CC BY
103. Giambruno A., Zaicev M. Exponential codimension growth of P.I. algebras: an exact estimate // Adv. Math. 1999. 142. 221-243.
4. Giambruno A., Mishchenko S.P., Zaicev M.V. Codimensions of algebras and growth functions // Adv. Math. 2008. 217.1027-1052.
5. Mishchenko S.P., Zaicev M.V. An example of a variety of Lie algebras with a fractional exponent //J. Math. Sci. (NY). 1999. 93, N 6. 977-982.
6. Mishchenko S.P., Petrogradsky V.M. Exponents of varieties of Lie algebras with a nilpotent commutator subalgebra // Communs Algebra. 1999. 27, N 5. 2223-2230.
7. Зайцев М.В. Целочисленность экспонент роста тождеств конечномерных алгебр Ли // Изв. РАН. Сер. матем. 2002. 66, № 3. 23-48.
8. Мищенко С.П. К проблеме энгелевости // Матем. сб. 1984. 124(166), № 1(5). 56-67.
Поступила в редакцию 27.02.2011
УДК 519.95
О ЕДИНИЧНЫХ ПРОВЕРЯЮЩИХ ТЕСТАХ ДЛЯ КОНСТАНТНЫХ НЕИСПРАВНОСТЕЙ НА ВЫХОДАХ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
С. С. Коляда1
Рассматриваются схемы в базисах из функциональных элементов, имеющих не более двух входов. Устанавливается возможность реализации любой булевой функции от n переменных схемой, допускающей при константных неисправностях единичные проверяющие тесты линейной по n длины.
Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, единичные проверяющие тесты, константные неисправности.
Circuits in bases of functional elements having not more than two entries are considered. The possibility to implement any Boolean function of n variables by a circuit admitting unit checking tests of linear length with respect to n under constant faults is established.
Key words: the circuits of functional elements, identity checking tests, constant faults.
В работе рассматривается задача построения легкотестируемых схем из функциональных элементов [1] в базисах из элементов, имеющих не более двух входов. Допускаются единичные произвольные константные неисправности на выходах элементов [2-4], когда в неисправное состояние может перейти ровно один элемент схемы, который вне зависимости от того, что подается на его входы, выдает некоторую булеву константу 5, где 5 Е {0,1}.
Пусть S — схема, реализующая в исправном состоянии булеву функцию f (x), x = (x\,..., xn). Схему S будем считать неизбыточной, если при переходе в любое неисправное состояние любого элемента эта схема реализует нетривиальную [5], т.е. отличную от f (x), функцию неисправности g(x).
Множество наборов T={ai, . ..,ai} называется единичным проверяющим тестом для схемы S, реализующей функцию f, если для любой нетривиальной функции неисправности g существует набор а из T, такой, что f (а) = д(а); число l называется длиной теста.
Рассмотрим все базисы [6] из элементов, имеющих не более двух входов: В\ = {xky, ж}, В2 = {xky, х®у, 1}, Вз = {xky, ж ©у© 1, 0}, В4 = {xky, х®у, ж©у©1}, В$ = {xky}, В6 = {х V у, ж}, В7 = {х V у, ж © у, 1}, В8 = {х V у, ж © у © 1, 0}, В9 = {х V у, ж © у, ж © у © 1}, Вю = {х\/у}, Вц = {xky, ж}, В12 = {xky, 1}, Вц = {ж У у, ж}, Вы = {ж У у, 0}, Bib = {xky, ж©у©1},
Bw = {ж V у, ж © у}, Ви = {xky, х V у}.
Теорема. Для любой булевой функции f (x\,... ,xn), n ^ 3, для любого i Е {1,..., 17} существует неизбыточная схема в базисе Bi, реализующая данную функцию и допускающая единичный проверяющий тест, длина которого не превосходит n + 3.
1 Коляда Сергей Сергеевич — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Аналогичная оценка для схем в базисе Жегалкина получена в [7], однако метод построения легкоте-стируемых схем из [7] годится только для базисов, содержащих конъюнкцию и линейную функцию(х ф у или X ф у ф 1).
Доказательство. Доказательство теоремы проводится конструктивно, т.е. при каждом г для произвольной булевой функции / (х1,..., хп) строится схема в базисе В^ и представляется единичный проверяющий тест, удовлетворяющий условиям теоремы. Без ограничения общности можно считать, что заданная функция / (х1,..., хп) существенно зависит от всех своих переменных(несущественные переменные можно отбросить).
В данной заметке из-за ограниченности объема выкладок рассмотрим только первый случай, когда
г = 1, В\ = {хк,у, х}.
Пусть / (х1,... ,хп) — некоторая функция, а Р = К1 ф ... ф К^ ф с — ее полином Жегалкина, в котором К1 — конъюнкция минимальной длины, содержащая наименьшее число переменных (если таких конъюнкций несколько, выбираем из них любую). Без ограничения общности можем предполагать, что К1 = х1& ... &хт.
Функцию / (х) реализуем схемой 5, представленной на рис. 1. В этой схеме Zl,...,Zfг — цепи из конъюнк-торов и инверторов, реализующие соответственно К\,К-2, А'з,..., К ¡г. Во всех цепях переменные подаются по возрастанию номеров(на верхние в цепи элементы подаются переменные с меньшими номерами, на нижние — с большими). Под блоком А понимается подсхема, изображенная на рис. 2; очевидно, при подаче на входы исправного блока переменных х и у на выходе блока будет реализована функция х ф у. Заметим, что при различных поломках в этом блоке на выходе может получиться пять функций неисправности: х У у, ж&у, хк/у и константы 0, 1. Последний инвертор в схеме отвечает за добавление константы (его может и не быть). Легко убедиться, что в исправном состоянии данная схема реализует функцию /(х1,..., хп).
Пусть множество Т состоит из п-разрядных наборов < = (0, 0,... , 0), <72 = (1,1,..., 1, 0, 0,... , 0), <з = (1,1,... ,
Рис. 1
1) и всех наборов с п — 1 единицей, кроме наборов (0,1, 1,..., 1,1) и (1,1,... , 1,1, 0). Покажем, что Т является единичным проверяющим тестом для данной схемы. Предположим, что неисправность произошла в одном из блоков А. Тогда вместо суммы значений, подающихся на его входы, он выдаст одну из пяти функций неисправности. Заметим, что значение х ф у
отличается от хк/у и константы 0 на наборе (0,1). Значения функций ж фу и хку различаются на наборе (1, 0). А на наборе (1,1) функция х ф у отличается от х V у и константы 1. То есть для обнаружения неисправности произвольного блока А достаточно, чтобы на его входы мы могли подать эти три набора.
Заметим, что если подать на вход схемы набор <1, то на г-й слева блок А будет подаваться (г(шоё 2) ф 1,1). Если подать на вход схемы набор <2, то на г-й слева блок А будет подаваться (г(шоё 2), 1). Следовательно, для любого блока А мы имеем в тесте два набора, на которых на входы этого блока приходят (0, 1) и (1,1). Теперь заметим, что при подаче на входы схемы набора 73 на любой блок А будет приходить набор (1, 0). Тем самым мы показали, что неисправность любого блока А будет обнаружена на одном из трех наборов <1, <2, <з.
Далее можем считать, что все блоки А исправны. Если в неисправное состояние перейдет последний(выходной) инвертор схемы, то опять же на наборах 71, <2 неисправность будет обнаружена (в исправном состоянии схема на этих наборах меняет свое значение, а при такой неисправности на выходе схемы будет реализована константа).
Осталось рассмотреть ситуацию, когда в неисправное состояние переходит элемент какой-нибудь цепи где = 1,...,/?,. В этом случае на выходе схемы 1Д~®-Г вместо Кг ф Ж2 ф ... ф ЖЦ ф с' реализуется ф ~Ш2 ф ... ф ЖЦ ф ф Щ ф с',
рис. 2 гДе К'8 — это либо константа, либо отрицание конъюнкции К'3, которая короче
конъюнкции Ks. Чтобы обнаружить неисправность, надо найти набор, на котором K's ф Ks равно 1 или, что то же самое, K's ф Ks равно 1.
Если K's = 1, то неисправность обнаруживается на наборе а\ = (0, 0,... , 0). Если K s = 0, то неисправность обнаруживается на наборе аз = (1,1,... ,1).
Пусть, наконец, K's не константа. Тогда существует переменная xi, которая входит в конъюнкцию Ks и не входит в K's. Переменная xn нам может понадобиться только в случае поломки последнего конъюнктора цепи, но тогда на выходе "сломанной" цепи будет константа, а этот случай уже рассмотрен. Можем не рассматривать переменную xi, так как она может понадобиться только при поломке самого верхнего элемента цепи, но на него подаются две переменные и мы можем выбрать другую переменную (если это xn, то на выходе "сломанной" цепи будет константа, а этот случай уже рассмотрен). Поэтому на имеющемся в T наборе с единственным нулем в i-м разряде (во всех остальных разрядах этого набора единицы) получаем K's ф Ks = 1. Неисправность будет обнаружена. Тем самым мы показали, что T является единичным проверяющим тестом для схемы S. Его длина равна n +1, что даже меньше, чем n + 3. Неизбыточность очевидна (в ходе перебора всех неисправностей мы не получали тривиальной функции неисправности). Теорема в случае i = 1 доказана.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.
2. Чегис И.А., Яблонский С.В. Логические способы контроля работы электрических схем // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 270-360.
3. Яблонский С.В. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Математические вопросы кибернетики. Вып. 1. М.: Наука, Физматлит, 1988, 5-25.
4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.
5. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.
6. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986.
7. Reddy S.M. Easily testable realization for logic functions // IEEE Trans. Comput. 1972. N 1. 124-141.
Поступила в редакцию 04.03.2011
УДК 511.34
О ПРЕДСТАВИМОСТИ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ ЗНАЧЕНИЯМИ ФУНКЦИИ РАМАНУДЖАНА
П. В. Снурницын1
Доказано, что каждое целое число представляется суммой 7940 значений функции Рамануджана.
Ключевые слова: аналитическая теория чисел, функция Рамануджана, проблема Ва-ринга.
It is proved that every integer number can be expressed as a sum of 7940 values of the Ramanujan tau function.
Key words: analytic number theory, Ramanujan tau function, Waring's problem.
Настоящая работа посвящена аддитивной задаче, связанной с функцией Рамануджана, а именно
исследуется вопрос о разрешимости для любого целого числа N уравнения вида
g
Er (ni) = N, (1)
i=1
1 Снурницын Павел Владимирович — асп. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
