Точные Неравенства Ландау для функций нескольких переменных Текст научной статьи по специальности «Математика»

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Muñoz-Delgado F.J., Ramirez-González V., Cárdenas-Morales"D. Qualitative Korovkin-tvpe results on conservative approximation //J, Approx, Theory, 1998, Vol, 94, P. 144-159*

2, Sidorov S.P. Optimal Approximation of the rth differential operator by means of linear shape preserving opeartors of finite rank // J, of Approx, Theory, 2003, Vol, 124, P. 232-241.

УДК 517.51

В.Г. Тимофеев

ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ЛАНДАУ ДЛЯ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Пусть С = С(Яп), п > 2, — пространство непрерывных ограниченных на Яп функций с обычно определенной нормой

||и||с = вир{|и(х)| : х Е Яп};

= ЬЖ)(Яп) — пространство измеримых существенно ограниченных функций с нормой

||и||то = евввир{|м(х)| : х Е Яп}.

Обозначим через и класс функций и Е С, для которых значение оператора Лапласа принадлежит (Яп) и понимается в обобщенном, по Соболеву, смысле.

Начнем изложение основных результатов с нескольких вспомогательных утверждений, необходимых в дальнейшем. Приведем интегральное представление производной и' функции и Е и. Для всех х и £ таких, что £1 = = х1 + 2кк, к Е к > 0, полагаем

G(í,x) = <

^ ( л

Е <Мп -1 - ln М ,

^ у -k Pk J '

ln -— ln — > , если n = 2,

k=—00

E [фз - pn-^j, если n - 3,

(1)

k=

где

rk =

\

(íi - xi - 4kh)2 + ¿(í, - x,)2

i=2

рк =

\

(61 + Ж1 - 4кК - 2К.)2 + ¿(6 - ж,)2

(4« х -)

«=2

Выделим в Яп слой

Щ = {6 = (61, — ,6п) е Яп : -К < 61 < К, -то <6, < Го, г = 2,п},

К > 0.

Лемма 1. Функция (1) является функцией Грина слоя Щ7 а для производной любой функции и е и имеет, место следующее интегральное представление:

и = Г(п/2) Г и(6) д2^(6,ж) ^ Г(п/2) [ Ди(6) д^(6,ж) (2)

их = - 2пп/2(п - 2) / и(6) дхг дп? ^ - 2пп/2(п - 2)/ Ди(6 С (2)

дЩ Щ

ж е Щ7 г = 1,п дСдп,Х) ~ производная по направлению внешней нормали к границе д Пи облает и Щ.

г=1

Воспользуемся представлением (2) для вычисления знаков

при фиксированном х е Щ. Для

9Щ

определенности положим г = 1.

Лемма 2. Пусть х фиксировано внутри слояПи, а 6 = ж. Если -К < < 61 < х1} то дд^ < 0, а есл и х1 < 61 < К то > 0. Доказательство. Рассмотрим функцию

ПРОИЗВОДНЫХ —т^12-^ И д д 7

дС(6,х) ^ (к Н (6) 1

ф(6 )=-дЖг=(6 - х0{ гп+«Д1}' (3)

1, п = 2,

к=

п 2, п 3.

н (е)

< Со, где Со

Без особого труда [2] устанавливается, что ^ константа. Пусть 61 е [х1, К]. № (3) следует, что Ф(6) > (61 -

- Х1){Гп - Со} и если |го| < ' то яёпф(6) = ^п(61 - Х1).

Поскольку

Ф(6 )1е1=х1 = Ф(6 )1ех=+и = 0 (4)

и Ф(6) экспоненциально убывает к н улю при 6 ^ ГО

( к \1/п

то, взяв £ > 0 так, что £ < и рассмотрев

множество П+и = {6 е Щ : г0 > £, 61 - х1 > > 0} получим, что в этом множестве Ф(6) > 0.

Функция Ф(£) гармоническая по £ в Тогда в силу принципа

максимума для гармонических в неограниченных областях функций имеем

ф(£) > 0. (5)

Для случая £1 G [—h, xi] доказательство аналогично.

Лемма 3. Если £1 = — h. то > 0. если £1 = h. то < 0.

з1 ' dx dnt — ' "s1 ; dx dnf —

Доказательство.

= d2G(£,x)

Из

Щ \ {x}

_ a2G(e,x)

d2G(£,x) = < 0.

dxi dnç

w

<

d2G(£,x)

dxidnç —

и (5) следует, что 0

и, значит,

dxi dn^

£i=h

Второй случай доказывается так же.

Теорема. Функции и Е и: ||и||с < д7 ||Ди||то < п? д, п > 0 удовлетворяют следующим точным неравенствам:

= 1, п.

\\ufXi\\c < hl|u||c + h\\Au\\œ, если h < y^, i = 1,n, ||uX.\\c < \\Au\\TO, если h > i

Доказательство. Из (2) вытекает, что

|uX.(x)| < Ji\\u\\c + J2\\Au\\TO,

где

Ji =

Г(п/2)

2nn/2(n - 2)

д 2G(Ç,x)

J2 =

Г(п/2)

2nn/2(n - 2)

пл

dxi дп£

dG(Ç,x)

dxi

dÇ,

dÇ.

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

Величины (9) и (10) могут быть получены как решение соответствующих задач Дирихле: Д- = 0 = sgn(£1 — и

Д- = —sgn(£1 — х1) = 0 гДе " Е и.

Минимизируя полученное соотношение (8) по Н7 получаем оценки (6) и (7). Точность неравенств проверяется на одномерных функциях [3]. Следствие. Пусть шн(д, п) = БирЦи^. ||с : и Е и, ||и||с < д7

|Au\\ < п} Г > 0 i = 1,п, тогда шн(0,п) =

h + hr, если h < , 2^~&г, если h > у^.

Замечания

1. Приведенные результаты для случая всего пространстваRn были получены автором в [1].

2. Историю одномерных задач можно найти в [1-6].

3. Поскольку нормы оператора свёртки из в Lœ и из Li в Li совпадают, то полученные результаты остаются верны, и для Li(Rn). Точность неравенств в этом случае можно доказать по аналогии е[1].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Тимофеев В. Г. Неравенства типа Ландау для функций нескольких переменных // Мат. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676-689/

2, Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М,: Наука, 1972.

3, Харди Г.Г., Литтлвуд Д.Е., Полиа Г. Неравенства, М,: Наука, 1948,

4, Тимофеев В. Г. Неравенства типа Колмогорова с оператором Лапласа // Теория функций и приближений: сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 1983, С, 84-92,

5, Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат, заметки, 1967. Т. 1, вып. 2. С. 137-148.

6, Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Мат. заметки. 1977. Т. 22, № 2. С. 231-244.

УДК 517.518.85

А.Ю. Трынин, И.С. Панфилова

ОБ ОДНОМ ПРИЗНАКЕ ТИПА ДИНИ^ЛИПШИЦА СХОДИМОСТИ ОБОБЩЁННЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ

ПРОЦЕССОВ УИТТЕКЕРА—КОТЕЛЬНИКОВ А—ШЕННОНА

В статье изучаются аппроксимативные свойства операторов интерполирования лагранжева типа, представляющих собой некоторое обобщение усечённых кардинальных функций Уиттекера и классических интерполяционных многочленов. Полученные результаты являются продолжением исследований, опубликованных в статьях [1-3].

Будем обозначать С0[0,п] = {f : f G C[0,п], f (0) = f (п) = 0}. В предположении рл > 0 при каждом неотрицательном Л считаем, что

VÄ

Vpx [0, п] = {qA : VT [Ял] < рл,^л(0) = 0}, рл = °(щЛ ), при Л ^ ^

П (1)

Тогда для любого потенциала Ял G VpA [0,п] при Л ^ после его доопределения на всю ось R с сохранением вариации через G Z,

будем обозначать нули обобщённого решения задачи Коши

y" + (Л - Ял(х))у = 0, y(0, Л) = 1, y'(0, Л) = Л(Л), (2)