Легкотестируемые схемы для линейных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

Г AB А , ч — Г A — B А, — ГА , ч — ГА,

Н^); -ГТТ7Т—57Ä—Н , ^ , л H-L); —(цикл.).

— Г (A ^ В)А — Г (A ® B )А — Г ± Ак " — АГ

Подстановка — Г[г := A] (где z Е Var U{1}) определяется следующим образом: если z = pi, то вместо каждого вхождения pi в — Г подставляется A, а вместо каждого вхождения pi подставляется A^; если же z = 1, то A подставляется вместо каждого вхождения 1, а A± — вместо каждого вхождения ±.

В исчислении MCLL допустимо правило подстановки: если z Е Var и MCLL Ь — Г, то MCLL Ь — Г[z := A].

Лемма 3. Если MCLL Ь — Гр := pi], то MCLL Ь — Г.

Мы также будем использовать двусторонние MCLL-секвенции: запись Ai A2 ... An — В\ ... Bm понимается как — A^ ... Aj~ Bi ... Bm.

Две формулы A и B называются эквивалентными (обозначение A ^ B), если MCLL Ь A — B и MCLL Ь B — A. В исчислении MCLL допустимо правило эквивалентной замены: если B ^ С и MCLL Ь — Г^ := B], то MCLL Ь — Г^ := С]. В частности, если B ^ z и MCLL Ь — Г^ := B], то MCLL Ь — Г.

Лемма 4. Имеет место эквивалентность 1 ^ 1.

Лемма 5. Имеет место эквивалентность (1 ® ±) ^(pi ^ ^ 'pi.

Определим стандартный перевод из типов и секвенций L*(\, 1) в формулы и секвенции MCLL: Ci ^ pi, 1 ^ 1, А\ B ^ A^ ^ B; если П = Ai ... An, то П ^ Ai ... An. В смысле этого перевода MCLL является консервативным расширением L*(\, 1): L*(\, 1) Ь П — С ^^ MCLL Ь I1 — (С для любой секвенции П — С с типами из Tp(\, 1). Консервативность доказывается аналогично теореме 5 из [4].

Теперь мы можем доказать импликацию справа налево. Пусть L*(\) Ь (П — С) [1 := q \ q, pi : =

(q \ q)\(pi \ q)]. Тогда MCLL Ь (П — С) [1 := q ^ q, pi : = (q ® q) y^(p)i ^ q)]. Подставим в эту секвенцию ± вместо q. Получится выводимая в MCLL секвенция, причем, так как q не входит в П — С1, это будет секвенция (П — С) [1 := 1 ^ -L, pi := (1 ® ^(pi ^ ^)]. Отсюда в силу лемм 4, 5 и допустимости правила

эквивалентной замены получаем MCLL Ь (П — С)[pi := pi]. Наконец, по лемме 3 имеем MCLL Ь П — С, откуда из консервативности MCLL над L*(\, 1) получаем L*(\, 1) Ь П — С, что и требовалось.

Автор приносит благодарность профессору М. Р. Пентусу и рецензенту за внимание к работе и ценные замечания.

Работа поддержана РФФИ (грант № 08-01-00399), программой "Ведущие научные школы" (грант НШ-65648.2010.1) и программой сотрудничества между Швейцарией и Россией в области науки и техники (STCP-CH-RU).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lambek J. Deductive systems and categories II: Standard constructions and closed categories // Category Theory, Homology Theory and Their Applications I / Ed. by P. Hilton. Lect. Notes Math. Vol. 86. Berlin: Springer, 1969. 76-122.

2. Саватеев Ю.В. Алгоритмическая сложность фрагментов исчисления Ламбека: Канд. дис. М., 2009.

3. Yetter D.N. Quantales and noncommutative linear logic //J. Symbol. Log. 1990. 55, N 1. 41-64.

4. Pentus M. Equivalent types in Lambek calculus and linear logic. Preprint N 2. Steklov Math. Institute, Department of Math. Logic, Ser. Logic and Comput. Sci. M., 1992.

Поступила в редакцию 01.12.2010

УДК 519.718

ЛЕГКОТЕСТИРУЕМЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

^ Р. Беджанова1

В работе установлено, что линейную булеву функцию от п переменных можно реализовать неизбыточной схемой из функциональных элементов в базисе {&, V, "}, которая в случае инверсных неисправностей на выходах элементов допускает единичный диагностический тест длины ] log(n — 1)[ +2.

Беджанова Светлана Руслановна — асп. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, инверсные неисправности, диагностические тесты, длина теста.

It is shown that a linear Boolean function of n variables can be realized over the basis {&, У, by an unzedundant circuit admitting a unit diagnostic test of the length ] log(n—1)[ +2 for inverse output errors of elements.

Key words: logic circuit, inverse-type output errors, diagnostic tests, test length.

Рассматриваются схемы из функциональных элементов в базисе {&, У, " }, реализующие функцию f (x) [1, 2]. Пусть в схемах в неисправное состояние может перейти выход ровно одного из элементов и эта неисправность инверсная. Это означает, что если в исправном состоянии элемент реализует функцию iß, то при его поломке на выходе элемента реализуется функция Тр. Среди всех схем, реализующих f(x), будем выделять те, которые допускают тесты наименьшей возможной длины.

Функция, реализуемая на выходе схемы при наличии в схеме неисправного элемента, называется функцией неисправности. Пусть gi,...,gk — все попарно различные функции неисправности схемы S, отличные от функции f. Множество T булевых наборов длины n называется единичным диагностическим тестом схемы S, если для любой пары функций из множества {gi,... ,gk, f} в нем найдется набор, на котором эти функции принимают различные значения [3, 4]; через D(T) обозначим длину этого теста, т.е. число наборов в нем. Пусть D(S) = min D(T), где минимум берется по всем единичным диагностическим тестам для схемы S, а D(f) = min D(S), где минимум берется по всем схемам, реализующим f (X). Заметим, что в данной работе при исследовании единичных тестов рассматриваются, как обычно, неизбыточные схемы [4]; схема называется неизбыточной, если при переходе в неисправное состояние одного любого элемента схема реализует нетривиальную функцию неисправности (отличную от исходной функции f (X)). Обозначим через ln(X) линейную булеву функцию xi ® ... ® xn, n ^ 2 [5].

Теорема. Для любого натурального n ^ 2 выполняется неравенство D(ln) ^ ] log(n — 1)[ +2.

Доказательство. Рассмотрим схему S

-| ... - I на рис. 1. Блок Ei (i = 0,1,... ,n — 2) схе-

' ' мы S, содержащий 9 элементов, представлен

на рис. 2. В исправном состоянии на выходе блока реализуется функция x ® у. Если в блоке есть один неисправный элемент, то на выходе этого блока получим либо константу 0, т.е. константную неисправность блока, либо функцию x ® у ® 1, т.е. инверсную неисправность блока. Пусть в схеме есть только один неисправный элемент. В этом случае неисправным окажется и блок, содержащий этот элемент. На выходе всей схемы

в случае инверсной неисправности этого блока получим функцию g = ln ® 1, в случае константной неисправности этого блока — одну из функций ho = x3 ® x4 ® ... ® xn, hi = x4 ® ... ® xn,..., hn-3 = xn, hn-2 = 0; здесь номер функции hi совпадает

X, X,

Ii

е

1 1

е

е

1 К -2 U

Рис. 1

с номером неисправного блока Ei.

Возьмем такое неотрицательное целое число к, что 2й 1 + 1 < п ^ 2й + 1, и введем обозначения: 0Г = (0,..., 0) — набор длины 2Г из нулей, ег = (1, 0,... , 0) — набор длины 2Г с одной единицей в первом разряде. Пусть 5г = (1, , ёи_г,..., 0й_г, ёк-г) — двоичный набор длины 2й + 1.

Пусть теперь Т = {0, (1, 0,... , 0), о\ ,...,Ок} — множество входных наборов длины п, где каждый из наборов а г представляет собой первые п разрядов набора 5г. Докажем, что Т является единичным диагностическим тестом схемы 5. Обратим внимание на то, что д(0) = 1п(0) и при любом г = 0,1,...,п- 2 выполняются неравенства Ьг(0) = д(0), Ы(1, 0,... , 0) = 1п(1, 0,..., 0). В соответствии с определением теста далее достаточно показать, что для любой пары функций (Нг,Н^), г = j, в Т найдется набор, на котором Ьг и Н^ принимают различные значения. Это условие, очевидно, будет выполнено, если по значениям функции Нг, г € {0,1,...,п — 2}, на наборах из Т однозначно можно указать номер г данной функции. Поскольку номер реализуемой неисправной схемой функции Нг совпадает с номером неисправного блока Ег, то остается убедиться, что в случае константной неис-

Рис. 2

правности по значениям на выходе схемы на наборах из Т номер неисправного блока устанавливается однозначно.

Рассмотрим следующую многошаговую процедуру деления исходной схемы 5 на подсхемы. На первом шаге делим схему 5 на две подсхемы первого уровня: первая подсхема 50 содержит 2к-1 левых в 5 блоков, а вторая подсхема 51 содержит остальные не более чем 2к-1 блоков. По значению на выходе схемы 5 на наборе од, как нетрудно заметить, можно определить, какая из подсхем первого уровня содержит неисправный блок; пусть это будет подсхема 5^, ¿1 € {0,1}.

На втором шаге делим схему 5 на подсхемы второго уровня, каждая из которых, кроме, быть может, крайней справа, содержит 2к-2 блоков, а крайняя правая — не более чем 2к-2 блоков. Результатом такого деления схемы 5 является и деление подсхем первого уровня 5о и 51, полученных на предыдущем шаге. Если подсхема 5г1 содержит не менее чем 2к-2 + 1 блоков, то на втором шаге процедуры она делится на две подсхемы: первая подсхема 5^,о содержит 2к-2 левых в 5¿1 блоков, а вторая подсхема 5^1;1 — остальные не более чем 2к-2 блоков из 5^. Если же подсхема 5^ содержит не более чем 2к 2 блоков, то 5^,о совпадает с 5г1, а 5г1 д окажется пустой подсхемой. По значениям на выходе схемы 5 на наборах <5д и и2, как нетрудно заметить, можно определить, какая из подсхем второго уровня содержит неисправный блок; пусть это будет подсхема ,г1 ,¿2 € {0,1}. Действуя таким образом, на к-м шаге мы получим подсхему 5г1, .... , 1к, которая будет содержать ровно один блок схемы 5, и этот блок неисправен. Двоичным набором (¿1,12,...,1к) однозначно определяется номер неисправного блока. При нашей нумерации блоков набор (¿1,12,...,1к) оказывается двоичной записью числа, равного номеру неисправного блока. Теорема доказана.

Замечание. Фактически повторяя доказательство теоремы, легко убедиться в справедливости приведенной верхней оценки и для функции 1п(х) — Х1 ф ... ф Хп ф 1.

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.

3. Чегис И.А., Яблонский С.В. Логические способы контроля работы электрических схем // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 270-360.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 03.12.2010

УДК 517.938.5

ГЛАДКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОСОБЕННОСТЕЙ ТИПА ФОКУС-ФОКУС

А. М. Изосимов1

Рассматриваются особенности типа фокус-фокус интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Известно, что если две такие особенности имеют одинаковое число особых точек, то они послойно гомеоморфны. Однако оказывается, что этот гомеоморфизм, вообще говоря, нельзя сделать гладким. В работе строится инвариант, позволяющий классифицировать фокусные особенности с точностью до С1-диффеоморфизма.

Ключевые слова: гамильтоновы системы, особенности, интегрируемость.

We consider focus-focus singularities of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. It is known that if two singularities of this kind have the same number of singular

1 Изосимов Антон Михайлович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].