Об одном признаке типа Дини-Липшица сходимости обобщённых интерполяционных процессов Уиттекера-Котельникова-Шеннона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Замечания

1. Приведенные результаты для случая всего пространстваRn были получены автором в [1].

2. Историю одномерных задач можно найти в [1-6].

3. Поскольку нормы оператора свёртки из Lœ в Lœ и из L1 в L1 совпадают, то полученные результаты остаются верны, и для Li(Rn). Точность неравенств в этом случае можно доказать по аналогии е[1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Тимофеев В. Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676-689/

2. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М,: Наука, 1972.

3. Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства. М,: Наука, 1948.

4. Тимофеев В. Г. Неравенства типа Колмогорова с оператором Лапласа // Теория функций и приближений: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1983. С. 84-92.

5. Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. С. 137-148.

6. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231-244.

УДК 517.518.85

А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова

ОБ ОДНОМ ПРИЗНАКЕ ТИПА ДИНИ^ЛИПШИЦА СХОДИМОСТИ ОБОБЩЁННЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ

ПРОЦЕССОВ УИТТЕКЕРА—КОТЕЛЬНИКОВ А—ШЕННОНА

В статье изучаются аппроксимативные свойства операторов интерполирования лагранжева типа, представляющих собой некоторое обобщение усечённых кардинальных функций Уиттекера и классических интерполяционных многочленов. Полученные результаты являются продолжением исследований, опубликованных в статьях [1-3].

Будем обозначать С0[0,п] = {f : f G C[0,п], f (0) = f (п) = 0}. В предположении p\ > 0 при каждом неотрицательном Л считаем, что

Vx

Vpx[0,п] = {qx : V0[q\] < px,Qx(0) = 0}, pA = 0(щЛ), при Л ^ ^

П (1)

Тогда для любого потенциала qA G VpA [0,п] при Л ^ после его доопределения на всю ось R с сохранением вариации через xk,A,k G Z, будем обозначать нули обобщённого решения задачи Коши

y" + (Л - qA(x))y = 0, y(0, Л) = 1, y'(0, Л) = h(X), (2)

или при дополнительном условии h(Л) = 0 — задачи Коши

у" + (Л - qA(x))y = 0, у(0, Л) = 0, у'(0, Л) = Л(Л), (3)

перенумерованные в порядке возрастания таким образом, чтобы выполнялись неравенства

0 < Xo,A < X1,A < . . . < ЖП,А < П (x_i,A < 0, ЖП+1,А > п). (4)

В данной статье получен признак сходимости в точке значений операторов типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши вида (2) или (3) и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0,п] функцпи /, интерполирующую её в узлах {xk,A}n=0 непрерывную функцию таким образом:

S'A(/, Х) = S y'(Xk,AyäX_ Xk,A)f (Xk'A) = g Sk'A(X)/(XkA). (5)

Исключив из рассмотрения тривиальный случай / = 0 (/ е е С0[0,п]), возьмём фиксированную положительнозначную функцию —(Л), удовлетворяющую условиям

—(Л) = o(1), lim ——(—= то; положим е(Л) = expf--( П ^. (6)

^) V ^)У

Например, в качестве —( Л) можно взять —( Л) = ^х>(/, ), тогда е(Л) =

Для любых фиксированных точки x е [0, п] и функции — рассмотрим „относительный" модуль непрерывности функции / в точке x

П(/,ж,—,Л,5)= sup |/(t + h) _ /(t)|. (7)

i,i+h€[x_e(A),x+e(A)],|h|<J

Функция ^ как функция переменной Ö при фиксированных x, —, Л обладает всеми свойствами обычного модуля непрерывности и является

/x

учётом её гладкости па всём отрезке, выбора функции — и параметра Л. В частном случае —(Л) = y^/^A) имеем

0(/,х,Л,£)= sup |/(t + h) _ /(t)|. (8)

t,t+helX-eXp{-),X+eXp{-)],N<

Для любого положительного Лих е [0,п] обозначим через p, m1, m2 такие целые числа, что

Г ki 1

m1 =

L 2 J

+ 1, Ш2 =

rk21

2

Xp,A < x < Xp+1,A, (9)

где номера нулей к\ж к2 определяются из неравенств хк1—1,л < х — е(Л) < < Хк1,л, хк2,л < х + £(Л) < хк2+1,л. Теперь сформулируем результаты работы [1], которыми будем пользоваться в дальнейшем.

Теорема 1 (критерий сходимости в точке [1]).Пусть / е е С0[0,п] и функции дл и ^(Л) удовлетворяют условию (1) в случае задачи Коши (2) или, (1) и ^(Л) = 0 в случае задачи (3). Доопределим функцию /(х) = 0 для всех х Е [0,п]. Тогда, для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши, (2), равномерно пох на [0, п], а также равномерно по всемдл е УРх[0,п] м ^(Л) е И справедливо равенство

Иш

\ л/Лу(х, Л) ^ /(Х2т+1,Л) — 2/(Х2т,л) + /(х2т-1,л)

¿Л(/,х) — / (х) —

2^Л + ^(Л) ^ Р — 2т

(10)

А для операторов вида (5), построенных с помощью решений, задачи Коши, (3), равномерно по х на [0,п], а также по дл е УРх [0,п] м ^(Л) е Е И \ {0} справедливо равенство

Иш

Л

с ,, ч ,/ ч /Аур^ Л) ^ '/ (х2т+1,Л) — 2/(х2т,Л) + / (х2т-1,Л) , ч

5л(/,х) — /(х) — ^пщг^-р—тт-=°. (11)

т=т1

Здесь штрих у сумм в (10) и (11) означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Еслит2 < т1; то суммы в (10) и (11) равны нулю.

Предложение [1, предложение 4]. Для любого потенциала дл из шара (1) для нулей решений, задачи Коши, (2), попадающих в [0,п] и перенумерованных в порядке возрастания согласно (4), справедливы следующие асимптотические формулы:

(к + 1)п 1 . Л .Л-2

хк,л = —ТЛ агс81пу ЛГ^(Л) + о(ьд ^ л (12)

А для перенумерованных согласно (4) нулей решений, задачи Коши, (3) с ^(Л) = 0 и дл, удовлетворяющими соотношению дл е Урх [0,п]; см. (1) справедливы следующие асимптотические формулы:

к /Л-л хк,л = П + ) пРи Л ^ го. (13)

Стремление к нулю в о равномерно по дл е УРх [0,п] м к : 0 < к < п.

Теорема 2. Пусть / е С0[0,п ] и функц ии дл и ^(Л) удовлетворяют условию (1) и ^(Л) е И в случае задачи Коши, (2) или, (1) и ^(Л) = 0 в случае задачи (3). Доопределим, функцию / (х) = 0 для вс ех х Е [0,п].

0

Тогда для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (2), из соотношения

lim

(x, Л)|П(/,ж,^,Л, ^Л) г , $(Л)

'Ч1 ОпЛ - /ЫИ (14)

у/Л + ^(Л) I 'V w(/, ^)•

следует

lim

Л—»оо

SA(/,x) - /(x) =0. (15)

А для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (3), из соотношения

\/Лу(x. Л)^(/,Х'^,Л' ^^¿Л) Г ( ^(Л) ■

lim -гттт-ma^ 1, ln Л--п

h( Л) I V ш(/, ^)■

следует (15).

Доказательство. Из (10) и (12) вытекает существование константы С такой, что

lim

Л

\/Äy(x' Л) ^ f (х2т+1,Л) - 2/(х2т,Л) + f (x2 т— 1,Л /

л+h2 ( Л) т^ p- 2m

<

л/Л|у(Х'^Л) Г / Ш) ■

lim -. =--— ma^ 1, ln Л--. , п .

V Л + ^(Л) I 'V w(/, ^)■

Значит, в силу теоремы 1 из (14) следует (15) для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (2). Аналогично получаем из соотношений (10), (11) и (13) справедливость утверждения теоремы для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (3).

Теорема доказана.

Теорема 3. Пусть / £ С0[0,п] и функции дЛ и h( Л) удовлетворяют условию (1) и h( Л) £ R в случае задачи Коши, (2) или, (1) и ^Л) = 0 в случае задачи (3). Доопределим, функцию /(x) = 0 для всex x £ [0,п]. Тогда, для операторов вида (5), построенных с помощью решений, задачи Коши, (2), из соотношения

V%(x,wxg. ) , (, Л 1 м 0

lim -. =--— ma^< 1, ln Л--. > = 0

у/Л + ^(Л) l V П

следует (15). А для операторов вида (5), построенных с помощью решений задачи Коши (3), из соотношения

>/Лу(х, Л)6(/,х,Л, /2пл) ^ 1 ~' V..... ^)

11ш -тгг^-^^ шах | 1, ^1п Л----| = 0

следует (15), где «относительный» модуль непрерывности ^ определяется (8).

Доказательство. Справедливость утверждения теоремы 3 устанавливается аналогично доказательству теоремы 2 в случае

ом = //у.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера—Котельникова— Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат, еб, 2009, Т. 200, вып. 11, С. 61-108.

2, Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для вше-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб, мат, журн, 2007, Т. 48, 5, С, 1158-1169,

3, Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости еинк-приближений непрерывных функций на отрезке // Мат, сб. 2007, Т. 198, вып. 10, С. 141-158.

УДК 517.518.85

А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова

О РАСХОДИМОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА ПО УЗЛАМ ЯКОБИ НА МНОЖЕСТВЕ ПОЛНОЙ МЕРЫ

В настоящей работе получено усиление результата А.А. Привалова 1, теорема 1]. Показано существование непрерывной функции, интерполяционные процессы Лигринжи Якоб и которой расходятся почти всюду на [-1; 1].

Пусть Я = {хк,п},к = 1, 2,3, ...,п; п = 1, 2,3,..., — матрица узлов интерполирования, п-я строка которой

1 < хп,п < хп—1,п < хп—2,п < ... < х1,п < 1

есть корпи многочлена Якоби РП",в)(х), т.е. многочленов {РП",в)(х)}5 ортогональных на отрезке [-1; 1] с дифференциальным весом ¡х>(х) = = (1 — х)а • (1 + х)в, а > —1,в> —1.