О количестве делителей центрального биномиального коэффициента Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Чегис И.А., Яблонский C.B. Логические способы контроля работы электрических схем // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 270-360.

3. Яблонский C.B. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука: Физматлит, 1988. 5-25.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

6. Коляда С. С. О единичных проверяющих тестах для константных неисправностей на выходах функциональных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 47-49.

7. Reddy S.M. Easily testable realization for logic functions // IEEE Trans. Comput. 1972. N 1. 124-141.

8. Романов Д. С. Метод синтеза легкотестируемых схем в одном базисе, допускающих единичные проверяющие тесты константной длины // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 24-29.

9. Редькин Н.П. О полных проверяющих тестах для схем из функциональных элементов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука: Физматлит, 1989. 192-222.

Поступила в редакцию 13.07.2012

УДК 511.218

О КОЛИЧЕСТВЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Г. В. Федоров1

В статье выведены асимптотические формулы для выражений log т (СП) и log т( [1,..., nj). Ключевые слова: функция делителей, биномиальные коэффициенты, наименьшее общее кратное.

Asymptotic formulas are derived for the following expressions: log т ( СП ) and log т ( [1,..., nj ). Key words: divisor fonction, binomial coefficients, least common multiple.

В 1980 г. П. Эрдеш и Р. Грам [1] предположили, что для всех n > 4 "центральные" биномиальные коэффициенты (П") = СП не являются бесквадратными. А. Саркози [2] в 1985 г. доказал это предполо-

n

n > 4

В данной статье мы рассмотрим количество делителей "центрального" биномиального коэффициента. Теорема 1. При n ^ œ имеет, место асимптотическая формула

log г (CS.) = log2(tf(2n) - ,<„)) + bg2^ g ^ + О ( р^и) , (1)

где 0 ^ T — произвольное фиксированное целое число, коэффициенты Ck вычисляются по формулам,

~ Г(log t)k i

m=1Jm+2

В частности, из асимптотической формулы (1) следует, что

logr(C£l) = 2(log2

1 Федоров Глеб Владимирович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-maïl: glebonyat®maïl.ru.

В 1996 г. П. Эрдеш, С. Грам, А. Ивич и К. Померанс [4] получили асимптотическую формулу

к

logr(n!) = у-— ^ T—j,--Ь О

log n k=0 logk n

n

,logK+2 n,

при n ^ то и любом фиксированном целом K ^ 0, причем коэффициенты имеют вид

Ck =

>«<« + Va.

J i t2

Обозначим наименьшее общее кратное чисел 1, 2,... , n следующим образом:

НОК(1,..., n) = [1,...,n] = n(n).

Имеет место

Теорема 2. При n ^ то справедлива асимптотическая формула

logт(п(п)) = log 2 ■ n(n) + O

log n

Максимальную степень простого числа р, которая делит заданное целое число и, обозначим ^р(и). Функция ир обладает следующими свойствами:

1) 11А для любого целого А;

2) ир(АВ) = ^р(Л) + (В) для любых целых

3) 1ур = — тУр(В), если А делится на В.

Отметим, что функцию делителей т(Л) от некоторого натурального числа А в силу мультипликативности можем записать в виде

т (А) = П (^Р(А) + 1).

Р|А

Доказательство теоремы 1. Для каждого простого числа р определим функцию шр(и) = ^р(и!), тогда

шр(и) =

n n n

Р. + Р2 +... + p[logp(n)]

Кроме этого с помощью свойств функции vp(n) получаем

Vp (С£0 = 1/р ( ) = М(2пУ-) - 2г/р(п!) = wp(2n) -

\n! ■ n!

РН =

ного" биномиального коэффициента через произведение:

Заметим, что при р > л/п имеем шр{п) = ^ , поэтому можем записать функцию делителей от "централь-

т (C2n) = n(vp (С2П) + 1) П (vp (C2n) +1)

p^n n<p^2n

: [] (ujp(2n) — 2wp(n) + 1) []

"2 п 2 2 n

Р Р

+ 11 п

n<p^2n

2n P

+ 1 =ni ■ П2 ■ Пз.

Оценим каждое из трех произведений. Сперва отметим, что для произвольного целого д < и выполнены неравенства

0 ^

"2 п 2 2 n

л.

< 1,

следовательно, первое произведение оценим следующим образом:

р^л/2га

18 ВМУ, математика, механика, №4

Для третьего произведения можем записать равенство

n<p^2n

Остается оценить второе произведение. Имеем

logn2 = 1

\/2п<р^п

Пз= П ([—| +Л

г, ^тс-'Ог, \-Р - '

2n - 2 n n 2n -2 n"

+ 1 = / log

p .P. x x

= г МЙЬ1111±1)^+ Г log

JV^ 1о§ж Л/

где в силу закона распределения простых чисел (см. [5])

2n -2 n"

—

x x

+lj dn(x)

+ l dR(x) = /1 + /2,

/•ж jj , _.

R(x) = ir(x) - \i(x) = ir(x) - -—— = О xe"^ .

J 0 log t ^ '

Неравенства (2) верны и для вещественных q ^ 2, значит,

h < log 2 / £Ш(ж) < пе"^™.

JV^n

В интеграле /1 сделаем замену i = f, тогда

/1 = n

2 log([2i]-2[i] + l)

п t

dt.

Л t2 log ■

Так как [2t] — 2[i] = 0 при {¿} < | и [2t] — 2[i] = 1 при {t} ^ то

K /• m+1 dt

I\= n log 2 ^ I

^Jm+I t2 log

(3)

где К — некоторое целое число, 1 ^ К < д/§, и соответствующий остаток имеет вид

, , о Г+1 dt /"Vf log([2i] - 2[i] +1) ^ 6K(n)=n log2 > / —-+ / J,—-~dt-

Оценим одно из слагаемых остатка 5к (n):

fm+1 dt n n I —-- <

m+i i2logf log^lm + i m + 1

l \ n l

< 1-

log n m

2

откуда

5к (n) <

00

nl

V —* <

2

nl

log n ' m2 log n K

b m=K+1 b

В интеграле /1 вернемся обратно к переменной x:

к ,._П_

/1 = log2]T

т ту dX

т= 1 m+1

log x

+ 5к (n),

l

n

т.е. для второго произведения получим асимптотическую формулу

l„gn2 = i„g2 £ /^i +0 . 1) . (4)

m=lJ^+i ь 4 b 7

K

eViog п ^ q помощью разложения

n \-1 1 1 1 V^ ( log t \k f 1

( lntrn )

tJ log n 1 _ Ml log n ^ V log n J \(logn)T+2

для m + | ^ t ^ m + 1, 1 ^ m ^ К и некоторого целого Т ^ 1 из равенства (3) имеем

т

°g 2 Og ^ (logn)fc ^ ^ ((logn)T+2) '

где коэффициенты Ck вычисляются по формулам

~ Г«+1 (log t)k

m= 1Jm+2 b

Например, Co = log(4) — 1 ~ 0, 386294. Собирая все вместе, окончательно получаем

log т (C2n) = log П1 + log П2 + log Пз = т(

n Ck n

2(тг(2тг) - „<„)) + log 2^ V + О ^—¡^ j + О (.( V4I log log „

k=0

В частности, имеем

;r(C2^) = 2(log2)2-£-+0

n \ (log n)2/ '

Теорема доказана.

Доказательство теоремы 2. Для произвольного простого числа p имеем vp(n(n)) = [logp(n)], где [x] _ целая часть числа ж. Если p ^ n < p2, то [logp(n)] = 1, следовательно,

r{v(n)) = ([logp(n)] + 1) = ([log2(n)] + 1) J] ([logp(n)] + l)-2^)-^). (5)

psi« 3sips;V"

Прологарифмируем произведение в правой части равенства (5):

log П ([logp(n)] +1) = £ loglogp(n)+o(^|),

так как при n ^ то

£ (log ([logp(n)] + 1) - log logp(n)) = £ l0§ [1°1 =

= of l-{bg„(n)}\=0/ 1 \ = o(T^~

Остается лишь заметить, что

V loglogp= f log log ж dn(x) = + О (г^-] ■

Ja log фь Vlog П)

Автор выражает глубокую признательность профессору В.Н. Чубарикову за научное руководство.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Erdos P., Graham R.L. Old and new problems and results in combinatorial number theory // Monogr. Enseign. math. 1980. 28.

2. Sarkozy A. On the divisors of binomial coefficients //J. Number Theory. 1985. 20. 70-80.

3. Granville A., Ramare O. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients // Mathematika. 1996. 43. 73-107.

4. Erdos P., Graham S. W., Ivic A., Pomerance C. On the divisors of n! // Analytic Number Theory: Proc. Conf. in Honor of Heini Halberstam. Vol. 1 / Ed. by B. Berndt, H. Diamond, A. Hildebrand. Boston: Birkhauser, 1996. 337-355.

5. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 11.02.2011

УДК 517.929

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

С. И. Митрохин1

В статье исследованы спектральные свойства дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля в случае запаздывающего аргумента с граничными условиями различных типов. Изучена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения в случае суммируемого потенциала. В каждом из рассматриваемых случаев вычислена асимптотика собственных значений и асимптотика собственных функций дифференциального оператора.

Ключевые слова: спектральный параметр, собственные значения, дифференциальный оператор, запаздывающий аргумент, граничные условия, суммируемый потенциал, весовая функция, собственные функции, краевая задача Штурма-Лиувилля, асимптотика собственных значений.

Spectral properties of a differential operator of Sturm-Liouville type are studied in the case of retarding argument with different boundary conditions. The asymptotics of solutions to the correspoding differential equation is studied in the case of summable potential. An asymptotics of eigenvalues and an asymptotics of eigenfunctions of the differential operator is calculated in each considered case.

Key words: spectral parameter, eigenvalues, differential operator, retarding argument, boundary conditions, summable potential, weight function, eigenfunctions, Sturm-Liouville boundary-value problem, asymptotics of eigenvalues.

В настоящей работе будем исследовать спектральные свойства дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздыванием, заданного дифференциальным уравнением второго порядка вида

—у''(ж) + ■ — т) = Л ■ a2 ■ 0 ^ x ^ п, а > 0, (1)

1 Митрохин Сергей Иванович— канд. фнз.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИВЦ МГУ, e-mail: mitrokhin-sergeyQyandex.ru.