Спектральные свойства семейства дифференциальных операторов четного порядка с суммируемым потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.927.2

СПЕКТРАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА СЕМЕЙСТВА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ ЧЕТНОГО ПОРЯДКА С СУММИРУЕМЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

С. И. Митрохин1

Рассматривается краевая задача для дифференциального оператора высокого порядка с разделенными граничными условиями. Исследована асимптотика решений соответствующего дифференциального уравнения при больших значениях спектрального параметра. Изучена индикаторная диаграмма уравнения на собственные значения. В различных секторах индикаторной диаграммы получены асимптотика собственных значений и формулы для нахождения собственных функций исследуемого оператора.

Ключевые слова: дифференциальный оператор, собственные значения, граничные условия, спектральный параметр, индикаторная диаграмма.

A boundary value problem for a higher order differential operator with separated boundary-conditions is considered. The asymptotics of solutions of the corresponding differential equation for large values of the spectral parameter is studied. The indicator diagram of the equation for the eigenvalues is studied. In various sector of the indicator diagram the asymptotic behavior of the eigenvalues and the formula for finding the eigenfunctions of the studied operator is obtained.

Key words: differential operator, eigenvalues, boundary conditions, spectral parameter, indicator diagram.

1. Постановка задачи. Рассмотрим краевую задачу для дифференциального оператора четного порядка, задаваемого дифференциальным уравнением

у{2п\х) + q(x)y(x) = Аа2пу{х), 0 ^ ж ^ тг, а > 0, п = 2,3,4,..., (1)

с разделенными граничными условиями вида

у(шi)(o) = уЫ)(о) = ... = у(™2п-з)(о) = у(р1)(ж) = уЫ(ж) = тг) = о, (2)

где mi < ш2 < • • • < т2п-з, Pi < Р2 < Рз; гпк,р1,р2,рз € {0,1, 2,... , 2п - 1}, к = 1, 2,... , 2п - 3.

Мы предполагаем, что функция q(x) в уравнении (1) является суммируемой на отрезке [0; 7г]

q{x) € Li[0;tt] ^ jf q(t)dtj = q{x) (3)

для почти всех х из отрезка [0; 7г].

В дифференциальном уравнении (1) число А € С — спектральный параметр, функция q(x) — потенциал, функция р(х) = а2п = const > 0 — весовая функция.

2. Исторический обзор. Случай суммируемого потенциала q(x) у дифференциального оператора (1)-(3) стал изучаться совсем недавно. В работах [1, 2] для оператора Штурма—Лиувилля с суммируемым потенциалом была найдена асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций, которая необходима для исследования спектральных свойств и вычисления регуляризованного следа этого оператора.

В начале исторического развития этой тематики изучались асимптотические представления решений соответствующих дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами (см. [3-8]), чаще всего бесконечно дифференцируемыми, затем с коэффициентами конечное число раз дифференцируемыми; рассматривалась зависимость между асимптотическими разложениями собственных значений и гладкостью потенциала (см. [9; 10, гл. 2, 3]). В работе [11] исследовались те же вопросы для функционально-дифференциальных операторов, а в работе [12] — для дифференциальных уравнений, содержащих параметр, с кратными корнями характеристического уравнения.

1 Митрохин Сергей Иванович — канд. физ-мат. наук, ст. науч. сотр. НИВЦ МГУ, e-mail:[email protected].

В работе [13], которая явилась основополагающей в исследованиях дифференциальных операторов с разрывными коэффициентами, рассматривалась сходимость разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциальных операторов второго порядка.

В работе [14] автором получены формулы регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами при условии "склейки" в точках разрыва. В [15] аналогичные задачи решены для функционально-дифференциального оператора.

В публикациях [16-18] решены различные вопросы спектральной теории для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами, а в [19] исследован дифференциальный оператор второго порядка с разрывной весовой функцией в случае "сопряжения" в точках разрыва коэффициентов.

Работы [1, 2] послужили толчком к изучению дифференциальных операторов с негладкими коэффициентами. В [20, 21] рассматривался дифференциальный оператор второго порядка с потенциалом, представляющим собой ¿-функцию. В работе [22] вычислена асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами, согласно которой с возрастанием порядка дифференциального уравнения техническая сложность исследования возрастает многократно.

В работе [23] автором исследован дифференциальный оператор шестого порядка (с запаздывающим аргументом) с суммируемым потенциалом, в [24] — функционально-дифференциальный оператор с интегрируемыми коэффициентами, в [25] —дифференциальный оператор с гладкой весовой функцией.

Исследуя дифференциальный оператор (1), (2) с условием суммируемости (3), мы одновременно изучаем целое семейство дифференциальных операторов, зависящих от параметров т1,т2,Ш2п-з, Р1,Р2,Рз, что ранее никем не предпринималось.

3. Асимптотика решений дифференциального уравнения (1) при больших значениях спектрального параметра Л. Введем следующие обозначения: Л = з2п, з = 2\/Л, при этом для корректности дальнейших вычислений зафиксируем ту ветвь арифметического корня, для которой 2\/1 = +1. Обозначим через и)к (к = 1,2,..., 2п) различные корни (2п)-й степени из единицы:

уо1п = 1 ,п)к = е^"1) {к = 1, 2, 3,... , 2п);

IV 3

4хг

е 2п

2тг| / 7Г \ / 7Г

уи 1 = 1, п)2 = е2п = сое — + г эт —

\п) \п

'2тг\ /2тг

сое | — + % эт — п ) \п

(4)

.....<<•, ' (./

™к+2п = ™к, к = 1,2,.. .,2 п.

..,2 п);

Числа IVк (к = 1,2,... , 2п) делят единичную окружность на 2п (п = 2,3,...) равных частей. Кроме того, числа тк (к = 1,2,..., 2п) составляют геометрическую прогрессию (первый член которой равен Ъ\ = гю\ = 1, знаменатель = ^ = = числа -ш™ (т = 1,2,...) также составляют геометрическую прогрессию, и из формулы для суммы членов геометрической прогрессии следуют соотношения

2 п 2 п

^ = 0, т = 1, 2,..., 2п - 1; ^ = 2п, т = 0, 2п. (5)

к=1 к=1

Методом вариации произвольных постоянных устанавливается следующее утверждение. Теорема 1. Решение у{х,,з) дифференциального уравнения (1) является решением интегрального уравнения Вольтерры:

у{х, з) = £ Ске™х8Х - 2па2п-182п-1 Е Уо д(1)еа^у(г, ,з)(иак, (6)

где Ск {к = 1,2,... , 2п) — произвольные постоянные.

Для доказательства достаточно продифференцировать функцию у{х,в) из (6), используя свой-

ство суммируемости (3) и соотношения (5):

2т 2т

4UI ¿т. , ,.х \

у« {х, s) = J_I Ck(awks)peaWkSX - ,2n.U2n-i £ wk{flwksfeaw*sx / ... -k= 1 2Ua S k= 1 2m

-2na2u-is2u-i EMawksf-lwkeaWkSXq{x)e-a^sxy{x, s), p = 1,2,..., 2n - 1,

fc=i

при этом последняя сумма зануляется в силу свойства (5). Продифференцировав эту формулу при р = 2п — 1 еще раз, подставим у^2п\х, s) и у(х, s) из (6) в дифференциальное уравнение (1). Убеждаемся, что для почти всех х из отрезка [0; 7г] получается верное равенство, что и доказывает теорему 1.

Известно (см. [8, гл. 2, с. 53]), что s-плоскость можно разбить на секторы Sk (к = 1, 2,... ,4п) раствора которые определяются условием arg s € m = 0) 1, 2,..., 4n — 1, ив каждом

из которых корни w\, ■ ■ ■, W2п уравнения (4) (т.е. w2n — 1 = 0) можно занумеровать таким образом,

Re(wis) < Re(tü2s) < • • • < Re(tü2ns), s € Sk, (*)

где Re z — действительная часть числа z.

Также известен факт (см. [8, гл. 2, с. 58]), что в каждом секторе Sk (к = 1, 2,..., 4п) со свойством (*) существует фундаментальная система решений дифференциального уравнения (1) {ук(х, вида

y^\x,s) = (wksayew*asx![l + o(-^^, |s|00, Ж<Е[0,ТГ], причем функции ук{х, s) (к = 1,2,..., 2п) удовлетворяют при х ^ В > 0 интегральным уравнениям

yk{x,s) =ea^sx- iXJ2wreasw^Y^z-lq(t)yk(t,s)dt+ Г Wreasw^-*)-±—iq(t)yk(t, s)dt. j0 r=i ns Jx r=k+l ns

Функции y^n\x, s), m = 0,1, 2,..., 2n — 1, при каждом x ^ 0 являются регулярными по переменной s € Sß, где сектор Sß задается условием Sß = {s : s € Sß, |s| > Sß}, также эти функции непрерывны при х ^ 0, s € Sß и имеют асимптотическую оценку

2/im)(a;,s)-—1 e~aWkSX - 1 Ук v ' (awks)m

x^ß, seSß.

s

Нам эти оценки необходимо уточнить с целью нахождения более точной асимптотики собственных значений оператора (1)^(3).

Решая интегральное уравнение (6) методом последовательных приближений Пикара, убеждаемся в справедливости следующей теоремы.

Теорема 2. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

2 п 2 п

y(x,s) = Y,CkVk(x,s)-, y{]\x,s) = Y,Ckyi'\x,s), j = l,2,...,2n-l, (7)

k=1 k=1

при этом для фундаментальной системы решений {Щ:(ж> s)}l=i в каждом, из секторов Sk (к = 0,1,... , An — 1) существует такая нумерация чисел W\,W2,..., W2n, что при s —> 00 справедливы следующие асим,пт,от,ические представления, и, оценки:

Vk\x,s) _ j aWkSX A^n_hk(x,s) | Ajn_2tk(x,s) ^e\lms\ax^

— Wke + л„9-„fir>-3 ' ~ 1' 2' ' ' " ' J ~ 1' 2> ' ' " '

(asy k 2na2n~1 s2ra_ 1 An2aAn~2s4ra_2 \ s6ra"3 y'

A2n_hk(x,s) = f]wreaw^ Г q{Ö)

r=l J°

2 га

Ain_hk(x,s) = Y,WrwleaWrS

a(wk-wr

akr i

к = l,2,...,2n;

r=1

к = 1,2,..., 2щ j = 1,2,... ,2n — 1.

(10)

(И)

Оценки вида (8) и (9) получаются аналогично установленным в монографиях [8, гл. 2] и [26, гл. 1]. Отметим, что при выводе формул (7)^(11) мы требовали выполнения следующих начальных условий:

А2п-1,к(0,8) = О, А4п_2ук(0, в) = 0, к(0, в) = А\п_2 к(0, в) = 0;

yk(0,s) = l, yl])(0,s)=w{(asy, у(0, s) = Ск • 1;

2 га

к= 1

2 га

(12)

y^(0,s) = Y,Ck(asywi, к = 1,2,..., 2щ j = 1,2,... ,2п - 1.

к=1

4. Изучение граничных условий (2). Подставляя формулы (7) в граничные условия (2) получаем

V"b-)(0, S) = 0 ^ Efc=i Ску{р\о, S) = 0, j = 1, 2,... , 2п - 3;

y{Pvj){ir,s) = 0 ^ Y?k=iCkytv\*,s) = 0, v = 1,2,3. Используя начальные условия (12), систему (13) можно преобразовать следующим образом:

(13)

У^Ч*,*) _ П ~ V2™ Г, ^У-*) -0 7; — 1 2 3

/ 4"

(as)

ipv\ (as)P

(14)

Система (14) — однородная система из 2п линейных уравнений с 2п неизвестными С\,С2,..., С2п. Из метода Крамера следует, что такая система имеет ненулевые решения С| ф 0) только в

том случае, когда ее определитель равен нулю. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 3. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) имеет

вид

Ks) =

w

т 1

W

т 1

W

т 1

W

т2

W

т2

W

т2

w™2"-3 w™2n-3 w™2-3 .

Ь2п-2,1 &2га-2,2 &2га-2,3 • &2га-1,1 &2га-1,2 &2га—1,3 • &2га,1 &2га,2 &2га,3 •

W

т 1 2га-1

W

т 1 2га

W,

т 2 2га-1

W

т 2 2га

• 2га— 1 2га

• &2га—2,2га— 1 &2га-2,2га

• Ь2п— 1,2га— 1 &2га-1,2га

• &2га,2га-1 Ь2п2п

(15)

ь _У1%А h Vt4«,s) ъ У^М

"2га—2,fc — —7--j "2га— l,fc — —7-ПГ—) 02га,fc — —7-ПГ—) К — I, ... , ¿П.

(as)

Pi

(as)

Р2

(as)

Рз

Для исследования корней уравнения (15) применим теорему Лапласа: разложим определитель /¿(s) по последним трем строчкам на сумму определителей. В результате получим

/¿(s) — £>123-Rl23 — -B234-R234 + -В345-Й345 — . . . —

Е (—l)Äfcl fc2fc3 -Bfcifcsfcs Äfclfc2fc3, h,k2,k3 € {1,2,... ,2n},

кг,к2,кз

где

Ь2п-2М Ь2п-2,к2 Ь2п-2,к3

Вкф2к3 = Ь2п-1,к1 Ь2п-1,к2 &2га-1,А:з >

Ь2п,к1 Ь2п,к2 Ь2п,к3 к1,к2, к3 = 1,2,..., 2п, кг ф к2, Ь ф к3, к2 ф к3; В-к1к2к3 ~ алгебраические миноры к элементам В^^к3 в определителе И^):

(17)

< • т-1 ■ т-1 ™к2п

1^к1к2кз • • «С2 к2п—1 С

з ,„т2п-3 к2п-1

(18)

при этом ... ,к2п-1,к2п {^1,^2,^3}; ^к!к2к3 = 1 или ^к!к2к3 = 2 в зависимости от нечетности

или четности перестановки чисел (к\, к2, к3, к^, ..., к2П-1, к^п)-

Некоторые полезные для дальнейших выкладок алгебраические миноры Ккгк2кз из (18) легко вычисляются ввиду удобного выбора чисел из (4):

ад™1 ад™1 • • 2га—4 7/)™1 2га—3 гт1 г(2п-4)т1

-^2«,—2,2га—1,2га — ад™2 . ?/>™2 ■ 2га—4 ?/>™2 2га—3 = -^т.2 2т2 ¿2т2 ^(2га—4)т,2

ад™2"" 3 ад™2-3 . пггп-з • 2га—4 ад™2-3 ]^пг2п-з "12 п- з ^2т2п-з ^(2га—4)т,2п—3

П - г™*) = Я2П-3 ф 0,

(19)

тк>тр-, т}-. ,тр = 1,2,... ,2п

так как этот определитель является определителем Вандермонда чисел гт1, гтк,..., гг

В-2п-1,2п,2п+1 — ^2га-1,2га,1 — ^1,2га-1

2 га

И).

т\

. . . VI)

т\

2га—3 и,2п-2

т\

<2"-3-.-<га2-33<га2-23

^(2га—4)т,1 ^(2га—3)т,1

_ ^(2га-4)т2„-з _г(2га-3)т2„-з

= гт1гт2(...)г

2га—3

£.(2га—4)т,1

^пг2„-з ^тгп-з _ ^(2га-4)т2„-з

2га—3

= гм^К2п-з, М2га_3 = ^ тк, (20)

числа тд; определены граничными условиями (2). Аналогичным образом доказывается, что

-Й2га,2га+1,2га+2 = ^2га,1,2 = ^1,2,2га = г2М2п~3 К^п-З] -Й2га+1,2га+2,2га+3 = -^123 = Z2M2r^^3 К^п-З]

Й234 = /М2"-3Е2га_з;...; ДР)Р+1)Р+2 = ¿(р+2)М2-3 Д2га-з, V = 1,2,..., 2п - 2. Определители В^^кз из (17) выписываются в следующем виде в силу формул (15) и (8), (9):

(21)

В^к2к3 —

+ • • <^2 + •

Ф2п-1 Ф2п-1 Фгп-1

+ • • <^2 + •

Ф2п-1 Фгп-1 Ф2п-1

где введены следующие обозначения:

Е г = 1,2,3; Ф2га_1 = 2па2п-182п~1- +...=0

З|1тз|а/7Г

о4га—2

Раскладывая Bklk2k3 из (22) по столбцам, имеем

з

В

kik2кз

= В

1

kik2k'¿,0

Фгп-i

t=i

ki,k2,k'¿,t

+ о

1

Лп-2 / '

(23)

где

-Bfcifc2fc3,o —

<\EklwHEk2w'gEk3 wilEklwi¡Ek2w%Ek з <lEklwi¡Ek2wp¿Ek3

= Dklk2k3EklEk2Ek3 = Dklk2k

Д

k\k2k'¿

VI VI VI

42 43 < < <

< < <

(24)

-Bfcifc2fc3,2 = EklEki

В к ik2k;i,l —

Bkik2 k¡,3

Ek2 Екз,

fci,i

fcb2

?/>рз ?/>рз 4РЗ

Wk1 Wfc2 2n—1,А;з

(vr,s)

(25)

EklEk2.

fcb3

Некоторые величины Dklk2k3 из (24) легко вычисляются:

= (zP3 - zP2)(zP3 - zpi)(zp2 -zpl)=D3^ 0;

VI щ Vi Щ Vi Щ \pi ZP1 w2pi

£>123 — V2 w\ V2 Щ V2 Щ \P2 ZP2 w2p2

Vi w\ »3 Щ »3 Щ \Pi ZP3 W2p3

(26)

VI Щ VI Щ VI zpi z2pi z3pi

D23A — V2 W2 V2 Щ V2 ZP2 z2 P2 Z3P2

Vi Щ Vi Щ Vi ■W43 zpí z2Pi z3Pi

zPaD3, P3

Y.™

k= 1

D345 = z2PsD3; -D456 = z3PsD3]...; Dfc)fc+i,fc+2 = z(fc"1)P3D3, A: = 1,2,3,----

(27)

Определители, входящие в (25), можно исследовать, используя формулы (10), (11).

5. Изучение индикаторной диаграммы уравнения (16)—(18). Для изучения асимптотики корней уравнения (16)-(18) (которые определяют асимптотику собственных значений дифференциального оператора (1)-(3)) необходимо знать индикаторную диаграмму этого уравнения (см. [27, гл. 12]), т.е. выпуклую оболочку показателей экспонент, входящих в уравнение (16)-(18).

Подставляя в уравнение (16)-(18) формулы (19)-(23), а также (24), (25) с использованием формул (10), (11), видим, что нам следует изучить выпуклую оболочку множества точек {wkl +wk2 + wk3; h,k2,k3 = 1,2,3,... ,2n}.

Индикаторная диаграмма уравнения (16)-(18) представлена на рисунке.

Сначала изучим выпуклую оболочку множества точек {wkl + wk2; к\,к2 = 1,2,... , 2п}. Точки w\,w2,... ,w2п из (4), изображенные на рисунке, делят единичную окружность на 2п равных частей, при этом они расположены симметричным образом: w\ = W\, w2n = w2, w2n-\ = w3,..., wn-\-3 = wn-1, wn+2 = wn, wn+\ = wn+1 (т.е. мы имеем симметрию относительно оси Ох); wn+\ = —W\, wn+2 = —w2,..., w2n = —wn (симметрия относительно точки 0(0; 0)); Im(«;ra+i) = Im(«;i), Im(«;ra) = Im(tü2), Im(«;ra_i) = 1т(«;з),..., lm(w2n) = lm(wn+2), lm(w2n-i) = 1т(«;га+з) (симметрия относительно оси Оу). Из геометрических соображений и правила параллелограмма сложения векторов следует справедливость следующих неравенств: \w\ +104I < \w\ + 103I < \w\ +w2\. На рисунке точка А12 соответствует числу W\ + w2 (а также сумме векторов Ow 1 + OW2), точка А23 — числу w2 + w3 (а также сумме векторов Ow2 + OW3), точка А\3 — числу W\ + w3,...,, точка Атк ^числу wm + wk (к,т = 1,2, ...,2 п), откуда IOA14I < | ОА.131 < IOA12I, при этом | OA12I = IOA23I =

|ОА34| = ... = |ОА2„_1,2П| = |ОА2„д|. Таким образом, точки А^, А23, Ам,..., А2п-1,2пА2пЛ лежат на окружности радиуса К = |ОА12| > 1 и делят эту окружность на 2п равных частей, точки вида Ак-\-т,к (т = 2,3, ...,2?г — 2 ]к = 1,2, ...,2п) попадают внутрь этой окружности, так как \и>к+т + < + при т = 2,3,... , 2п — 2. Этот факт можно доказать и алгебраическим

способом:

I I (4) , 2тгг I 2ттг ц 1 , , 2тгг ц 1 N . . 2ттг 1 2ттг с 1 \

+ = |е 2" + е 2п » = |е 2« » 2>\\е 2п 2 + е 2п ^ = 1 ■

/тт\ сое — \2 п

сов

(7г т

I йГ

| со8(^)| < | со8(^)| при т = 2, 3,... , 2п — 2, если ?г = 2, 3, 4,____Значит, |и^+т, + < + 1,

если т = 2,3,... ,2п — 2. Таким образом, мы доказали, что выпуклой оболочкой множества точек {«^ + го/щ, к\, к'2 = 1,2,..., 2п} является правильный 2?г-уго.льник А^Аъ^Ац ... А2П-1;2пА2пЛ-

Аналогичным способом доказывается, что выпуклой оболочкой множества точек {«^ + + и)к з, к\,к'2, кз = 1,2,... ,2п} является изображенный на рисунке правильный 2 п -угольник Т123Т234 Тз45 • • • i2n_2.2n-i.2n ?2п-1,2п,1?2п,1,2, где точка ТтА.„ соответствует сумме и>т+и>к+и>п, т.е. на границах этого многоугольника лежат точки к^+к^+гоз) -ш2+-Шз+№4, -Шз+к^+Юб,..., го2,г_2+го2,г_1+го2,г, К>2п-1 + и>2п + "И'1) и>2п + "И'1 + К>2) ТОЧКИ №1 + №2 + №4, №1 + «>2 + «>5, «>2 + №3 + №5, . . . ПОПадаЮТ Внутрь

этого 2?г-угольника.

Из общей теории отыскания корней квазимногочленов вида /?.(«) из (15) (18) (см. [27, гл. 12]) следует, что собственные значения дифференциального оператора (1) (3) находятся в секторах 1, 2, 3, ..., (2п) бесконечно малого раствора, биссектрисы которых являются срединными перпендикулярами к отрезкам [Т123;Т234], [Т234;Тз45], [Т345;Т456],..., [Т2гаД,2;Т123] соответственно.

6. Асимптотика собственных значений в секторе (2п — 2). Изучим подробно асимптотику корней уравнения (16) (18) в секторе (2п — 2), биссектриса которого перпендикулярна отрезку [Т2п_2,2п—1,2п) ^2п— 1,2пд] • Для этого в формулы (16) (18) следует подставить формулы (19) (27) с учетом (10), (11) и оставить в уравнении только те экспоненты, показатели которых задаются точками, комплексно-сопряженными К точкам Т2п_2,2п-1,2п и ^2п-1,2п,Ъ Т.е. точками Т123 и Т234. Поэтому справедливо следующее утверждение.

Теорема 4. Уравнение на собственные значения дифференциального оператора (1)-(3) в секторе (2п — 2) индикаторной диаграммы имеет следующий вид:

92n-2{s) = Bl23Rl23 - B234R234 (=) z3M^R2n.3B123 - z4M^R2n.3B2M = 0.

(28)

Поделив уравнение (28) на z'iM2n~3 R2n-3 / Ои воспользовавшись формулами (23)—(25), получим

92n-2(s) = в123 - ZM*»-3B2M =

М2п- 3

в

123,0

1 1

Фгп-i

k=1

4га-2

— Z

В

234,0

Е -®234,fc + Q

Ф2га-1

к=1

4га—2

Более подробно уравнение (29) выписывается с учетом формул (24)—(27):

92п-2(8) = { - [| ... | ЦЕ2Е3 + | . . . 112^1^3 +

= 0.

(29)

+ \...\13ЕгЕ2} +0

1

->4га—2

— Z

М2п- 2

- Wra!is2ra-l[l • • • +

+ | • • • 122-^2-^4 + | • • • \2ЗЕ2Е3] + О

1

г4га—2

0.

(30)

Определители | ... \ ... \ 2к, к = 1, 2, 3, входящие в уравнение (30), вычисляются с помощью формул (10), (11):

(25)

111

^ra-l,!^) W

WrErifn ■ ■)alrWr Pi Pi W2 W3

га WrErifn ■ ■)alrWr Pi Pi W2 Wg

2 га

^WrEr

r= 1

«1г

Pi Wr Pi Щ Pi Щ 2 n

P2 Wr P2 Щ P2 W3 (24) \ " 771

Pi Wr Pi Щ Pi Щ r=1

Dr 23 —

«1г

= Wi-Ei

£>123 + W2E2

all \J 0

D223 + адз^з |

«12 V Л

£>323 +

«13

+W4-E4

£>423 + I

«14 V JO

(24)

-D523 + • • • + w2nE2n 1 «15 V Jo

D

2ra,2,3 j

«1,2га

(31)

(26)

при этом -Оггз = -Сзгз = 0, так как это определители с двумя совпадающими столбцами; £>123

£>3 Ф -°423 ^ £>234 ^ гРз03, величины . . .)«1Б£>523 + - ■ -+У02пЕ2п{^ . . .)«1>2п£>2га,2,3 ввиду

формул (25) представляют в секторе (2п — 2) бесконечно малые величины, поскольку их показатели экспонент находятся внутри индикаторной диаграммы. Аналогичным образом вычисляем:

112

(25) WT ^¡ra-l^7^) Ч1 < T,2Zi wrEr(£ . ■)a2rWr1 Pi Щ

< Er=i WrErifo ■ ■)a2rWr3 Pi Щ

= wi ■ 0 + W2E2

D\23 + w3 ■ 0 + -w4 • о(1) + • • • + w2n ■ о(1);

(32)

(25)

113

3 (*">«)

т

Т Ег^^гБгЦ;...)^

иг

= ъи1-0 + ъи2-0 + ъи3Е3 ( / . . . ) 1^123 + и) 4 • о(1) + . . . + 102 п • о(1);

Ч Л) / «33

21 —

^гп-и^) «з1 ™

|Р1

Ег=1 и)гЕг(£ . . .)а2гЬ)г1 Ь^1 Щ

Ег=1 и>гЕг(Л? ■ ■ .)«2г<3 ЫР33 Щ

= и)1 ■ 0 + 102^2

£>234: + Ь)3 ■ 0 + 104 • о(1) + • • • + 102п ' о(1);

22 —

< < Е2^ гигЕг(^. • ОаЗг'И'г1 Р1

< < е2^ гигЕг(^. • ОаЗг'И'г3 Рз К

у)1-5(1)+ъи2-0 + ъизЕ3( / ... ) 7>2з4 +Ю4 • о + 105б(1) + ... +и)2п • 5(1);

Ч Л) / «33

(33)

(34)

(35)

|23

< < Е2^ •)«4г11,г1

< < Е^1 •)«4г11'г3

= Ю\Е1

£>231 +и)2-0 + и)з-0 + и)4Е4 I «41 Ч ■) О

Т>234 + Ю5 ' 0(1) + • • • + Ы2п ■ 0(1).

«44

(36)

Подставим формулы (31)—(36) в уравнение (30), затем поделим его сначала на еа(г"2+г<'3+г<'4)'57Г ф О, а затем на 7*123 = 7*321 = 7>з ф 0. Сделав необходимые преобразования, приведем уравнение на собственные значения к следующему виду:

д2п-2(8) = - _ + УГ^2,2(8)] +0(^=2) = О,

(37)

где

И^2п-2Д(5) = и)4гРз (Г - и)1гМ2"-3еа(-Ш1-и)4>7Т (Г ■■ ,

\Л) /«14 ЧЛ) /«41

W2n.2,2(s) = СШ1 +Ы2 + (Г-..) -(и,2+и,3 + ^Л^-3 (Г ■■ ■) ,

чл) /«и ч 7о /«и

при этом мы учли, что согласно формулам (10), (11) имеем

/*7Г

= / q{t)dtall.

топ ■■'О

Для нахождения асимптотики корней уравнения (37) сначала необходимо изучить основное приближение уравнения (37):

еа(Ш1-гофж _ гМ2п-згРз = д ^ ра(Ш1-гофж = р2^кРяМ2п_3 ^ 8к,2п-2,осш =

~к = к+Рз+М2п-з

2тг

атт(ъи1 —

к,

2 п 2 п

Зиая основной по росту член асимптотики корней уравнения (37), из общей теории (см. [28-31]) можно установить справедливость следующего утверждения.

Теорема 5. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторе (2п — 2) индикаторной диаграммы имеет вид

$к,2п-2 —

2 i

7 . d2n-\ k,2n-2 ^ f 1 к Н--^г^т-0\

fc2n—l —\k4ra-2

к = к +

м2п-з + Рз

где

a(w 1 — W4)

27гг о V—Л V—Л

к € Z; wi = 1; wA = е ^ ^ М2п-з = mfc' Рз = Рк~

2 п

(38)

2га-3

к=1

fc=l

Для доказательства необходимо показать, что коэффициенты й2п-\,к,2п-2 из (38) находятся единственным образом. Вычислим их в явном виде. По формулам Тейлора имеем

е

,a(w 1 — W4)stt

(39) е2пг

S=Sk,2n-2

= 1 •

Г . d2n— l,fc,2ra—2 . 1

к H--^г-^---h О

1 +

¡¿2п-1 1ж1(12п— 1 fc 2га—2

¿4га-2

1

о2га— 1

S=Sk,2n-2

к2п~1

а2"-1^! -W4)2""1 1 " 22га-1 ¿2га-1 рга-1

¿4га-2

(39)

^ ^ 27Г2С?2п,—l,fc,2ra—2 ^ 1

¿,2га-1

¿,4га-2

Подставив формулы (38), (39) в уравнение (37) и сделав необходимые преобразования, выводим,

TJ'PQ

1 1 ("Wi - гу4)2га 1 . ,

®2га— l,fc,2ra—2 - ГW^-2,l W + ^2^-2,2 С«) J

(40)

s—sk,2n-2,oCH

При этом из (37) находим

И^2га-2,2 =( [ ■■■) [(гУ1 + + W^Z^^Z^ - {w2 + W3 + W4) ZP* =

\j о /all

s—sk,2n-2,ocn

■)о

Для функции И-^п,—2,1 (¿>) из (37) с помощью формул (10), (11) получаем

И/2га-2,1(5 = 5Д;;2га—2,осн) =

(41)

Зхг Зхг Зхг р Зхг д,г _2хг д,г

= е 2n е 2« е 2» Зе 2» 2n-3g 2n ™2п-3

g(i) ехр

a(wi — W4)i

2тп

a-/r(ti;i — W4)

к

dtau —

Зхг _Зхг 2хг д,г 2хг д,г 2хг р

— е 2n е 2n е 2n ™2n-3g 2п lvl2n — 3 g 2n

= e^zP3zM2n-32i / g(i)sin Jo

/*7Г q(t)e2

/о

Зтг 2тг

2п ~ 2п

L2n—3

dt

ral •

(42)

Подставив формулы (41) и (42) в (40), будем иметь

(-1)га («л -ад4)2га

¿2га-

2га— l,fc,2ra—2

2тт 2n22ra_1

+

37г г , _

О /all Wi~W4\Jo

га iJ

(43)

Так как «л — г«4 = 1 — е 2п = (—2г)е 2п то формулы (38) и (43) принимают следующий

вид:

$к,2п—2

asin(f^)

Г . ^2га—l,fc,2ra—2 . 1

к Н--^т-Ч--Ь О

к2п~1

¿,4га-2

, к = к +

М2га-з + Рз 2п

(44)

<1оП-

2п-1,к,2п-2 —

2тт

q{t)dtall -

вш(^) Уо

<?(£) эт ( 2тгЫ + - -М2п-3 ) 1

1 2 п п '

(45)

Лей, п = 2,3,....

Формулы (44), (45) показывают, что коэффициенты й2п-\,к,2п-2 из (38) находятся единственным образом, тем самым теорема 5 доказана.

7. Асимптотика собственных значений в остальных секторах индикаторной диаграммы. Аналогично сектору (2п — 2) можно исследовать секторы (2п — 3), (2п — 4),..., 1, 2п, (2п — 1) индикаторной диаграммы. Биссектриса сектора (2п — 3) является срединным перпендикуляром к отрезку \Г2п-з,2п-2,2п-1]Т2п-2,2п-1,2п\-, на асимптотику корней уравнения (16)^(18) влияют только экспоненты, соответствующие точкам Т2м и Т345; биссектриса сектора (2п — 4) является срединным перпендикуляром к отрезку [Т2п-4:г2п-з,2п-2] ?2га-з,2га-2,2га-1]) на асимптотику корней уравнения (16)^(18) влияют только точки, являющиеся комплексно-сопряженными к концам этого отрезка, т.е. точки Т345 и Т456, и т.д. Таким образом, аналогично уравнению (30) можно выписать уравнения на собственные значения оператора (1)-(3) в секторах (2п — 3) (2п — 4), ...:

92п-зОО =

уМ2гг-3

£)2меа('Ч12+'ш3+'ш4)зтг

£>345 е'

2 па2п

а(гиз+ги4+гиБ)87г Сз45,2га-з(5)

—1^2«,—1 ^234,2«,—3 (¿>) +С>(-

1

.4га-2

2па2п~1,в2п~1

+ о

— \ 54га-2

(46)

5,2га-4(«) =

ПплгРа(-шз+ю4+-ш5)зтг _ Сз45,2га-з(^) п( 1 \

345 2па2п-Ч2п-1 )

—г

м2п

С456,2га-4(«) . ~

4566 2па2п-Ч2п~1

1

„4га-2

(47)

Изучив уравнения (46), (47), ..., получим следующее утверждение, обобщающее формулы (44), (45).

Теорема 6. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора (1)-(3) в секторах (2п — 3), (2п — 4), ... индикаторной диаграммы подчиняется следующим законам,:

_2хг _2хг _4хг

«А;,2га-3 = %2га-2е 2п ] «А;,2га-4 = $к,2п~?>е 2п = 8к,2п-2^ 2п '■,■■■ 8к,т = вк,т-= 5/с,2га-2е^(т"2га+2), ТП = 1, 2, 3, ... ,

при этом \к,т = ^ ^ т = 1, 2, 3,...; те = 2,3,4,..., числа 8к:2п-2 определены формулами

(44), (45).

8. Асимптотика собственных функций дифференциального оператора (1)-(3). Справедлива также следующая теорема.

Теорема 7. Асимптотика собственных функций дифференциального оператора (1)-(3) в секторе (2п — 2) индикаторной диаграммы находится по формуле

Л (Ж! 8и,2п-2) —

У(Р\о-,8) у!Г\о-,8) .

У(Г"-3\0;*) У(Гп-3\о-,8). 0;*)

У1(х,,в) У2(х,в) . У2п{х, з)

«=«гс,2п-2

функции ук{х,,з), к = 1,2, ...,2 п, определены формулами (7)—(11), числа зк:2п-2 заданы, в соотношениях (44), (45).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом / / Дифференц. уравнения. 1998. 34, № 10. 1424-1426.

2. Винокуров В.А., Садовничий В.А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма-Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. матем. 2000. 64, № 4. 47-108.

3. Birkhoff G.D. On the asymptotic character of the solutions of the certain linear differential equations containing parameter // Trans. Amer. Math. Soc. 1908. 9. 219-231.

4. Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. Петроград: Тип. M. II. Фроловой, 1917.

5. Васильева A.B., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

6. Аткинсон Ф.В. Дискретные и непрерывные граничные задачи. М.: Мир, 1968.

7. Levinson N. The asymptotic nature of the solutions of linear systems of differential equations // Duke Math. J. 1948. 15. 111-126.

8. Наймарк M.А. Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука, 1969.

9. Лундина Д.Ш. Точная зависимость между асимптотическими разложениями собственных значений краевых задач Штурма-Лиувилля и гладкостью потенциала // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1982. № 37. 74-101.

10. Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма-Лиувилля. Киев: Наукова думка, 1972.

11. Мартинович М. Дзета-функция и формулы следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением // Дифференц. уравнения. 1982. 18, № 3. 537-540.

12. Печенцов A.C. Асимптотические разложения решений линейных дифференциальных уравнений, содержащих параметр // Дифференц. уравнения. 1981. 17, № 9. 1611-1619.

13. Ильин В. А. О сходимости разложений по собственным функциям в точках разрыва коэффициентов дифференциального оператора // Матем. заметки. 1977. 22, № 5. 698-723.

14. Митрохин С.И. О формулах регуляризованных следов для дифференциальных операторов второго порядка с разрывными коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1986. № 6. 3-6.

15. Митрохин С.И. О формулах следов для одной краевой задачи с функционально-дифференциальным уравнением с разрывным коэффициентом // Дифференц. уравнения. 1986. 22, № 6. 927-931.

16. Будаев В.Д. О безусловной базисности на замкнутом интервале систем собственных и присоединенных функций оператора второго порядка с разрывными коэффициентами // Дифференц. уравнения. 1987. 23, № 6. 941-952.

17. Ильин В.А. Необходимые и достаточные условия базисности Рисса корневых векторов разрывных операторов второго порядка // Дифференц. уравнения. 1986. 22, № 12. 2059-2071.

18. Ио И., Ильин В.А. Равномерная оценка собственных функций и оценка сверху числа собственных значений оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом из класса L(0,1) // Дифференц. уравнения. 1979. 15, № 7. 1164-1174.

19. Митрохин С.И. О некоторых спектральных свойствах дифференциальных операторов второго порядка с разрывной весовой функцией // Докл. РАН. 1997. 356, № 1. 13-15.

20. Савчук A.M. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с ¿-потенциалом // Успехи матем. наук. 2000. 55, вып. 6(336). 155-156.

21. Савчук А.М, Шкаликов A.A. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки. 1999. 66, № 6. 897-912.

22. Митрохин С.И. Асимптотика собственных значений дифференциального оператора четвертого порядка с суммируемыми коэффициентами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2009. № 3. 14-17.

23. Митрохин С.И. О спектральных свойствах одного дифференциального оператора с суммируемыми коэффициентами с запаздывающим аргументом // Уфим. матем. журн. 2011. 3, № 4. 95-115.

24. Митрохин С. И. Спектральные свойства краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений с интегрируемыми коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2010. 46, № 8. 1085-1093.

25. Митрохин С.И. О спектральных свойствах дифференциального оператора с суммируемым потенциалом и гладкой весовой функцией // Вестн. СамГУ. Естеств. сер. 2008. № 8(1/67). 172-187.

26. Левитан Б.М., Саргсян И. С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

27. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967.

28. Лидский В.Б., Садовничий В.А. Асимптотические формулы для корней одного класса целых функций // Матем. сб. 1968. 65, № 4. 558-566.

29. Митрохин С.И. О "расщеплении" кратных в главном собственных значений многоточечных краевых задач // Изв. вузов. Матем. 1997. № 3(418). 38-43.

30. Садовничий В.А., Любишкин В.А. О некоторых новых результатах теории регуляризованных следов дифференциальных операторов // Дифференц. уравнения. 1982. 18, № 1. 109-116.

31. Садовничий В.А. О следах обыкновенных дифференциальных операторов высших порядков // Матем. сб. 1967. 72, № 2. 293-310.

Поступила в редакцию 16.12.2015

УДК 517.982.256, 514.764.216

МЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ НА ПОДМНОЖЕСТВА КОМПАКТНЫХ СВЯЗНЫХ ДВУМЕРНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЙ

К. С. Шкляев 1

Исследуются комбинаторные свойства метрической проекции Ре произвольного компактного связного риманова двумерного многообразия М2 на его подмножество Е, состоящее из к связных замкнутых множеств Ej. Точка х G М2 называется особой, если Ре (х) содержит точки не менее трех различных множеств Ej.• Получена точная оценка сверху на количество особых точек в зависимости от типа многообразия М2 и числа к. Такая же оценка получена для подмножеств Е, состоящих из конечного числа компонент связности, на произвольной нормированной плоскости.

Ключевые слова: двумерное многообразие, метрическая проекция, неравенство Эйлера, особые точки.

The paper is focused on combinatorial properties of the metric projection Pe of a compact connected Riemannian two-dimensional manifold M2 onto its subset E consisting of к closed connected sets Ej. The point x e M2 is called exceptional if Pe (x) contains points from no less than three different Ej. The sharp estimate for the number of exceptional points is obtained in terms of к and the type of the manifold M2. Similar estimate is proved for finitely connected subsets E of a normed plane.

Key words: two-dimensional manifold, metric projection, Euler inequality, exceptional points.

На Московской математической олимпиаде 2015 г. была предложена следующая

Задача (11 класс, П. А. Бородин). На, поверхности сферической планеты расположены четыре материка, отделенные друг от, друга, океаном. Назовем, точку океана, особой, если для нее найдутся не менее трех ближайших (находящихся, от, нее на, равных расстояниях) точек суши, причем все на разных материках. Какое наибольшее число особых точек может быть на этой планете?

Ответ в этой задаче 4.

Цель настоящей работы — исследовать эту задачу в случае произвольного числа материков (связных попарно непересекающихся замкнутых множеств) на произвольном компактном связном римановом двумерном многообразии и двумерной нормированной плоскости.

Пусть р — метрика на многообразии. Метрической проекцией Pn(x) точки х на множество N называется множество {у € N : р{х,у) = infz€Np(x,z) =: p(x,N)}. Вообще метрическая проекция определяется для любого подмножества любого метрического пространства и является предметом многочисленных исследований. В то же время метрическая проекция на подмножества римановых многообразий изучалась сравнительно мало, например в работах М.И. Карлова [1].

Определение 1. Пусть Е — объединение всех материков. Назовем точку х особой, если метрическая проекция Ре(х) содержит точки не менее трех различных материков.

Теорема 1. Пусть на зам,кнут,ом, римановом двумерном многообразии М2 расположено k ^ 3 материков (связных попарно непересекающихся замкнутых множеств). Тогда, максимально возможное число особых точек равно 2к — 2%(М2); где %(М2) — эйлерова характеристика многообразия М2.

1 Шкляев Константин Сергеевич — студ. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ,

e-mail: konstantin .shklyaevQinbox .ru.