CC BY
11
Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 4, С. 76^91
УДК 517.518.85
DOI 10.23671/VNC.2018.4.23390
СХОДИМОСТЬ ПРОЦЕССОВ ЛАГРАНЖА - ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ ДЛЯ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ
А. Ю. Трынин1
1 Саратовский национальный исследовательский государственный университет им. Н.Г.Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83 E-mail: atrynin@gmail.com
Аннотация. Установлена равномерная сходимость внутри интервала (а, Ь) С [0, п] процессов Лагранжа, построенных по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля ЬПЬ (f, х) = 1 f(xk,r^) (х^)(х-хк Г1) • (Здесь через 0 < х1>п < х2>п < ■ ■ ■ < хп>п < -к обозначены нули собственной функции ип задачи Штурма — Лиувилля.) Непрерывные на [0,п] функции f ограниченной вариации па (а,Ь) С [0, п] могут быть равномерно приближены внутри интервала (а,Ь) С [0, п]. Получен признак равномерной сходимости внутри интервала (а,Ь) интерполяционных процессов, построенных по собственным функциям регулярной задачи Штурма — Лиувилля. Условие признака сформулировано в терминах максимума суммы модулей разделенных разностей функции f. (а, Ь)
ниченность в совокупности фундаментальных функций Лагранжа, построенных по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля. Рассмотрен случай регулярной задачи Штурма — Лиувилля с непрерывным потенциалом ограниченной вариации. Изучены краевые условия задачи Штурма — Лиувилля третьего рода без условий Дирихле. При наличии сервисных функций вычисления собственных функций регулярной задачи Штурма — Лиувилля изучаемый оператор Лагранжа — Штурма — Лиувилля легко реализуется на вычислительной технике.
Ключевые слова: равномерная сходимость, синк приближения, ограниченная вариация, процессы Лагранжа — Штурма — Лиувилля.
Mathematical Subject Classification (2000): 41А05, 41А58, 94А12.
Образец цитирования: Трынин А. Ю. Сходимость процессов Лагранжа — Штурма — Лиувилля для непрерывных функций ограниченной вариации // Владикавк. мат. журн.—2018.—Т. 20, вып. 4.— С. 76-91. DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23390.
1. Введение
В отличие от подхода Крамера [1], положившего начало изучению аппроксимативных свойств лагранжевых операторов с узлами интерполирования в собственных значениях задачи Штурма — Лиувилля, Г. И. Натансон в [2] получил признак Дини — Липшица равномерной сходимости внутри интервала (0,п), т. е. равномерной на любом компакте, содержащемся в (0, п), процессов Лагранжа — Штурма — Лиувилля вида
п и ( ) п
© 2018 Трынин А. Ю.
Где ип есть п-ая собственная функция регулярной задачи Штурма — Лиувилля
и'' + [А - ц]и = 0,
и'(0) - ни(0) = 0, (1.2)
и '(п) + ни (п) = 0
с непрерывным потенциалом ц ограниченной вариации на [0, п] и граничными условиями,
ип
сом, т. е. Н = Н = Здесь через 0 < х1)П < х2п < • • • < хпп < п обозначены нули функции ип.
Свойства операторов интерполирования функций вида (1.1) тесно переплетаются с поведением так называемых синк-приближений
ьм, X) = ± 8'п (ш::кж) /М = ± (-1>к "Г"*/ (. (1.3)
^ пх — кп V п ) ^ пх — кп V п ) к=0 4 7 к=0 4 7
используемых в теореме отсчетов Уиттекера — Котельникова — Шеннона (см. [3-6]). Оператор (1.3) представляет собой оператор (1.1), построенный по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля (1.3), в случае нулевого потенциала и краевых условий первого рода. Достаточно подробный обзор результатов, полученных в области исследования свойств синк-аппроксимаций (1.3) аналитических на действительной оси функции, экспоненциально убывающих на бесконечности, а также наиболее важные приложения синк-аппроксимаций можно найти, например, в [5].
Синк-приближения активно используются при построении различных численных методов математической физики и приближения функций как одной так и нескольких переменных [6-25] в теории квадратурных и кубатурных формул [5] и всплесков или теории вейвлет-преобразований [3, 4, 6].
До появления работ [11, 12, 14, 16-19, 22] приближение такими операторами на отрезке или ограниченном интервале осуществлялось только для некоторых классов аналитических функций (см., например, [5]) сведением к случаю оси с помощью конформного отображения. В [19] получена оценка сверху наилучшего приближения непрерывных функций комбинациями синков.
В [20] установлено, что при попытке приближения негладких непрерывных функций значениями операторов (1.3) возможно появление резонанса, приводящего к неограни-
(0, п)
ны различные модификации синк-приближений (1.3), позволяющие аппроксимировать
[0, п]
в [24] в пространствах С[0,п] и С0[0,п] = {/ : / € С[0, п], /(0) = /(п) = 0} позволяет сделать вывод о бесполезности попыток построить сумматорный оператор из синков, допускающий возможность равномерной аппроксимации произвольной непрерывной функции на отрезке.
Изучение операторов Лагранжа — Штурма — Лиувилля (1.1) также тесно связано с исследованием аппроксимативных свойств операторов интерполирования, построенных по решениям задач Коши с линейными дифференциальными выражениями второго порядка [26]. Операторы, предложенные в [26], являются обобщением операторов Лагранжа — Штурма — Лиувилля (1.1) и классических синк-приближений (1.3) одновременно. В [27] приводятся некоторые приложения результатов работы [26] к исследованию аппроксимативных свойств классических алгебраических интерполяционных многочленов Лагранжа с матрицей узлов интерполирования, каждая строка которой состоит из нулей многочленов Якоби с параметрами, зависящими от п.
Изучению различных свойств операторов Лагранжа — Штурма — Лиувилля (1.1) посвящены также работы [28-34]. В работе [31] устанавливается существование непрерывной на [0, п] функции, интерполяционный процесс Лагранжа — Штурма — Лиувилля (1.1) которой неограниченно расходится почти всюду на [0,п]. Исследования, проведенные в [28-30], показывают, что задача представления непрерывной функции как предела значений операторов (1.1) некорректна по Адамару.
В монографии [34] приведены более подробные доказательства и исправлены опечатки, обнаруженные в некоторых формулах более ранних публикаций.
В настоящей работе, используя концепции исследований в [35-42], установлена равномерная внутри интервала (а, Ь) сходимость интерполяционных процессов (1.1), построенных по решениям задачи Штурма — Лиувилля (1.2) для непрерывных на [0, п] и имеющих ограниченное изменение на [а, Ь] функций /.
В этой работе будем считать потенциал д задачи Штурма — Лиувилля (1.2) непрерыв-
[0, п]
функция будет удовлетворять условию нормировки ип(0) = 1. Рассматриваем краевые условия (1.2) третьего рода, из которых исключены условия первого рода, т. е. Н = Н = Для любых 0 ^ а < Ь ^ п, 0 < £ < (Ь — а)/2 индексы р1, р2, т1 и т2 определим с помощью соотношений
хР1,п ^ а + £ < Хр-1 + 1,П1 хр2,п ^ Ь £ < xp2+1,n,
Хк!-1,п < а ^ хк1,п, хк2+1,п ^ Ь < %к2+2п (1-4)
+ 1, Ш2
Ш1
h 2
h 2
после добавления к множеству нулей xi,n < x2,n < ■ ■ ■ < xn,n n-ой собственной функции Un точек Xo,n = 0 и xn+i,n = п Здесь [z] обозначает целую часть числа z. Если не оговорено иное, штрих у суммы в этой работе будет означать отсутствие слагаемого со знаменателем, равным нулю.
Модуль непрерывности функции f € C[0, п] обозначим, как обычно,
w(/,5)= sup |f (x + h) - f (x)|. |h|<5;
x,x+h€[ 0,n]
Будем называть модулем изменения функции f на отрезке [а, b] функцию натурального аргумента
n—1
v(n,f) = supV|f(tk+i) - f(tk)|, ln k=0
где Tn = {а ^ t0 < t1 < t2 < ■ ■ ■ < tn—i < tn ^ b], n € N. Заметим, что функция f является функцией ограниченной вариации на отрезке [а, b], т. е. f € V[а, b], если существует константа Mf такая, что для любого натурального n справедливо неравенство v(n,f) < Mf.
Теорема 1.1. Пусть 0 ^ а < b ^ п 0 < е < (b — а)/2. Для любой функции f € C[0, п] П V[а, b] выполняется соотношение
lim \\f — LfL(f, ■)\\c[a+s,b—s] =0, (1.5)
n—y^o 1 '
где оператор Лагранжа — Штурма — Лиувилля LSL(f, ■) определен в (1.1).
Замечание 1.1. При этом на множестве [0, п] \ [a, b] соотношение
lim |f(x) - LfL(/,x)| =0
может вовсе не выполняться (см., например, [28, 31, 34]).
2. Вспомогательные утверждения
Прежде чем доказывать эту теорему убедимся в справедливости ряда вспомогательных утверждений.
Лемма 2.1. Пусть Un — собственная функция, соответствующая собственному значению \n, регулярной задачи Штурма Лиувилля (1.2). Через 0 < xi,n < x2,n
< ... <
xn,n < п обозначим нули функции Un. Тогда имеют место следующие асимптотические формулы:
Un(x) = cosnx Н--sinnx + 0(n~2), (2.1)
n
U'n (x) = —n sin nx + e(x) cos nx + O(n-1), (2.2)
Ura(x) = —n2 cos nx — n,ö(x) sin nx + O(1), (2.3)
u; (xfc;ra ) = (—1)k n + O(n-1), (2.4)
= + + 0(n"3), (2.5)
у^ = п + 0(п~1), (2.6)
где
/3(х) = -сх + ^ + ^ У ^О") <1>т, о
с = + Н + | ^ д(т) йт^, а оценка остаточного члена во всех формулах (2.1)-(2.5) равномерна по х € [0, п] или 1 ^ к ^ п.
< По поводу доказательства (2.1), (2.2) и (2.6) смотрите, например, [44]. Убедимся в справедливости (2.5). Пусть х^,п — к-ый нуль собственной функции ип. Из асимптотической формулы (2.1) получаем соотношение
e(xk n)
COS ПХк n H--:— Sin ПХк n
n
= O(n-2).
Положив cosQ;fcra := , n , получим асимптотическую формулу уп2+в2(хк,п)
sin ^ + nxk,n ~ Oik,n^ = 0(п~2).
Следовательно, имеем соотношение -Ь ^íXk^n — — тгк| — 2). Но функция /5, по крайней мере, один раз непрерывно дифференцируема, поэтому имеет место асимптотическая формула
- 1 -2о- М ^, —3\ Формула (2.3) следует из (2.1) и (1.2), а (2.4) — из (2.2) и (2.5). >
Замечание 2.1. Из асимптотической формулы (2.1) видно, что выбранная нормировка собственных функций ип обеспечивает их ограниченность в совокупности. Обозначим
М = вир{|Цп(ж)| : х € [0,п],п € М} < то, (2.7)
Пусть р\ = о(у^) при Л —> +оо. Считаем, что значения функции Л-(Л) € К для произвольного неотрицательного Л. Обозначим через д\ произвольную функцию из шара Урх [0, п] радиуса Ра в пространстве функций ограниченной вариации, исчезающих в пуле, т. е.
УоШ < Ра, рл = о(^\ А оо, д\(0) = 0. (2.8)
> Л/
Для произвольного потенциала д\ € Урх [0,п] при Л ^ пули решения задачи Коши
'у" + (Л - за(ж)) у = 0, у(0, Л) = 1, у'(0,Л) = Ь(Л),
(2.9)
или, при дополнительном условии Л,(Л) = 0
< РА, РА = > Л °°> 9а(0) = о, к{\) Ф О, (2.10)
(2.11)
задачи Коши
[У' + (Л - 9а(Ж))У = 0, \у(0, Л) = 0, у'(0, Л) = Ь(Л),
попадающих в отрезок [0, п], пронумеруем следующим образом:
0 ^ Жо,а < Ж1,а < ... < Хп(а), а ^ п (ж-1,а < 0, Жп(а)+1,а > п).
(Здесь ж-1,а < 0 жп(а)+1,а > п обозначают нули какого-либо продолжения решения задачи Коши (2.9) или (2.11) при сохранении ограниченности вариации потенциала ^а вне [0, п]). В [26, 34] описано множество непрерывных па отрезке [0, п] функций /, допус-
(0, п)
следующего вида. Определим оператор, построенный по решениям задачи Коши (2.9) или (2.11), ставящий в соответствие каждой конечнозначной па множестве {хк,А}П=оп=1 непрерывную функцию по правилу
ад,х) = Е ч/(г )1{Хк'х) = Е (2-12)
к=0 у (Хк,А,Л)(Х Хк,А) к=0
Очевидно, что значение оператора (2.12) интерполирует функцию / в тал ах {жк,А}П=о-
Обозначим С0[0, п] = {/ : / € С[0, п], /(0) = /(п) = 0}. При приближении с помощью операторов (1.1) функций / € С[0,п] \ Со[0, п] вблизи концов отрезка [0,п] возникает явление Гиббса (см., например, [21, теорема 2], [34]). Заметим, что эта проблема решается с помощью обобщения оператора (2.12), предложенного в [26, формула (1.9)], [34], вида
" " Л0)1+^^+'(0>-
где у(х, Л) — решение задачи Коши (2.9) или (2.11) и Хк,а — нули этого решения.
В следующей лемме выделяется главная часть погрешности аппроксимации функций / € С0[0,п] с помощью операторов вида (2.12).
Лемма 2.2 [26, предложение 9], [34]. Пусть у(х, А) — решение задачи Коши (2.9) или (2.11), и предположим, что в случае задачи Коши (2.9) выполняются условия (2.8), а в случае задачи Коши (2.11) — условия (2.10). Если / € С0[0,п], то равномерно на [0,п] справедливо соотношение
п— 1
Ит /(ж) -5"л(/,ж) - - У](/(хк+1,\) -/(хк,\))вк,\(х)] =0.
(2.13)
к=0
Далее, нам потребуются следующие утверждения.
Лемма 2.3. Пусть Цп — собственная функция, соответствующая собственному значению Ап, регулярной задачи Штурма — Лиувилля (1.2). Тогда существует константа 61, зависящая только от д, Н, Н, такая, что для всех х € [0, п] и всех п = 1, 2, 3,... справедливо неравенство
^.п^)! =
Цп(х)
ип(хк,п)(х хк,1
< С1.
(2.14)
< Если для каких либо 1 ^ к ^ п и п € N окажется х = хк,п, то ^¡^(х) = 1. Рассмотрим теперь случай х = х&,п. Пусть сначала 0 < |х — х^,п| ^ п-1, х € [0,п]. Тогда по формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа из (2.3) и (2.4) следует неравенство
1й,п(х)| ^
ип(хк,п)(х — х^п) + ип/(Ск,п)(х — х^п)2/2
ип(хк,п)(х хк,;
= 1 +
0(п2) 1
п + 0(п
1
п
< С1,
для некоторой константы 61,1, выбор которой зависит только от параметров задачи Штурма — Лиувилля д, Н и Н. Остадось рассмотреть случай |х — хк,п| > п-1, х € [0,п]. В силу асимптотических формул (2.1) и (2.4) существует константа 61,2, для которой справедливо неравенство
&)| < п
Цп(х)
Цп(х к
<
С08ПХ + этта; + 0(п 2)
п + 0(п
1
п < 61,2.
Положив С1 = тах(С1.1, С^), убедимся в справедливости леммы 2.3. >
Лемма 2.4. Существуют константа С2 и номер по € N не зависящие от функции / € С [0, п], 0 ^ а < Ь ^ пи 0 < е < (Ь — а)/2 такие, что для произвольных х € [а + е, Ь — е] п > по
£ |(/(х^+1;п)-/Кп))&)| ^ С2а; 1п|. (2.15)
ке[1,п-1]\[к 1, к2]
< Введем обозначение
^к,п = /(хк+1,п) — /(хк,п), 1 ^ к ^ п — 1; п € N.
(2.16)
Учитывая, что / € С[0, п] и (2.5), убедимся, что существует константа С3 такая, что справедлива оценка
(2.17)
Возьмем произвольное х € [а+е, Ь—е]. Сумму в (2.15) представим в виде двух слагаемых, каждое из которых оценим следующим образом:
(кх-1 п— 1 \
ЕЮж)1 + Е Ож)1 • к=1 к=к2 + 1 /
Воспользовавшись (2.2), (2.4) и формулой конечных приращений Лагранжа, продолжим оценку суммы в (2.15) следующим образом:
п \ |ип(х)| 1 , А 1
^М ' П ^ п) П \х~хк
Е
ке[1,п— 1]\[к1,к2] V к=1 к'' 1 к=к2 + 1
|_рп(х)\ \ип(х)\
п
ке[1,п—1]\[к1,к2]
|ип(хк ,п)||х хк,п| п|х хк,п| п \к=1 |Х — Хк,п| к=к^+1 |Х — Хк,п^ V и/
Из асимптотической формулы (2.5) для пулей собственных функций ип находим номер по, выбор которого зависит только от параметров задачи Штурма — Лиувилля, начиная с которого будет выполняться неравенство
тт \хк+1>п - хк>п\ (2.18)
1^к^п—1 2П
В силу того, что тахж€(-о)7Г) { 1п |ж(7г — ж)|} = 21п:|, ИЬ^ ^ 1п2, (2.7) и (2.18) сумму в (2.15) равномерно на всем отрезке [а + е, Ь — е] можно оценить таким образом:
пч |ип(х)|
и/ и
ке[1,п— 1]\[к1,к2]
(к, —1 хк + 1,п хк,п Ч
£_!_/ .*_+ £_I_[ -*-)
к=1 хк+1,п хк,п .} х t к=к2 + 1 Хк,п хк—1,п .} t х J
Откуда следует существование константы С2, выбор которой зависит только от параметров задачи Штурма — Лиувилля (1.2). >
Для любых 0 ^ а<Ь ^ п, 0 <е< (Ь — а)/2 обозначим
[а,Ь],е):= тах V
т=т1
/ (х2т+1 ,п) / (х2т,п)
р — 2т
Лемма 2.5. Если функция / € С[0, п], то из соотношения
(2.20)
11ш дп(/, [а, Ь], е) = 0 (2.21)
А—>оо
следует утверждение (1.5).
< Заметим, что из (2.16), (2.2) и (2.4) вытекает равномерная на всем отрезке [0,п] оценка
к2
к=к1 к=к (
к2
( —1)к Цп(х)
к2 < £
к=к1
Цп(х)
к=к1 — хк,п)
(—1)к п — ип(хк,п)
(х — хк,п)
пип(хк,,
= а;(/^)0(п-1). (2.22)
Положив в случае задачи Коши (2.9) Н(А) = НА = Ап, где Ап — собственное значение задачи Штурма — Лиувилля (1.2), получим тождество Цп(х) = у(х,Ап). Следователь-
А = Ап А = Ап
п1
Ит ¡{х) - Ь8пьЦ,х) - - £(/(а*+1>га) -
к=о
к2
Ит I /(х) - - \ £ | = 0.
п
(2.23)
2 к^/""''п(х — хк,п)
Выберем и зафиксируем некоторое х € [а + е, Ь — е]. Найдем индекс р = р(х, А), для которого выполняется соотношение х € [хр,п,хр+1,п). Тогда х = хр,п + а(хр+1,п — хр,п), где а = а(х, А) € [0,1), и
р — к + а + вк,
х — хк,
-7г.
п
Из (2.17) и (2.5) одновременно для всех х € [а + е, Ь — е] и настолько больших п, что для всех 1 ^ к ^ п — 1 имеет место неравенство |вк,п| < 1 справедлива оценка
Е
(—1)к ^
Е
(—1)к ^
к:к^к2; Р — к + а + вк,п к:к^к2; Р — к
|р-к|^3 |р-к|^3
<
а
|р-к|^3
; |р — к|(|р — к| — 2)
^ЗС^ (/,£). (2.24)
Учитывая обозначение (2.16) разобьем сумму в (2.23) на два слагаемых
1 к2 1 1 - Е(/(^+1,п)-/Кга))&) = - Е + « Е (2-25)
к=к1
к:к1 ;
|р-к|^3
к:к1 ^к^к2; |р —к| <3
Следовательно, из неравенства треугольника, (2.14), (2.16), (2.17), (2.23) и (2.24) имеем равномерную по х € [а + е, Ь — е] оценку
1 (п \ п \\^ь, л Цп(х) ^'(—1)к^к,,
к=к1
к=к1
= 0(1).
(2.26)
Из (2.26) и (2.23) также равномерно по x € [а + е, b — е] вытекает соотношение
&2
Ш„ ( /(х) - ¿-(Л.) - ÎMîl
ra^œ I 2п ^^ p — k
fc=fc1
0.
(2.27)
Оценим последнее слагаемое в соотношении (2.27), используя (2.1), (2.7), (2.17) и неравенство треугольника,
2п ' p — k
fc=fc1
M
< 2— > 2тг ^
m=mi
p — 2m
fc=fc1
Можно подобрать последовательность натуральных чисел {¿п}^=1, удовлетворяющую свойствам:
к
1п = о{п), lim ln = оо, lim uj(f, -) - = 0.
га^те Л^те V п/ ' к
Оценим вторую сумму в (2.28) следующим образом:
(2.29)
fc=i
1 y^'l V^fc.n
27г ^ u - к
fc=fc1
<
1
2тг
Е
p — k
+
1
2тг
Е
k:|p-fc|^Zn k:|p-k|>1
Из неравенства (2.17) для достаточно больших n следует оценка
p — k
(2.30)
1
2тг
Е
p — k
<
1
2тг
Е
p — k
п V nz k fc=i
(2.31)
Вторая сумма в (2.30) после преобразования Абеля в случае к € [к1, к2] : |р — к| > 1п может быть оценена следующим образом
1
- У
2п ^
fc:|p-fc|>Z„
p — k
^ in +1 +411/1Ьм 2^ ]ь(Гй)-
k—'n
Отсюда, из (2.29), (2.30) и (2.31) равномерно по x € [а + е, b — е] получаем асимптотическую формулу
M ^
2п I р - к
fc=fci
= 0(1).
(2.32)
Теперь из (2.27), (2.28), (2.32) и неравенства треугольника получаем оценку /(ж) - LsnbU, ж) < - Q*n(f, [a, b],s)+ о(1).
п
Следовательно, из выполнения условия (2.21) следует равномерная сходимость (1.5). >
3. Равномерная сходимость интерполяционных процессов Лагранжа — Штурма — Лиувилля внутри интервала (а, Ь)
Убедимся в справедливости утверждения сформулированной ранее теоремы 1.1.
< Доказательство теоремы 1.1. В силу непрерывности функции / на отрезке [0,п], для любого положительного ё существуют натуральные числа V и щ такие, что для всех п ^ щ (п € М) одновременно справедливы два соотношения
(зл)
4 7 к=1
и
24 ||/||см (3.2)
Пусть п ^ пь Найдем индекс ро, зависящий от щ а Ь ^ / на котором достигается максимум в определении (2.20), т. е.
ТО2 ;
ОП(/, [а,Ь],в) = £
т=Ш1
Обозначим
0*(/, [а,Ь],в) := £
Так как <ЭП*(/, [а, Ь],в) получается из Ог(/, [а, Ь], в) добавлением неотрицательных слага-
п
д;(/,[а,ь],в) < д;*(/,[а,ь],в). (з.з)
Разобьем 0*(/, [а, Ь],в) на два слагаемых
/ (х2т+1
р0 — 2т
) — / (Хк
Ро-к
) — / (Хк
^ "/(хк-,
|й) -
к=к1
2 £ ///(Жк+;'га)_,{Кга) = ЗхСро) + 52(ро), (3.4)
к=к1
где два штриха означают, что в сумме неотрицательных слагаемых и слагаемого с индексом к = р0 нет.
Сначала займемся оценкой первой суммы. Для чего представим ее в виде
) — / (Хк = ^ --
0<|р0-к|<^
+ £ /(^+1,п) - = 51>1(ро) +51|2(ро). (3.5)
к:ке[кьк2], |Р0 1
В случае {к : к € [к1, к2], 0 < |р0 — к| ^ V} = 0 считаем второе слагаемое равным нулю.
Из неравенства (3.1) для всех п ^ п имеем соотношение
к=1
(3.6)
Теперь оценим ^^(ро). Если для ро имеют место неравенства ро — к1 ^ V и — ро ^ V, то используем (3.2) и с помощью преобразования Абеля получим оценку
|^1,2(Р0)| <
Ро —V
Е
) — / (Хк
ро — к
+
Е
fc=Ро+v
) — / (Хк
к — ро
< 4"/1Ьм ¡^у + —— < —— < з •
(3.7)
Точно также доказывается (3.7) в ситуации, когда индекс ро удовлетворяет одному из соотношений ро — V < к1 ^ ро < ро + V ^ к2 ми к1 ^ ро — V < р1 ^ к2 < ро + V. Из возможных вариантов остался случай, когда ро — V < к1 ^ Р1 ^ к2 < ро + V. В этой ситуации |£1;2(ро)| =0.
Таким образом, из (3.5), (3.6) и (3.7) для всех п ^ п1 имеем оценку
1ЗДо)|<у. (3-8)
Перейдем к изучению свойств суммы 52 (ро) Возьмем произвольное патуральное т : 1 ^ т ^ к2 — к1 — 2 и представ им 52 (ро) в виде двух слагаемых
52 (ро) = —2
|р0 — к| ^т
" ¡{Хк+1,п) ~ /(Хк,п) |ро - к\
-2 £ //^±^Ц^ = 52;1(ро)+52;2(ро). (3.9)
к:ке[к1,к2],
|Р0 — к| >т
| ро — к |
Выберем достаточно большой номер П2 ^ П1, зависящий только от параметров задачи Штурма — Лиувилля, начиная с которого, в силу (2.5), будут выполняться неравенства тах1<;д.<;га \хк+1>п—хк,п\ ^ Функция / € С[0,7г], начиная с п2 будем иметь соотношение
\/(Хк+1,п) ~ ¡(Хк,п)\ < ШГ/О^/,^.
Поэтому,
т
П \ 1
52'1Ы=2 Е --
к:ке[к1,к2], \ / к=1
|р0 —к | ^т
(3.10)
(3.11)
Далее оценим сумму £2;2(ро):
Ро—т—1
0 < 52,2(ро) < 2 ^
— (/(Хк+1,п) — / (Хк,п)) —
ро — к
к2
+ 2 Е
к=Р0+т+1
~(/(Хк+1,п) ~ ¡(,%к,п))~ к-ро
(3.12)
где Х- = . Если ро — т ^ к\ или ро + т ^ /г2, то в (3.12) исчезает соответственно первое или второе слагаемое. В случае р0 — т < к1 < к2 < р0 + т сумма £2,2(р0) в (3.9) вообще отсутствует. Учитывая то, что / € V [а, Ь], с помощью преобразования Абеля и (3.10) оценим (3.12)
0 < 52;2Ы < 4М/ £ +
Отсюда (3.9), (3.11) и (3.12) имеем
0 < 32(р0) < К)*,*(/, 1)Е1+ 4-М/ ^Е"1 ^ + Ж/И(/, .
Положив при каждом п ^ П2 т := 1га, выбранное как в (2.29), получим, что в силу ограниченности последовательности {г>(к,/)}^=1 и сходимости ряда V(к,/)/к2 су-
ществует номер пз € N пз ^ п^, такой, что для произвольного п ^ пз справедливо неравенство
о < з2ы <
Отсюда и из (3.3), (3.4), (3.5), (3.8) получаем, что для произвольного ё > 0 можно найти номер п3 € N такой, что для всех п > п3 будут справедливы неравенства Ог(/, [а, Ь], в) ^ 0*(/, [а, Ь],в) < ё. Теорема 1.1 доказана. >
Литература
1. Kramer Н. P. A generalized sampling theorem // J. Math. Phus.—1959.—Vol. 38.—P. 68-72.
2. Натансон Г. И. Об одном интерполяционном процессе // Ученые записки Ленинград, пед. ин-та.— 1958,—Т. 166.-С. 213-219.
3. Новиков И. Я., Стечкин С. В. Основы теории всплесков // Успехи мат. наук.—1998.—Т. 53, № 6 (324).—С. 53-128.
4. Новиков И. Я., Стечкин С. В. Основные конструкции всплесков // Фундамент, и прикл. мате-матика.—1997.—Т. 3, № 4.-С. 999-1028.
5. Stenger F. Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions.^N. Y.: Springer, 1993.^565 p.
6. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам.—Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2001.
7. Oren Е. Livne, Achi Е. Brandt. MuST: The multilevel sine transform I I SIAM J. Sci. Comput.—2011.— Vol. 33, № 4.-P. 1726-1738. DOI: 10.1137/100806904.
8. Coroianu L., Sorin G. Gal. Localization results for the non-truncated max-product sampling operators based on Fejer and sinc-type kernels // Demonstratio Mathematica.—2016.—Vol. 49, № 1,—P. 38-49.
9. Richardson M., Trefethen L. A sine function analogue of Chebfun I I SIAM J. Sci. Comput.—2011.— Vol. 33, № 5.-P. 2519-2535.
10. Khosrow M., Yaser R., Hamed S. Numerical Solution for First Kind Fredholm Integral Equations by Using Sine Collocation Method // Int. J. Appl. Phy. Math—2016—Vol. 6, № 3—P. 120-128.
11. Трынин А. Ю. Необходимые и достаточные условия равномерной на отрезке синк-аппроксимации функций ограниченной вариации // Изв. Сарат. ун-та. Нов. серия. Сер. Математика. Механика. Информатика.—2016.—Т. 16, № З.-С. 288-298.
12. Trynin A. Yu., Sklyarov V. P. Error of sine approximation of analytic functions on an interval // Sampling Theory in Signal and Image Processing.—2008.—Vol. 7, № 3.—P. 263-270.
13. Marwa M. Tharwat. Sine approximation of eigenvalues of Sturm-Liouville problems with a Gaussian multiplier // Calcolo: a Quarterly on Numerical Analysis and Theory of Computation.—2014.—Vol. 51, № 3.-P. 465-484. DOI: 10.1007/sl0092-013-0095-3.
14. Трынин А. Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по синкам // Математика. Механика.—Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005.—Т. 7.—С. 124-127.
15. Zayed A. L, Schmeisser G. New Perspectives on Approximation and Sampling Theory, Applied and Numerical Harmonic Analysis.—N. Y.-Dordrecht-London: Springer Int. Publ. Switzerland, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-08801-3.
16. Трынин А. Ю. Оценки функций Лебега и формула Неваи для sine-приближений непрерывных функций на отрезке // Сиб. мат. журн.—2007.—Т. 48, № 5.—С. 1155-1166.
17. Трынин А. Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Мат. сб.^2007.^Т. 198, № 10—С. 141-158.
18. Трынин А. Ю. Критерий равномерной сходимости sine-приближений на отрезке // Изв. высш. учебных заведений. Математика.—2008.—№ 6.—С. 66-78.
19. Sklyarov V. P. On the best uniform sine-approximation on a finite interval I I East J. Approx.—2008— Vol. 14, № 2.—P. 183-192.
20. Трынин А. Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0, п) // Алгебра и анализ.—2010.— Т. 22, № 4.-С. 232-256.
21. Трынин А. Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций // Уфимский мат. журн.—2015.—Т. 7, № 4.-С. 116-132.
22. Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера их модификациями: условия равномерной сходимости // Владикавк. мат. журн.—2016.—Т. 18, № 4.—С. 61-70.
23. Шарапудинов И. И., Умаханов А. Я. Интерполяция функций суммами Уиттекера и их модификациями: условия равномерной сходимости // Материалы 18-й междунар. Саратовской зимней шк. «Современные проблемы теории функций и их приложения».—Саратов, 2016.—С. 332-334.
24. Трынин А. Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций // Алгебра и анализ.^2015.^Т. 27, № 5.-С. 170-194.
25. Трынин А. Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков // Изв. высш. учебных заведений. Математика.—2016.—№ 3.—С. 72-81.
26. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчетов Уиттекера — Котельникова — Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат. сб.^2009.^Т. 200, № 11—С. 61—108. DOI: 10.4213/sm4502.
27. Трынин А. Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа — Якоби // Изв. РАН. Сер. Мат.-2011.-Т. 75, № 6.-С. 129-162. DOI: 10.4213/im4275.
28. Трынин А. Ю. Об отсутствии устойчивости интерполирования по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля // Изв. высш. учебных заведений. Математика.—2000.—Т. 9.—С. 60-73.
29. Трынин А. Ю. Дифференциальные свойства нулей собственных функций задачи Штурма — Лиувилля // Уфимский мат. журн.—2011.—Т. 3, № 4—С. 133-143.
30. Трынин А. Ю. Об одной обратной узловой задаче для оператора Штурма — Лиувилля // Уфимский мат. журн.—2013.—Т. 5, № 4—С. 116-129.
31. Трынин А. Ю. О расходимости интерполяционных процессов Лагранжа по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля // Изв. высш. учебных заведений. Математика.—2010.—Т. 11.— С. 74-85.
32. Трынин А. Ю. Принцип локализации для процессов Лагранжа — Штурма — Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр.^Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006.^Т. 8.—С. 137-140.
33. Трынин А. Ю. Об одном интегральном признаке сходимости процессов Лагранжа — Штурма — Лиувилля // Математика. Механика: Сб. науч. тр.—Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2007.—Т. 9.— С. 94-97.
34. Трынин А. Ю. Теорема отсчетов на отрезке и ее обобщения.—LAP LAMBERT Acad. Publ., 2016.— 488 с.
35. Голубов Б. И. Сферический скачок функции и средние Вохнера — Рисса сопряженных кратных рядов и интегралов Фурье // Мат. заметки.—2012.—Т. 91, № 4.—С. 506-514.
36. Дьяченко М. И. Об одном классе методов суммирования кратных рядов Фурье // Мат. сб.—2013.— Т. 204, № 3. С. 3-18.
37. Скопила М. А., Максименко И. Е. Многомерные периодические всплески // Алгебра и анализ.— 2003.-Т. 15, № 2.—С. 1-39.
38. Дьяченко М. И. Равномерная сходимость гиперболических частичных сумм кратных рядов Фурье // Мат. заметки.-2004.-Т. 76, № 5.-С. 723-731.
39. Borisov D. I., Dmitriev S. V. On the spectral stability of kinks in 2D Klein-Gordon model with parity-time-symmetric perturbation // Stud. Appl. Math.—2017.—Vol. 138, № 3.—P. 317-342.
40. Голубов Б. И. Об абсолютной сходимости кратных рядов Фурье // Мат. заметки.—1985.—Т. 37, № I. С. 13-24.
41. Борисов Д. И., Зпойил М. О собственных значениях PT-симметричного оператора в топком слое // Мат. сб. 2017. Т. 208, № 2. С. 3-30.
42. Иванникова Т. А., Тимашова Е. В., Шабров С. А. О необходимом условии минимума квадратич-
ного функционала с интегралом Стилтьеса и нулевым коэффициентом при старшей производной на части интервала // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика.— 2013.-Т. 13, №2(1).-С. 3-8.
43. Фарков Ю. А. О наилучшем линейном приближении голоморфных функций // Фундамент, и прикл. математика.^2014.^Т. 19, № 5—С. 185-212.
44. Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1, 2.—М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1953.
Статья поступила 13 июня 2017 г. Трынин Александр Юрьевич
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, РОССИЯ, 410012, Саратов, ул. Астраханская, 83 профессор кафедры математической экономики E-mail: atrynin@gmail.com, tayu@rambler.ru https://orcid.org/0000-0002-6304-4962
Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 4, P. 76 91
CONVERGENCE OF THE LAGRANGE-STURM-LIOUVILLE PROCESSES FOR CONTINUOUS FUNCTIONS OF BOUNDED VARIATION
Trvnin, A. Y.1
1 Saratov State University, 83 Astrakhanskaya Str., Saratov 410012, Russia E-mail: atrynin@gmail.com
Abstract. The uniform convergence within an interval (a,b) C [0, n] of Lagrange processes in eigen-functions Lnh(f,x) = f(xk,n) jj, (xjjn)(x'-xk—j °f the Sturm-Liouville problem is established. (Here
0 < xi,n < X2,n < • • • < Xn,n < n denote the zeros of the eigenfunction Un of the Sturm-Liouville problem.) A continuous functions f on [0, n] which is of bounded variation on (a, b) C [0, n] can be uniformly approximated within the interval (a,b) C [0,n]. A criterion for uniform convergence within an interval (a, b) of the constructed interpolation processes is obtained in terms of the maximum of the sum of the moduli of divided differences of the function f. Outside the interval (a,b), the Lagrange interpolation process may diverge. The boundedness in the totality of the Lagrange fundamental functions constructed from eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem is established. The case of the regular Sturm-Liouville problem with a continuous potential of bounded variation is also considered. The boundary conditions for the third kind Sturm-Liouville problem without Dirichlet conditions are studied. In the presence of service functions for calculating the eigenfunctions of the regular Sturm-Liouville problem, the Lagrange-Sturm-Liouville operator under study is easily implemented by computer technology.
Key words: uniform convergence, sine approximations, bounded variation, Lagrange-Sturm-Liouville processes.
Mathematical Subject Classification (2000): 41A05, 41A58, 94A12.
For citation: Trynin, A. Y. Convergence of the Lagrange-Sturm-Liouville Processes for Continuous Functions of Bounded Variation, Vladikavkaz Math. J., 2018, vol. 20, no. 4, pp. 76-91 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2018.4.23390.
References
1. Kramer, H. P. A Generalized Sampling Theorem, J. Math. Phus., 1959, vol. 38, pp. 68-72.
2. Natanson, G. I. Ob odnom interpolyatsionnom protsesse, Uchen. zapiski Leningrad, ped. in-ta im.
A. I. Gertsena, 1958, vol. 166, pp. 213-219. (in Russian).
90
TpbiHHH A. IO.
3. Novikov, I. Ya. and Stechkin, S. B. Basic Wavelet Theory, Russian Mathematical Surveys, 1998, vol. 53, no. 6, pp. 1159-1231. DOI: 10.1070/RM1998v053n06ABEH000089.
4. Novikov, I. Ya. and Stechkin, S. B. Basic Constructions of Wavelets, Fundamental and Applied Mathematics, 1997, vol. 3, no. 4, pp. 999-1028. (in Russian).
5. Stenger, F. Numerical Metods Based on Sine and Analytic Functions, N. Y., Springer, 1993, 565 p.
6. Dobeshi, I. Ten Lectures on Wavelets, Society for Industrial and Appled Mathematics, Philadelphia, Pennsylvana, 1992.
7. Or en, E. Livne and Achi E. Brandt. MuST: the Multilevel Sine Transform, SIAM Journal on Scientific Computing, 2011 vol. 33, no. 4, pp. 1726-1738. DOI: 10.1137/100806904.
8. Coroianu, L. and Sorin, G. Gal. Localization results for the non-truncated max-product sampling operators based on Fejer and sinc-type kernels, Demonstrate Mathematica, 2016, vol. 49, no. 1, pp. 3849.
9. Richardson, M. and Trefethen, L. A Sine Function Analogue of Chebfun, SIAM Journal on Scientific Computing, 2011, vol. 33, no. 5, pp. 2519—2535. DOI: 10.1137/110825947.
10. Khosrow, M., Yaser, R. and Hamed, S. Numerical Solution for First Kind Fredholm Integral Equations by Using Sine Collocation Method, International Journal of Applied Physics and Mathematics, 2016, vol. 6, no. 3, pp. 88-94. DOI: 10.17706/ijapm.2016.6.3.88-94.
11. Trynin, A. Yu. Necessary and Sufficient Conditions for the Uniform on a Segment Sine-Approximations Functions of Bounded Variation, Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., vol. 16, no. 3, pp. 288-298 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2016-16-3-288-298.
12. Trynin, A. Yu. and Sklyarov, V. P. Error of Sine Approximation of Analytic Functions on an Interval, Sampling Theory in Signal and Image Processing, 2008, vol. 7, no 3, pp. 263-270.
13. Marwa M. Tharwat. Sine Approximation of Eigenvalues of Sturm-Liouville Problems with a Gaussian Multiplier, Calcolo: a Quarterly on Numerical Analysis and Theory of Computation, 2014, vol. 51, no. 3, pp. 465-484. DOI: 10.1007/sl0092-013-0095-3.
14. Trynin, A. Yu. On the Estimation of the Approximation of Analytic Functions by an Interpolation Operator with Respect to Syncs, Matematika. Mekhanika [Mathematics. Mechanics], Saratov, Saratov Univ., 2005, vol. 7, pp. 124-127. (in Russian).
15. Zayed, A. I. and Schmeisser, G. New Perspectives on Approximation and Sampling Theory, Applied and Numerical Harmonic Analysis, N. Y.-Dordrecht-London, Springer Int. Publ. Switzerland, 2014. DOI: 10.1007/978-3-319-08801-3.
16. Trynin, A. Yu. Estimates for the Lebesgue Functions and the Nevai Formula for the Sine-Approximations of Continuous Functions on an Interval, Siberian Mathematical Journal, 2007, vol. 48, no. 5, pp. 929-938. DOI: 10.1007/sll202-007-0096-z.
17. Trynin, A. Yu. Tests for Pointwise and Uniform Convergence of Sine Approximations of continuous functions on a Closed Interval, Sbornik: Mathematics, 2007, vol. 198, no. 10, pp. 1517-1534. DOI: 10.1070/SM2007vl98nl0ABEH003894.
18. Trynin, A. Yu. A Criterion for the Uniform Convergence of Sine-Approximations on a Segment, Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2008, vol. 52, no. 6, pp. 58-69. DOI: 10.3103/S1066369X08060078.
19. Sklyarov, V. P. On the Best Uniform Sine-Approximation on a Finite Interval, East Journal on Approximations, 2008, vol. 14, no. 2, pp. 183-192.
20. Trynin, A. Yu. On Divergence of Sine-Approximations Everywhere on (0,n), St. Petersburg Mathematical Journal, 2011, vol. 22, pp. 683-701. DOI: 10.1090/S1061-0022-2011-01163-X.
21. Trynin, A. Yu. On Some Properties of Sine Approximations of Continuous Functions on the Interval, Ufa Mathematical Journal, 2015, vol. 7, no. 4, pp. 111-126. DOI: 10.13108/2015-7-4-111.
22. Umakhanov, A. Y. and Sharapudinov, I. I. Interpolation of Functions by the Whittaker Sums and Their Modifications: Conditions for Uniform Convergence, Vladikavkaz Math. J., 2016, vol. 18, pp. 6170. DOI: 10.23671/VNC.2016.4.5995.
23. Umakhanov, A. Y. and Sharapudinov, I. I. Interpolation of Functions by Whittaker Sums and their Modifications: Conditions of Uniform Convergence, Materialy 18th Intern. Saratov Winter School. «Modern Problems of the Theory of Functions and their Applications», Saratov, 2016, pp. 332-334.
24. Trynin, A. Yu. On Necessary and Sufficient Conditions for Convergence of Sine-Approximations, St. Petersburg Mathematical Journal, 2016, vol. 27, no. 5, pp. 825-840. DOI: 10.1090/spmj/1419.
25. Trynin, A. Yu. Approximation of Continuous on a Segment Functions with the Help of Linear Combinations of Sines, Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2016, vol. 60, no. 3, pp. 63-71. DOI: 10.3103/S1066369X16030087.
26. Trynin, A. Yu. A Generalization of the Whittaker-Kotel'nikov-Shannon Sampling Theorem for Continuous Functions on a Closed Interval, Sbornik: Mathematics, 2009, vol. 200, no. 11, pp. 16331679. DOI: 10.1070/SM2009v200nllABEH004054.
27. Trynin, A. Yu. On Operators of Interpolation with Respect to Solutions of a Cauchy Problem and Lagrange-Jacobi Polynomials, Izvestiya: Mathematics, 2011, vol. 75, no. 6, pp. 1215-1248. DOI: 10.1070/IM2011v075n06ABEH002570.
28. Trynin, A. Yu. On the Absence of Stability of interpolation in Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Problem, Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2000, vol. 44, no. 9, pp. 58-71.
29. Trynin, A. Yu. Differential Properties of Zeros of Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Problem, Ufa Mathematical Journal, 2011, vol. 3, no. 4, pp. 130-140.
30. Trynin, A. Yu. On Inverse Nodal Problem for Sturm-Liouville Operator, Ufa Mathematical Journal, 2013, vol. 5, no. 4, pp. 112-124. DOI: 10.13108/2013-5-4-112.
31. Trynin, A. Yu. The Divergence of Lagrange Interpolation Processes in Eigenfunctions of the Sturm-Liouville Problem, Russian Mathematics (Iz. VUZ), 2010, vol. 54, no. 11, pp. 66-76. DOI: 10.3103/S1066369X10110071.
32. Trynin, A. Yu. Localization Principle for Lagrange-Sturm-Liouville Processes, Matematika. Mekhanika [Mathematics. Mechanics], Saratov, Saratov Univ., 2005, vol. 8, pp. 137-140 (in Russian).
33. Trynin, A. Yu. On one Integral Sign of Convergence of Lagrange-Sturm-Liouville Processes, Matematika. Mekhanika [Mathematics. Mechanics], Saratov, Saratov Univ., 2007, vol. 9, pp. 94-97.
34. Trynin, A. Yu. Teorema otschetov na otrezke i ee obobscheniya, LAP LAMBERT Acad. Publ., 2016, 488 p. (in Russian).
35. Golubov, B. I. Spherical Jump of a Function and the Bochner-Riesz Means of Conjugate Multiple Fourier Series and Fourier Integrals, Mathematical Notes, 2012, vol. 91, no. 3-4, pp. 479-486. DOI: 10.4213/mzm8739.
36. Dyachenko, M. I. On a Class of Summability Methods for Multiple Fourier Series, Sbornik: Mathematics, 2013, vol. 204, no. 3, pp. 307-322. DOI: 10.4213/sm8118.
37. Maksimenko, I. E. and Skopina, M. A. Multidimensional Periodic Wavelets, St. Petersburg Mathematical Journal, 2004, vol. 15, no. 2, pp. 165-190. DOI: 10.1090/S1061-0022-04-00808-8.
38. Dyachenko, M. I. Uniform Convergence of Hyperbolic Partial Sums of Multiple Fourier Series, Mathematical Notes, 2004, vol. 76, no. 5, pp. 673-681. DOI: 10.4213/mzml39.
39. Borisov, D. I. and Drnitriev, S. V. On the Spectral Stability of Kinks in 2D Klein-Gordon Model with Parity-Time-Symmetric Perturbation, Studies in Applied Mathematics, 2017, vol. 138, no. 3, pp. 317342.
40. Golubov, B. I. Absolute Convergence of Multiple Fourier Series, Mathematical Notes, 1985, vol. 37, no. 1, pp. 8-15. DOI: 10.1007/BF01652507.
41. Borisov, D. I. and Znojil, M. On Eigenvalues of a PT-Symmetric Operator in a thin Layer, Sbornik: Mathematics, 2017, vol. 208, no. 2, pp. 173-199. DOI: 10.1070/SM8657.
42. Ivannikova, T. A., Timashova, E. V. and Shabrov, S. A. On Necessary Conditions for a Minimum of a Quadratic Functional with a Stieltjes Integral and Zero Coefficient of the Highest Derivative on the Part of the Interval, Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform,., 2013, vol. 13, no. 2(1), pp. 3-8. (in Russian).
43. Farkov, Yu. A. On the Best Linear Approximation of Holomorphic Functions, Journal of Mathematical Sciences, 2016, vol. 218, no. 5, pp. 678-698. DOI: 10.1007/sl0958-016-3050-4.
44. Sansone, D. Obyknovennye differencial'nye uravneniya [Ordinary Differential Equations], Moscow, Foreign Languages Publ. House, 1953, vol. 1, 2.
Received June 13, 2017
Alexandr Yu. Trynin Saratov State University,
83 Astrakhanskaya Str., Saratov 410012, Russia, Professor of the Department of Mathematical Economics E-mail: atrynin@gmail.com, tayu@rambler.ru https://orcid.org/0000-0002-6304-4962
