Односторонний признак Дини-Липшица для исследования равномерной сходимости синк-аппроксимаций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.85

А. Ю. Трынин

ОДНОСТОРОННИЙ ПРИЗНАК ДИНИ ЛИПШИЦА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ РАВНОМЕРНОЙ СХОДИМОСТИ СИНК-АППРОКСИМАЦИЙ

Установлена достаточность принадлежности аппроксимируемой функции одностороннему классу Дини Липшица для возможности равномерного внутри отрезка приближения операторами синк-аппроксимаций. Отдельно рассматривается возможность равномерного приближения на всём отрезке.

В работе изучаются аппроксимативные свойства операторов, впервые предложенные в [1, 2], вида

f )=^ - -)/(kn)=± (kn)=

k=0 k=0

n k

= E 1к,пШ{кП)> (D

k=0

где sinct := Обозначим xk,n = kn, k G Q,n G N. Подробное изучение необходимых и достаточных условий поточечной и равномерной сходимости этих интерполяционных процессов па отрезке [0,п] содержится в [1-32].

Обозначим через Q множество действительных непрерывных неубывающих, выпуклых вверх на [0, b — a] ([a, b] С [0,п]), исчезающих в пуле функций ш. А через C(ш1, [a, b]) и C(шг, [a, b]) — совокупность элементов C[a, b] таких, что для любых x и x + h (a < x < x + h < b) справедливы неравенства f (x + h) — f (x) > —Kf w(h) ил и f (x + h) — f (x) < Kf ш(Н)

соответственно, где ш G Q. Выбор положительных констант Kf может

f

Теорема 1. Пусть 0 < a < b < п, 0 <£< (b — a)/2. Если функция ш G Q такая, что

lim ш(1/п)1пn = 0, (2)

то для любой, непрерывной на [0,п] функции f G C(ш1 [a,b]) (f G C(шг [a,b])) выполняется соотношение

1im \\f — Ln(f, 0\\c[a+e,b—e] = (3)

n

Пусть C0[0,n] = {f : f G C[0,п], f(0) = f(п) = 0}. Будем обозначать О0(ш1 [0,п]) = C(ш1 [0,п]) П Co[0,n] (0)(шг[0,п]) = C(шг[0,п]) П Co[0,n]). Теорема 2. Если функция ш G Q такая, что lim ш(1/п)1пn = 0,

то для любой функции f G C0(ш1 [0,п]) (f G C0(wr[0,п])) выполняется

соотношение

lim ||/- Ln{f, [о,п] = 0.

n—УОО

(4)

Доказательство. Рассуждая аналогично доказательству соотношения [4, (36)], разобьём на два слагаемых сумму

k2

Е

k = k\, k=P0

f (xk+1,n) - f (xk,n)

Po - k

k2

Е

k=ki, k=P0

f (xk+1,n) - f (Xk,n) |po - k|

о ^ ///(жк+1,п) - /(хк,п)

' (5)

к=Р0

где р0 = [жп/п], ^ и к2 - номера наименьшего и наибольшего из узлов Жк,п5 попадающих в от резок [а, 6], а два штриха означают, что в сумме отсутствуют неотрицательные слагаемые. После чего убеждаемся, что для непрерывной функции модуль первого слагаемого равномерно стремится к нулю, а условие (2) гарантирует убывание максимума модуля второго слагаемого при п ^ то для функций из классов / С С0(^г[а, 6]). Осталось воспользоваться [11, предложение 9]. Доказательства соотношений (3), когда / € С(¡х>г[а, 6]), и (4) для случая а = 0 6 = п аналогичны.

Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки РФ (проект № 1.1520.20Ц/К).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Трынин А. Ю. Об аппроксимации аналитических функций операторами Лагранжа-Штурма-Лиувилля // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез. докл. 10-й Сарат. зимн. шк. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2000. С. 140-141.

2. Трынин А. Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций интерполяционным оператором по сннкам // Математика. Механика. : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2005, Вып. 7, С, 124-127,

3, Trynin A.Yu., Sklyarov V. P. Error of sine approximation of analytic functions on an interval // Sampling Theory in Signal and Image Processing, 2008, Vol, 7, № 3, P. 263-270.

4, Трынин А. Ю. Критерии поточечной и равномерной сходимости синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Мат, сб. 2007, Т. 198, JV2 10, С. 141-158.

5. Трынин А. Ю. Критерий равномерной сходимости sine-приближений на отрезке // Изв. вузов. Сер, Математика, 2008, № 6, С, 66-78,

6. Sklyarov V. P. On the best uniform sine-approximation on a finite interval // East Journal on Approximations. 2008. Vol. 14, № 2. P. 183-192.

7. Трынин А. Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0,п) // Алгебра и анализ. 2010. Vol. 22, № 4. Р. 232-256.

8. Трынин А. Ю. О некоторых свойствах синк-аппроксимаций непрерывных на отрезке функций // Уфимский мат. журн, 2015. JV2 4116-132.

9. Трынин А. Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций // Алгебра и анализ. 2015. Vol. 27, JV2 5. Р. 170-194.

10. Трынин А. Ю. Приближение непрерывных на отрезке функций с помощью линейных комбинаций синков // Изв. вузов. Сер. Математика. 2016. JV2 3. С. 72-81.

11. Трынин А. Ю. Обобщение теоремы отсчётов Уиттекера-Котельникова-Шеннона для непрерывных функций на отрезке // Мат. сб. 2009. Т. 200, JV2 11. С. 61-108.

12. Трынин А. Ю. Об операторах интерполирования по решениям задачи Коши и многочленах Лагранжа-Якоби // Изв. РАН. Сер. математическая. 2011. Т. 75, № 6. С. 129-162.

13. Трынин А. Ю. Существование систем Чебышёва с ограниченными константами Лебега интерполяционных процессов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2008. Вып. 10. С. 79-81.

14. Трынин А. Ю. Пример системы Чебышёва с почти всюду сходящейся к нулю последовательностью функций Лебега интерполяционных процессов // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2009. Вып. 11. С. 74-76.

15. Трынин А. Ю. Об одном признаке типа Дини-Липшица сходимости обобщённых интерполяционных процессов Уиттекера-Котельникова-Шеннона // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2010. Вып. 12. С. 83-87.

16. Трынин А. Ю. О необходимых и достаточных условиях равномерной и поточечной сходимости интерполяционных процессов по взвешенным многочленам Якоби // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. Вып. 13. С. 96-100.

17. Трынин А. Ю. Об одной модификации аналога формулы Неваи для синк-приближений непрерывных функций на отрезке // Математика. Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2014. Вып. 16. С. 78-81.

18. Трынин А. Ю. О равномерной сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля/Сарат, ун-т. Саратов, 1991. 32 с. Деп. в ВИНИТИ 26.04.1991, № 1763-В91."

19. Трынин А. Ю. Об одном признаке сходимости интерполяционных процессов Лагранжа-Штурма-Лиувилля/Сарат, ун-т. Саратов, 1991. 33 с. Деп. в ВИНИТИ 27.05.1991, № 2201-В91."

20. Трынин А. Ю. О полноте линейных комбинаций синков в C[0,п] // Современные проблемы математики, механики и их приложений : материалы междунар, конф,, посвящ. 70-летию ректора МГУ акад. В. А. Садовничего. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2009. С. 98-99.

21. Трынин А. Ю. О расходимости синк-приближений всюду на (0,п) // Современные проблемы математики, механики и их приложений : тез. междунар. конф., посвящ. 90-летию С. Б. Стечкина. М. : Изд-во Моск. ун-та, 2010. С. 75-76.

22. Трынин А. Ю. Критерии равномерной сходимости синк-приближений на отрезке // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез. докл. 13-й Сарат. зимн, шк. Саратов : Науч. книга, 2006. С. 176-178.

23. Трынин А. Ю. Одно обобщение теоремы дискретизации // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. 14-й Сарат, зимп, шк,, посвящ, памяти акад. П, Л, Ульянова, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2008, С, 189-190,

24.Трынин А. Ю. Об одном обобщении теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона // Современные проблемы теории функций и их приложения : тез, докл. 15-й Сарат, зимн, шк,, посвящ, 125-летию со дня рождения В, В, Гол убоин и 100 летию СГУ, Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2010, С, 175-176,

25.Трынин А. Ю. О равносходимости операторов интерполирования по решениям задачи Коши и многочленов Лагранжа-Якоби // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 16-й Сарат, зимн, шк, Саратов : Науч. книга, 2012. С. 178-179.

26. Трынин А.Ю. Функция Грина интерполяционного оператора Лагранжа-Штурма-Лиувилля // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. И. И. Лобачевского : материалы шк.-конф., посвящ. 130-летию со дня рождения Д. Ф. Егорова. Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 1999. 228 с.

27. Трынин А.Ю. Об оценке аппроксимации аналитических функций одним интерполяционным оператором // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. И. И. Лобачевского : материалы Седьмой междунар. Казан, летн. науч. шк.-конф. Казань : Изд-во Казан, мат. о-ва, 2005. Т. 30. С. 155-156.

28. Трынин А.Ю. О константах Лебега интерполяционных процессов по системам Чебышёва // Теория функций её приложения и смежные вопросы : Труды математического центра им. И. И. Лобачевского : материалы Восьмой междунар. Казан, летн. науч. шк.-конф. Казань : Изд-во Казан, мат. об-ва, 2007. Т. 35. С. 248-249.

29. Трынин А.Ю. О необходимых и достаточных условиях сходимости синк-аппроксимаций на отрезке //Ряды Фурье и их приложения : тез. докл. Ростов н/Д : Изд-во Южн. федер. ун-та, 2012. С. 36-37.

30. Трынин А. Ю. Сходимость интерполяционных процессов по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1991. 32 с.

31. Трынин А. Ю. Операторы интерполирования и аппроксимация непрерывных функций : автореф. : дис. ... д-ра физ.-мат. наук ; Воронеж, гос. ун-т. Воронеж, 2013.

32. Bulanova A.V., Sklyarov V.P., Trynin A.Yu On inequalitv connected with laguerre weight // Indian J. of Pure and Applied Mathematics. 2002. Vol. 33, № 8. P. 1183-1186.

УДК 519.642.8

А. А. Хромов

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Рассматривается обыкновенное дифференциальное уравнение:

а0(ж)м//(ж) + а1(ж)м/(ж) + а2(ж)и(ж) = / (ж), (1)