Оценки многочленов от некоторых p-адических чисел Текст научной статьи по специальности «Математика»

Если неисправен верхний элемент этого блока E, а нижний исправен, то при подаче набора ôo на входе этого б л ока E появится знач ение 0, и независимо от исправности верхних элементов схемы S на выходе всех последующих блоков E также появится 0; на выходном же элементе схемы S будет значепне 1, и неисправность обнаружится. Если же неисправен нижний элемент этого блока E, то та наборе ôi независимо

S0

f (ôi) = 1, и неисправность обнаружится.

SE

но есть неисправность в одном из верхних элементов схемы S. Пусть i — минимальный номер переменной, подаваемой на входы такого неисправного верхнего элемента Ki схемы S. Тогда на наборе ôi элемент Ki выдаст значение 1, и вообще на выходах всех элементов схемы будут выдаваться те же значения, что и на наборе ôo. В частности, на выходе всей схемы S будет значение 0, в то время как f (ôi) = 1. Теорема доказана.

Следствие. При n ^ 2 имеет место неравенет,во D(n, {|}) ^ n + 1.

Аналогичными рассуждениями можно доказать точно такую же оценку снизу функции Шеннона для базиса, состоящего из стрелки Пирса, в случае константных неисправностей типа "0" на выходах элементов, а также для базисов {&, и {V, в случае произвольных константных неисправностей на выходах элементов.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2002.

3. Яблонский C.B. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Матом, вопросы кибернетики. 1988. № 1. 5 25.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных неисправностей па выходах элементов // Вести. Моск. ун-та. Выч. матом, и киберн. 2008. № 1. 40 44.

Поступила в редакцию 27.06.2014

УДК 511

ОЦЕНКИ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕКОТОРЫХ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

Е. С. Крупицын1

Получена оценка снизу для многочленов от некоторых р-адических чисел. Ключевые слова: оценки многочленов, р-адические числа, мера трансцендентности.

A lower bound for polynomials in some р-adic numbers is obtained.

р

Пусть р — фиксированное простое число; a(n),j(n) — натуральнозначные функции, такие, что

Y (n + 1) ж

1 ^ а(п) < р, 7(?г) возрастающая и lim -—— = оо. Обозначим а = Y1 а(п)р1(~п\

п^ж Y(n) n=0

Теорема 1. Для любого натурального числа, d найдется постоянная H0(d), такая, что для

каждого многочлена P(x) £ Z[x] степени d и высоты H ^ H0(d) выполняется неравенство

2 - ^ 4-1

\Р(а)\р > f H ■ (d + 1) • (^гу) Pdhh 1(1о^я)+1))

1 Крупицын Евгений Станиславович ст. преп. каф. теории чисел матом, ф-та МИГУ, e-mail: krupitsinegmail.com. '26 ВМУ, математика, механика, № 4

к

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму ак = ^ а(и)р'г(п\ Нетрудно видеть, что

п=0

ак = pY(k) (a(0)pY(o)-Y(k) + a{l)p1<yl) + ... + a(k)^j ^ р1^ -р -И + - + + • •.j = ( Р j •р7(-fc-)

1 1 \ / „2 Р Р2 J \p — 1

(1) ( Р2 \Л

Возьмем H1 = H\{d) = (d + 1) ( -- ) . Для всякого H ^ H \ выберем число /С = к (H), такое,

Р — 1

ЧТО

p~i(K.+i) >н ^ рР{1С)_ (2)

y(U + 1)

Поскольку lim -——— = оо, то существует число ко = ko(d), такое, что для любого к ^ ко

n^œ Y (n)

Y(k + 1) > (d + 2)Y(k). (3)

Так как lim k(H) = œ, то можно выбрать Ho = Ho(d) ^ H\ так, чтобы для всех H ^ Ho H ^œ

выполнялось неравенство K = k(H) ^ ko-

Пусть для K = k(H) выполняется (2). Тогда из неравенства > H по лемме о модуле

старшего члена [1, с. 151] следует, что

P (ак+i) = 0.

Представим P (а) по формуле Тейлора:

Р(а) = Р(ак+1) + Р'(ак+1)(а - ак+1) + Р"^+1\а - aK+i)2 + ... + - aK+i)d.

Так как \a + b\p ^ max(\a\p, \b\p) для любых рациональных чисел a и b, то получим

^ \а—ак+х\Р = p~1<yfC+2^.

P"(ак+1). ^ .о , P(d)(afc+i),

Р'{ак+1){а - ак+1) Н--^-(а - ак+г)2 + • • • Н--^-(а - ак+1)

р

(4)

Нетрудно видеть, что из (1) следует неравенство

Ввиду того что Р(ак+1) = 0 по формуле произведения \х\ П \х\р = 1 имеем

\Р(ак+1 )| • \Р(ак+1)\р • П \Р(ак+хЖ = 1, (6)

д=р

где произведение в левой части (6) взято по всем простым ц = р. Поскольку \Р(ак+х)\9 ^ 1 в силу Р(ак+1) € N то из (6) и (5) следует, что

Так как К + 2 > К ^ к0, то, согласно (3), имеем

р-1(к+2) < р-(а+2)1(к+1) = р-а1(к+1) • р-21(к+1) <р-а1(к+1) • н-2_

Учитывая, что

2 \ л

Н ^ Н0 ^ Нг = {й + 1) ' Р

p — 1

получаем

p-j(K.+2) < p-dl{,С+1) . я-1 . {d + 1}-1 . ^ _

Принимая во внимание (7), окончательно будем иметь

IP(ак+Лр >P-Y(K+2). (8)

Таким образом, из (4), (8), равенства la + blp = max(|a|p, Щр), справедливого при IaIP = Щр, и неравенства (7) находим

\Р{су)\р = \Р{ак.+1)\р> (tf .(d + l^^y/^+i^ _ (9)

Из неравенств (2) получим y(K) ^ logp И,

K < Y-l(logp И). (10)

Поэтому из (9) и (10) заключаем, что

2 \ d 4-1

\Р(а)\р > (н • (d + 1) • И7(7_1(1о8"н)+1)) j

1 I Р Р — 1/

Теорема доказана.

Замечание. В теореме 1 вместо условия 1 ^ а(п) < р достаточно потребовать, чтобы а(п) было натуральпозначной ограниченной функцией.

Следующая теорема является частным случаем теоремы 1. Теорема 2. Пусть

X

п!

а =

n=1

Тогда для любого натурального числа, й и любого е > 0 существует постоянная Н0 = Н0(е,й), такая, что для любого многочлена Р (х) € Z[x] степе ни й и высоты И ^ Н0 выполняется неравенство

d\ -1

\Р(а)\р > i H(d + 1) j \ogpH)1+s

Доказательство. Рассуждая как в теореме 1, получим, что существует число Н\ = Н\(й) ^

( р V

(с? + 1) I - I , такое, что для любого Н ^ Н\ найдется число /С = К,(Н), такое, что

\р — 1/

> И ^ р ! (11)

и для любого к ^ К выполняется неравенство (к + 1)! > (й + 2)к!. Нетрудно видеть, что поскольку а(п) = 1, то в аналоге неравенства (5) получим

4p — 1,

Поэтому аналог неравенства (9) будет иметь вид

и х -1

,Р~

\Р(а)\р > (tf(d + l) (-^V^A . (12)

В общем случае, чтобы избавиться от "технического параметра" К, мы воспользовались обратной функцией 7-1(п). В данном случае ^(п) = п!, поэтому можно оценить (К+1)!, учитывая неравенство

(Ю-

Из неравенства (11) следует, что

(K + 1)! > logp H ^ K! =

С/С Ч- 1)!

/С + 1 :

или

ln(K + 1)! > lnlogp H ^ ln(K + 1)! - ln(K + 1) = ln(K + 1)! 1 -

In (/С + 1) ln(/C + 1)!

(13)

Из известной оценки факториала пие п\[Ътп < п\ < пп\/2тте получаем

п 1пп — п + ^ 1п(27гп) < \пп\ < пЫп — п + —|—Ь ^ 1п(27гп).

2 12 п 2

Откуда следует, что существует кх, такое, что для любого к ^ кх справедливо неравенство

к 1п к - к < 1п к! <к 1п к. (14)

Поэтому для Н ^ Н^, поскольку К = К(Н) ^ те при Н ^ те, существует число Н2, такое, что для любого Н ^ Н2 имеем К(Н) > кх, следовательно, неравенство (13) можно переписать в виде

ln(K + 1)! > lnlog„ H ^ ln(K + 1)! 1 -

ln(K + 1)

(K + 1)ln(K + 1) - (K + 1)/ "

(15)

Из правой части (15) получим

ln(K + 1)! < lnlog„H • 1 -

ln(K + 1)

(K + 1) ln(K + 1) - (K + 1)

-1

Поскольку

1

ln(K + 1)

(K + 1) ln(K + 1) - (K + 1) ln(K + 1)

1

= 1 +

ln(K + 1)

(K + 1) ln

K + 1 ln(K + 1)V

K+1

ln(K + 1) - 1 -

ln(K + 1)

a lim

/С—)-oo

Inf Ä . -I- II — I--

/С + 1

K ^ k2 выполняется неравенство

= 1, то для люб ого е > 0 существует к2 (е), такое, что для любого

ln(K + 1)! < lnlogpH 1 +

1 + е /С + 1

(16)

Снова ссылаясь на то, что К = К(Н) ^ те при Н ^ те, получим, что существует число Н3, такое, что для любого Н ^ Н3 имеем К(Н) > к2, следовательно, еще раз применим (14) к (15):

(K + 1) ln(K + 1) > ln logp H ^ ((K + 1) ln(K + 1) - (K + 1)) 1 -

ln(K + 1)

(K + 1) ln(K + 1) - (K + 1)

= (K + 1) ln

K+1

1 +

\

ln

1

K+1

K+1

V

(17)

Обозначая e1 =

K+1

и логарифмируя (17), будем иметь

ln

ln(/c + 1 + tobOc++i)1)) > lnlnlogpH > ln(/c +1}

ln ln

K+1

1 +

ln(K + 1)

+

ln 1

1+£Л\

/С + 1

ln(K + 1)

/

(18)

e

1

e

e

1

e

e

Из (17) и (18) получим

lnln£±i infl-^

1+ , ^ д, +

е . ч К. + 1

1 ln(K + 1) ln(K + 1) inlnlogp H

< -V V ■ -, V 7 < -IZTZ^TT- (19)

K + 1 K + 1 ln logp H

Подставляя (19) в (16), заключаем, что

ln(K + 1)! < lnlogp H 1 +

(1 +е) 1п1п \ogpH 1п Я

откуда

/ (1 + £)1п1п1о8р Н\

()С+1)! < ыо8ря ^ ()С+1)! ^ е1»Чя+(1+£)1,11пЧя1 (К+1)! ^ еКЧя,(1пЧя) ),

(К + 1)! < 1о§р Н • (1п 1о§р Н)х+£, р(к+х)! < Н(1п1о§Рн)1+. (20)

Выбирая окончательно Но = Но(й,е) = шах{Нх,Н2,Нз} и подставляя последнее неравенство из (20) в (12), получаем утверждение теоремы. Теорема 2 доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1968.

Поступила в редакцию 20.10.2014

УДК 511

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ ОСЦИЛЛИРУЮЩИХ ИНТЕГРАЛОВ

М. Ш. Шихсадилов1

В работе доказывается следующий результат: если при некотором вещественном А>0 для некоторого натурального п > 1 и для всех х € [0,1] имеет место неравенство \/(п) \ ^ А, то справедлива оценка

III

p(f (x)) dx

< min {1, 4uA-1/n},

где p(t) = 0.5 - {t}.

Ключевые слова: "зубчатая" функция, тригонометрические интегралы.

The following result is proved in the paper: if for some real A> 0 and some natural number n > 1 for all x from [0,1] we have the inequality If(n)(x)| > A, then the following estimate is valid:

III

p(f (x)) dx

< min {1AnA-1/n},

where p(t) = 0.5 — {t}.

Key words: "saw-tooth" function, trigonometric integrals.

Шихсадилов Марий Шихсадилович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: chubariklQmech.math.msu.su.

1

1