1) n ^■

Привлекая свойства (24), (25), получаем

~ п р

£р(/) ^ 1ш £(г„) ^ --а

р га^те вт пр

*

Это вместе с неравенством (22), справедливым для любой целой функции /(г) с положи-

¿(Л) = а *, А*(

тельными нулями Л/ = Л усредненных р-плотностей А* (Л) = а *, А (Л) ^ в *, приводит

к требуемому результату Теорема 2 доказана.

/ п п Р * £р(/ ) = --а .

' вт пр

3. Оценки сверху нижнего р-типл целой функции

Доказательство теоремы 3. Докажем сначала первое утверждение теоремы. Пусть заданы числа р € (0,1), а * > 0 и в * > а *. Неравенство

с(а *> в *; р) > к+ (а *,в *;р), или

вир £ р(/) : Л/ = Л с С, Ар (Л) = а *, Ар(Л) ^ в * >

> вир { £р (/) : Л/ = Л с К+, Ар (Л) = а *, Ар (Л) ^ в *

очевидно, поскольку множество функций, по которому берется первый супремум, шире множества функций в определении второго. Проверим верность противоположного неравенства. Каждая целая функция /(г) порядка р € (0,1), нулевое множество которой совпадает с Л = (Ага)^=1 = Л/ С С \ {0} , представляется бесконечным произведением

/ (*) = П 1

П=1

г

Ап

г е С.

Обозначим

Отсюда

причем

Поэтому

(|Ап 1)Г=1 и /+(г) = П 1 -

п=1 \ |Ап|

. Тогда

тах |/(г)| = тах Д

|.г|=г |.г|=г

п=1

1 - аГ

Ап

^ тах II ( 1 +

|г|=г \

п=1

ы \

— = тах |/+(г)|.

£р(/) = Ит г р1птах |/(г)| ^ Ит г р1птах |/+(г)| = £р(/+),

г^+те М=г г^+те И=г

|Л| С Е+, А *р(Л) = А*р(|Л|), Ар (Л) = А *(|Л|).

с(а *, в *; р) ^ к+ (а*,в *;р), (^ *

и требуемое равенство 5*С(а *, в *,р) = 5*к+ (а *, в *, р) доказано. Первое утверждение теоремы сводит нахождение наибольшей возможной величины нижнего р-типа целой функции порядка меньше единицы по верхней и нижней усредненным р-плотностям ее корней, распределенных произвольно в С, к случаю расположения их на одном луче. Общее значение этих экстремальных величин будем ради краткости обозначать

5* (а*, в*; р) := 5* с(а *, в*; р) = 5* м+ (а*,в *; р).

Для вычисления этой экстремальной величины докажем вначале, что при любых в * > 0 и а* Е [0,в*] нижний р-тип каждой целой функции f (г) порядка меньше единицы с нулями Л/ = Л усредненных р-плотностей Д*р(Л) = а*, Д (Л) ^ в * удовлетворяет неравенству

£р(/) ^ Рв*

п

— sup Ф^) sin пр b>0

(26)

где

-i/Р

Ф^)

— a2b

r + 1

dr +

т

— aib

т + 1

dr,

ba,.

-i/p

а а1 и а2 — корни уравнения (13).

Рассмотрим три случая 1) а* = 0, 2) а* = в*, 3) а* Е (0,в*). В первом случае корнями уравнения (13) являются числа а1 = 0, а2 = е, и оценка (26) принимает вид

£р(/) ^ Рв*

п

sup sin пр b>0

r-р — eb-p r + 1

dr +

r

r + 1

dr

. be-1/P

Рв *

п

r

sin пр

= рв * inf b>0

sup

b>0

r + 1

dr — eb-p

dr

r + 1

. be-1/P

be-1/P

( be-1/P \

r-p _ 1 + b

dr + eb p ln

0

( be-1/p

r + 1

1 + be-1/P

/

^ рв * lim b^+0

V

r + 1

dr + eb p ln

1 + b

1 + be-1/p

0.

/

Таким образом, в случае а* = 0 требуется доказать, что а ) = 0. Но импликация

а

0 ^ £ /

0

уже была доказана в теореме 1.

Рассмотрим второй случай а* = в*, когда последовательность нулей целой функции измерима. Теперь оба корня а1 и а2 уравнения (13) совпадают с единицей, и интегралы в определении функции Ф(Ь) исчезают. Соотношение (26) сводится к неравенству

£„(/) ^^в*

(27)

пр

А*.

sin пр

которое содержится в известной оценке (2). При этом, если последовательность Л измерима с усредненной р-плотностью Д * и расположена на одном луче, то, как известно, выполняется равенство

£ „(/) = £ р(/) р sin пр

Таким образом, при а* = в* справедливость теоремы 3 проверена.

Стоит отметить также, что если измеримая последовательность нулей целой функции

расположена произвольно на комплексной плоскости, то неравенство (27) может оказаться

строгим. В этом нас убеждает пример функции /0(z) из теоремы 1, в котором при а* = в *

имеем k =1 и

пр

V/0) = в < в --.

sin пр

£р(/0) = £р(/0) = в * < в*

b

b

b

Осталось рассмотреть центральный случай теоремы, когда последовательность нулей Л/ = Л с усредненной считающей функцией ^а(г) = N (г) такова, что 0 < а * < в * • Из определения усредненных р-плотностей Л вытекает существование для произвольного е > 0 такого числа с > 0, что для всех значений г > с выполняются неравенства

а * (1 - е) гр < N (г) < в * (1 + е) гр,

а для некоторой последовательности г* ^ имеем

N (г*) < а * (1+ е) гр.

Нам удобней перейти к считающим функциям ^(ж) := п(еХ) и ^(ж) := N(еХ). Очевидно, ^(ж) удовлетворяет соотношениям

а * (1 - е) ерХ < N1 (ж) < в * (1 + е) ерХ, ж > 1п с, (28)

N1(2;*.) < а * (1+ е) ерХк, к е Н, жр = 1п гр. (29)

Для дальнейших оценок удобно обозначить А = а * (1 + е), В = в * (1 + е), уА (ж) = АерХ, ув (ж) = ВерХ и воспользоваться следующим вспомогательным утверждением.

Лемма 1. Пусть А < В, и из точки (ж0, АерХо) проведены влево и вправо от нее касательные к графику функции ув (ж). Тогда абсциссы левой и правой точек касания жг и жг задаются соответственно формулами

жг = ж0 +—1п а1, жг = ж0 +—1п а2, (30)

р р

где а1 и а2 — корни уравнения (13).

Доказательство леммы. Для нахождения требуемых точек вычислим различными способами угловые коэффициенты касательных к графику Ов, проходящих через точку (ж0, еАХо). Имеем, например, для правой точки касания (для левой вычисления аналогичны)

Вер- АерХо рХ

-= Врер Хг.

жг ж 0

ВерХг

Разделим обе части этого равенства на - и обозначим уг = жг — ж0. Получим

ж г жо

1 — Ае-рУг = руг, или (1 — руг) ерУг = А, что можно записать в виде

рУ 1 е А а * ер Уг 1п-= — = —.

ерУг В в *

Отсюда, учитывая соотношение уг = жг — ж0 > 0, заключаем, что ерУг = а2, т.е. уг = жг — ж0 = р 1п а2, где а2 е (1,е). Окончательно, жг = ж0 + р 1п а2, что и требовалось доказать.

Продолжим оценку усредненной считающей функции ^(ж), выбрав в качестве ж0 любую из точек ж*, фигурирующих в (29). Учитывая соотношение (29), можем утверждать, что график ^(ж) на отрезке [ж0, жг] не пересекает правую касательную, ибо в противном случае он пересекал бы и график функции ув (ж) = Верх, находясь согласно (28) ниже него. Записав уравнение рассматриваемой касательной в виде у = ВерХг + рВерХг (ж — жг), получим, что

^(ж) ^ ВерХг + рВерХг(ж — жг), ж е [жо, жг].

Поскольку все сказанное выше справедливо и для касательной слева, то выполняется также и неравенство

Nl(ж) ^ ВерХ + рВерХ1 (ж — жг), ж е [жг, жо].

Обозначим у0 = еХ0, у = ех, уг = еХг. В силу леммы имеем у = УоаГ/р, уг = Уо. Возвращаясь к исходной считающей функции N (у) = Ж1(1п у), запишем полученные для функции ^(ж) неравенства в виде

У

N (у) ^

ВУр (1 + р(1п У - 1пУг)) = ВУраг 1 + р1п-гтр , У Е [Уоа1

* Уоа/ '

г/р

ВУра2 ( 1 + р 1п ВУР,

У

г/р

Уоа2

У Е [Уо, Уоа2^ У Е ^Г^ Уоа2/р], У > с.

Напомним, что здесь аг ^ 1 ^ а2 - суть корни уравнения (13), и что в качестве жо мы выбрали произвольную точку ж к из (29). Зафиксируем теперь числа Ь > 0, к Е N и положим в предыдущих неравенствах У = гкт, гк = Ьуо = ЬеХк. Тогда

аг( 1 + 1п

N(гЛт) ^ аЛ 1 + 1п

В(г*т )р,

(Ьт )р

аг (Ьт)р'

а2

т т

т/

1/р

«1 г ь , ь

1/р

Г

ь, ь

1/р 1/р ь , ь

(31)

т > .

-к

Учитывая, что аг и а2 являются корнями уравнения (13), преобразуем выражение

(Ьт)р4

а, 1 + 1п ■

Теперь для функции (т)

е А

= а, 1п — + а 1п(Ьт)р = — + а, 1п(Ьт)р, г =1, 2. а» В

N (гт)

——г— из формулы (23) получаем при т > — оценку (гт )р

р-к(т) ^ ^(т) = <

В(тЬ)-р (А + аг 1п(Ьт)р В(тЬ)-р (А + а21п(Ьт)р

В,

т т

т /

1/р

«1 г ь , ь

1/р

Г

ь, ь

а!/: «2/: ь , ь

(32)

Опираясь на первую часть теоремы, считаем, что все нули функции положительны, и вновь используем представление (23), но не для всех г > 0, а только для значений г = гк, к =1, 2,... (см. (31)). В результате получим

а(гк) = г-р 1п тах |f (г)| = ^(т)

¿р

т

(1 + т)2 * = ! ^)(1+ т)2

о

¿т +

С

+ / (^(т) - ^(т))

(1 + т)

¿т + / (^(т) - ^(т))

(1 + т)

¿т ^

^ / (^(т) - В)

т

(1 + т )2

¿т + В

(1 + т)

¿т + 0(1) —

гк

а

р

р

к

р

+ в f (B + g. ln(b:Г)- dT +

sin np

(1 + T)

2

b-1 a,

1 l/P

+ B , (B + g2 bfr)p)- dT + + I. + ,2) + 0(1).

b-1

(1 + T )2

sin np

Таким образом, выполняется неравенство

a(rfc) ^ B

np

+ ,1 + /2 + 0(1), k ^ то.

(33)

sin np

Упростим интегралы /. и /2, интегрируя по частям. Для /. имеем

b-1 ь-1

/1

b-p (A + ai ln(br)p) - тр

(1 + т )2

+p

b-1a1/P

b-1a1/P

gib-p - тр т (t + 1)

dr.

В интеграле сделаем замену переменной т = £ 1, а вычисление подстановки приводит к выражению

ь-р (A -1) + (A + g. in a. - aj _ (A -1)

b-1 + 1

b-1 + 1

b-1 + 1

В итоге получим

/ = b-p (A -1) + p

71 = —6-1 + 1 +p

Аналогичные вычисления интеграла /2 дают

,-1/р

a1b-p - t-p

tn

dt.

(34)

/2

b-p (A - O f a2b-p - t-p

b-1 + 1

+

t + 1

dt.

(35)

ba

-1/P

Учитывая (33)-(35), при k ^ то можем записать

(

^(rfc) ^ Bp

,-1/р

np sin np

+

b \

a1b-p - t-p , f a2b-p - t-p , dt + -:-;- dt

t +1

t +1

V

ba.

1/P

+ 0(1).

/

Изменяя знаки в подынтегральных выражениях и переходя к нижнему пределу по к ^ то, получаем

(

(f) ^ Bp

п

t-p - g2b-p

,-1/р

sin np

t +1

dt +

t-p - g1b-p

t + 1

dt

V

ba

-1/P

\

/

Оценка справедлива при любых е > 0 и Ь > 0. Устремив е к нулю, а затем взяв супремум по Ь > 0, получим окончательно

( ( ь Ь«—1/р 1 \

(f ) ^ в * p

b ba-1/p

п | Г t-p - g2b-p , Г t-p - g1b-p

sup sin np b>0

t +1

dt +

t +1

dt

V

ba

-1/P

1

b

Чтобы завершить доказательство теоремы, требуется для наперед заданных чисел р Е (0,1), ß * > 0 и а* Е [0,ß*] предъявить целую функцию f (z), которая доставляет равенство в полученной оценке нижнего типа и имеет положительные нули Л^ = Л усредненных р-плотностей Д*,(Л ) = а *, Др(Л) ^ ß*. Построим усредненную считающую функцию N^(r) =: N(r) такой экстремальной последовательности нулей. Расположим члены искомой последовательности в порядке возрастания:

Л = (Ara)^l1 , 0 < A1 = ... = Ага1 < A„1 + i = ... = Л„2 < Л„2 + 1 = .... (36)

Для r Е [А

™fc , A™fc+l) считающая функция ПД (r) = n(r) = а усредненная считающая

функция N(r) имеет вид

r

N(r) = N(A„fc) + nfc ln—, кЕ N.

A«fc

Нам вновь удобней перейти к экспоненциальному переменному в качестве аргумента. Рассмотрим функции

w(x):= n(ex), ВД := N(ex).

x

График функции Q(x) = f w(t) dt представляет собой ломаную, каждое звено которой

о

имеет линейное уравнение с натуральным угловым коэффициентом:

Q(x) = Q(ln A„fc) + nfc(x - ln A„fc), xE [ln A„fc, ln A„fc+1), kE N.

Далее, в отличие от предыдущего, обозначим A = а *, В = ß * и рассмотрим функцию Ув (x) = Bepx, x > 0. Проведем к графику GB этой функции касательные j с угловыми коэффициентами, равными последовательным натуральным числам j Е N. Абсциссы xj точек касания нетрудно вычисляются:

Iln-j.

р рВ'

Пусть y = Qi(x) — уравнение ломаной, j-е звено которой является отрезком касательной j, содержащим точку касания (xj, Bepxj). В силу выпуклости функции yB (x) график этой ломаной расположен ниже графика GB. Кроме того, по лемме из книги [11, с. 126] на каждом отрезке [xj ,xj+1 ], j ^ то, выполняется соотношение

0 ^ Ув (x) - ВД ^ 4(xj+i - xj) = 4р ln j < ¿j = O (e-px) . (37)

Таким образом,

0 ^ yB (x) - Q1(x) ^ 0, x ^ +то. Отсюда следует, что существует предел

lim ^ = в. (38)

Модифицируем ломаную y = Qi(x). Для этого выберем какую-либо строго возрастающую последовательность натуральных чисел mn, удовлетворяющую условию

mn+1 / +то, n ^ то. (39)

Для каждого j = mn, n Е N, мы продлим звено j ломаной y = Q1(x) до встречи с графиком Ga функции yA (x) = Aepx в точке (¿j , Aep j. Затем из этой точки проведем

вправо касательную j к GB в точке . Согласно лемме 1 абсциссы указанных

точек даются формулами

, 1 . J , 1 . 1 . Й2 Т.Т

Ь = x7- - - lna1, = Ь + - lna2 = x7- + - ln—, j = mn, n Е N, р j р р a1

xj = - ln ——, j Е N.

в которых й1, а2 — корни уравнения (13).

Пг, , жт,„ + 1п

Обозначим отрезки

р а1

=: /п, п Е N. Если —3 Е N то на каждом а1

отрезке 1п считаем, что новая ломаная у = П(ж) задается уравнениями описанных выше полукасательных (3 = тп):

ВД = ВеРх + рВеРх(ж - ж,) = ВеРх' (1 - р(ж - ж,)) ВД = Ве+ рВе(ж - С-) = Ве(1 - р(ж - ,)

ж Е [ж,, О ]

ж €

С,, С,

(40)

(41)

На множестве К \ и 1п =: 3 оставляем ломаную у = П1(ж) без изменений, т. е. полагаем

П=1

П(ж) = П1(ж), ж Е 3.

Если же —2^ Е N то в этом случае правую касательную проводим с угловым коэффици-а1

ентом

—2

—3 а1

(квадратные скобки означают целую часть). Она пересечет левую касательную не в точке графика Са, а в некоторой точке (обозначим ее (С,, ^(С,))), лежащей выше этого графика. Не очень сложные, но довольно кропотливые вычисления показывают, что выполняется условие

^ А,

е

3

тп —оо.

(42)

Кроме того, поскольку на множестве 3 мы положили П(ж) = П1(х), то соотношение (38 выполняется для ж Е 3 , т. е.

ВД

11ш

В.

Jэх^+те ерх

Из условий (42), (43) заключаем, что справедливы предельные соотношения

V ВД , ВД

11ш —^ = А, 11Ш ^ у

В.

43)

(44)

х^+те ерх х^+те ерх

Формула N(ех) = П(ж) определяет усредненную считающую функцию последовательности Л вида (36) следующим образом: абсциссы вершин построенной ломаной (точнее, их логарифмы) задают члены последовательности, каждый из которых входит в Л с кратностью, равной разности угловых коэффициентов звеньев ломаной с общей вершиной. Докажем, что построенная последовательность является экстремальной. Действительно, условия (44) означают, что

а; (Л )

Полагая в (40), (41), (37)

ж = 1п =

получим

N (/) = В(П —1 ( 1 + р 1п

11ш N (г) = 11ш ВД

г^+те гР х^+те еРх

11ш N (г) = 11ш ВД

г^+те гР х^+те еРх

/ т« \ \рВ—1/

1/р

A,

B.

1/р

п Е М,

N(/) = ВСП —2 (1+ р 1п-—1/Р

Цга—2

В СП —11п

—1 V с«

е / /г ВСП —2 1п - -

—2 \ (п

/ Е с«], / Е [<„, /«2)],

(45)

п

р

В*р > N(*) > В*р - о (гр), * е У *П2)] =: т.

(47)

П=1

Для логарифма максимума модуля канонического произведения /(г), построенного по последовательности Л , опять воспользуемся представлением (23):

+и

а(г) = г р 1пшах /(г)

И=г

(1+ *)2 ^

(48)

где (*) := ^^р . Согласно (45)-(47) имеем

^г (*) = <

Ва1 (%)р 1п

1 V гЬ У «1 ^ Сп

Ва2 (% )р 1п

¿2 V ^ I 1П 1 А

2 V гЬ / «2 V Сп

* е

* е

Ь(1) А

А Ь(2) ^п Ьп

г ' г

ТО

п е М, п е М,

в - о((*г)-2р), = и[*п1),*п2)].

п=1

Интеграл в правой части (48) преобразуем следующим образом:

а(г) = В

+и +и

г *р г *р

- (В - (*))--— а

(1+

(1+

(49)

в-

пр вт пр

к+\т

(В - Рг-

- / (В - ^г(*))тг^ ^ = В^^ - (11 (г) + /2(г)).

т

(1+

вт пр

Интеграл 11(г) при г ^ оценивается просто:

11 (г) = О (г-2р)

<И

+и

к+ \т

*р(1 + *)2

^ О (г-2р)

<И

*р(1 + *)2

О (г

-2р

Вычисление интеграла /2(г) потребует значительно больших усилий. Используя первые две строки (49), имеем

/2 (г)= / (В - (*))

ь£2)/г

т

(1+

и

= Е / (В - ^г(*))

га=1 (1)

(1+ *)2

Сп/г

Е

П=1

ьП1)/г

В - Вал ^У 1п Ц*

Н) а^ \ („7 У (1 + *)

+

Ь(2)/г и Ь(/г

+Е /I

П=1 А / Сп /г

В — ВаЛ ^У 1п

г*7 а2 \ С«7 7 (1 + *)

= В 5 (г),

р

гг

р

р

2

р

2

т.е. 12(г) = В 5(г), где обозначено 5(г) = ^ $п(г) и

п=1

Сп/Г /Р - —1 (Сп)Р 1п ^ЛгУ

ЗД= /-V/ ■ па1 ы а/ +

С/г/Р - —2 (£)Р 1п (еЛР

41 /г

(1+

Сп/Г

(1+ /)

2

Предварительным итогом преобразований интеграла в (48) является асимптотическое равенство

те

пр

а(г) = В—^ - V 5П(г) + о(1), г ^

«1Т1 тп ' ^

(50)

вт пр

п=1

Наша ближайшая задача — оценить сумму в этой формуле. Интегрирование по частям каждого слагаемого дает:

5п(г) = -

¿Р - —1 Р 1п «И^

1 V г 7 «1 \ Сп

(1+ ¿)

Сп/Г

Сп/Г

Сп )Р

+р

¿Р - —1 ) /(/ + 1)

¿Р - —2 Ч 1п ^

2 V Г / «2 \ Сп

р *п2)/г

(1 + ¿)

*п1)/г ^/г

/Р - —2 (^)Р

С/г

+р

Сп/Г Сп/г

/(/ + 1)

+

Сп/г ^ )Р Сд ^ )р

+ р РР - —1(-)Р + р Г /Р - —2)Р (/.

*п1)/г

/(/ +1)

Сп/Г

/(/ + 1)

При вычислении подстановок мы учли, что —, а2 — корни уравнения (13). Таким образом,

Сп/г (сп )Р С/Г ()Р

5«(г) = р / ¿р - "1 + р [ ¿р ~ —2

*п1)/г

/(/ +1)

Сп/Г

/(/ + 1)

(51)

Зафиксируем 3 Е N и оценим 5« (г) для г Е , С,+1]. Пренебрегая отрицательными слагаемыми, получаем две оценки

С/г

5П(г) * р

С/г

/(/ + 1)

С/г

* р I ¿Р-1а

Р -( ¿г1)Р * (о )Р 2- —■>•

(52)

С/г

С/г

5п(г) * р

Сп/Г

/Р I Р 2 , р

-—- * р ¿Р-2 а = — /(/ + 1) ) р -1

,(2)\ Р-1 ¿п

С/г

,(1Л Р-1'

¿п

*

*

р / С,+1

1 - АС

1-Р

(—1-1/Р - —2-1/Р).

(53)

Р

г

г

Из условия (39) следует, что

0+1 = ( ^л^ j (54)

Ci V m J

Отсюда нетрудно вывести (см. [16, § 3]), что выполняются равенства

i-1 -1 Е CT X] Cri

lim — = 0, lim —^——.-= 0.

™ Ci ^те Cj—

Теперь, с помощью (52) и (53) получаем, что равномерно по r G [Zj, Cj+1] выполняются соотношения

j-i

j-i j-1 /z \p Ecr

(r) ^ (a2 - (t^) = (ß2 - ai) ^ГР--* 0, j ^ TO (55)

те те ✓ ь ч 1—р

£ Sn(r) ^ ГР- (а1-1/р - а!-1/р) £ ( j1 ) ^

те

Е СГ1

^ ^ (а1-1/р - а!-1/р) j---► 0, j ^то. (56)

1 р Ч?—

Таким образом, мы установили, что для достаточно больших j главными слагаемыми в сумме

те j-1 те

S (r) = £ Sn(r) = £ Sn(r) + £ Sn (r) + [Sj (r) + Sj—1(r)]

n=1 n=1 n=j+2

служат слагаемые с индексами j и j + 1. Точнее, равномерно по r G [Zj, Cj+1] справедливо равенство

S(r) = o(1) + [Sj—1 (r) + Sj—2 (r)], j ^ то. (57)

Преобразуем сумму в квадратных скобках. Для этого в формуле (51), выражающей Sn(r), сделаем замену переменной t = 1 /т :

, , C"/r tp - «1 ( ^ )Р Y tP - «2 ( ~ )Р

S"(r) = Л -^+1) dt + Л -1(7+1) dt =

ti"/r C./r

т-P - а, (fГ 'f т-P - «2 (f-Г

= P J т + 1 dT + P / T^ 1 dT.

Запишем полученное равенство в виде

Sn(r) = P ф( £), (58)

где функция

b«-1/p b

Г т-P - а16-р Г т-P - a2b-P ,

Ф(Ь) = -1— ¿т + -2— dr, b > 0,

W J т+1 J т+1 ' ' b

та же, что и в формуле (26). Представим ее в виде

г т-р _ —, 6-р

Ф(6) = Ф1(6) - Ф2(6), где Фк(6) = --к-(т, к =1, 2.

] т +1 ь

Нам потребуются некоторые свойства функции Ф(6). Покажем сначала, что

Ф(0+) = Ф(+то) = 0. (59)

Достаточно проверить, что каждая функция Ф&(6), к =1, 2, удовлетворяет этим условиям. Интегрирование по частям дает выражение

ь«-1/Р

Фк(6) = (—к - + р / (т, к = 1, 2.

ь

Убедимся, что каждое слагаемое здесь удовлетворяет (59). Действительно, величина ( + ) стремится к нулю как при 6 ^ 0+, так и при 6 ^ +то. Далее,

К1/р

/ 1п(гГр+!1} dT - i т-рdT = O (б1-р) -— 0, b — 0+,

1n(T + 1) dT - i in+ZL dT ^ (in2 ba-1/P - 1n2 b) — 0, b — +to.

TP+1 2bP V k /

T'

р+1 / tp+I 2bP

Таким образом, (59) выполнено. Поскольку Ф(6) допускает положительные значения при некоторых 6 > 0 (чтобы не прерывать нить доказательства, мы этот факт проверим в начале следующего параграфа), то можно утверждать, что непрерывная на К+ функция Ф(6) достигает своего максимума в некоторой точке 6о, т. е.

шахФ(6) = Ф(60) > 0. (60)

ь>о

Из (57), (58) следует равномерное по г Е , С,+1] соотношение

S (r) = Sj (r) + Si+1(r) + o(1) = p

Ф( - + ф' Г

+ o(1), j —У TO. (61)

XjJ VCj+1,

Оценим S(r) сверху. Пусть сначала r G [Cj, ^/CjZj+1 ]. Тогда согласно (60) имеем Ф ^^г) ^ ^(bo), j G N. Поскольку

0 <7C^ --► 0, j — to,

Cj+1 Cj+1 у Ci+1

то благодаря (59) находим, что

max Ф i -— ] —> 0, j — to.

Cj VOW

Пусть теперь r G [^CjCj+1, Cj+1]. Тогда Ф ^^ Ф(Ь0). Так как

r ^ / Cj+1

j "V" f TO' j — TO'

то снова в силу (59) имеем

max Ф i — ) —у 0, j ^ то.

В обоих случаях получаем

S(r) ^ рФ(М + o(1), r ^ +то. (62)

Более того, если b0 > 1, то, полагая в (61) r = pj = b0 Zj, получаем с учетом условий (59), что

S (pj) = р

Ф (bo) + Ф

boCj

+ o(1) = рФ (bo) + o(1), j ^то.

Если же b0 ^ 1, то, полагая в (61) r = pj = b0Zj+1, опять в силу (59) получаем

S (Pj) = Р

Ф( + Ф (bo)

+ o(1) = р Ф (bo) + o(1), j ^то.

В обоих случаях выполняется

S(Pj) = рФ (bo) + o(1), j У то>. (63)

Из (62), (63) следует, что

lim S(r) = рФ(^). Это, в свою очередь, с учетом (50) влечет

lim a(r) = - lim S(r) = Вр ( —--Ф(^) ) .

г^+те Sin пр r^+те ysin пр )

Подводя итог, заключаем, что для функции /(z) с построенным нулевым множеством Л согласно (48), (50), (57), (62), (63) выполняются равенства

£(/) = lim *(r) = ßA^— - Ф^)) .

r^+те \Sin пр )

Все случаи рассмотрены. Функция /(z) является экстремальной, так как доставляет равенство в (26). Для завершения доказательства укажем, что вторая форма записи функции Ф(Ь) получается из первой интегрированием по частям:

b b«-1/p Í т-p - «2b-p f т-p - aib-p ,

ф(ь)= у + J =

ba-1/P b

b

= ln(1 + т) (т-p - a2b-p)|b„-i/p + р J ln(1+TTl dT +

-1/P

+ ln(1 + т) (т-p - aib-p)|ba-1/P + р i ^т

ln(1 + т)

т p+i

-1/p

р / ln(7_1p+1 т) ^т +ln(1 + b)(1 - ß2)b-p + ln(1 + b)(ai - 1)b-p

-1/р

1п(1 + т)

т Р+1

(т - 1п(1 + 6)(а2 - а1)6 Р = р

1п(т + 1) - 1п(6 + 1) т р+1

(т.

Ьа,

-1/р

Ьа2 Р

Теорема 3 доказана.

4. Двусторонние оценки экстремальной величины 5*(а*, в *; р)

Докажем сначала анонсированное в доказательстве теоремы 3 соотношение (60) в случае а* < в*. Для этого оценим функцию Ф(6) при достаточно больших значениях аргумента, учитывая, что корни уравнения (13) связаны строгими неравенствами — < 1 < а2. Запишем Ф(6) в виде

Ф(6)

т-р - —26-р

тл

с-1/р

(т +

т-р - —16-р

тгг

(т

Ьа,

-1/Р

аС1, 1/Р

(т - а26 Р 1п-+—- а16 Р 1п ■ + 1

т + 1

ьа

-1/Р

Рассмотрим первое слагаемое.

1/Р

1/Р

т

-р

т + 1

(т >

ьа

-1/Р

ьа

-1/Р

1 + 6—-1/Р

1

1+6

т -р-М 1 — I (т

р

р

ьа

-1/Р

ьа

-1/Р

+

г

—р—1

р +1

ьа-

1/Р

ьа

-1/Р

6—Р

- (—2 - —1) -

р р + 1

2

6 Р 1 / 1+1/р 1+1/рЧ а0 — —1 1

У '

Применяя неравенства ж - < 1п(1 + ж) < ж, оценим оставшиеся слагаемые:

1 + 6 ,_П1 6 (1 + 1/6)

а26 Р1п

1 + 6——1/р

а26 Р 1п

6—— 1/р (1 + 1/6——1/р)

<

< —26

1л — 1/р + !1 —2/Р

1п —2 + 1 6 -~т

1—

2/р4

+ ~

2 62

—26

р

1п —2 + —26

—р— 1

— 2/р'

1 — 1/Л + —2 1 - —2

—16-Р 1п1 + 6—— 1/Р < - —^ 1п —1 + —16—Р—1

1-Р

1+6

р

1/Р

- 1 + 7Т7

Собирая полученные оценки, можем записать

6—р

Ф(6) >-(а2 - — - а21па2 + —1па1) +

р

+6

—р— 1

—2+1/Р - —1+1/Р)

р +1

—2 - —2

1+1/р

+

,1+2/рЧ

2_

26

—

1+1/р

а1

- —1 + 26

р

1

ь

2

1

1

Первое слагаемое исчезает, поскольку выражение в скобках равно

, е п е а* а*

—2 1п--—1 1п — = ^ - ^ = 0

а2 а1 в * в *

в силу того, что — и а2 являются корнями уравнения (13). Таким образом, имеем

Ф(6) > 6

—р — 1

(—1+1/р - —:+1/р) ^ - (—2 - —1) - ^ (Я1+—г-)

или, обозначив 1 + 1/р = V (V > 2)

6—р— 1

Ф(6) >

—2 - —1 - V (—2 - —1) - О ( -

6 ->• + 00.

Докажем, что — (V) = а^ - —1 - V(—2 - —1) > 0 для всех V > 1. Имеем

—'(V) = —21п —2 - —V 1п й1 - (й2 - й1), —"(V) = —V 1п2 —2 - —11п2 й1.

Функция —''(V) является возрастающей, так как в ее задании первое слагаемое возрастает с ростом V, а второе убывает. Тогда для V > 1 выполняется

—''(V) > —''(1) = —21п2 й2 - й11п2 — = —2(1п2 й2 - 1) + й2 - й1(1п2 й1 - 1) - — =

= (й2 1п й2 - я2)(1п й2 + 1) - (— 1п й1 - я1)(1п — + 1) + й2 - — = - а 1п —2 + —2 - —1.

в * —

Здесь мы опять воспользовались тем, что й1 и й2 являются корнями уравнения (13). Применим теперь параметрическое представление корней этого уравнения, найденное в работе [31]:

8 1 Й1 = ев1-8 , й2 = 5 — = 51-8 , 5 > 1.

Тогда получим

—''(1) = —2 - —1 - —1 1п - 1п = Г(в - 1)2 - 5 1п2 5 > 0.

Й1 — 5 - 1 1 -1

Положительность выражения в квадратных скобках вытекает из его монотонного возрастания, которое нетрудно получить обычными методами анализа. Из доказанной положительности —'''(V) на [1, вытекает возрастание —'(V) на этом промежутке. Следовательно,

—'(V) > —'(1) = й21пй2 - — 1п й1 - (й2 - й1) = 0, V > 1.

Отсюда, в свою очередь, следует возрастание самой функции — (V), что дает для V > 1 неравенство

— (V) > —(1) = й2 - — - й2 + й1 = 0.

Тем самым, справедливость соотношения (60) доказана.

Приступим теперь к изучению величины £*(а*, в*; р) и получим сначала простые оценки интеграла, входящего в определение функции Ф(6). Поскольку на отрезке интегрирования т > 6, то выполняется неравенство - 6—р * - т—р, и, оценивая Ф(6), можем записать

Ь«-1/Р Ь«-1/Р

^ лчпл 1 т—р - —16—р . У т—Р(1 - —1),

Ф(6) * Ф1(6) = -—-(т * -—(т.

3 т + 1 3 т + 1

Ь Ь

Таким образом, справедлива оценка

-1/Р

т

Ф(6) * (1 - —1М -—г (т. (64)

3 т + 1

V

Расширение промежутка интегрирования приводит к неравенству

п

Г т-Р

Ф(Ь) ^ (1 - aiW -^т = (1 - ai)-, b > 0.

w v t J т + 1 v v sinпр

o

Отсюда следует

S*(a *, в *; р) = в X —--supФ(b) ) >

\ sin пр b>o J

^ д* Í n n прв * > в р ---(1 - ai) -- = ai —

4Sin np sin np/ sin np

Привлекая также (60), в итоге получаем двустороннюю оценку

ai ^М* ^ S*(а *, в *; p) ^ (65)

sin п p sin п p

Эта простая оценка характеризует S* (а *, в *; p), когда меньший корень a1 уравнения (13) равен или близок к единице, т. е. когда в * совпадает или мало отличается от а *. Но она совершенно не информативна при малых значениях корня a1 , когда в * сильно превосходит а *. Следующий результат устраняет этот недостаток.

Теорема 4. Для любых p Е (0,1), а * > 0, в * > а * справедливы неравенства

S*(a *, в *; р) > в *р

nai sin пр

+ ai-p(1 - ai)Ap

+ ai-p(1 - ai) ( Bp ln — + e sin пр \ ai

S*(а *, ß *; р) ^ ß * р

[Sil

gcte Ap = min {1/2; р} , а Bp = (р(1 - р))-1. Доказательство теоремы 4. Уточним (65), оценивая величину

S*(а *, ß *; р) пa1

(66)

(67)

в *р sin пр

С помощью неравенства (64) получаем

п

S = (1 - ai)--max Ф(Ь) >

sin пр b>o

ba-1/P

п í т-р

> (1 — ai)- — (1 — ai) max -^т =: (1 — ai) min n(b).

t sin пр v t b>o J т + 1 v t b>o /w

b

ba-1/P

П f т-p

Функция n(b) =---^т, как показано в теореме 4 работы [26], имеет оценку

sin пр J т + 1 b

снизу (в наших обозначениях)

n(b) > Ap ai-p, Ap = min {1/2; р} . Применение этой оценки приводит при всех р Е (0,1) к неравенству

S > Apai p(1 - ai),

из которого немедленно следует (66).

Несколько больших усилий требует оценка величины 5 сверху. При получении такой оценки мы, как и в работе [26], заменяем максимальное значение функции Ф(6) на ее значение в точке 6 = —1:

шах Ф(6) > Ф(й1 ) = Ф1(Й1) - Ф2(й1).

Оценим каждое слагаемое.

«1-1/Р 1 г т—р _ а1—р Ф1(—1) = —т + 11 (т

а1

1-1/Р 1-1/Р

аС1- аС1-

[ т—р [ т—Р ^ 1 + а1—1/р

= (1 — й1) -(т + —1 / -(т — а^р 1п-1- >

1 У т +1 1 У т +1 1 1 + —1 >

а1 а1

«1-1/р

г т—р 1 + ——1/р

> (1- —1) / —р(1- —1)1п^- >

У т + 1 1 + —1

а1

1-1/Р а1 /Р

/ —Р

-(т + —1—Р(1 - —1) 1п —1/Р.

т + 1

а1

1 + —1—1/р

На последнем шаге мы воспользовались тем, что -1- * — — 1/р. Таким образом,

1 + —1

справедливо неравенство

1-1/Р %

— Р

—-(т + —1—Р(1 - —1) 1п —1/р. (68)

т + 1

Далее,

а1

-1/Р «1«2

[ т—Р - —2 ——р ,

Ф2 (—1) = -—— (т =

У т +1

а1

-1/Р -1/Р

/т — Р 2 т—Р _ 1+ —1— — 1

-(т + —1 / -(т — —2——р1п-2- *

т + 1 1 У т + 1 21 1 + —1

«1 «1

-1/Р «1(12 /Р

Г т—Р _ 1+ —1——1/р

* (1 - —1) -(т + ——Р(—1 - —2) 1п-2- *

У т +1 1 + —1

«1

-1/Р «1«2

2 т—р ^

* (1 - —1) --(т + —1 Р(—2 - —1).

. т +1

«1

Мы использовали неравенство

1 + —1

1п-* 1п(1 + —1) * —1.

Окончательно имеем оценку

-1/р «1«2

Ф2Ы ^ (1 - а1)

р

т + 1

(т + а1 р(а2 - а1).

(69)

«1

Теперь, учитывая обе оценки (68) и (69), получаем

Ф(а1) = Ф1(а1) - Ф2Ы >

1-1/р

> (1 - а1)

т

-р

-1/р «1«2

(т + а1 р(1 - а1) 1п а1/р - (1 - а1)

т + 1

1/р

--р

(т - а1 р(а2 - а1)

т + 1

1-1/р

(1 - а1)

т—р

-(т + а1—р(1 - а1) 1па1/р - а1—р(а2 - а1).

т + 1 1 1 1

-1/р «1«2

Вернемся к оценке Б:

пп

Б = (1 - а1)--шах Ф(Ь) ^ (1 - а1)--Ф(а1)

вт пр ь>о вт пр

= (1 - а1)

«1«2

1/р

+и

т

-р

т + 1

(т +

-~Р

т + 1

(т

0 «1-1/р

- а1 р(1 - а1) 1па1/р + а1 р(а2 - а1).

Выражение в квадратных скобках не превосходит

«1«2

1/р

+и

т—р(т + т—р—1(т

— 1/р а1 а2

1—р

1-1/р а1 /Р

1—р = а1-

1 - р

+

1—1/р

~Р

а2—1 /р + 1 I <

1-р

р

1—р а1 н

р(1 - р)'

Не очень трудно показать (геометрически почти очевидно), что для корней а1, а2 уравнения (13) (0 ^ а1 ^ 1 ^ а2 ^ е) выполняется условие

а2 - а1 ^ е (1 - а1).

В итоге можем записать

Б ^ а1 р(1 - а1) \—----1п а1 + е )

\р(1 - р) р )

1—р

(1 - а1)

1 - (1 - р) 1п а1 р(1 - р)

+ е ^ а1—р(1 - а1)

1п

р(1 - р)

+е

что равносильно (67). Все утверждения теоремы 4 доказаны.

Если нижняя усредненная р-плотность корней а* целой функции равна нулю, то, как мы заметили при доказательстве теоремы 1, ее нижний р-тип не зависит от верхней усредненной р-плотности в * корней и равен нулю. Следовательно, и Б*(0, в *; р) = 0 при любом конечном в *. Ситуация резко меняется, если а* > 0. В этом случае невозможно оценить сверху нижний р-тип целой функции только через нижнюю усредненную р-плотность ее корней, как это утверждает следующий результат, являющийся непосредственным следствием теоремы 4.

1

р

1

Теорема 5. Пусть p G (0,1) и а* > 0. Справедливо утверждение

sup S *(а*, в *; p) = +то.

в*>а*

Доказательство теоремы 5. Зафиксируем а* > 0. Если в* — +то, то меньший корень а1 уравнения

, e а*

а in - = —

а в*

стремится к нулю, а больший корень а2 стремится к e. При этом, согласно (66), имеем S *(а*, в *; p) > в *ра1 -р(1 - а1) Ар

r*. я*^г,1 -рп л л - a*pa1 p(1_а1)Ар

а* /в *

а1 1

= а*p Ар (1 - а1)—= а*p Ар (1 - а^^р-—- — +то.

а1 in — а, in —

1 «1 1 «1

Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: ГИТТЛ, 1956.

2. A. Pfluger Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Funktionen. I // Comm. Math. Helv. V. 11. 1938. P. 180-213.

3. A. Pfluger Die Wertverteilung und das Verhalten von Betrag und Argument einer speziellen Klasse analytischer Funktionen. II // Comm. Math. Helv. V. 12. 1939. P. 25-69.

4. Хабибуллин Б.Н. Последовательности нулей голоморфных функций, представление меро-морфных функций. II. Целые функции // Матем. сб. Т. 200. № 2. 2009. С. 129-158.

5. R.P. Boas Entire functions. New-York: Acad. Press, 1954.

6. Попов А.Ю. Развитие теоремы Валирона-Левина о наименьшем возможном типе целой функции с заданной верхней р-плотностью корней // СМФН. Т. 49. 2013. С. 132-164.

7. Попов А.Ю. Наименьший возможный тип при порядке р < 1 канонических произведений с положительными нулями заданной верхней р-плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. № 1. 2005. С. 31-36.

8. R.M. Redheffer On even entire functions with zeros having a density // Trans. Amer. Math. Soc. V. 77. 1954. P. 32-61.

9. Попов А.Ю. О полноте в пространствах аналитических функций систем экспонент с вещественными показателями заданной верхней плотности // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. № 5. 1999. С. 48-52.

10. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О наименьшем возможном типе целых функций порядка р G (0,1) с положительными нулями // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 75. № 1. 2011. С. 3-28.

11. Брайчев Г.Г. Введение в теорию роста выпуклых и целых функций. М.: Прометей, 2005.

12. Брайчев Г.Г. Наименьший тип целой функции порядка р G (0,1) с положительными корнями заданных усредненных плотностей // Матем. сб. Т. 203. № 7. 2012. С. 31-56.

13. Брайчев Г.Г. Точные оценки типа целой функции порядка меньше единицы с нулями на луче заданных усредненных плотностей // Докл. РАН. Т. 445. № 6. 2012. С. 615-617.

14. G.G. Braichev, V.B. Sherstyukov On an extremal problem related to the completeness of a system of exponentials in the disk // Asian-European Journal of Math. V. 1. № 1. 2008. P. 15-26.

15. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. О росте целых функций с дискретно измеримыми нулями // Матем. заметки. Т. 91. №. 5. 2012. С. 674-690.

16. Брайчев Г.Г. Наименьший тип целой функции порядка р G (0,1) с корнями заданных усредненных плотностей, расположенных на лучах или в угле // Матем. сб. (принята к печати). 2015.

17. Брайчев Г.Г., Шерстюков В.Б. Связь типов целой функции конечного порядка с плотностями ее нулей // Сб. трудов XIV Международной конф. «Математика. Экономика. Образование», Абрау-Дюрсо. 2006. С. 52-55.

18. Азарин В.С. О регулярности роста функционалов на целых функциях // Теория функций, функциональный анализ и их прил., Харьков. Вып. 16. 1972. С. 109-137.

19. Гольдберг А.А., Левин Б.Я., Островский И.В. Целые и мероморфные функции // Итоги науки и техники. Сер. Соврем. пробл. матем. Фундам. направления. (Комплексный анализ. Одна переменная-1). М.: ВИНИТИ. Т. 85. 1991. С. 5-185.

20. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. III // Матем. сб. Т. 65(107). № 3. 1964. С. 414-453.

21. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложение к теории целых функций. IV // Матем. сб. Т. 66(108). № 3. 1965. С. 411-457.

22. Кондратюк А.А. Об экстремальном индикаторе целых функций с положительными нулями // Сиб. матем. журн. Т. 11. № 5. 1970. С. 1084-1092.

23. Азарин В.С. Об экстремальных задачах на целых функциях // Теория функций, функциональный анализ и их прил., Харьков. Вып. 18. 1973. С. 18-50.

24. Красичков И.Ф. Оценки снизу для целых функций конечного порядка // Сиб. матем. журн. Т. 6. № 4. 1965. С. 840-861.

25. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976.

26. Брайчев Г.Г., Шерстюкова О.В. Наибольший возможный нижний тип целой функции порядка р е (0,1) с нулями фиксированных р-плотностей // Матем. заметки. Т. 90. № 2. 2011. С. 199-215.

27. Шерстюков В.Б. Минимальное значение типа целой функции порядка меньше единицы с нулями заданных плотностей, лежащими в угле // Тезисы докладов 17 международной Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». Саратов: Изд-во Саратовского ун-та. 2014. С. 309-310.

28. Брайчев Г.Г. Точные оценки типов целых функций с нулями на лучах // Матем. заметки. Т. 97. № 4. 2015. С. 503-515.

29. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981.

30. N.H. Bingham, C.M. Goldie, J.L. Teugels Regular variation (Encyclopedia of mathematics and its applications;27). Cambridge: Cambridge University Press, 1987.

31. Брайчев Г.Г. Точные оценки типов целой функции порядка р е (0,1) с нулями на луче // Уфимск. матем. журн. Т. 4. № 1. 2012. С. 29-37.

Георгий Генрихович Брайчев

Московский педагогический государственный университет, ул. М. Пироговская, 1, 199296, Москва, Россия E-mail: braichev@mail.ru