Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 4, С. 61-70

УДК 517.538

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИЙ СУММАМИ УИТТЕКЕРА И ИХ МОДИФИКАЦИЯМИ: УСЛОВИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ

1

А. Я. Умаханов, И. И. Шарапудинов

Найдены достаточные условия равномерной сходимости на отрезке [0, п] втс-приближений — значений интерполяционнных операторов Уиттекера и некоторых модифицированных операторов.

Ключевые слова: втс-функция, оператор Уиттекера, равномерная сходимость, условие Дини — Липшица, абсолютная непрерывность, ограниченная вариация, сумма Лейбница, преобразование Абеля.

и является целой функцией. При действительных значениях x = 0, ввиду известного неравенства | sinx| < |x|, справедлива оценка | sinex| < 1. Зафиксируем натуральное n и рассмотрим сумму

которая сопоставляет каждой функции /(ж), определенной на [0,п], целую функцию ж), совпадающую с /(ж) в узловых точках ж к = х к,п = ^, к = 0,1,..., п. Эта сумма называется и-ой интерполяционной суммой или и-ым интерполяционным, оператором Уиттекера. Самого Э. Т. Уиттекера [1] интересовал вопрос о возможности восстановления функции на всей числовой прямой по ее значениям на некоторой равномерной сетке Н > 0, для чего он ввел в рассмотрение так называемую кардинальную функцию (или кардинальный ряд), сужение которой на отрезок [0,7г] в случае /г = ^ имеет вид (2). Независимо аналогичные ряды по вте-функциям применяли В. А. Котельников [2] и К. Э. Шеннон [3] для однозначного восстановления сигнала по его дискретным отсчетам, и соответствующая теорема в теории информации носит имена Уиттекера, Котельникова и Шеннона. Впоследствии кардинальные ряды Уиттекера нашли широкое применение в численных методах, теории приближения и интерполяции различных классов функций, решении дифференциальных и интегральных уравнений, в теории информации. В частности, этим вопросам посвящены работы [4-13].

1. Введение

Sine-функция или кардинальный синус определяется формулой

(1)

© 2016 Умаханов А. Я., Шарапудинов И. И.

1 Работа выполнена при частичной поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 16-01-00486.

Здесь нас интересует вопрос сходимости [Ьп(/,ж)} на отрезке [0,п]. Первые задачи подобного рода для аналитических функций были рассмотрены в [14-18]. В [19] и [20] получен критерий равномерной сходимости сумм (2) внутри интервала (0,п), аналогичный критерию А. А. Привалова равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа [21]. В частности, следствие из теоремы 6 в [20] утверждает, что на любом отрезке [а, Ь], 0 < а < Ь < п, {£п(/, ж)} равномерно сходятся к /(ж), если эта функция удовлетворяет условию Дини — Липщица:

Дшо ш(/,г)1п г = 0, (3)

где

ш(/,г)= вир |/(Ж2) - /(ж 1)|

|Х2—Х11

— модуль непрерывности /(ж) на отрезке [0, п]. Но равномерной сходимости на всем отрезке [0, п] нет даже для функции /(ж) = 1. В настоящей статье найдены достаточные условия на функцию /(ж), при соблюдении которых {£п(/, ж)} сходится к /(ж) равномерно на [0,п]. Кроме того, сконструированы модификации операторов Уиттекера, облада-

[0, п]

/(ж)

2. Условия равномерной сходимости втс-приближений

Впервые задача о равномерной сходимости втс-приближений для функций, обращающихся в пуль па концах отрезка [0,п], была рассмотрена в [22]. В частности, в [22]

[0, п]

Липшица может быть приближена операторами (2) равномерно на всем отрезке [0,п].

Мы приведем здесь доказательство этого утверждения, отличное от предложенного в ра/

[0, п]

/(ж)

вию Дини — Липщица на [0, п] и пусть /(0) = /(п) = 0. Тогда последовательность функций {£п(/, ж)}^=1; определеных формулой (2), равномерно сходится к / (ж) на [0, п].

Для доказательства этого предложения нам понадобятся некоторые вспомогательные утверждения.

Лемма 1. Пусть {а&}П=1 —монотонная последовательность неотрицательных (непо-)

п

(-1)как ^ тах{|ао|, Ы}. (4)

к=0

< По аналогии с рядами Лейбница такие суммы будем называть суммами Лейбница. Поскольку

п п п

£ (-1)к (-ак) = (-1)к ак = £ (-1)к ак,

к=0

к=0

к=0

то можно считать, что ^ 0 к = 0,1,... ,и. Предположим также, что последовательность {а&}'=0 невозрастающая. Если и = 2т, то

2m

0 ^ (ао - ai) + (а2 - аэ) +-----+ (a2m-2 - a2m-i) + a2m = X](-1)kak

k=0

= ао - (ai - a2) - (аэ - a4)-----(a2m-i - a2m) ^ ао.

Если же n = 2m — 1, то

2m-1

0 ^ (ао - ai) + (a2 - аэ) +-----+ (a2m-2 - a2m-i) = > , (-1) ak

k=0

— а0 — (а1 — Й2) — (а3 — Й4) — ■ ■ ■ — (а2то_3 — а2т_2) — а2т_1 ^ а0-

В случае неубывающей последовательности неотрицательных чисел аналогичные выкладки приводят к неравенству |^П=о(—1)какI ^ а'а' ^

Лемма 2. При и ^ 10 ^ т ^ и и ж £ (-то, верно неравенство

k=0

sine n x —

kn

n

< 2.

(5)

< Если ж совпадает с одним из узлов = к = 0,1,... ,т, то левая часть (5) равна 1 и неравенство верно. Пусть ^ < ж < для некоторого целого з, 0 < з < т.

Преобразуем оцениваемую сумму к виду

Е

k=0

sine n x —

kn

n

sin(m — k7r)

^ пж — ктт k=0

= sin nx

E

k=0

(~l)fc nx — kn

и разобьем ее на две части

Si = sin nx ^

k=0

(~l)fc ? nx — kn'

S2 = sin nx У^

k=s+i

(-l)fc _ nx — kn'

Согласно выбору 5, {иж — кп}к=о И {иж — кп}т=5+1 — убывающие последовательности соответственно положительных и отрицательных чисел. Следовательно, обе последовательности {(иж — кп)-1}к=о И {(иж — кп)-1 }т=5+1 являются возрастающими последовательностями чисел одного знака. Таким образом, обе суммы являются суммами Лейбница, и из неравенства (4) леммы 1 получаем оценки

|Si| <

|sm nx | |nx - sn|

sin(nx - sn)

nx — sn

= |sine(nx - sn)| < 1,

(6)

|S2| <

|sin nx|

sin(nx - (s + 1)n)

|nx - (s + 1)n|

nx - (s + 1)n

= |sinc(nx - (s + 1)n)| < 1.

Ш.7Г

n '

Складывая последние неравенства, получаем неравенство (5). Если же x < 0 или x > то вся сумма s^nc n(x ~ ) является суммой Лейбница и по лемме 1 не превосходит

max{|sinc nx|, |sinc(nx - sn)|} ^ 1, так что неравенство (5) верно и в этом случае. >

Замечание 1. Оценку (5) можно уточнить. При 0 < з < т ш ^ < ж < —, согласно неравенствам (6),

+ |8ШПЖ| (-.---Г+ 1

= |sin nx|

|nx — sn| |nx — (s + 1)n| 1 1

nx — sn nx — (s + 1)п

= sin(ra — S7r) ( ----h

nx — sn п — (nx — sn)

. , /1 1 \ П sin Í def ,Л

= suit - H--= —-- = ip(t),

\t n-tj t(n-t) h

где t = nx — sn, 0 < t < п. Так как ^>(t) = sine t + sine(n — t), то эта функция определена на (—то, В частности, ^>(0) = ^>(п) = 1. Производная ^>(t) имеет вид

t2(n — t)2:

где p(í) = (7rí — í2) cosí — ("7Г — 2í) siní. Легко видеть, что p(0) = í>(§) = í?(vr) = 0. Далее,

p'(t) = (í2 — 7TÍ + 2) sin í = 0 при í = 0, t = tt, t\ = f — ^/x — 2 и ¿2 = § + x — 2, причем 0 < íi < f < í2 < 7Г.

Очевидно, что p'(í) > 0 при 0 < í < ¿i и p'(í) < 0 при t\ < t < ^ . Это вместе с равенствами р(0) = = 0 влечет, что p(t) > 0 на (0, ^). Следовательно, <p'(t) > 0 на (0, ^), т. е. ip{t) возрастает на (0, Отсюда и из соотношения ip(t) = (p(ir—t) вытекает, что (p(t) убывает на (fjVr). Таким образом, в точке í = f функция ip(t) достигает своего

7Г\ _ &

2> ж

наибольшего значения (р{Щ) = — и

т ( кп\ 4

^вшеп/ж- —) (7)

к=0 4 7

Последняя оценка не улучшаема. Знак равенства достигается при п = т = 1иж = |. Замечание 2. Неравенства (5) и (7) остаются верными и для сумм

El kn

sine n I x —

k=mi

n

так как

£

7 \ m-mi / ,

kn \ v-^ . I kn

sine n I ж--I = sine П I у

fe=mi ^ И 7 k=0 ^ П

где у = x — 0 ^ m\ ^ m ^ n, n ^ 1.

Лемма 3. Пусть 5 > 0 и ipmns(x) = YlT=o ' sincn {x — ^f), где штрих у знака суммирования означает суммирование по значениям к, 0 ^ к ^ т, для которых ж — ^ ^ 5. Тогда

2

\^rrm5(x)\ ^ —£ (8)

no

при 0 ^ m ^ n, n ^ 1 и x G (-то,

< Обозначим через з\ наибольшее целое значение к, для которого к ^ ^, а через — наименьшее целое значение к, для которого к ^ п(х+5) _ Предположим сначала, что 0 ^ 51 < 52 ^ т. Тогда (ж) — а1 + ст2, где

v^ (-1)k m (-1)k

(Jl=Sinna;> -;-;—-, (72 = Sin ПХ > -;-j— .

f^nix-Щ ^ п(х-Щ

k=0 v n ) k=s2 V n '

Как и при доказательстве леммы 2 убеждаемся, что обе суммы ai и 02 являются суммами Лейбница и согласно оценке (4) леммы 1 удовлетворяют неравенствам

|<л| ^ |sinпх\ • —I—i-—т ^ |сг2| ^ |sinпх\ • —I—i-—т <

ппд п\х~^г\ п°

откуда и следует (8). Если же si < 0 или s2 > m, то вся сумма ^mn5 (x) будет суммой Лейбница и, следовательно, оценивается как одна из сумм о\ или a2'- \ipmn5(x)\ ^ >

< Доказательство предложения 1. Поскольку f (x) абсолютно непрерывна па промежутке [0,п], то для дан ного е > 0 найдется та кое 5 > 0, что для любой конечной системы попарно непересекающихся интервалов (aj, bj) С [0,п], j = 0,1,...,1, из условия ^j=i(bj - aj) < 25 будет следовать, что Xj=i |f (bj) - f (aj)| < е. Кроме того, абсолютно непрерывная функция имеет ограниченную вариацию. Обозначим полную ва-

п

риацию f(x) на [0,п] через V (V = V(f))• Пусть 0 ^ x < 25. Выберем целое m = m(5)

так, чтобы было ^ < 2Л sC (га+1)7г и ПредСтавим оператор Ln(f,x), определенный формулой (2), в виде суммы

Ln(f,x) = Ln,i(x) + Ln,2(x),

где

mn

Ln,i (x) = ^^ f (xk)sine n(x - xk), Ln,2(x) = ^ f (xk)sinen(x - xk),

k=0 k=m+i

kn

Ж& = -, К = 0, 1, . . . , П.

n

Применив преобразование Абеля к сумме Ln,i(x), получим

m— i k m

Ln,i(x) = ^(f (xk) - f (xk+i)£sincn(x - xj) + f (x m) / y sine n(x xj ). k=0 j=0 j=0

Согласно неравенству (5) из леммы 2 получим

m— i k

|Ln,i(x)| ^ ^ |f (xk) - f (xk+i)| ^ sinen(x - xj) k=0 j=0 m—i

+ |f (xm)|

m

k=0

Так как

J^sincn(x - xj) ^ 2 ^ |f (xk) - f (xk+i)| + 2 |f (xm)| j=0 k=0

, m—i X

2 HT |f (xk) - f (xk+i)| + |f (xm) - f (x0)| .

V 7--n /

m—i

E, N mn mn

- Xk) =-<25 и 0 < xm - x0 =- < 25,

nn

k=0

то из условия выбора 5 для абсолютно непрерывной функции f (x) следует, что при 0 ^ x < 25

|Ln,i(x)| < 2(е + е) = 4е. (9)

Теперь применим преобразование Абеля ко второй сумме Ln>2(x):

n— 1 k n

Ln,2(x) = ^ (f (Xk) - f (Хк+i)^ sinc n(x - Xj) + f (xn^ sinc n(x - Xj).

k=m+1 j=m+1 j=m+1

Учитывая, что f (xn) = f (п) = 0, согласно замечанию 2 к лемме 2 получим

n—1 k

|Ln,2(x)| ^ E If (xk) - f (xk+1)| sinc n(x - xj)

k=m+1 j=m+1

2 n—1 2V

k=m+1

при n > no = [^j]. Из последнего неравенства и неравенства (9) вытекает, что

2V

\Ln(f,x)\ < |Lra>i(a;)| + |Lra>2(a;)| < 4е + — <4е + е = 5е

n5

и, следовательно, при n > no и 0 ^ x < 25

|Ln(f,x) - f (x)| < |Ln(f,x)| + |f (x) - f (0)| < 5е + е = 6е. (10)

Рассуждения, аналогичные приведенным выше, показывают, что неравенство (10) остается верным и при n > no и п - 25 < x ^ п. С другой стороны, согласно приведенному во введении следствию теоремы 6 из [20], для данного е > 0 найдется но мер n1 = n1(e, 5) такой, что при n > n1 и 5 ^ x ^ п - 5 будет |Ln(f, x) - f (x)| < е. Отсюда и из (10) следует, что при n > max{n1,no} и 0 ^ x ^ п верно неравенство |Ln(f, x) - f (x)| < 6е, что означает равномерную сходимость последовательности функций {Ln(f, x)} к f (x) на всем промежутке [0, п]. >

Следствие 1. Если функция f (x) G Lip^0,^ и f (0) = f (п) = 0, то последовательность функций {Ln(f, x)} равномерно сходится к f (x) на [0, п].

< На самом деле, из f (x) G LiP1[0, п] следует, что функция f (x) абсолютно непрерывна па [0, п] и удовлетворяет там условию Дини — Липщица. >

f(x)

влетворяет условию Дини — Липщица. Например, функция

0, x = 0

является абсолютно непрерывной на [0,7г], поскольку ее производная /'(ж) = 2

существует при 0 < х ^ 7Г, является суммируемой на [0,7г] и /(ж) = /0Ж ^ dt. В то

же время модуль непрерывности этой функции ui(f,t) = j^bry, а

ln t

lim üj(f,t)lnt = lim ——---— = -1 ф 0,

' ln(2n) - lnt ^

т. e. f (ж) не удовлетворяет условию (3) Дини — Липщица.

3. Модифицированные операторы

В случае, если f (0) = 0 шт f (п) = 0, значения операторов (2), как было отмечено выше, не сходятся равномерно к f (x) на всем отрезке [0, п]. Для обеспечения равномерной сходимости приходится несколько видоизменить операторы Уиттекера.

f(x)

[0, п]

Ln(f,x) = Ln(F,x) + Li(f,x), (11)

где Li(f, x) = f (0) sinex + f (п) sinc(x - п), F(x) = f (x) - Li(f, x), a Ln(^, x) задан фор-(2) f(x) [0, п]

< На самом деле, F(0) = f (0) - Li(f, 0) = f (0) - f (0) = 0,

F(п) = f (п) - Li (f, п) = f (п) - f (п) = 0.

Так как функция f (x) абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Лип-щица на [0,п], то F(x) также абсолютно непрерывна и удовлетворяет условию Дини — Липщица на [0, п]. Тогда по предложению последовательность {Ln(F, x)} равномерно на [0,п] сходится к F(x) = f(x) - Li(f,x). Следовательно, Ln(f,x) = Ln(F,x) + Li(f,x) равномерно на [0, п] сходится к F(x) + Li(f, x) = f (x) - Li(f, x) + Li(f, x) = f (x). > Замечание 4. Оператор (11) в явном виде выглядит так

™ / ¿п\

Ln(f,x) = 22 Ak(f )sincn (ж--j

k=o ^ n '

где

Ao(f) = f (0), A„(f) = f (п),

MS) = / (v) - /(0) sinc (v) " / W sinc " T ]' = 2' • • •'n - L

Пусть теперь f (ж) непрерывна на [0,п] и дифференцируема на концах этого промежутка, т. е. существуют односторонние производные f'(0) и f'(n). Тогда функция С(ж) = ^^ s¿ непрерывна на (0,7г) и при ж —» +0

G(x) =

/(ж) - /(0) sine ж - /(тг) sine (ж - 7Г) = /(ж) - /(0)(1 + о(ж)) - /(TT)f^f ) sin ж sin ж

_№-№ ж _/(0)o(i)_íl_ 1w ^/(o)-/w

ж — 0 sin ж sin ж п — ж п

Аналогично при ж ^ п — 0

п

Значит, после доопределения G(0) = /'(0) — и G(-/r) = —/'(-/г) — ^^ функция

С(ж) =

/'(0) - ж = о,

0<ж<тг, (12)

[-f(vr)-^, ж =

п

становится непрерывной на всем отрезке [0,п].

Теорема 2. Пусть f (x) непрерывна на [0,п] и дифференцируема на концах этого промежутка, а функция G(x), определенная формулой (12), имеет ограниченную вариацию на [0, п] и удовлетворяет условию Дини — Липщица. Тогда последовательность функций

Ln(f,x) = sin xL„(G,x) + Li (f,x), (13)

где Ln(-, x) — оператор, заданный формулой (2), равномерно сходится к f (x) на [0, п]. Докажем сначала следующую лемму.

sincx (1) x = 0

вепствам

x2

0 < 1 - sincx < —. (14)

6 v '

< Из приведенного во введении не равенства |sinc x| < 1 при x = 0 следует, что 0 < 1 — sinc x< 2. Следовательно, правое неравенство (14) достаточно доказать при

0 < х < 2 или 0 < х < 12. Из разложения функции sinx = X/fc=о (2fc+i)!— в Р3,11, Тейлора получим

~ (—1)k-ix2k 1 —smcx= > ——;-гг—.

2k

Модуль общего члена ряда а&(х) = (2fc+i)! ~~^ ® ПРИ ^ ~~^ 00 Для любого х. Кроме того, (x) > afe+i(x) равносильно 0 < x2 < (2k + 2)(2k + 3). Правая часть последнего неравенства достигает наименьшего значения при k = 1. Следовательно, последовательность {afc(x)}£=i является убывающей при 0 < x2 < 20 и, в частности, при 0 < x2 < 12. Значит, последний ряд является рядом Лейбница и его сумма меньше модуля первого члена, т. е. 1 — sincx < >

< Доказательство теоремы 2. Обозначим

п

M := sup |G(x)|, V := V(G).

О^ж^п о

Применив преобразование Абеля и неравенство (5), из леммы 2 получим

k

n— 1

x)

k=0

|Ln(G,x)| ^^ |G(xk) — G(xk+i)| ^ sinc n(x — x¿) + |G(xn)| ^ sinc n(x — x¿)

j=0

j=0

i (15)

n—i

<

2 ^ |G(xk) — G(xk+i)| + 2 |G(xn)| < 2(V + M),

k=0

где Xk = ^, к = 0,1,... ,п. Поскольку /(х) равномерно непрерывна на промежутке [0,7г], то для данного е > 0 найдется такое 6, 0 < 6 < min{l, V+2M}> чт0 Для ЛК)бых xi,x2 из этого промежутка |f(x2) — f (xi)| < е при |x2 — xi| < 5. Пусть 0 ^ x < 5. Тогда из (12)—(15) следует

|L„(f,x) — f(x)| < |L„(f,x) — f(0)| + |f(x) — f(0)|

sin 5

< sin 6 \Ln(G, x)| + 1/(0)1 (1 - sinc)x + |/(vr)| — + e (16)

52 5

< 5(V + M) + M— + M-- + e < 5(V + 2M) + e < e + e = 2e.

6 n — 5

Последняя оценка справедлива и при п — ó < ж ^ п. С другой стороны, согласно следствию теоремы 6 из [20], для данного е > 0 найдется но мер no = no(e,ó) такой, что при п>пои ó ^ ж ^ п — ó буде т |Ln(G, ж) — G(x)| < е и, следовательно,

|Ln(f,x) — f (ж)| = |sin xL„(G,x) + Li (f,x) — f (ж)|

= sin ж (bn(G,x) - = \smx(Ln(G,x)-ОД)| (17)

\ sin ж }

< |Ь„(С,ж) — ОД| < е.

Наконец, из (16), (17) получаем, что при 0 ^ ж ^ п и n > no выполнено неравенство |Lra(f,ж) — f (ж)| < 2е. >

В заключение отметим, что основные результаты настоящей работы были анонсированы в [23].

Литература

1. Whittaker Е. Т. On the functions which are represented by expansions of the interpolation theory // Proc. Roy. Soc. Edinburgh.-1915.-Vol. 35.-P. 181-194.

2. Котельников В. А. О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи // Всесоюзный энергетический коммитет. Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. По радиосекции.—М: Управление связи РККА, 1933.—С. 1-19.

3. Shannon С. Е. A mathematical theory of communication // Bell System Tech. J.—1948.—Vol. 27.— P. 379-423, 623-656.

4. Schoenberg I. J. Cardinal interpolation and spline functions // J. Approx. Theory.—1969.—Vol. 2.— P. 167-206.

5. McNamee J., Stenger F., Whitney E. L. Whittaker's cardinal function in retrospect // Mathematics of Computation.-1971.-Vol. 25.-№ 113.-P. 141-154.

6. Stenger F. An analytic function which is an approximate characteristic function // SIAM J. Appl. Math.-1975.-Vol. 12.-P. 239-254.

7. Stenger F. Approximations via the Whittaker cardinal function I I J. Approx. Theory.—1976.—Vol. 17.— P. 222-240.

8. Higgins J. R. Five short stories about the cardinal series // Bull. Amer. Math. Soc.—1985.—Vol. 12,— P. 45-89.

9. Lund J., Kenneth L. B. Sine Methods for Quadrature and Differential Equations.—Philadelphia: J. Soc. Ind. Appl. Math., 1992.-304 p.

10. Stenger F. Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions.—N. Y.: Springer-Verlag, 1993.— 565 p.

11. Young R. M. An Introduction to Nonharmonic Fourier Series. Revised first edition.—San Diego: Academic Press. A Harcourt Science and Technology Company, 2001.—235 p.

12. Жук А. С., Жук В. В. Некоторые ортогональности в теории приближения // Зап. научн. семин. ПОМИ.—2004,—Т. 314.-С. 83-123.

13. Ant una A., Guirao L. G., Lopez M. A. Shannon-Whittaker-Kotel'nikov's theorem generalized // MATCH Commun. Math. Comput. Chem.-2015.-Vol. 73.-P. 385-396.

14. Трышш А. Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа — Штурма — Лиувилля // Тез. докл. 10 Саратовской зимней шк. «Современные проблемы теории функций и их приложения» (27 января-2 февраля 2000 г.).—Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2000.—С. 140-141.

15. Трышш А. К). Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам // Математика. Механика.—Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005.—Т. 7.—С. 124-127.

16. Скляров В. П. О наилучшей равномерной sine аппроксимации на конечном отрезке // Тез. докл. 13 Саратовской зимней шк. «Современные проблемы теории функций и их приложения» (27 января-3 февраля 2006 г.).—Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.—С. 161.

17. Trynin A. Yu., Sklyarov V. P. Error of sine approximation of analytic functions on an interval // Sampling Theory in Signal and Image Processing.—2008.—Vol. 7, № 3.—P. 263-270.

18. Sklyarov V. P. On the best uniform sinc-approximation on a finite interval // East J. Approx.—2008.— Vol. 14, № 2.—P. 183-192.

19. Трышт А. Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sinc-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб. мат. журн.—2007.—Т. 48, № 5.—С. 1155-1166.

20. Трышт А. К). Критерий равномерной сходимости sinc-приближений на отрезке // Изв. вузов. Математика.—2008.—№ 6.—С. 66-78.

21. Привалов А. А. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа // Мат. заметки.—1986.—Т. 39, № 6.-С. 228-243.

22. Трышт А. К). Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера — Котельникова — Шеннона для непрерывны X функций на отрезке // Мат. сб.—2009.—Т. 200, № 11,—С. 61-108.

23. Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости // Материалы 18-й междунар. Саратовской зимней шк. «Современные проблемы теории функций и их приложения».—Саратов, 2016.—С. 332-334.

Статья поступила 3 марта 2016 г.

Умаханов Айвар Ярахмедович Дагестанский научный центр РАН,

научный сотрудник отдела математики и информатики РОССИЯ, 367025, Махачкала, ул. М. Гаджиева, 45;

Дагестанский государственный педагогический университет, доцент кафедры методики преподавания математики и информатики РОССИЯ, 367013, Махачкала, ул. Гамидова, 17 а E-mail: aivarumahanov@gmail. com

Шарапудинов Идрис Идрисович

Южный математический институт — филиал ВИЦ РАН, главный научный сотрудник отдела функционального анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;

Дагестанский государственный педагогический университет, заведующий кафедрой математического анализа РОССИЯ, 367013, Махачкала, ул. Гамидова, 17 а E-mail: sharapudOmail .ru

INTERPOLATION OF FUNCTIONS BY THE WHITTAKER SUMS AND THEIR MODIFICATIONS: CONDITIONS FOR UNIFORM CONVERGENCE

Umakhanov A. Y., Sharapudinov I. I.

We consider truncated Whittaker-Kotel'nikov-Shannon operators also known as sinc-operators. Conditions on continuous functions f that guarantee uniform convergence of sinc-operators to such functions are obtained. It is shown that if a function is absolutely continuous, satisfies Dini-Lipschitz condition and vanishes at the end of the segment [0, n], then sinc-operators converge uniformly to this function. In the case when f (0) or f (n) is not zero, sinc-operators lose the property of uniform convergence. For example, it is well known that sinc-operators have no uniform convergence to function identically equal to 1. In connection with this we introduce modified sinc-operators that possess a uniform convergence property for arbitrary absolutely continuous function, satisfying Dini-Lipschitz condition.

Key words: nonlinear system of integral equations, Hammerstein-Voltera type operator, iteration, mo-notonisity, primitive matrix, summerable solution.