О спектральных свойствах дифференциального оператора Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Остается лишь заметить, что

V loglogp= f log log ж dn(x) = + О (г^-] ■

Ja log фь \ log п J

Автор выражает глубокую признательность профессору В.Н. Чубарикову за научное руководство.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Erdos P., Graham R.L. Old and new problems and results in combinatorial number theory // Monogr. Enseign. math. 1980. 28.

2. Sarkozy A. On the divisors of binomial coefficients //J. Number Theory. 1985. 20. 70-80.

3. Granville A., Ramare O. Explicit bounds on exponential sums and the scarcity of squarefree binomial coefficients // Mathematika. 1996. 43. 73-107.

4. Erdos P., Graham S. W., Ivic A., Pomerance C. On the divisors of n! // Analytic Number Theory: Proc. Conf. in Honor of Heini Halberstam. Vol. 1 / Ed. by B. Berndt, H. Diamond, A. Hildebrand. Boston: Birkhauser, 1996. 337-355.

5. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. 2-е изд. М.: Наука, 1983.

Поступила в редакцию 11.02.2011

УДК 517.929

О СПЕКТРАЛЬНЫХ СВОЙСТВАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА ШТУРМА—ЛИУВИЛЛЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

С. И. Митрохин1

В статье исследованы спектральные свойства дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля в случае запаздывающего аргумента с граничными условиями различных типов. Изучена асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения в случае суммируемого потенциала. В каждом из рассматриваемых случаев вычислена асимптотика собственных значений и асимптотика собственных функций дифференциального оператора.

Ключевые слова: спектральный параметр, собственные значения, дифференциальный оператор, запаздывающий аргумент, граничные условия, суммируемый потенциал, весовая функция, собственные функции, краевая задача Штурма-Лиувилля, асимптотика собственных значений.

Spectral properties of a differential operator of Sturm-Liouville type are studied in the case of retarding argument with different boundary conditions. The asymptotics of solutions to the correspoding differential equation is studied in the case of summable potential. An asymptotics of eigenvalues and an asymptotics of eigenfunctions of the differential operator is calculated in each considered case.

Key words: spectral parameter, eigenvalues, differential operator, retarding argument, boundary conditions, summable potential, weight function, eigenfunctions, Sturm-Liouville boundary-value problem, asymptotics of eigenvalues.

В настоящей работе будем исследовать спектральные свойства дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздыванием, заданного дифференциальным уравнением второго порядка вида

—у"(х) + д(х) ■ у(х — т) = Л ■ а2 ■ у(х), 0 ^ х ^ п, а > 0, (1)

1 Митрохин Сергей Иванович— канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. НИВЦ МГУ, e-mail: mitrokhin-sergeyQyandex.ru.

с начальными условиями

у(х - т) = у(0) ■ <^(х - т), х < т, р(0) = 1 (2) и граничными условиями одного из трех типов:

1) у(0) = у(п) = 0; (3)

2) у(0) = у(п), у'(0)= у'(п); (4)

3) у'(0)= Ь ■ у(0), у'(п) = -Н ■ у(п), Ь € М, Н € М. (5)

В уравнении (1), (2) число Л — спектральный параметр, р(х) = а2 = «и^— весовая функция, т > 0 — запаздывание, причем мы предполагаем, что потенциал д(х) является суммируемой функцией на отрезке [0; п], а начальная фун кция <^(х) — суммируемой па отрезке [—т; 0], т.е. для них выполняются условия теоремы Римана-Лебега

/ X

д(Ь)сМ \ = д(х) почти всюду па отрезке [0; п],

X (6)

J <¿>(t)dt\ = ^>(ж) почти всюду па отрезке [—т;0].

Граничные условия (3) являются классическими граничными условиями 111 гур.ма . Iii.vihi.гш. условия (4) служат примером неразделенных граничных условий (они называются периодическими), условия (5) дают общий вид разделенных граничных условий.

Дифференциальные уравнения вида (1), (2) с запаздывающим аргументом в случае непрерывных, гладких или бесконечно дифференцируемых функций q(x) и <^(ж) изучаются уже давно (см. [1-5]).

Краевая задача типа 111 гур.ма . Iii.vihi.гш (с отысканием асимптотики собственных значений в главном приближении) для дифференциального уравнения (1), (2) с граничными условиями типа (3) или (5) в

q(x)

асимптотики не хватает для вычисления первого регуляризованного следа рассматриваемого оператора.

В работе [7] вычислены регуляризованные следы дифференциального оператора с граничными условиями (5) для достаточно гладких (бесконечно дифференцируемых) коэффициентов q(x) и <^(ж).

В работе [8] решена обратная задача определения дифференциального оператора (1), (2) с граничными условиями (5) по двум спектрам в случае аналитического потенциала q(x), если <^(ж) = 0 при ж ^ 0.

Мы предлагаем методику изучения спектральных свойств дифференциальных операторов второго порядка с запаздывающим аргументом вида (1), (2) с граничными условиями (3), (4) или (5) в случае суммируемости потенциала q(x) и начальной функции ^>(ж), удовлетворяющих условию (6).

Для обычных дифференциальных операторов 111 гур.ма . Iii.vihi. i. 1я произвольного четного порядка эта методика изложена автором в монографии [9, гл. 5], пример изучения оператора четвертого порядка дан в работе [10].

Пусть Л = s2, s = л/А — зафиксированная условием л/l = +1 ветвь корня. Методом вариации произвольных постоянных легко доказывается следующая теорема.

Теорема 1. Решение y(x,s) дифференциального уравнения (1) является решением следующего интегрального уравнения Вольтерры:

у{х, s) = C\eaisx + C2e~aisx - ^-eaiaxh{x, s) + -±-e-aiax f2(x, s), (7)

где

x x

fi(x, s) = j q(t)e-aisty(t — т, s)dt, f2(x, s) = j q(t)eaisty(t — т, s)dt, (8)

0 0 Ci, произвольные постоянные, i2 = —1, при этом в силу свойства (6)

У^Л = cieaisx - C2e~aisx - — eaisx f\(x, s) - —e~aisxf2(x, s). (9)

ais 2as 2as

Так как число т (запаздывание, т > 0) постоянно, то существует такое натуральное число ко + 1 (ко € N и { 0}), что выполняется неравенство 0 < т < 2т < ... < кот ^ п < (ко + 1) ■ т.

В зависимости от значения числа ко решения у(х,«) дифференциального уравнения (1), (2) будут выписываться по-разному: там, где аргумент функции у(£ — т,«) из (7), (8) окажется меньше нуля, ее следует заменить на у(0) ■ — т) вследствие условия (2). Поэтому рассмотрим последовательно случаи ко = 0, ко = 1 ко = 2 ко ^ 3 ко € N.

Начнем со случая ко = 0. Тогда т > п, в формулах (7), (8) аргумент £ — т ^ 0, так как 0 ^ х ^ п, а переменная интегрирования £ удовлетворяет уеловию 0 ^ £ ^ х. Поэтому справедливо следующее утверждение.

ко = 0 т > п)

(2) находится в следующем, явном виде:

y(x, s) = Ciyi(x, s) + C2y2(x, s) = Ci

+ C2

(10)

$i(x,s) = eaisxgi(x,r) - e aisxд2(х,т),

gi(x, т) = J q(í)e- p(í - т)dt, g2(x, т) = J q(í)eaisV(í - т)dí, 0 0

Cb C2 — произвольные постоянные.

Доказательство. Заметим, что решения y(x,s) дифференциального уравнения (1), (2) из формул (7)-(9) удовлетворяют начальным условиям y(0, s) = Ci + C2, y'(0, s) = (Ci — C2) ■ ais.

В случае k0 = 0 (т > п) вместо y(í — т) в формулы (7), (8) следует подставить y(0) ■ <^(í — т) = (Ci + C2) ■ <^(í — т) (в силу условия (2)). Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получаем формулу (10). Теорема 2 доказана.

Заметим также, что из формулы (10) в силу условия (6) получаем

У'(х, s) = y'i(x,s) + с^ _ y>2(x,s) =

ais

ais

ais

+ C2 ■

-e~aisx - -— ^\(x,s) zas

где

$l(x,s) = eaisx ■ ^1(ж,т) + e-aisx ■ д2(х,т).

Рассмотрим теперь случай ко = 1. Тогда ^ < г ^ 7Г. В формулах (7), (8) аргумент функции у(£ — т) не всегда является отрицательным, поэтому сразу начальное условие (2) применять нельзя. Формулы (7), (8) мы уточним, проведя следующую итерацию по методу последовательных приближений Пикара: найдем у(£ — т,«) из (7), (8) и опять подставим полученное выражение в (7). При этом в двукратных

повторных интегралах ^их четыре, каждый типа / д(£) ■ еаг^(24-т) ■ ^ J д(£)е-аг5? ■ у(£ — т, аргу-

мент у функции у(£ — т,«) отрицательный, и эту функцию следует заменить по формуле (2) на функцию у(0) ■ — т) = (С1 + С2) ■ ^(С — т). Проведя необходимые преобразования, приходим к выводу, что справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Общее решение дифференциального уравнения (1), (2) в случае ко = 1 (т € (^; тг]) имеет следующий вид:

y(x, s) = Ciyi(x, s) + C2y2(x, s) = Ci где

eaísx + ÍB 1(X,S) +B2(X, S)

2as

4a2s2

+ C2

'e-aisx + ÍDi(x,s) B2(X, S)

2as

4a2s2

B1(x,s) = — eaisx ■ h1 (x, т) + e-aisx ■ й2(х,т), D1(x,s) = -eaisx ■ й3(х,т) + e-aisx ■ й4(х,т),

x x

,!'(хт>=/ q(í) e-aisT>=/ •

—aisx

e

e

0

0

(12)

X X

Шх,г ) = / „(Ц.^-2- >Ь.4(х,г )=/

0 0 Б2(х,в) = вагЗХ ■ [ Р\(х, т) + Рз(х,т)] + в-агЗХ ■ [Р2(х,т) - р4(х,т)] ,

X X

Ых,г) = / м ■ е~аагт ■ )*, ^г) = / м ■ еа"'2'-т) ■ К

00 Ь—т X

фг(Ь,т) =| д(0е—агз* ■ <р(£,тЩ, р3(х,т) = |д(Ь) ■ еаг*(—2Ь+т) ■ ^(Ь,т)<И,

00 X Ь—т

Р4(х, т) = 1 д(Ь) ■ еаг*т ■ М1, тЩ М1, т) = / д($ ■ еаг* ■ <р(£ - тЩ,

00

С\, С2 ^произвольные постоянные.

Аналогично формулам (11), (12) выписываются формулы для общего решения дифференциального уравнения (1), (2) в случаях к0 = 2 и к0 ^ 3 (к0 € М).

Методами, изложенными в работах [9, гл. 5] и [10], доказывается следующая теорема. Теорема 4. 1. Собственные значения дифференциального оператора (1), (2) с граничными условиями (3) в случае к0 = 0 (Ь > п) находятся, в явном виде:

к2

\к = 82к = -^, к = 1,2,3,..., (13)

при этом собственные функции ^нормированные условием, f y%(x) ■ dx = lj имеют вид

Vk(x) = yJ^-sm(kx), k = 1,2,3,.... (14)

2. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с граничными условиями (4) в случае т > п имеет следующий, вид:

2k dlk,m , d2k,m , ^ i 1 \ п

Sk,m = — +—T + —pr + 0 — , т = 1,2; а ак акг \к6 /

1 } (15) d\k,i = d2k,i = ■■■ =0, dik,2 = — ■ / q(t) ■ Lp(t - т) ■ cos(2 kt)dt, к = 1,2,3,... .

0

3. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1), (2) с граничными условиями (5) в случае k0 = 0 (т > п) имеет следующий, вид:

k mik m2^ ( 1 \ Sk = ~ + ~г +—П+Q у, Ь Л = 1,2,3,...;

а ак акг \к6 J

mlk = ^-i^h + H + j q(t) • <p(t - т)[ссха(Ы) - Я • sin(fci)]di J ; ^

П П

H f m\k f

m2k = — / g(t) ■ ip(t — t) • sin(kt)dt H--/ (21 — ir) ■ g(t) ■ ip(t — r) • cos(kt)dt.

пп 00

Формулы, аналогичные формулам (13)—(16), получены нами и в случаях ко = 1, ко = 2, ко ^ 3 (ко е N).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Каменский Г.А. Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом // Уч. зап. МГУ. Математика. 1954. 165, № 7. 195-204.

2. Мышкис А.Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // Успехи матем. наук. 1949. 4, № 5(33). 99-141.

3. Мышкис А.Д. О решениях линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка периодического типа с запаздывающим аргументом // Матем. сб. 1951. 28(70), № 1. 15-54.

4. Норкин С. Б. Краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом // Уч. зап. МГУ. Математика. 1956. 181, № 8. 59-72.

5. Эльсгольц Л.Э. Вариационные задачи с запаздывающим аргументом // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1952. № 10. 57-62.

6. Норкин С.Б. Дифференциальные уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1965.

7. Пикула М. О регуляризованных следах дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом // Дифференц. уравнения. 1990. 25, № 1. 103-109.

8. Пикула М. Определение дифференциального оператора типа Штурма-Лиувилля с запаздывающим аргументом по двум спектрам // Математички весник. 1991. 43. 159-171.

9. Митрохин С.И. Спектральная теория операторов: гладкие, разрывные, суммируемые коэффициенты. М.: II П ТУ И Т. 2009.

10. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 14-17.

Поступила в редакцию 17.02.2011

УДК 511

СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ДОСТИЖЕНИЯ ДАЛЕКОЙ ТОЧКИ ДЛЯ СЧЕТНЫХ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ

А. А. Лыков1

В статье дается двусторонняя оценка среднего времени достижения далекой точки для эргодических счетных марковских цепей в терминах функции Ляпунова и стационарного распределения.

Ключевые слова: счетная марковская цепь, время достижения, функция Ляпунова.

Upper and lower bounds for the expected first passage time of a distant point are obtained for ergodic countable Markov chains in terms of Lyapounov function and stationary distribution.

Key words: countable Markov chain, first passage time, Lyapounov function.

Пусть — однородная по времени марковская цепь с дискретным временем и счетным множеством состояний S. Для точки x € S и множества V С S введем обозначения:

Tx,v = min{t > 0 : & € V|£o = x},

= Етж,у

xV

эргодической.

Определение. Функцию L : S ^ R>o будем называть функцией Ляпу нова цепи если найдется конечное множество Al С S, такое, что

E{L(ei+i) - L(&)|& = x} < -1, Vx €Al; £{L(£m)|£t = x} < то, Vx € Al.

1 Лыков Александр Андреевич — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alekslykQyandex.ru.

Множество всех функций Ляпунова цепи С обозначим Е. В силу критерия Фостера (см. [1, с. 29]) Е = 0. Зафиксируем некоторое состояние 0 € Б.

Теорема. Для любой функции Ь € Е найдут,ся а > 0, Ь > 0, такие, что для произвольного х € Б выполняется неравенство

тх,х — Ь(х) — а ^ т0,х ^ ЬЬ(х)тх,х.

Далее мы покажем, что данные оценки в общем случае не могут быть улучшены. Если обозначить через пх стационарную меру точки х, то, используя формулу тх,х = 1/пх, последние неравенства можно переписать в виде

1 ТГ \ ^ ^ 7 Ь(х)

--Ь[х) — а ^ то,ж ^ о-.

Пх Пх

Доказательство теоремы основано на следующей лемме. Лемма 1. Для произвольного х € Б \ {0} справедлива, формула

1

т0,х = —ргтХ}Х - тЖ;о, (1)

х! х,0

где х/х0 = Рх(т0 < тх) — вероятность того, что, выйдя, из точки х, цепь раньше достигнет нуля, чем х

Доказательство. Подробное доказательство можно найти в книге [2, с. 99].

Зафиксируем некоторую функцию Ь € Е и соответствующее ей множество А^ из определения. Введем множество А = А^ и {0}. Для второго слагаемого из формулы (1) справедлива следующая лемма.

Лемма 2. Найдется константа с > 0, такая, что для произвольного х € Б имеет место оценка,

т,х,о < Ь(х) + с. (2)

А х €/ А

ства критерия Фостера [1, с. 29] следует, что тх,а ^ Ь(х). С другой стороны, в силу строго марковского свойства имеет место соотношение тх,0 = тх,а + у&а\{0} Р{Сгх а = у}ту,0. Оценивая вероятность Р{£Тх А = у} сверху единицей, получаем неравенство (2).

Далее будем исследовать х/Х0- Наша цель заключается в том, чтобы оцепить скорость стремления данной последовательности к пулю при х ^ го. Для х / А рассмотрим следующие величины:

т = ШШ{7"х , А,тх , х} = тх, а и{х}> х/х,а = Р{тх,А < тх,х} = Р{т = тх,А}

Ах

цепи имеем Ет < го.

Лемма 3. При, х £ А справедлива оценка ж/* А ^ -¡-щ.

Ет

Доказательство. Введем случайные величины

Т- 1

w = ^ (ь&+1) — ьт = Ь(Ст ) — ь({0),

г=0

шт{М,т }—1 N— 1

WN = (Ь&+1) — ьт = Е {(Ь(Ъ+1) — Ь(&)Т(г < т — 1)} = Ь(£т^,т}) — Ь(&)

4=0 4=0

для N = 1, 2,.... Если ^0 = ^^о ^ ^^^^^^^^^ ^^^^^^^^ в конечном множестве {0} и{Ь(у) — Ь(х)}у€а-Поэтому получаем

Е{W} = ^(Ь(у) — Ь(х))Р {тх ,А < тхх Ст = у} > —Ь(х)Р{тх,А < тх,х}, у&а

откуда

Р* ^ Ет

Ь{х) •

х/х,А ^--Т( Ч • (3)