Единичные проверяющие тесты для схем из функциональных элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Краткие сообщения

УДК 519.95

ЕДИНИЧНЫЕ ПРОВЕРЯЮЩИЕ ТЕСТЫ ДЛЯ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

С. С. Коляда1

Рассматриваются схемы из функциональных элементов в произвольных полных конечных базисах. Устанавливается возможность реализации любой булевой функции от n переменных неизбыточной схемой, допускающей при константных неисправностях на вы-

n

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, единичные проверяющие тесты, константные неисправности.

Circuits of functional elements in arbitrary complete finite bases are considered. Possibility

n

n

Key words: circuits of functional elements, identity checking tests, constant faults.

В работе рассматривается задача построения легкотестируемых схем из функциональных элементов в функционально полных конечных базисах. Допускаются единичные произвольные константные неисправности на выходах элементов, когда в неисправное состояние может перейти ровно один элемент схемы, который вне зависимости от того, что подается на его входы, выдает некоторую булеву константу 5, где 5 € {0,1}. Отсутствующие здесь определения некоторых общепринятых понятий и разъяснения по затрагиваемой проблематике можно найти, например, в работах [1-5].

Пусть S — схема, реализующая в исправном состоянии булеву функцию f (ж), х = (x\,..., xn). Схему S будем считать неизбыточной, если при переходе в любое неисправное состояние любого элемента эта схема реализует нетривиальную, т.е. отличную от f (X), функцию неисправности g(X).

Множество входных наборов T = {(Г\,..., Ъ\} называется единичным, проверяющим тестом для схемы S, реализующей функцию f, если для любой нетривиальной функции неисправности g существует набор ( из T, такой, что f (() = g(() число l называется длиной теста.

В работе [6] для схем в базисах В\ = {хку, х}, В2 = {хку, х ф у, 1}, Bs = {хку, х ф у ф 1, 0}, В4 = {хку, х®у, х®у®1}, В5 = {хку}, В6 = {хУу, х}, В7 = {хУу, х®у, 1}, В8 = {хУу, х®у®1, 0}, В9 = {х V у, х® у, х®у®1}, В ю = {хУу}, Вц = {хку, х}, Bi2 = {хку, 1}, Вц = {хУу, х}, В14 = {х\/у, 0}, ¿is = {хку, х ®у ®1}, £>i6 = {х V у, х ф у}, Вп = {хку, х\/ у} (т.е. в базисах из элементов, имеющих не более двух входов) установлен следующий результат.

Теорема 1. Для любой булевой функции f (xi,..., xn), где n ^ Ъ, и любого i € {1,..., 17} существует неизбыточная схем,а, в базисе Bi, реализующая данную функцию и допускающая единичный, проверяющий тест, длина, которого не превосходит, n + 3.

Аналогичная оценка для схем в базисе Жегалкина ранее была получена в [7], однако указанный там метод построения легкотестируемых схем годится только для базисов, содержащих конъюнкцию и линейную функцию (x ф y ил и x ф y ф 1).

Совсем недавно в [8] установлено, что любую булеву функцию можно реализовать схемой в базисе {хку, х ф у, 1 ,х(у V z) V х(у ~ z)}, допускающей единичный проверяющий тест из четырех наборов.

Основным результатом данной заметки является следующая

Теорема 2. Для любой булевой функции f (xi,..., xn), где n ^ 3, и любого функционально полного конечного ба,зи,са, существует неизбыточная схема в этом базисе, реализующая данную функцию и

n+3

Из-за ограниченности объема статьи ниже перечисляются лишь основные идеи и этапы доказательства теоремы 2 и приводятся наиболее важные вспомогательные утверждения. При распространении утверждения теоремы 1 на произвольные базисы используется метод расширения базисов, предложенный в [9]. Приведем некоторые важные определения и факты, касающиеся этого метода.

Пусть B — произвольный полный конечный базис; расширением, базиса B будем считать базис B

B

1 Коляда Сергей Сергеевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kolyadassQmail.ru.

отождествления переменных у функций из В. Если В' — расширение базиса В, то, очевидно, каждому элементу из В', отсутствующему в В, можно поставить в соответствие эквивалентную ему неизбыточ-

ВВ входов). Отсюда следует, что для доказательства теоремы 2 достаточно установить ее для расширения В

Булеву функцию (х, у, г) = ху ф хг ф ух ф 71 ж ф 72у Ф 7зг Ф 74, где 7Ь ..., 74 е {0,1}, будем называть особенной [9]. Будем обозначать через Е7 элемент с тремя занумерованными входами, который реализует ^7(х, у, г) при подаче ж, у, г соответственно на 1, 2, 3-й вход. Из всех возможных наборов 7 достаточно рассмотреть наборы (1,1,1,74), (0,1,1,74), (0, 0,1,74), (0, 0, 0,74), где 74 = 0,1 (остальные сводятся к указанным переименованием переменных функции ^7).

Наиболее существенные затруднения при доказательстве теоремы 2 возникают в случаях, когда расширения базисов содержат особенные функции, без которых базисы теряют полноту. В этих случаях конъюнкторы (или дизъюнкторы) приходится заменять блоками из одного или двух элементов, реализующих особенные функции. Возможность такой замены обеспечивается следующей простой, но вместе с тем важной леммой.

В1 В2

В1 В2

01

ции f (х1,..., хп) существует неизбыточная схем,а 51 в базисе В1; допускающая единичный проверяющий тест длины, I. Тогда, существует неизбыточная схем,а, 52 в базисе В2; которая реализует f (х1,... ,хп) и допускает, единичный, проверяющий тест длины, I.

Наличие же в расширении любого конечного функционально полного базиса если не функций типа конъюнкции (или дизъюнкции), то хотя бы особенной функции гарантирует

Лемма 2 [9]. Максимальное расширение произвольного полного конечного ба,зи,са, содержит либо нелинейную функцию от двух переменных, л,ибо особенную функцию.

В случае, когда максимальное расширение базиса содержит нелинейную функцию от двух переменных, теорема 2 доказывается с использованием теоремы 1 и леммы 1. А в случае, когда максимальное расширение базиса содержит особенную функцию, теорема 2 доказывается конструктивно путем реализации конъюнкции или дизъюнкции с помощью 7-схемы.

Схему £7с тремя входами будем называть 7-схемой, если она состоит из элементов Е7 и реализует функцию хуга V (ж V у)га(а — константа 0 или 1) при подаче х,у,г соответственно на 1, 2, 3-й вход, а при подаче на третий вход любой константы (0 или 1) получается схема, различными функциями неисправности которой являются константы. Отметим, что для каждого из рассматриваемых наборов 7 в [9] установлена возможность построения 7-схемы из одного или двух элементов Е7.

Для доказательства теоремы 2 устанавливается возможность построения для произвольной булевой функции от п переменных требуемой схемы (неизбыточной и допускающей единичный проверяющий тест не более чем из п + 3 наборов, п ^ 3) для базиса В^ = {ж&у, ж} при следующих дополнительных условиях. В схеме наряду с одиночными константными неисправностями типа 0 и типа 1 на выходах элементов допускаются: а) "тождественные" неисправности инверторов, когда все инверторы схемы переходят в неисправное состояние и реализуют тождественные функции своих входов (т.е. каждый инвертор реализует вместо отрицания тождественную функцию); б) одновременные однотипные константные неисправности инверторов, когда все инверторы переходят в неисправное состояние и реализуют булеву константу 5 (одну и ту же для всех инверторов; 5 € {0,1}).

Аналогичные возможности устанавливаются для базисов В'2 = {х V у, ж} и В'3 = {§,(ру, ж}, где 5 € {0,1}, а ^7 — произвольная особенная функция. Наконец, такие же возможности построения легкоте-стируемых схем распространяются на схемы в базисе В4 = {х ф у, х ~ у, ^7}, но уже без дополнительных условий, т.е. снова допускаются только одиночные константные неисправности на выходах элементов схем.

В самом доказательстве теоремы 2 можно выделить четыре этапа. Три первых коротких охватывают случаи, когда базисы содержат обе булевы константы или только одну из них; здесь рассуждения сходны с теми, которые использовались при доказательстве теоремы 1. Четвертый этап наиболее сложный. Здесь рассматриваются случаи, когда расширение базиса содержит отрицание и когда в расширении базиса отрицание отсутствует. В последнем случае показано, что расширение содержит хотя бы одну из функций х ф у, х&7у и хотя бы одну из функций х ~ у, х V у.

В заключительной части доказательства теоремы 2 рассматриваются всевозможные расширения базисов, и для каждого из них утверждение теоремы 2 устанавливается либо сведением рассматриваемого случая к случаю схем из двухвходовых элементов с последующим использованием теоремы 1, либо непосредственным доказательством с помощью утверждений для базисов В1, В2, В^, В4.

17 ВМУ, математика, механика, №4

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Чегис И.А., Яблонский C.B. Логические способы контроля работы электрических схем // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 270-360.

3. Яблонский C.B. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука: Физматлит, 1988. 5-25.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

6. Коляда С. С. О единичных проверяющих тестах для константных неисправностей на выходах функциональных элементов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 47-49.

7. Reddy S.M. Easily testable realization for logic functions // IEEE Trans. Comput. 1972. N I. 124-141.

8. Романов Д. С. Метод синтеза легкотестируемых схем в одном базисе, допускающих единичные проверяющие тесты константной длины // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 24-29.

9. Редькин Н.П. О полных проверяющих тестах для схем из функциональных элементов // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука: Физматлит, 1989. 192-222.

Поступила в редакцию 13.07.2012

УДК 511.218

О КОЛИЧЕСТВЕ ДЕЛИТЕЛЕЙ ЦЕНТРАЛЬНОГО БИНОМИАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА

Г. В. Федоров1

В статье выведены асимптотические формулы для выражений log т (СП) и log т( [1,..., nj). Ключевые слова: функция делителей, биномиальные коэффициенты, наименьшее общее кратное.

Asymptotic formulas are derived for the following expressions: log т ( СП ) and log т ( [1,..., nj ). Key words: divisor function, binomial coefficients, least common multiple.

В 1980 г. П. Эрдеш и Р. Грам [1] предположили, что для всех n > 4 "центральные" биномиальные коэффициенты (П") = СП не являются бесквадратными. А. Саркози [2] в 1985 г. доказал это предполо-

n

n > 4

В данной статье мы рассмотрим количество делителей "центрального" биномиального коэффициента. Теорема 1. При n ^ то имеет, место асимптотическая формула

log г (CS.) = log2(tf(2n) - ,<„)) + bg2^ g ^ + О ( р^и) , (1)

где 0 ^ T — произвольное фиксированное целое число, коэффициенты Ck вычисляются по формулам,

~ Г(log t)k ;

m=1Jm+2

В частности, из асимптотической формулы (1) следует, что

logr(C£l) = 2(log2

1 Федоров Глеб Владимирович — асп. каф. математических и компьютерных методов анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-maïl: [email protected].