Научная статья на тему 'Об одной обратной задаче для оператора Штурма Лиувилля c разрывными коэффициентами'

Об одной обратной задаче для оператора Штурма Лиувилля c разрывными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
112
26
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА / ОПЕРАТОР ШТУРМА ЛИУВИЛЛЯ / СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ / INVERSE PROBLEM / STURM LIOUVILLE OPERATOR / EIGENVALUES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ахмедова Э. Н., Гусейнов И. М.

В работе доказана единственность восстановления оператора Штурма Лиувилля c разрывными коэффициентами по спектральным данным и дан алгоритм построения потенциала.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

In the paper uniqueness of reconstruction of the Sturm Liouville operator with discontinuous coefficients by spectral data is proved and algorithm of construction of the potential is provided.

Текст научной работы на тему «Об одной обратной задаче для оператора Штурма Лиувилля c разрывными коэффициентами»

МАТЕМАТИКА

УДК 517.984

ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ C РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Э.Н. Ахмедова, И.М. Гусейнов

Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку, отдел функционального анализа E-mail: [email protected]

* Бакинский государственный университет, кафедра прикладной математики E-mail: [email protected]

В работе доказана единственность восстановления оператора Штурма - Лиувилля c разрывными коэффициентами по спектральным данным и дан алгоритм построения потенциала.

Ключевые слова: обратная задача, оператор Штурма - Лиувилля, собственные значения.

On Inverse Problem for Sturm - Liouville Operator with Discontinuous Coefficients E.N. Akhmedova, H.M. Huseynov*

Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Department of Functional Analysis E-mail: [email protected]

* Baku State University, Chair of Applied Mathematics E-mail: [email protected]

In the paper uniqueness of reconstruction of the Sturm - Liouville operator with discontinuous coefficients by spectral data is proved and algorithm of construction of the potential is provided.

Keywords: inverse problem, Sturm - Liouville operator, eigenvalues. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим граничную задачу, порожденную на отрезке [0, п] уравнением

-у'' + q (x) у = Л2р (x) y (1)

и граничными условиями

у (0) = 0, у (п) = 0,

(2)

где д(х) Е Ь2(0, п) — вещественнозначная функция, Л — комплексный параметр, а р (х) — кусочно-постоянная функция:

р(х) =

1,

0 < x < a, a < x < п,

0 < a = 1.

(3)

В настоящей работе, используя аппарат операторов преобразования, доказана единственность определения граничной задачи (1)-(3) по заданным собственным значениям и нормировочным числам, дан алгоритм построения функции д (х) по спектральным данным.

Единственности восстановления граничной задачи (1)-(3) по функции Вейля посвящена работа [1]. Обратная задача рассеяния

о

гх

для уравнения (1) на полуоси с условием y(0) = 0 изучена в работах [2, 3]. Обзор работ, посвященных прямым и обратным задачам для уравнения вида (1) с различными условиями на p(x), приведен в книге [4].

В случае p(x) = 1 полные решения прямых и обратных задач в различных постановках хорошо известны (см. [4-6]).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ

В дальнейшем нам потребуется несколько вспомогательных утверждений (см. [7, 8]). Теорема 1. Если q (x) е L2 (0,п), то при всех А уравнение (1) имеет единственное решение s(x, А), удовлетворяющее условиям s(0, А) = 0, s'(0, А) = 1, представимое в виде

(х)

s (x, А) = s0 (x, А)+ J A (x, t) SinA ^dt, (4)

0

где

1 / 1 \ sin Ад+ (x) 1 / 1 \ sin А (2a — д+ (x))

so^^vprx^j—^M1—а u)

— решение уравнения (1) при q(x) = 0 с начальными условиями s0(0, А) = 0, s0(0, А) = 1,

^+(x) = x\jp(x) + a — л/p(x) j ,

причем ядро A(x, ■) принадлежит пространству L2(0, (x)). Функция A(x,t) непрерывна, имеет частные производные в области t = 2a — (x) и

ía (x,"+ (x)) = i7fm(1 + тры q (x)' (5)

{A (x, 2a — (x) + 0) — A (x, 2a — (x) — 0)} = —-1- ( 1--— ) q (x). (6)

dx V P (x) \ VP(x)/

Отметим, что при доказательстве теоремы 1 для определенности предполагалось, что выполняется условие a(1 + a) > na. Эта теорема справедлива и в общем случае, однако кроме линии t = 2a — (x) появляются и другие линии разрыва у функции A(x,t).

Лемма 1. Корни А°п функции Д0(А) = s0(п, А) отделены, т.е. inf |АП — A°k| > 0.

n=k

Лемма 2. Существует постоянное m > 0, такое что при всех n

АПД 0(АП) > m (л 0(А) = dAА0(А^ .

Теорема 2. a) граничная задача (1)-(3) имеет счетное множество простых собственных значений {АЩП>1. При этом

dn k

An = АП +

где АП — нули функции

А = А0 + "П + ^п

An = An + А0 + V'

, , _ 1 f 1 \ sin A (an — aa + a) 1 / 1 \ sin A (—an + aa + a)

Д0 (A) = 7T 1 +---т--+ 7Г 1 —

2 V а / А 2 V а) А

(т.е. (А°)2 — собственные значения задачи (1)-(3) в случае д(х) = 0), ¿п — ограниченная последовательность:

d = 1 dn —

4АПД0(АП)

1 +--,1 ) q (t) dt х cos АП (an — aa + a) —

vp(t) V vp(t)

П

1

1 1--,1 | q (t) dt x cos X°n (—an + aa + a)

0 л/РЩ л/Ж.

{kn} e I2;

ö) собственные функции задачи (1)-(3) представимы в виде

s (x, An) = s0 (x, АП) +

0 N . Cn (x)

ICn (x)|< C;

c) нормировочные числа an = f p (x) s2 (x, An) dx задачи (1)-(3) имеют вид

о

= о i ^n

«n an 7

n

TV

где аП = / p (x) s2 (x, АП) dx — нормировочные числа задачи (1)-(3) при q(x) = 0, {tn} e 12.

о

Теорема 3. 1) система собственных функций {s (x, An)}n>1 граничной задачи (1)-(3) полна в L2 (0, п; p);

2) если f (x) — абсолютно непрерывная функция на отрезке [0, п], f (0) = f (п) = 0, то

ж i П

f (x) = ans (x, An), an = — p (t) f (t) s (t, An) dt,

an J

n=1 0

причем ряд сходится равномерно на [0, п] ;

3) для f (x) e L2 (0, п; p) ряд из 2) сходится в L2 (0, п; p), причем имеет место равенство Парсеваля:

р (x) |f (x)|2 dx = an |an|2

n=1

Лемма 3. Система функций {з0 (х, Лп)}п>1 полна в пространстве £2 (0, п; р). 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Под обратной задачей для граничной задачи (1)-(3) будем понимать восстановление функции д(х) по спектральным данным {ЛП,а^п>1.

Сначала мы покажем, что для решения з(х, Л) существует треугольное представление:

s (x, А) = s0 (x, А) + J A (x, t) s0 (t, A) dt. o

При x < a это очевидно. Теперь пусть x > a. Тогда

1 / 1\ sin A(ax — aa + a) 1 / 1\ sin A (—ax + aa + a) s0 (x,A) = 2 \ + -- + 2 \ — ^ ---

Отсюда

sin A(ax — aa + a) 2a , ,, 1 — a , ,,

---=-s0(x, A) +--s0(—ax + aa + a, A).

A 1 + a 1 + a

Следовательно, при x > a из представления (4) имеем:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ai-aa+a a ai-aa+a

sin At sin At sin At

s (x, A) = s0 (x, A)+ A (x, t) —a—dt = s0 (x, A)+ / A (x,t) a dt + A (x,t) a dt

(7)

, ,, f . , , , . f , , sinA(at — aa + a) = s0 (x, A) + A (x, t) s0 (t, A) dt + a A (x, at — aa + a)---dt =

П

n

n

x

= 50 (х, А) + / А (х, г) 50 (г, А) <г+

+а / А (х,аг — аа + а)

2а . л, 1 аа ^ л %

-50(г, А) +--50(—аг + аа + а, А)

1 + а 0У 7 1 + а '

<И =

2а2

= 50 (х, А) + А (х, г) 50 (г, А) <г + 1+— А (х, аг — аа + а) 50(г, А)<^+

+

1 — а 1 + а

А (х, 2а — г) 50(г, А)<г.

-ах+аа+а

Таким образом, справедливо представление (7), где

А (х, г) = <

А(х,г), 0 < г < х < а, А(х, г), х > а, 0 < г < —ах + аа + а, А(х, г) + у+а А(х, 2а — г), —ах + аа + а < г < а < х, ^ "2+аА(х, аг — аа + а), а < г < х.

Используя (5)-(6), нетрудно показать, что функция А(х,г) непрерывна при г = 2а — (х) и

<хА^(х,х) = 1 ?(х)-

(8)

Теорема 4. При каждом фиксированном х е (0, п] ядро А(х,г) из представления (7) удовлетворяет линейному интегральному уравнению:

А(х, г) + ^(х, г) + / А(х, С)^(с, г)<с = 0, 0 < г < х,

(9)

где

^ (х,г) = Р(г)^

50 (г, Ап) 50 (х, А„) ^0 АП) 50 АП)

п=1

Доказательство. Из (4) имеем:

(10)

50 (х, А) = 5 (х, А) + у в (х, г) 5 (г, А) <г.

0

Используя (7) и (11), имеем:

N

N / х

^5 (х, Ап) 50 (г, Ап) ^ I 50 (х, Ап) 50 (г, Ап) , 50 (г, Ап) [ -Г, ^ / 1= д \ 7/*=

^-ап-=¿11-ап-+ -ат~ 0 А (x, с) 50 Ап)

п=1

N

^ ¿ ^ 50 & Ап) = р | 5 (x, Ап) 5 (г, Ап) + 5 (х Ап) [ в (г с) 5 (с Ап)

ап \ ап ап и

п=^ 0

п=1

Сравнивая последние равенства получаем

ф N (х, г) = /N1 (х, г) + ^ 2 (х, г) + ^ з (х, г) + /N4 (х, г),

где

(х, г) =

N /

ФN(х,г) = 5] -

п=1 \

5 (х, Ап) 5 (г, Ап) 50 (х, ап) 50 (г, Ап)

(11)

а

х

а

х

а

х

0

а

п

п

х

а

п

п

N

Ini (x, t) =

so (x, An) so (t, An) so (x, аП) so аП)

n=1

In2 (x, t) = £ / AL (x, 0 so (С, аП) d£,

n=1

Inз (x,t) = T /A(x,C) (

n=1

so (t, An) so (С, An) so АП) so АП)

dC,

N

In4 (x, t) = - T:

s (x, An)

B (t,C) s (C, An) dC.

n=1

Пусть f (x) e AC[0, п], f (0) = f (п) = 0. Согласно теореме о разложении по собственным функциям T p (t) f (t) s (x,A" ) s (t,An) dt = f (x), T /p (t) f (t) so (x,An а,so (t,An) dt = f (x). (12)

n=1 o n n=1 n

Используя (12), вычисляем:

lim max / p (t) f (t) ФN (x, t) dt

N^ж o<x<n

= lim max

N^ж o<x<n

' p (t) f (t) T ^ s (x, An ) s (t, An) _ so (x АП ) so АП) ^

n=1

< lim < max

N^ж I o<x<n

N

dt

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

<

p (t) f s (x,An ) s (t,An) dt _ f (x)

n=1

+

+ max

o<x<n

p (t) f (t) Tso МП а sМП) dt _ f (x)

n=1

= 0.

Кроме того, равномерно по x e [0, п]

lim / p (t) f (t) IN1 (x, t) dt =

N^ж /

n N

lim / p (t) f (t)£

N ^ж / z—'

n=1

s0 (x, An) s0 (t, An) s0 x, An s0 t, An

dt = J f (t) F (x, t) dt,

о

lim / p (t) f (t) IN2 (x, t) dt =

N^ж I

n N

lim / p (t) f (t)£

N^ж j z—'

s0 t, An

n=1 n

A(x, C)so (C,A^ dCdt = f (t) A (x,t) dt,

lim p (t) f (t) Inз (x, t) dt =

N^ж /

mJ P (t) / (t) T/so (t'An) * (с,аП ) _so (-,аП) no dCdt=

n=1 n

о

а

n

n

n

о

а:

n

n

t

а

n

n

n

n

о

о;

n

n

X'

X

п х

= У / (г) у А (х,с) ^(С,г)<С<г, 00

11ш [р (г) / (г) /N4 (х, г) <г = — Нш / р (г) / (г) р [ в(г, С)5 (С, Ап) <С<г =

V ^^ N ^^ -"Н ап ]

5(х,Ап)

п=1

г

N^^7 N у ^—/ ап

0 0 п=1 0

N - - - п / п \ п

^ .ОаМ 15(с,Ап)р(с)

N а

п=1

р-1уу р(г)/(г) в(г,с)<г V ? /

<с = — рщ! р(г)/(г) в(г,х)<г.

Доопределив А(х,г) = в(х,г) = 0 при х < г, в силу произвольности /(х) приходим к соотношению

х

А(х, г) + ^ (х, г) + [ А(х, с)^ (с, г)<с — ^ в (г, х) = 0.

р(х)

0

При г < х отсюда получаем (9). Теорема доказана.

Теорема 5. При каждом фиксированном х е (0, п] уравнение (9) имеет единственное решение А(х, ■) в £2 (0, х).

Доказательство. Так как (9) является уравнением Фредгольма второго рода, то для доказательства теоремы достаточно показать, что уравнение

х

А(г) + у А(с)^ (с, г)<с = 0 (13)

0

имеет только нулевое решение А(г) = 0.

Пусть А(г) — ненулевое решение уравнения (13). Тогда

х х х

У р(г)АТ2 (г)<г + у ^ р(г)А(г)А(£)^ (с, г)<с<г = 0,

0 0 0

или

х / х \2 /х \2

[ р(г)АТ2(г)<г + 01 \ / р(г)А(г)50 (г, Ап) <г) — 00 \ /" р(г)АТ(г)50 (г, аП) <г) =0.

0 п=1ап / п=1ап /

Учитывая равенство Парсеваля

х ж / х

У р(г)/2(г)<г = р ^ П р(г)/(г)50 (г, аП) <г

0 п=1 0п \0

для функции /(г) = А(г) е ь2(0, х), получаем

Р а1" ( / р(г)^(г)50 (г, Ап) <г I =0,

п=1 ап 0

и, следовательно,

х

У р(г)А(г)50 (г, Ап) <г = 0, п > 1.

0

Отсюда в силу леммы 3 получаем, что А(г) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Граничная задача (1)-(3) однозначно определяется по спектральным данным

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

{АП, аЛп>1.

п

п

Следующий алгоритм позволяет построить функцию д(х) по спектральным данным |АП,ап}п>1 Алгоритм. 1. По заданным числам {АП,ап}п>1 строится функция ^(х,г) по формуле (10).

2. Находится функция А(х, г) из уравнения (9).

3. Вычисляется д(х) по формуле (8).

Библиографический список

1. Akhmedova E.N. The definition of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients by Weyl function // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2005. V. XXII (XXX). P. 3-8.

2. Гасымов М.Г. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для одного класса уравнений с разрывными коэффициентами // Неклассические методы в геофизике: Материалы Междунар. конф. Новосибирск, 1977. С. 37-44.

3. Гусейнов И.М., Пашаев Р.Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. 2002. Т. 57, № 3. С. 147-148.

4. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., 2007. 384 с.

УДК 517.51

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА

Л.В. Борисова, А.В. Шаталина

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: [email protected]

Получен аналог признака Р. Салема для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов.

Ключевые слова: интерполирование, интерполяционный процесс, равноотстоящие узлы, сходимость в точке.

5. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, вып. 2. С. 3-63.

6. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев, 1977. 331 c.

7. Akhmedova E.N. On representation of solution of Sturm - Liouville equation with discontinuous coefficients // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2002. V. XVI (XXIV). P. 5-9.

8. Akhmedova E.N., Huseynov H.M. On eigenvalues and eigenfunctions of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients // Transactions of NAS of Azerbaijan. 2003. V. XXIII, № 4. P. 7-18.

The Problem of Convergence in Point Trigonometric Interpolation Process of Lagrange

L.V. Borisova, A.V. Shatalina

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: [email protected]

An analogue of the characteristic of R. Salem is obtained for a trigonometric Lagrange interpolation process on the matrix of equally spaced nodes.

Key words: interpolation process, equidistant nodes, convergence at point.

Один из основных вопросов теории интерполирования состоит в выяснении для данной матрицы M узлов интерполирования условий на функцию f е С, обеспечивающих равномерную или поточечную сходимость интерполяционного процесса Лагранжа {Zn(M, f, x)}. Признаком сходимости интерполяционных процессов Лагранжа, построенных для конкретных матриц, посвящено большое количество работ. Укажем работы С.Н. Бернштейна [1], Д.Л.Бермана [2], Г.Н. Неваи [3], А.А.Привалова [4].

В данной работе получен аналог признака Р. Салема [5] для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов в точке x е [—п; п].

Пусть MT = {ik,n}, = 2nkrr, —n — k — n, n = 0, ±1, ±2, ±3,... - матрица равноотстоящих узлов интерполирования на [—п; п]. Для любых n е N и f е С2п тригонометрический интерполяционный многочлен Tn(x, f) в точке x е [—п; п] запишем в виде

T, (*,/)= £ л, sin(m-(ik-n - x))

k=-n

2mn sin

(1)

где mn = n + 1/2 и = f (tk,n).

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.