Нижняя оценка длины полного проверяющего теста в базисе {x|y} Текст научной статьи по специальности «Математика»

Тогда Ь^ = 0, Ь^ = {0}, (фоб) //^ = (Фоб) /дЛц. = 0. С другой стороны, / + д £ фоб(Е). Для

Е Е

доказательства этого факта воспользуемся аналогом критерия Лебега из работы [8]. Обозначим = {ж £ Е | /(х) + д(х) > п}, = {х £ Е | /(х) + д(х) < -п}.

Имеем

+ 2

= /х({ж > 0 I 2Н{б,{х)) > п}) = ¡1{{х е I ущ2 ^ и}) =

= ¿¿({ж е .о I (¿(ж) < \/2п"1}) = ¿¿({ж е £> I ¿¿([ж, +оо) П Б) < \/2п"1}) = тт{/х(£>), \/2пГТ},

М^—) = ^({х < 0 | -Н(й(-х)) ^ -п}) + ^({-1 < х < 0 | -Н(-х) ^ -п}) =

= тт{/х(1}), Vп~1} + Уп-1.

Таким образом, при п ^ 2 получаем ^(i7^) — ß(Fn ) = (л/2 — 2) л/гг—1, и ряд ^ (//(F+) — ß(Fn ))

П=1

расходится.

Автор приносит благодарность научному руководителю, профессору Т. П. Лукашенко за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Titchmarsh Е.С. On conjugate functions // Proc. London Math Soc. 1929. 29. 49-80.

2. Ульянов П.Л. Некоторые вопросы А-интегрирования // Докл. АН СССР. 1955. 102, № 6. 1077-1080.

3. Ульянов П.Л. А-пнтеграл и его применение к теории тригонометрических рядов // Успехи матем. наук. 1955. 10, № 1. 189-191.

4. Ульянов П.Л. А-иптеграл и сопряженные функции // Уч. зап. МГУ. 1956. 181, VIII. 139-157.

5. Лукашенко Т.П. Об A-интегрируемости функций // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1982. № 6. 59-63.

6. Лукашенко Т.П. A-интеграл и его применение в исследованиях П. Л. Ульянова и других математиков // Изв. вузов. Математика. 2008. № 5. 77-82.

7. Бари П.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

8. Ефимова М. П. О свойствах Q-интеграла // Матем. заметки. 2011. 90, № 3. 340-350.

Поступила в редакцию 14.05.2014

УДК 519.718.7

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА ДЛИНЫ ПОЛНОГО ПРОВЕРЯЮЩЕГО

ТЕСТА В БАЗИСЕ {x\y}

Ю.В. Бородина1

Доказывается, что для любой схемы в базисе "штрих Шеффера", реализующей функцию xi Vx2 V.. .Vxn, длина полного проверяющего теста в случае константных неисправностей типа"1" не меньше n+1 (n ^ 2). Приводится пример схемы, реализующей упомянутую функцию в указанном базисе, для которой длина полного проверяющего теста равна n +1.

Ключевые слова: схемы из функциональных элементов, константные неисправности, проверяющие тесты.

It is proved that the length of the complete test is no less than n +1 (n > 2) for any circuit realizing the function x1 V x2 V ... V xn in the " Sheifer stroke" basis with possible constant faults of type "1". An example of such circuit is constructed so that the length of the complete test is exactly n +1.

Key words: curcuits of functional elements, constant faults, complete tests.

1 Бородина Юлия Владиславовна — канд. физ.-мат. наук, науч. сотр. 1111X1 им. М. В. Келдыша, e-mail: jborodinaQinbox.ru.

25 ВМУ, математика, механика, № 4

Будем рассматривать схемы из функциональных элементов [1, 2| в некотором конечном базисе В качестве неисправностей предполагаем константные не исправности типа "1" на выходах элементов (при переходе в неисправное состояние элемент выдает значение 1 независимо от входных данных).

Пусть S — некоторая схема из функциональных элементов, реализующая булеву функцию f (x), x = (xi,x2, •••, xn), в базисе B.

Функция, реализуемая на выходе схемы при наличии в последней неисправного элемента, называется функцией неисправности. Всякое множество T входных наборов схемы S называется полным проверяющим тестом, для этой схемы, если для любой функции неисправности g(x), не равной тождественно f (x), в T найдется хотя fe один такой набор ä, что f (ä) = g(ä) [3, 4]. Число наборов, составляющих этот тест, называется длиной теста.

Введем обозначения [3, 4]: D(T) — длина теста T; D(S) = min D(T), где минимум берется по всем полным проверяющим тестам T для схемы S; D(f,B) = min D(S), где минимум берется по всем схемам S в данном базисе B, реализующим функцию f; D(n,B) = maxD(f,B), где максимум берется по всем булевым функциям f от n переменных. Функция D(n, B) называется функцией

B

В работе [5] показано, что D(n, {&, У, "}) = 2 для всех n ^ 2. Возникает естественный вопрос: верно ли, что для всякого конечного базиса B справедливо неравенство D(n, B) ^ C(B), где C(B)—

n

Теорема. Для всякого n ^ 2 имеет место равенство

D(xi У x2 У • •• У xn, {}) = n + 1,

, xn) существенно зависит от n переменных

где \ обозначает, штрих Шеффера.

Доказательство. Пусть функция f (х) = f (х\,

и реализована схемой Б в базисе {\}.

Чтобы проверить неисправность выходного элемента схемы Б, на входы схемы следует подать нулевой набор функции ^ ^^^^^ набор 5, что f (5) = 0), т.е. набор 50 = (0,... , 0). Б

оба входа которых подается значение переменной х. Тогда полученная таким образом схема Бj реализует на выходе функцию неисправности . не зависящую существенно от пвременной х.. Нетрудно видеть, что

fj (xi

о = f (xi, • • •, xj-1, 0, xj+1, •••,xn) = xi У ••• У xj-1 У xj+1 У ••• У xn

Единственный набор, на котором различаются значения f и fj, — это наб ор 5 . = (0,...,0,1, 0,..., 0), состоящий из п — 1 нуля и одной единицы на месте. Следовательно, этот набор должен

Б

Таким образом, всякий полный проверяющий тест должен содержать наборы 5о, 5 1 ,...,5п, так что его длина не меньше п + 1.

Приведем пример реализации функции ^ ^^^^^^^той схемой Б в бази се {\}, для которой длина полного проверяющего теста равна в точности п + 1 (рис. 1).

Блок Е, повторяющийся п — 2 раза, имеет два входа, один выход и представляет собой последовательную цепочку двух базисных элементов (рис. 2).

ББ лы х У у = (х|х)|(у|у).

Покажем, что полным проверяющим тестом для схемы Б является тест Т = {¿о1 ,...,дп} где наборы 5. определены выше.

Б

то на наборе 50 схем а Б будет выдавать значение 1, в то время как f ( 5о) = 0, и неисправность будет обнаружена.

Б

нравен, но есть неисправность какого-то из блоков Е.

Рассмотрим последний (по ходу схемы) из таких неисправных блоков, и пусть на один из входов верхних) элемента этого блока подается переменная х1 {г е{2,... ,п — 1}).

Рис. 1

Если неисправен верхний элемент этого блока E, а нижний исправен, то при подаче набора ôo на входе этого б л ока E появится знач ение 0, и независимо от исправности верхних элементов схемы S на выходе всех последующих блоков E также появится 0; на выходном же элементе схемы S будет значение 1, и неисправность обнаружится. Если же неисправен нижний элемент этого блока E, то та наборе ôi независимо

S0

f (ôi) = 1, и неисправность обнаружится.

SE

но есть неисправность в одном из верхних элементов схемы S. Пусть i — минимальный номер переменной, подаваемой на входы такого неисправного верхнего элемента Ki схемы S. Тогда на наборе ôi элемен т Ki выдаст значе ние 1, и вообще на выходах всех элементов схемы будут выдаваться те же значения, что и на наборе ôo. В частности, на выходе всей схемы S будет значение 0, в то время как f (ôi) = 1. Теорема доказана.

Следствие. При n ^ 2 имеет место неравенет,во D(n, {|}) ^ n + 1.

Аналогичными рассуждениями можно доказать точно такую же оценку снизу функции Шеннона для базиса, состоящего из стрелки Пирса, в случае константных неисправностей типа "0" на выходах элементов, а также для базисов {&, и {V, в случае произвольных константных неисправностей на выходах элементов.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Яблонский C.B. Введение в дискретную математику. М.: Высшая школа, 2002.

3. Яблонский C.B. Некоторые вопросы надежности и контроля управляющих систем // Матом, вопросы кибернетики. 1988. № 1. 5 25.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Бородина Ю.В. О синтезе легкотестируемых схем в случае однотипных константных неисправностей на выходах элементов // Вестн. Моск. ун-та. Выч. матом, и киберн. 2008. № 1. 40 44.

Поступила в редакцию 27.06.2014

УДК 511

ОЦЕНКИ МНОГОЧЛЕНОВ ОТ НЕКОТОРЫХ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ

Е. С. Крупицын1

Получена оценка снизу для многочленов от некоторых р-адических чисел. Ключевые слова: оценки многочленов, р-адические числа, мера трансцендентности.

A lower bound for polynomials in some р-adic numbers is obtained.

р

Пусть р — фиксированное простое число; a(n),j(n) — натуральнозначные функции, такие, что

Y (n + 1) ж

1 ^ а(п) < р, 7(?г) возрастающая и lim -—— = оо. Обозначим а = Y1 а(п)р1(~п\

п^ж 7(n) п=0

Теорема 1. Для любого натурального числа, d найдется постоянная H0(d), такая, что для каждого многочлена P(x) £ Z[x] степени d и высот,ы H ^ H0(d) выполняется неравенство

2 - ^ 4-1

\Р(а)\р > f H ■ (d + 1) • (^гу) Pdhh 1(1о^я)+1))

1 Крупицын Евгений Станиславович ст. преп. каф. теории чисел матом, ф-та МИГУ, e-mail: krupitsinegmail.com. '26 ВМУ, математика, механика, № 4