CC BY
53
ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 116-132.
УДК 517.518.8
О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ СИНК-АППРОКСИМАЦИЙ НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ ФУНКЦИЙ
Аннотация. Исследуются аппроксимативные свойства различных операторов, являющихся модификациями синк-приближений непрерывных функций на отрезке.
Ключевые слова: синк-аппроксимации, интерполяция функций, равномерное приближение.
1. Введение
Э. Борель иЭ.Т. Уиттекер независимо друг от друга ввели понятие кардинальной функции и усечённой кардинальной функции, сужение на отрезок [0, п] которых выглядят так:
На сегодняшний момент очень подробно исследована проблема синк-аппроксимации аналитической в полосе, содержащей действительную ось, функции, экспоненциально убывающей на бесконечности. Наиболее полный обзор результатов, полученных в этом направлении до 1993 г., а также большое количество важных приложений синк-аппроксимаций можно найти в [1]. Интересные исторические обзоры исследований в этой области содержатся также в [2], [3].
Синк-приближения нашли широкое применение при построении различных численных методов математической физики и теории приближения функций как одной, так и нескольких переменных [1], [4], в теории квадратурных формул [1], теории вейвлет-преобра-зований или всплесков [5, Гл. 7,§4, п.2], [6, Гл. 2], [7], [8].
Интересные признаки равномерной сходимости на оси кардинальных функций Уитте-кера приводятся в [9], [10].
Не менее важное достаточное условие сходимости синк-аппроксимаций получено авторами статьи [11]. Ими установлено, что для некоторых подклассов, абсолютно непрерывных вместе со своими производными на интервале (0,п) и имеющих ограниченную вариацию на всей оси R функций ряды Котельникова (или кардинальные функции Уиттекера), сходятся равномерно внутри интервала (0, п).В [12] оригинально получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных, исчезающих на концах отрезка [0,п], функций линейными комбинациями синков. В работах [13], [14], [15] установлены оценки погрешности равномерной аппроксимации на всей оси значениями различных операторов, представляющих собой комбинации синков, на классе равномерно непрерывных и ограниченных на
A.Yu. Trynin, On some properties of sinc approximations of continuous functions on the interval.
© Трынин А.Ю. 2015.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-01-00102).
Поступила 17 августа 2015 г.
А.Ю. ТРЫНИН
k=0
k=0
(1)
k=0
К функций. Отметим, что некоторые из рассмотренных в [13], [14] операторов по своей конструкции похожи на операторы, изучаемые в настоящей работе.
К сожалению, при приближении непрерывных функций на отрезке с помощью (1) и многих других операторов вблизи концов отрезка возникает явление Гиббса смотрите, например, [16] и [17].
В [18], [19], [20] и [17] получены различные оценки погрешности аппроксимации аналитических в круге функций с помощью синк-приближений (1). Насколько мне известно, до появления работ [18], [19], [20] и [17] приближение кардинальными функциями Уиттекера на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций сведением к случаю оси с помощью конформного отображения.
В статье [20] установлены точные по порядку оценки для функций и констант Лебега оператора (1), а также получен пригодный для изучения аппроксимативных свойств оператора (1) аналог формулы Г.П. Неваи. Работы [21], [22] посвящены получению необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной внутри интервала (0,п) сходимости синк-аппроксимаций (1) для непрерывных на [0,п] функций. Авторы интересной статьи [23] используют результаты работы [21] для исследования сходимости алгоритмов многоуровневых синк-аппроксимаций функций с минимальной гладкостью.
В [24] построен пример непрерывной, исчезающей на концах отрезка [0, п] функции, для которой последовательность значений операторов (1) неограниченно расходится всюду на интервале (0,п). Из результатов исследований в [24] видно, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1) возможно появление «резонанса», приводящего к неограниченному росту погрешности аппроксимации на всём интервале (0, п). В этой же работе установлено отсутствие равносходимости значений операторов (1) и рядов или интегралов Фурье на классе непрерывных функций.
Работа [25] посвящена исследованию аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с дифференциальными выражениями второго порядка. В [26] приводится ряд приложений результатов работы [25] к исследованию аппроксимативных свойств классических интерполяционных процессов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби рап'вп с параметрами, зависящими от п. Статьи [27] и [28] посвящены применению рассматриваемых в [25] операторов к изучению интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля.
Эта краткая историческая справка, конечно, ни в коей мере не претендует на полноту обзора всех работ, посвящённых теореме отсчётов или дискретизации и её обобщений. Тем более, мы здесь не цитируем статьи, из трудно обозримого цикла работ, содержащих большое количество приложений этого направления исследований математического анализа в смежных областях естествознания.
В настоящей работе, используя концепции публикаций [29]-[36], изучаются вопросы возможности приближения непрерывных на отрезке [0, п] функций с помощью линейных комбинаций системы синков {1к,п}П= и линейных функций. При этом допускается использовать в качестве информации об аппроксимируемой функции только её значения в узлах Хк,п = ~ 0 < к < п, п =1, 2, 3,.... Основное внимание в предлагаемых исследованиях уделяется следующим вопросам. Во-первых, как компенсировать появление нежелательного «резонанса» при аппроксимации негладких функций фрактального вида. Во-вторых, можно ли предложить операторы, лишённые явления Гиббса (Уилбрейама-Гиббса) вблизи концов отрезка [0,п]. Есть ли возможность сохранить при этом интерполяционное свойство новых операторов.
Поставим в соответствие каждой, принимающей конечные значения на множестве *к,п = Пт, п € N 0 < к < п, функции / целую функцию ¿Тп по следующему правилу
¿ад*) = £ {/(хк,п) -(/(п) -/(0))к - / (0)}
---/ (о) (---
n nx — kn
fc=i v ^
ra— i
_ \ - f f (Xfc+l,ra) + f (Xfc,ra) (/(п) - f (°))(2k + !) f (»J Sin nx COS nx +
¿I 2 2n f ()Jnx - (k + 2)n +
+ f (n) -f (0)x + /(0). (2)
7Г
Обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что в качестве информации о функции f оператор (2) использует её значения исключительно в узлах xk,n = nk, n G N, k G Z. Кроме того, cos nxk,n = (—1)k при n G N, 0 < k < п,и поэтому первое слагаемое в определении оператора (2) фактически представляет собой несколько «подправленный» оператор синк-аппроксимаций (1). А второе слагаемое (2) компенсирует нежелательный резонанс, в случае его появления, при приближении негладких функций. Поэтому оператор (2) обладает такими же аппроксимативными свойствами, как и операторы (13), несмотря на то, что значения этого оператора достаточно гладкие и интерполируют приближаемую функцию, т.е. для любых n G N, 0 < k < n, f(xk,n) = LTn(f, xk,n). Применение приёма, использованного при построении оператора тд(/, •) [25, формула (1.9)], позволяет избавиться от эффекта Гиббса вблизи концов отрезка [0, п] при аппроксимации функций с помощью оператора (2).
Для вычислительной математики может быть полезным более компактное представление оператора (2) в эквивалентном виде
LT,,/,*) , £(/,,„) - - /(0Л ( ^ I +
k^V n J [2(nx - kn)(7T2 - 4(nx - kn)2J J
(/(n) - /(0)) k _TT2 sin 2nx
(nx — kn) (V2 — 4(nx
+ f (п) - f (0) x + f(0).
TT
Теорема 1. Для любой непрерывной на отрезке [0, п] функции f справедливо соотношение
lim f - LTra(f, -)||с[0,п] = 0.
Будем обозначать C0[0, п] пространство непрерывных, исчезающих на концах отрезка, функций с чебышевской нормой, то есть C0[0,п] = {f : f G C[0,п], f (0) = f (п) = 0}.
Результаты настоящей работы позволяют также сделать выводы о полноте системы элементов {1k,U}U= 0uXi в нормированных пространствах C[0, п] и C0[0, п].
Следствие 1. Система {1fc,U}uL0U=i полна в C0[0, п], что согласуется с результатами работы [12]. А система функций {1,x} U {1k,U}U=0U=1 полна в C[0, п].
Более того, никакими линейными комбинациями функций системы , U}UL0 U=i невозможно приблизить произвольный элемент пространства C [0, п].
Теорема 2. Линейные оболочки систем функций
{1fc,n}U=0, n G N (3)
не плотны в C[0, п].
2. Вспомогательные утверждения
Сначала приведём некоторые вспомогательные утверждения, которые будем использовать в дальнейшем.
Предложение 1. [20, Теорема 2] Если функция f непрерывна на отрезке [0,п], то для всех х Е [0,п] имеют место следующие соотношения
1 га—1
f (x) - L™(/,x) - 2 £(f (xfc+1,n) - /(xfc,ra))lfc,ra(x)) = 0, (4)
k=0
где
(—1)k sin nx
lk,ra(x) j .
nx — kn
Сходимость в (4) поточечная на отрезке [0,п] и равномерная внутри интервала (0,п), то есть равномерная на каждом компакте, содержащемся в этом интервале.
В предположении рл > 0, при каждом неотрицательном Л считаем, что функция дл такая, что
Von[дл] < Рл, Рл = о^ 1пЛ) , при Л ^ го, дл(0) = 0. (5)
Тогда для любого потенциала дл G [0,п], при Л ^ +го, нули решения задачи Коши
у" + (Л — дл(ж))у = 0,
y(0, Л) = 1, (6)
y'(0, Л) = Ь(Л),
или, при дополнительном условии Л,(Л) = 0, — задачи Коши
y" + (Л — дл(ж))у = 0,
у(0, Л) = 0, (7)
у'(0, Л) = МЛ),
попадающие в [0,п] и перенумерованные в порядке возрастания, обозначим
0 < Жо,Л < Ж1,л < . . . < ХП(Л),Л < П (Х-1,л < 0,ХП(Л)+1,Л > п). (8)
(Здесь х-1,л < 0, хп(л)+1,л > п обозначают нули продолжения решения задачи Коши (6) или (7), после доопределения каким-либо образом функции дл вне отрезка [0,п] с сохранением ограниченности вариации). В случае задачи Коши (7), кроме того, потребуем отличие от нуля функции Л-(Л), то есть
VTЫ < Рл, Рл = О^ , при Л ^ го, дл(0) = 0, й(Л) = 0. (9)
В [25] исследуются аппроксимативные свойства операторов типа Лагранжа, построенных по решениям задачи Коши вида (6) или (7) и ставящих в соответствие любой, определённой на отрезке [0,п] функции /, интерполирующую её в узлах {хк л}П=0 непрерывную функцию таким образом
= £ y4xk^(^ Жк,л) f (Хкл) = £ Sk^(X)/<Хк'л). (10)
В частности, установлена справедливость следующего утверждения.
Предложение 2. [25, Предложение 9] Пусть у(х, Л) - решения задачи Коши (6) или (7). Для задачи Коши (6) выполняются соотношения (5). В случае же задачи Коши (7)
- (9).
Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] и по всем дЛ € [0,п] справедливо соотношение
1 га—1
Кт (7(х) - ^Л(Лх) - 2 Х^(хк+1,л) - f (хк,А)}5к,Л(х^ = 0,
к=0
где 5к>л(х) = у7^х^лу.
Замечание 1. [25, Предложение 9] Аналогично убеждаемся в справедливости следующего утверждения в рамках условий предложения 2. Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] и по всем дЛ € [0,п] справедливы соотношения
1 п
Л^ {/(х) - ^Л(Лх) - 2 Х^ (хк—1,Л) - f (хк.Л)}^.Л(х)) = 0,
2 п—1
(f (х) - ^Л(Лх) - 2 Х^ (хк+1,Л) - 2f (хк,Л) + f (хк— 1,Л)}5й,Л (х)) = 0.
Следствие 2. Если функция f € С0[0,п], то равномерно по х € [0,п] справедливо утверждение предложения 2 при Лп = и2, Л(Л) = 0, дЛ = 0, $Лп(^х) = х), а (х) = /к,п(х).
Доказательство следствия 2. В случае задачи Коши (7), при Лп = и2, Л,(Л) = 0, дЛ = 0 оператор (10) превращается в (1), /к.п(х) = зк.Лп(х). Отсюда получаем истинность утверждения следствия 2.
□
Для приближения негладких непрерывных функций, например, функций f, имеющих фрактальный характер, определим новые операторы. Так, операторы Ап(^ х) и Ап(^ х) ставят в соответствие каждой непрерывной на отрезке [0, п] функции f линейную комбинацию синков по правилам
,п
(х) + /к — 1,п
(х)
п
Ап(Лх) = Х /к'п(х) +2/к—1,п(х) f (хк,п), (11)
к=1
1п(лх) = хf (хк'п) +2f (хк+1'п) /к,п(х). (12)
к=0
Обратим внимание на то, что в пространстве Со[0,п] значения Ап(^ х) и Ап(^ х) совпадают, а в С[0,п] ведут себя одинаково во внутренних точках (0,п). Здесь приводятся результаты в терминах обоих операторов, чтобы не перепроверять эти факты при использовании (11) и (12) в приложениях.
Модификацию этих операторов после применения приёма, который позволяет избавиться от явления Гиббса вблизи концов отрезка [0,п] будем обозначать
= ХЫхЖк-пМ 1Гы- {ЯпЬЛ-f(0)1 + М-Шх+
2 1 и I п
к=1 ^ }
+ ^(0) = £| f (х*+1.п) + f (х*.п) - {/- /20»<2к + 2) - f (0)}/к.п(х) +
+ f (п) - f (0)x + f (0). (13)
7Г
Предложение 3. Пусть f G C[0, п]. Тогда равномерно на [0, п]
lim ATn(f,x) = f(x). (14)
Доказательство предложения 3. Сначала заметим, что для f G C0[0, п], согласно следствию 2 из предложения 2, равномерно на [0, п] справедливо
1 U— 1
U^n (f (x) - Ln(f,x) - ^ £ (f (xfc+1,u) - f (xfc,u^/fc,U(x)) =
fc=0
= lim f (x) - An(f,x) = lim f (x) - A>(f,x) = 0.
Для доказательства (14) заметим, что функция f (x) - f(0)x - f (0) принадлежит пространству C0[0, п]. И, следовательно, равномерно на всём отрезке [0, п]
jim £{f f (xfal) -(f (п) - f У+1) - f (0)}/k,(x) =
fc=0
[2 2п
= /(*) - /(Л)-/«0)* - /(0),
7Г
то есть верно (14). Предложение 3 доказано.
Можно также рассматривать операторы, аналогичные (11), (12), (13) вида
□
BU(f,x) = £ Mx) +91fc+1'U(x) f (xfciU),
x)
fc=0
/) = ± /(хк-1п) + /(хкп),к„(*),
к=1
ВТ/) = £ Цх) +2'к+',"(х) {/(*к,п) - (/(п) (0))к - /(0)} +
+ ^(П) - /(0) * + /(0) ^ { /(*к-1-п)2+ /(*к,п) - (/(п) - /20))(2к - 1) - /(0)}1к,п(*) +
П I 2 2п I
к=1 ^ '
+ /(П) - /(0)* + /(0).
7Г
Наконец, чтобы избавиться от асимметрии в конструкциях введённых операторов, положим
ГУ / \ п— ^к+1,п(х) + 21к,п(х) + 1к-1,п(х) е, Ч
Сп(/,х) = ^-4-/(хк,п), (15)
к=1
Сп(/,*) = £ /(Хк+1,п) + 2/(*к,п) + /(Хк-1,п) 1к,п(х). (16)
к=1
Модификацию этих операторов после применения приёма, который позволяет избавиться от явления Гиббса вблизи концов отрезка будем обозначать
СТп(/,х) = £ 1к+.,п(х) + 2Мх) + 1к-1,(х) {/(хк,„)-к=1 ^
(/(п) - f (0«k _ / (оЛы*) + finl-ZCO) x + /(0),
¡^/f ч V1 i f (xfc+l,n) + 2/ (xfc,n) + f (xfc-l,n) CT „(/,x) = ^j-4--
(/(п) - f (0))T /<0)1 (x) + x + /(0).
n J П
Замечание 2. Аналогично доказательству предложения 3 устанавливается справедливость следующего утверждения. Пусть / G C[0,п]. Тогда равномерно на [0,п]
lim BT„(/,x) = /(x), lim CTra(/,x) = lim CTra(/,x) = /(x).
К сожалению, предлагаемые операторы не обладают интерполяционными свойствами как Ln, то есть, вообще говоря, значения операторов An, ATn, Bn, BTn, Cn, CTn, An, Bn, Cn и CTn не обязаны совпадать с аппроксимируемой функцией в точках xfc,n = k^, 0 < k < n, n G N. Зато их аппроксимативные качества существенно менее чувствительны к гладкостным свойствам приближаемой функции. С их помощью можно приближать произволный элемент пространства C[0,п].
Замечание 3. В теории приближения функций классическими алгебраическими многочленами хорошо известны процессы Бернштейна по матрице узлов Чебышёва [37, см. формулу (11) и предыдущую к ней], которые в некотором смысле идентичны конструкции An (12) и Cn (16). Заметим также, что оператор, аналогичный Cn (15) использовался В.П. Скляровым при доказательстве теоремы 1 в [12], а также в случае продолжения на всю ось превращается в оператор Блэкмана-Харриса при m =1,
ао — ai —
0, 5 [13,
формула (9)]. Методы исследований аппроксимативных свойств рассматриваемых конструкций операторов у С.Н. Бернштейна, В.П. Склярова, авторов [13] и предложенный в данной работе существенно отличаются друг от друга.
Замечание 4. Если наряду с операторами (11), (12), (15), (16) рассмотреть, например, операторы вида
П— / (xk+1 ,n) + /(xk— i,n), , ч
-2- ,n(x)
fc=i
или
n^i lfc+1,n(x) + ¿fc—1,n(x) /(x ) fc=1 2
то для сходимости их значений к приближаемой функции / потребуются адекватные необходимые и достаточные условия (например, условия, сформулированные в [21, Теоремы 1 и 2]).
3. Исследование полноты системы синков в С0[0,п] и C[0,п]
Результаты предыдущего параграфа позволяют сделать выводы о полноте системы элементов |1к,п}П=ов нормированных пространствах С[0,п] и Со[0,п].
Доказательство следствия 1. Из следствия 2 и предложения 3 вытекает следствие 1.
□
Доказательство теоремы 2. Покажем, что линейные оболочки систем функций (3) не плотны в С[0,п]. Система (3) является системой Чебышева [38], [39], то есть линейные
оболочки функций (3) представляют собой чебышевские пространства [38, Гл. 1, §2]. Действительно, во-первых, это непрерывные функции. Во-вторых, каждый обобщённый полином
sin nx ^ (xfc,„) ^n(x)
^ ^ afc,nlfc,n(x)
fc=Q
^n(x)
E
fc=Q
(- 1)kП (xfc,n)(x - Xfc,n)
где шп (х) = Пп=о(х - хк,п), может иметь не более п нулей как произведение многочлена степени п на целую функцию ^'"(Х), отличную от нуля на отрезке [0, п]. Для каждого элемента / € С[0, п] по теореме Хаара [38, Гл. 1, §2] или теореме Бернштейна [39, Гл. IX, §1] существует единственный элемент наилучшего приближения
= inf
с[о,п] ak¡nes.
f - £
fc=0 L~'"J fc=Q
Рассмотрим функцию f = 1. Тогда при n > 2
)- ¿ 2n + v)
C[Q,n]
= En(f).
^ ^ pfc,ralfc,ra
< 2Era(1).
к=о к=о
В силу биортогональности систем (3) и {хк,пЩ=0 п € М, для всех 0 < к < п, п € N выполняются соотношения 1 - Еп(1) < рк,п < 1 + Еп(1). Если существует последовательность п ^ то при г ^ то такая, что Еп. (1) > 1, то теорема 2 доказана. В противном случае оценим разность
2En(1) > ^^Pfc,n¿fc,n
fc=Q
/М-
\2n/
/ 7Г 2п )
2
/ /pfc,ralfc,^( Ti + I
2n n
fc=Q ra— 3
8 Г 1 1 1 n-3
4PQ,n5+ Pl,n3 - P2,n3
L j=Q
(-1)j Pj+3,n
(2j + 5)(2j + 1)
>
> 8{ (1 - En(1))5 + (1 - En(1)) 1 - (1 + En(1)) 1 +
[ ^ ]
+1 - En(1))
1
[5-3 ]+i
(1 + E„(1))
1
m=Q (4m + 7)(4m + 3) v nwy ^ (4m + 1)(4m + 5)
Предположим, что
En(1) ^ 0, при n ^ то. Учитывая (смотрите [40, §5.1.11, п.4, п.14]), что
1 1 А 1
17)
Е
Е
1
^ (4т +1)(4т + 5) 4' ^ (4т + 3)(4т + 7) 12'
т=0 4 ' 4 ' т=0 4 ' 4 '
после перехода к пределу при п ^ то получаем противоречие с предположением (17). Следовательно, никакой линейной комбинацией функций системы (3) нельзя равномерно на всём отрезке [0, п] приблизить даже функцию / = 1. Теорема 2 доказана.
□
Лемма 1. [21, Лемма 1] Для всех х € [0, п] и п € N имеет место неравенство
7Г
к=1
где
^к,п(х)
¿|Mx) + lfc-i,n(x) | < 4 í 1 + 1 j , fc=1 ^ 77'
(-1)k sin nx
nx — kn
||Ага||с[0,пИС[0,п] < 2^1 + ^, для любого n е N.
Из леммы 1 вытекает ограниченность последовательности констант Лебега операторов вида (11)
[0,п] < 2 ( 1 +
П
К сожалению, из этого факта нельзя сделать вывод о справедливости, например, соотношения (18). Так как, в силу теоремы Банаха-Штейнхауса ([41, Гл. 4, теорема 2]), требуется ещё установить наличие подмножества M0 множества непрерывных функций, исчезающих на концах отрезка [0,п], линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в С0[0,п], такого, что для всякой f е M0
lim An(f,ж) = f (ж) равномерно на [0,п].
Чг V
га^-те
Тем не менее, верно следующее
Предложение 4. Пусть f Е С[0,п]. Тогда равномерно внутри (0,п), т.е. равномерно на любом компакте, содержащемся в интервале (0,п), имеют место соотношения
lim A„(f,x) = lim A„(f,x) = f(x). (18)
га^-те га^-те
Для того чтобы сходимость в (18) была равномерная на [0,п], необходимо и достаточно, чтобы f Е Со[0,п].
Доказательство предложения 4. Докажем (18) для произвольной непрерывной на [0,п] функции f. Преобразуем левую часть (4) согласно определениям (11) и (12) следующим образом
1 га—1
(f (х) - МЛх) - 1 X (Хк+1,™) - f О^) =
к=0
= lim (f(x) - A„(f,x) - f(n)/„,„(x)) =
га^-те
= lim (f (x) - An(f, x) - f(n)lra,ra(x) - f(0)V(x)) . (19)
га^те у 2 2/
Возьмём произвольный отрезок [а, b] С (0,п). Согласно утверждению предложения 1 равномерно на [a,b] выполняется соотношение (4), то есть пределы в смысле равномерной сходимости на [а, b] в (19) равны нулю. Но для всех x Е [а, b]
|f (n)ln,n(x)| < ||f ||с[0,п] , 1 ^ 0, при n ^ 1 1 n(n - b)
|f(0)/o,ra(x) 1 < ||f ||c[0,n] —--» 0, при n ^
1 1 na
Пусть теперь f Е Со[0,п]. Тогда, согласно предложению 2, равномерно на [0,п] справедливо
1 га—1
(f (х) - - 2 X (хк+1,п) - f О^) =
к=0
= lim f (x) - An(f, x) = lim f (x) - A„(f,x) = 0.
га^те га^те
Достаточность принадлежности функции f пространству C0[0,n] для того, чтобы сходимость в (18) была равномерной, доказана.
Необходимость принадлежности функции f пространству С0[0,п] для того, чтобы сходимость в (18) была равномерной на [0,п] вытекает из теоремы 2.
□
Замечание 5. Аналогично устанавливается, что для / € С[0, п] равномерно внутри (0, п) имеют место соотношения
Иш Вп(/,х) = Иш В?п(/,х) = /(х),
п^-те п^-те
Иш Сп(/,х) = Иш Сп(/,х) = /(х).
(20) (21)
Для того чтобы сходимость в (20) и (21) была равномерная на [0,п], необходимо и достаточно, чтобы / € С0[0, п].
Замечание 6. Заметим, что при построении операторов АТп, ВТп, СТп, СТп вместо множества функций {1,х} систему {1к,п}п= 0,те=1 можно дополнить другой удобной парой линейно независимых функций, например, {10,1,11,1}.
Прежде чем доказывать теорему 1, установим справедливость одного вспомогательного утверждения.
Лемма 2. Для любой непрерывной на отрезке [0, п] функции / справедливо следующее представление погрешности аппроксимации с помощью операторов ¿Тп
|/(х) - ¿Тп(/,х)|
/(х) -
п- 1
Е/(х2к,2„) - ^ (П) -/ (0)> к - / +
1 п ) 2(пх - кп)
к=0 п1
. п—1 Г /(х2к+1,2п) - /(х2к,2п) (/(п) - /(0)) 1
+ М 2 4п Г
к=0
X
в1п 2пх
в1п 2пх
2(пх - кп) 2пх - (2к + 1)п
п1
(х2к+2,2п) + / (х2к,2п) - (/(п) - / (0))(2к + 1) _ / (0) ^ х к=0 2
2п
X
в1п 2пх
2пх - (2к + 1)п
+ /(П) - /(0) х + /(0)
7Г
+
п- 1
+Е
к=0
/(х2к+1,2п) - /(х2к,2п) (/(п) - /(0)) 1 / в1п 2пх
в1п 2пх
4п
/ \ 2(пх - кп) 2пх - (2к + 1)п
Доказательство леммы 2. Возьмём произвольную непрерывную на отрезке [0, п] функцию /. Так как при к = 0 /(хк,п) - --/(0) = 0, получаем равенство
|/(х) - ¿Тп(/,х)|
/(х) -
п1
сое пх
Ей(хк,п)- (/(П)-/(0))к-/+
к=0
пх к
п1
^ . [ /(хк+1,п) + /(хк,п) (/(п) - /(0)) (2к + 1) ^ ) (-1)2к+1 со8 пх
+ в1ппх^|-2---^--/(0) <■-„ . 14 +
к=0
2п
+ /(П) - /(0) х + /(0)
7Г
пх - (к + 2)п
/(х) -
п1
сое пх
/(х2к,2„) - (П) -/(0^2к - /+
к=0
2п
пх к
+ вт ПХ
п—1 (?, ч (/(п)— Д°))(2к+2) , ч (/(п) —/(0))2к
Г f (х2к+2,2п) - Л-2^--f (0) + f (х2к,2п) - 2п - f (0) 1
Е
к=0
2
X
х (-1)2к+' со.+ /(л)-/!0)Х + f(0)
пх - (к + 2)п
п
К полученному представлению добавим и отнимем
п1
Е| Ш(Х2к.+ 1,„.) - (/(П)—/20^(2к+') - f (0) - f (х-2,2„) + + f (0) 1
к=0
(-1)2к в1п2пж (-1)2к+1 в1п2пж х 1 2пх - 2кп + 2пх - (2к + 1)п
Теперь имеем соотношение
|f(х) - ьгп(/,х)|
f (х) -
п— 1
сое ПХ
Ш(Х2к,2„) - С(п) -1(0»2к - ,(0)) <-2^+
к=0
2п
пх — кп
п—1 ^ /)-/(0^(2к+1) ^^^ / (п) —/ (0))2к
Г f (х2к+1,2п) - Л- 2п - f (0) - f (х2к,2п)^ 2п + f (0) \
+
к=0
2
7
X
(-1)2к 8т2пх (-1)2к+1 зт2пх
га—
+ вт ПХ ^^ к=0
2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
1 Г f (х2*+2,2п) ^ 2га--f (0) + f (х2к,2п) - ^ 2га - f (0) 1 х
х (-1)2к+' со. + /М-ДО) х + f (0)
пх - (к + 2)п
п
+
п—1 \ (/М-Д0))^!) ,, ч ,, ч (/(п) —/
Г f (х2к+1,2п) - 2га--f (0) - f 0^,2^ +' 2га + f (0) \
+
к=0
2
7
X
(-1)2к 8т2пж (-1)2к+1 в1п2пж х 1 2пх - 2кп + 2пх - (2к + 1)п После дальнейших преобразований получаем представление
|ш(х) - ьгп(/,х)| =
п— 1
+
Ш(х) ^^ ч~2к,2п/ 2п - 2кп
1 1 Ш (х ) (/(п) —/ (0))(2к+1) ш (х )+ (/(п)—/(0))2к
> / (Х2к+1,2п)--2П--/ (Х2к,2п) + 2п-
Е
к=0
X
X
вт 2пх
вт 2пх
I —
2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
2
n-1 N f (n)-f (0})(2fc+2) (/(п)-/ (0))2fc
f /(x2fc+2,2ra) -Л 2n + / (X2fc,2n) ~ 2n - 2/ (0) \
Е
fc=0
2
7
х
sin 2nx
+ /М/ x + / (0)
2nx - (2k + 1)п п
+ у"1 Г /(X2fc+1,2n) - /(X2fc,2n) (f (п) - / (0)) | / sin 2nx + 2 4n П 2nx - 2k
+
sin 2nx
fc=0
J \ 2nx - 2kn 2nx - (2k + 1)п
Отсюда следует утверждение леммы 2.
Доказательство теоремы 1. Возьмём произвольную непрерывную на отрезке [0, п] функцию / и при любом натуральном n оценим модуль уклонения от неё значения оператора (2). В силу леммы 2 уклонение значения оператора LTn от функции / представим в виде
|/(x) - LT„(/,x)| = ' "n-1 f ( i^w w 1 \2fc ,
/(x) -
.fc=0
Хл /(x2fc,2ra)
(/(п) - /(0))2k
2n
- / (0)
(-l)2k sin2nx 2nx 2k
+
fc=0
1 ^ (/(n)-/(0^(2k+1) ^^^ (/(n)-/(0))2k , „ ..
1 f /(x2fc+1,2ra) -V 2n--/(0) - /(x2fc,2n)+V 2n + /(0) \
2
(-1)2k sin2nx (-i)2k+1 sin2nx X 1 2nx - 2kn + 2nx - (2k + 1)п ' +
7
x
+
fc=0 ^
2
X
(-1)2k+1 sin 2nx + /(п) - /(0) + , 2nx - (2k + 1)п+ п x + 1 (0)
+
n1
+ ^ [/(x2fc+1,2n) - /(x2k,2n) (/(п) - /(0))| / (-1)2k sin2nx + (-1)2k+1 sin 2nx
2 4n J I 2nx - 2Ы 2nx - (2k + 1)п
fc=0
Раскроем скобки во втором слагаемом суммы, заключённой в квадратные скобки, а в числителе (первого )множителя третьего слагаемого этой суммы добавим и отнимем
и \ (/(_)-/(0))(2к+Ц л
/ (х2к+1,2п) —--2^--/ (0). После перегруппировки получим представление
|/(x) - LT„(/,x)| =
/(x) -
n1
/(-к,,) - (/(п) -/^ - /(0)1 +
,fc=0
2n
2nx — 2^
"-I f /(x2k+1.2„) - (/(-)-/'°')(2k + 1) - /(0) - /(*2«„) + /(0) 1
+
fc=0
2
(-1)2k sin2nx x^^-—--+
7
X
2nx - 2^
+ £ f /(x2k+,,2„) - (/(п)-/2П))(2к+') - /(0) - /(x2k,„) + ^/H + /(0) I
fc = 0 ^ 2 J
(-1)2k+1 sin2nx 2nx - (2k + 1)п"
f
п—1 ^ (/(п)—/(0^(2к+1) ^ г< ч . (/(п)—/(0))2к , ^ . 1
Г . (х2к+1,2п) - 2п Ш(0) - Ш (^,2п)+У 2п + Ш(0) \
Е
к=0
2
(-1)2к+1 81п 2пх
х -_-__и
2пх - (2к + 1)п
7
+
п — 1 , Г< \ /(п)—/(0^(2к+2) , . , . (/(п)—/(0))(2к+1)
Г .(х2к+2,2п) - Л-2^--Ш(0) + Ш(х2к+1,2п) - Л-2^--Ш(0)
к=0
2
х (-1)2к+'»а, + /М.х + /(0)
X
2пх - (2к + 1)п
п
+
+ п^Г /(Х2к+1,2п) - /(Х2к,2п) (/(п) - /(0))|/(-1)2к 8Ш2ПХ + (-1)2к+1 8Ш 2 4П II 2ПХ — 2кп 2ПХ — (2к +
к=0
2пх
2 4п } ^ 2пх - 2кп + 2пх - (2к + 1)п
Далее, получаем эквивалентное представление
(х) - ЬГп(/,х)|
/ (х) -
п1
/ (Х2к,„) - (/М-« _ / ^ +
>=0
2п
2пх — 2кп
п— 1 N 1/(п) — /(0^(2к + 1) ^ ^ ч . / (п) — / (0)]2к 1 ч. ^ .(х2к+1,2п) - Л-2га--Ш(0) - Ш(х2к,2п) + Л-2п + Ш(0) 1 .
+
к=0 ^
2
(-1)2к вт2пж
х-------+
2пх — 2кп
7
х
+
п — 1 , Г/ \ (/(п)—/(0))(2к+2) (/(п)—/(0))(2к+1)
.(х2к+2,2п) - Л-2га--Ш(0) + Ш(х2к+1,2п) - Л-2^--Ш(0)
Е
к=0
2
х (-1)2к+ з'п + /М-ДО) Х + / (0)
X
2пх - (2к + 1)п
п
+
+ у^Г /(Х2к+1,2п) - /(Х2к,2п) (/(п) - /(0))Щ-1)2к 8Ш 2пХ + (-1)2к+1 81п 2пХ 2 4п Д 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
к=0
/(х) -
п— 1 \ I/(п) — /(0^(2к+1) ,, ч ч / (п) — Д0)^
Г .(х2к+1,2п) - Л-2га--.(0) + .(х2к,2п) - Л-2^--Ш(0) 1
к=0 ^
2
7
X
(-1)2к 81п2пж
х----:--+
2пх — 2кп
+
п — 1 , Г/ \ (/(п)—/(0^(2к+2) ^^^ (/(п)—/(0))(2к+1)
.(х2к+2,2п) - Л-2га--Ш(0) + Ш(х2к+1,2п) - Л-2^--Ш(0)
Е
к=0
п1
2
х (-1)2к+' .'П2ПХ + .М - .(0) Х + /(0)
2пх - (2к + 1)п
п
+
^ 1 /(Х2к+1,2п) - /(Х2к,2п) (/(п) - /(0)) (-1)2к 81п2пх + (-1)2к+1 8'п 2пХ ^ 2 4п 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
Объединяя первую и вторую суммы в квадратных скобках в одну, получим соотношение
/(х)-
|/(х) - ¿Тп(/,х)| =
Г /(х^+1,2п) - (^(_)-10))(-+1) - /(0) + /(х,2п) - ^^ - /(0) 1 ¿=0 ^ 2 *
2п-1
Х ЫУ ^1п2пх + /(П) - /(0)х + /(0)
2пх - ^'п
7Г
+
+
п- 1
Е
к=0
{ /(х2к+1,2п) - /(х2к,2п) - (/(П) - /(0)) ^ (-1)2к 81п2пх + (-1)2к+1 8Ш
2пх
] \ 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
/(х) -
2п 1
^ [ /(х^'+1,2п) + /(х^',2п) - (/(п) - /(0))(2^ + 1) - /(0)](-1)'~ й1п 2пх + ¿=0 ^ 2
4п
2пх - ^'п
+ /(П) - /(0) х + /(0)
7Г
+
п- 1
+ Е
к=0
[/(х2к+1,2п) - /(х2к,2п) (/(П) - /(0)) | / (-1)2к 81п2пх + (-1)2к+1 8Ш 2пх \ 2 4п /1 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
В силу определения оператора (13) имеем представление
|/(х) - ¿Тп(/,х)|
/(х) - АТ2п(/,х) +
+ п^Г / (х2к+1,2п) - / (х2к,2п) (/(п) - / (0^/(-1)2к 8ш2пх + (-1)2к+1 8Ш 2пх 2 4п Д 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
Теперь для равномерной на отрезке [0, п] оценки погрешности приближения произвольной непрерывной функции / значениями оператора (2) воспользуемся неравенством треуголь-
ника
|/(х) - ¿Тп(/,х)| < |/(х) - АТ2п(/,х)| +
+
п1
(х2к+1,2п) - /(х2к,2п) (/(П) - /(0^/(-1)2к 81п2пх + (-1)2к+1 8Ш 2пх 2 4п Д 2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
к=0
Ч/, тп)+
< |/(х) - АТ2п(/,х)| +
<
(/(п) - /(0))
4п
п- 1
Е
к=0
(-1)2к в1п2пх (-1)2к+1 в1п2пх
2пх - 2кп 2пх - (2к + 1)п
<
< |/(х) - АТ2п(/,х)| +
К/- 2п) +
(/(п) - /(0))
4п
2п-1
Е
к=0
(-1)к+1 в1п2пх (-1)к й1п2пх
2пх - (к + 1)п 2пх - к п
В силу леммы 1 и предложения 3 получаем соотношение
|/(х) - ¿Тп(/,х)| < |/(х) - АТ2п(/,х)| +
Ч/ ) +
/( ) - /(0)
4п
4( 1 + 1
7Г
0(1).
Теорема 1 доказана.
□
Рассмотрим оператор, который ставит в соответствие каждой, принимающей конечные значения на множестве xk,2n = nn, n ^ N, 0 < k < 2n, функции f целую функцию Qn по следующему правилу
Qn(f,x) = X
г=0
cos nx sin nx nx — in
n— 1
f in -£
sin nx cos nx / (2i + 1)n Wf V
i=0 ^ ' 2
nx — (i + 2 )n
2n
(22)
Этот оператор, в отличие от (2), обладает следующим интерполяционным свойством, для любых п Е N 0 < к < 2п /(хк,2п) = ^п(/, хк,2п). И поэтому, на первый взгляд, оператор (22) должен обладать лучшими аппроксимативными качествами, чем (2). Однако, его значения, как и значения синк-аппроксимаций (1), приближают только достаточно гладкие функции. Например, из [21, Теорема 2] при Ап = п2, дЛп = 0, Л.(Ап) = 0 вытекает
Следствие 3. Пусть / Е С0[0,п]. Для любого натурального п равномерно на отрезке [0,п] справедливо
lim
f (x) — Qn(f,x) —
f2n-ll , ч
]_ ^ ( n(2m+1)
' 2п
sin 2nxf (
_ 2f f 2nm A | f i n(2m -1) 2 A 2n / + A 2n
2n
m=1
[ ] — 2m
0.
А для равенства
lim |f — Qn(f, -)||со[о,п] = 0
необходимо и достаточно выполнение условия
lim max
n—у^о 0<p<2n
r2n-li , ч
] ^п(2то+1)
f
2n
O-fA 2nm A , n(2m -1)
— 2 A + A 2n
m=1
0,
р - 2т
где штрих у сумм означает отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю. Доказательство следствия 3. Сделаем следующие эквивалентные преобразования
Qn(f,x) = X
n1
cos nx sin nx /in\ sin nx cos nx r ^(2i + 1)n
■* nx — I i + 0 ,
г=0 4 2'
E
г=0
n . _ _. n—1
;nx / (2i + 1)п \
Iw;v 2n /
X
г=0
nx — in Vn/ nx — (i + 1 V 2n
sin2nx „/ 2in \ n— sin2nx „/ (2i + 1)n
-Я—) —X —
2nx — 2in V 2n /
г=0 n1
2nx — (2i + 1)nA 2n
f(
^ (—1)2i sin2nx / 2in \ n-1 2nx — 2in f V 2n / +
(—1)2i+1 sin2n^ ^(2i + 1)n
2nx — 2in V 2n / 2nx — (2i + 1)п V 2n
г=0 г=0 ^ '
2n (—1)k sin 2nx f / kn\ = ^ (f x) 2nx — kn \2n/ n '
fc=0
X
Теперь из [21, Теорема 2] при Ап = 4п2, дЛп = 0, Л.(Ап) = 0, теоремы 2 и следствия 1 вытекает справедливость следствия 3.
□
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. F. Stenger Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions, (N.Y., Springer Ser. Comput. Math., 20 Springer-Verlag, 1993)
2. P.L. Butzer A retrospective on 60 years of approximation theory and associated fields // Journal of Approximation Theory. 2009. 160, P. 3-18.
3. J.R. Higgins Five short stories about the cardinal series // Bulletin (New Series) Of the american mathematical society. 1985. 12(1). P. 45-89.
4. M.T. Alquran, K. Al-Khaled Numerical Comparison of Methods for Solving Systems of Conservation Laws of Mixed Type // Int. Journal of Math. Analysis. 2011. 5(1). P. 35-47.
5. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Изд-во АФЦ. 1999.
6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск. "Регулярная и хаотическая динамика". 2001.
7. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков // Фундаментальная и прикладная математика. 1997. 3(4). C. 999-1028.
8. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. 53, 6(324). C. 53-128.
9. J.L.Jr. Brown On the error in reconstructing a nonbandlimited function by means of bandpass sampling theorem // J. of Mathematical Analysis and Applications.1967. 18. P. 75-84.
10. P.L. Butzer, J.R. Higgins, R.L. Stens Classical and approximate sampling theorems: studies in the Lp(R) and the uniform norm // Journal of Approximation Theory. 2005. 137. P. 250-263.
11. Шмуклер А.И., Шульман Т.А. О некоторых свойствах рядов Котельникова // Известия вузов. Математика. 1974. № 3. C. 93-103.
12. V.P. Sklyarov On the best uniform sinc-approximation on a finite interval // East Journal on Approximations. 2008. 14(2). P. 183-192.
13. A. Kivinukk, G. Tamberg On Blackman-Harris windows for Shannon sampling series // Sampl. Theory Signal Image Process. 2007. 6. P. 87-108.
14. A. Kivinukk, G. Tamberg Interpolating generalized Shannon sampling operators, their norms and approximation propositionositionositionerties // Sampl. Theory Signal Image Process. 2009. 8. P. 77-95.
15. G. Schmeisser Interconnections Between Multiplier Methods and Window Methods in Generalized Sampling // Sampl. Theory Signal Image Process. 2010. 9(1-3). P. 1-24.
16. Abdul J. Jerri Lanczos-Like a-Factors for Reducing the Gibbs Phenomenon in General Orthogonal Expansions and Other Representations // Journal of Computational Analysis and Applications. 2000. 2(2). P. 111-127.
17. A.Yu. Trynin, V.P. Sklyarov Error of sinc approximation of analytic functions on an interval // Sampling Theory in Signal and Image Processing. 2008. 7 (3). P. 263-270.
18. Трынин А.Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа-Штурма-Лиувилля // Тезисы докладов X Саратовской зимней школы «Современные проблемы теории функций и их приложения». 27 января-2 февраля 2000 г., Изд-во Сарат. ун-та, Саратов. C. 140-141.
19. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам // Математика. Механика., Изд-во Сарат. ун-та, Саратов. 2005. 7. C. 124127.
20. Трынин А.Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке // Сибирский математический журнал. 2007. 48(5). C. 1155-1166.
21. Трынин А.Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Математический сборник. 2007. 198(10). C. 141—158.
22. Трынин А.Ю. Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2008. 6, C. 66-78.
23. Oren E. Livne, Achi E. Brandt MuST: The multilevel sinc transform // SIAM J. on Scientific Computing. 2011. 33(4). P. 1726-1738.
24. Трынин А.Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0,п) // Алгебра и анализ. 2010. 22 (4). C. 232-256.
25. Трынин А.Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Математический сборник. 2009. 200(11). C. 61-108.
26. Трынин А.Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби // Изв. РАН. Сер. матем. 2011. 75(6). C. 129--162.
27. Трынин А.Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2000. 9(460). C. 60-73.
28. Трынин А.Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля // Известия высш. уч-ых заведений. Математика. 2010. 11, C. 74-85.
29. Голубов Б.И. Сферический скачок функции и средние Бохнера-Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Матем. заметки. 2012. 91(4). C. 506-514.
30. Голубов Б.И. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье // Матем. заметки. 1985. 37:1. C. 13-24.
31. Дьяченко М.И. Об одном классе методов суммирования кратных рядов Фурье // Математический сборник. 2013. 204:3, C. 3—18.
32. Дьяченко М.И. Равномерная сходимость гиперболических частичных сумм кратных рядов Фурье // Матем. заметки. 2004. 76:5. C. 723-731.
33. Половинкин Е.С. Об интегрировании многозначных отображений // ДАН. 1983. 281:5. C. 1069-1074.
34. Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре периодического оператора с малым локализованным возмущением // Изв. РАН. Сер. матем., 2008, 72 №4. C. 37-66.
35. Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре самосопряженного дифференциального оператора на оси с быстро осциллирующими коэффициентами // Матем. сб., 2007. 198 №8. C. 3-34.
36. Половинкин Е.С. О некоторых свойствах производных многозначных отображений // Труды МФТИ. 2012. 4:4. C. 141-154.
37. Бернштейн С.Н. Об одном видоизменении интерполяционной формулы Лагранжа // (Собрание сочинений. Конструктивная теория функций. Т. 2.) 1954. М.: Изд-во АН СССР. C. 130-140.
38. Даугавет И.К. Введение в теорию приближения функций. Изд-во Ленинградского университета. Ленинград. 1977.
39. Карлин С., Стадден В. Чебышевские системы и их применение в анализе и статистике. M.: «Наука». Главн. ред. физико-математической литературы. 1976.
40. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. M.: «Наука». Главн. ред. физико-математической литературы. 1981.
41. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. M.: «Наука». Главн. ред. физико-математической литературы. 1965.
Александр Юрьевич Трынин,
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского, ул. Астраханская, 83 410012, г. Саратов, Россия E-mail: [email protected]
