МАТЕМАТИКА
УДК 517.984
ОБ ОДНОЙ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ C РАЗРЫВНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Э.Н. Ахмедова, И.М. Гусейнов
Институт математики и механики НАН Азербайджана, Баку, отдел функционального анализа E-mail: aesmira@mail.ru
* Бакинский государственный университет, кафедра прикладной математики E-mail: hmhuseynov@gmail.com
В работе доказана единственность восстановления оператора Штурма - Лиувилля c разрывными коэффициентами по спектральным данным и дан алгоритм построения потенциала.
Ключевые слова: обратная задача, оператор Штурма - Лиувилля, собственные значения.
On Inverse Problem for Sturm - Liouville Operator with Discontinuous Coefficients E.N. Akhmedova, H.M. Huseynov*
Institute of Mathematics and Mechanics of NAS of Azerbaijan, Baku, Department of Functional Analysis E-mail: aesmira@mail.ru
* Baku State University, Chair of Applied Mathematics E-mail: hmhuseynov@gmail.com
In the paper uniqueness of reconstruction of the Sturm - Liouville operator with discontinuous coefficients by spectral data is proved and algorithm of construction of the potential is provided.
Keywords: inverse problem, Sturm - Liouville operator, eigenvalues. ВВЕДЕНИЕ
Рассмотрим граничную задачу, порожденную на отрезке [0, п] уравнением
-у'' + q (x) у = Л2р (x) y (1)
и граничными условиями
у (0) = 0, у (п) = 0,
(2)
где д(х) Е Ь2(0, п) — вещественнозначная функция, Л — комплексный параметр, а р (х) — кусочно-постоянная функция:
р(х) =
1,
0 < x < a, a < x < п,
0 < a = 1.
(3)
В настоящей работе, используя аппарат операторов преобразования, доказана единственность определения граничной задачи (1)-(3) по заданным собственным значениям и нормировочным числам, дан алгоритм построения функции д (х) по спектральным данным.
Единственности восстановления граничной задачи (1)-(3) по функции Вейля посвящена работа [1]. Обратная задача рассеяния
о
гх
для уравнения (1) на полуоси с условием y(0) = 0 изучена в работах [2, 3]. Обзор работ, посвященных прямым и обратным задачам для уравнения вида (1) с различными условиями на p(x), приведен в книге [4].
В случае p(x) = 1 полные решения прямых и обратных задач в различных постановках хорошо известны (см. [4-6]).
1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ УТВЕРЖДЕНИЯ
В дальнейшем нам потребуется несколько вспомогательных утверждений (см. [7, 8]). Теорема 1. Если q (x) е L2 (0,п), то при всех А уравнение (1) имеет единственное решение s(x, А), удовлетворяющее условиям s(0, А) = 0, s'(0, А) = 1, представимое в виде
(х)
s (x, А) = s0 (x, А)+ J A (x, t) SinA ^dt, (4)
0
где
1 / 1 \ sin Ад+ (x) 1 / 1 \ sin А (2a — д+ (x))
so^^vprx^j—^M1—а u)
— решение уравнения (1) при q(x) = 0 с начальными условиями s0(0, А) = 0, s0(0, А) = 1,
^+(x) = x\jp(x) + a — л/p(x) j ,
причем ядро A(x, ■) принадлежит пространству L2(0, (x)). Функция A(x,t) непрерывна, имеет частные производные в области t = 2a — (x) и
ía (x,"+ (x)) = i7fm(1 + тры q (x)' (5)
{A (x, 2a — (x) + 0) — A (x, 2a — (x) — 0)} = —-1- ( 1--— ) q (x). (6)
dx V P (x) \ VP(x)/
Отметим, что при доказательстве теоремы 1 для определенности предполагалось, что выполняется условие a(1 + a) > na. Эта теорема справедлива и в общем случае, однако кроме линии t = 2a — (x) появляются и другие линии разрыва у функции A(x,t).
Лемма 1. Корни А°п функции Д0(А) = s0(п, А) отделены, т.е. inf |АП — A°k| > 0.
n=k
Лемма 2. Существует постоянное m > 0, такое что при всех n
АПД 0(АП) > m (л 0(А) = dAА0(А^ .
Теорема 2. a) граничная задача (1)-(3) имеет счетное множество простых собственных значений {АЩП>1. При этом
dn k
An = АП +
где АП — нули функции
А = А0 + "П + ^п
An = An + А0 + V'
, , _ 1 f 1 \ sin A (an — aa + a) 1 / 1 \ sin A (—an + aa + a)
Д0 (A) = 7T 1 +---т--+ 7Г 1 —
2 V а / А 2 V а) А
(т.е. (А°)2 — собственные значения задачи (1)-(3) в случае д(х) = 0), ¿п — ограниченная последовательность:
d = 1 dn —
4АПД0(АП)
1 +--,1 ) q (t) dt х cos АП (an — aa + a) —
vp(t) V vp(t)
П
1
1 1--,1 | q (t) dt x cos X°n (—an + aa + a)
0 л/РЩ л/Ж.
{kn} e I2;
ö) собственные функции задачи (1)-(3) представимы в виде
s (x, An) = s0 (x, АП) +
0 N . Cn (x)
ICn (x)|< C;
c) нормировочные числа an = f p (x) s2 (x, An) dx задачи (1)-(3) имеют вид
о
= о i ^n
«n an 7
n
TV
где аП = / p (x) s2 (x, АП) dx — нормировочные числа задачи (1)-(3) при q(x) = 0, {tn} e 12.
о
Теорема 3. 1) система собственных функций {s (x, An)}n>1 граничной задачи (1)-(3) полна в L2 (0, п; p);
2) если f (x) — абсолютно непрерывная функция на отрезке [0, п], f (0) = f (п) = 0, то
ж i П
f (x) = ans (x, An), an = — p (t) f (t) s (t, An) dt,
an J
n=1 0
причем ряд сходится равномерно на [0, п] ;
3) для f (x) e L2 (0, п; p) ряд из 2) сходится в L2 (0, п; p), причем имеет место равенство Парсеваля:
р (x) |f (x)|2 dx = an |an|2
n=1
Лемма 3. Система функций {з0 (х, Лп)}п>1 полна в пространстве £2 (0, п; р). 2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА
Под обратной задачей для граничной задачи (1)-(3) будем понимать восстановление функции д(х) по спектральным данным {ЛП,а^п>1.
Сначала мы покажем, что для решения з(х, Л) существует треугольное представление:
s (x, А) = s0 (x, А) + J A (x, t) s0 (t, A) dt. o
При x < a это очевидно. Теперь пусть x > a. Тогда
1 / 1\ sin A(ax — aa + a) 1 / 1\ sin A (—ax + aa + a) s0 (x,A) = 2 \ + -- + 2 \ — ^ ---
Отсюда
sin A(ax — aa + a) 2a , ,, 1 — a , ,,
---=-s0(x, A) +--s0(—ax + aa + a, A).
A 1 + a 1 + a
Следовательно, при x > a из представления (4) имеем:
ai-aa+a a ai-aa+a
sin At sin At sin At
s (x, A) = s0 (x, A)+ A (x, t) —a—dt = s0 (x, A)+ / A (x,t) a dt + A (x,t) a dt
(7)
, ,, f . , , , . f , , sinA(at — aa + a) = s0 (x, A) + A (x, t) s0 (t, A) dt + a A (x, at — aa + a)---dt =
П
n
n
x
= 50 (х, А) + / А (х, г) 50 (г, А) <г+
+а / А (х,аг — аа + а)
2а . л, 1 аа ^ л %
-50(г, А) +--50(—аг + аа + а, А)
1 + а 0У 7 1 + а '
<И =
2а2
= 50 (х, А) + А (х, г) 50 (г, А) <г + 1+— А (х, аг — аа + а) 50(г, А)<^+
+
1 — а 1 + а
А (х, 2а — г) 50(г, А)<г.
-ах+аа+а
Таким образом, справедливо представление (7), где
А (х, г) = <
А(х,г), 0 < г < х < а, А(х, г), х > а, 0 < г < —ах + аа + а, А(х, г) + у+а А(х, 2а — г), —ах + аа + а < г < а < х, ^ "2+аА(х, аг — аа + а), а < г < х.
Используя (5)-(6), нетрудно показать, что функция А(х,г) непрерывна при г = 2а — (х) и
<хА^(х,х) = 1 ?(х)-
(8)
Теорема 4. При каждом фиксированном х е (0, п] ядро А(х,г) из представления (7) удовлетворяет линейному интегральному уравнению:
А(х, г) + ^(х, г) + / А(х, С)^(с, г)<с = 0, 0 < г < х,
(9)
где
^ (х,г) = Р(г)^
50 (г, Ап) 50 (х, А„) ^0 АП) 50 АП)
п=1
Доказательство. Из (4) имеем:
(10)
50 (х, А) = 5 (х, А) + у в (х, г) 5 (г, А) <г.
0
Используя (7) и (11), имеем:
N
N / х
^5 (х, Ап) 50 (г, Ап) ^ I 50 (х, Ап) 50 (г, Ап) , 50 (г, Ап) [ -Г, ^ / 1= д \ 7/*=
^-ап-=¿11-ап-+ -ат~ 0 А (x, с) 50 Ап)
п=1
N
^ ¿ ^ 50 & Ап) = р | 5 (x, Ап) 5 (г, Ап) + 5 (х Ап) [ в (г с) 5 (с Ап)
ап \ ап ап и
п=^ 0
п=1
Сравнивая последние равенства получаем
ф N (х, г) = /N1 (х, г) + ^ 2 (х, г) + ^ з (х, г) + /N4 (х, г),
где
(х, г) =
N /
ФN(х,г) = 5] -
п=1 \
5 (х, Ап) 5 (г, Ап) 50 (х, ап) 50 (г, Ап)
(11)
а
х
а
х
а
х
0
а
п
п
х
а
п
п
N
Ini (x, t) =
so (x, An) so (t, An) so (x, аП) so аП)
n=1
In2 (x, t) = £ / AL (x, 0 so (С, аП) d£,
n=1
Inз (x,t) = T /A(x,C) (
n=1
so (t, An) so (С, An) so АП) so АП)
dC,
N
In4 (x, t) = - T:
s (x, An)
B (t,C) s (C, An) dC.
n=1
Пусть f (x) e AC[0, п], f (0) = f (п) = 0. Согласно теореме о разложении по собственным функциям T p (t) f (t) s (x,A" ) s (t,An) dt = f (x), T /p (t) f (t) so (x,An а,so (t,An) dt = f (x). (12)
n=1 o n n=1 n
Используя (12), вычисляем:
lim max / p (t) f (t) ФN (x, t) dt
N^ж o<x<n
= lim max
N^ж o<x<n
' p (t) f (t) T ^ s (x, An ) s (t, An) _ so (x АП ) so АП) ^
n=1
< lim < max
N^ж I o<x<n
N
dt
<
p (t) f s (x,An ) s (t,An) dt _ f (x)
n=1
+
+ max
o<x<n
p (t) f (t) Tso МП а sМП) dt _ f (x)
n=1
= 0.
Кроме того, равномерно по x e [0, п]
lim / p (t) f (t) IN1 (x, t) dt =
N^ж /
n N
lim / p (t) f (t)£
N ^ж / z—'
n=1
s0 (x, An) s0 (t, An) s0 x, An s0 t, An
dt = J f (t) F (x, t) dt,
о
lim / p (t) f (t) IN2 (x, t) dt =
N^ж I
n N
lim / p (t) f (t)£
N^ж j z—'
s0 t, An
n=1 n
A(x, C)so (C,A^ dCdt = f (t) A (x,t) dt,
lim p (t) f (t) Inз (x, t) dt =
N^ж /
mJ P (t) / (t) T/so (t'An) * (с,аП ) _so (-,аП) no dCdt=
n=1 n
о
а
n
n
n
о
а:
n
n
t
а
n
n
n
n
о
о;
n
n
X'
X
п х
= У / (г) у А (х,с) ^(С,г)<С<г, 00
11ш [р (г) / (г) /N4 (х, г) <г = — Нш / р (г) / (г) р [ в(г, С)5 (С, Ап) <С<г =
V ^^ N ^^ -"Н ап ]
5(х,Ап)
п=1
г
N^^7 N у ^—/ ап
0 0 п=1 0
N - - - п / п \ п
^ .ОаМ 15(с,Ап)р(с)
N а
п=1
р-1уу р(г)/(г) в(г,с)<г V ? /
<с = — рщ! р(г)/(г) в(г,х)<г.
Доопределив А(х,г) = в(х,г) = 0 при х < г, в силу произвольности /(х) приходим к соотношению
х
А(х, г) + ^ (х, г) + [ А(х, с)^ (с, г)<с — ^ в (г, х) = 0.
р(х)
0
При г < х отсюда получаем (9). Теорема доказана.
Теорема 5. При каждом фиксированном х е (0, п] уравнение (9) имеет единственное решение А(х, ■) в £2 (0, х).
Доказательство. Так как (9) является уравнением Фредгольма второго рода, то для доказательства теоремы достаточно показать, что уравнение
х
А(г) + у А(с)^ (с, г)<с = 0 (13)
0
имеет только нулевое решение А(г) = 0.
Пусть А(г) — ненулевое решение уравнения (13). Тогда
х х х
У р(г)АТ2 (г)<г + у ^ р(г)А(г)А(£)^ (с, г)<с<г = 0,
0 0 0
или
х / х \2 /х \2
[ р(г)АТ2(г)<г + 01 \ / р(г)А(г)50 (г, Ап) <г) — 00 \ /" р(г)АТ(г)50 (г, аП) <г) =0.
0 п=1ап / п=1ап /
Учитывая равенство Парсеваля
х ж / х
У р(г)/2(г)<г = р ^ П р(г)/(г)50 (г, аП) <г
0 п=1 0п \0
для функции /(г) = А(г) е ь2(0, х), получаем
Р а1" ( / р(г)^(г)50 (г, Ап) <г I =0,
п=1 ап 0
и, следовательно,
х
У р(г)А(г)50 (г, Ап) <г = 0, п > 1.
0
Отсюда в силу леммы 3 получаем, что А(г) = 0. Теорема доказана.
Следствие. Граничная задача (1)-(3) однозначно определяется по спектральным данным
{АП, аЛп>1.
п
п
Следующий алгоритм позволяет построить функцию д(х) по спектральным данным |АП,ап}п>1 Алгоритм. 1. По заданным числам {АП,ап}п>1 строится функция ^(х,г) по формуле (10).
2. Находится функция А(х, г) из уравнения (9).
3. Вычисляется д(х) по формуле (8).
Библиографический список
1. Akhmedova E.N. The definition of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients by Weyl function // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2005. V. XXII (XXX). P. 3-8.
2. Гасымов М.Г. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для одного класса уравнений с разрывными коэффициентами // Неклассические методы в геофизике: Материалы Междунар. конф. Новосибирск, 1977. С. 37-44.
3. Гусейнов И.М., Пашаев Р.Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. 2002. Т. 57, № 3. С. 147-148.
4. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., 2007. 384 с.
УДК 517.51
К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА
Л.В. Борисова, А.В. Шаталина
Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: ShatalinaAV@info.sgu.ru
Получен аналог признака Р. Салема для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов.
Ключевые слова: интерполирование, интерполяционный процесс, равноотстоящие узлы, сходимость в точке.
5. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, вып. 2. С. 3-63.
6. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев, 1977. 331 c.
7. Akhmedova E.N. On representation of solution of Sturm - Liouville equation with discontinuous coefficients // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2002. V. XVI (XXIV). P. 5-9.
8. Akhmedova E.N., Huseynov H.M. On eigenvalues and eigenfunctions of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients // Transactions of NAS of Azerbaijan. 2003. V. XXIII, № 4. P. 7-18.
The Problem of Convergence in Point Trigonometric Interpolation Process of Lagrange
L.V. Borisova, A.V. Shatalina
Saratov State University,
Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: ShatalinaAV@info.sgu.ru
An analogue of the characteristic of R. Salem is obtained for a trigonometric Lagrange interpolation process on the matrix of equally spaced nodes.
Key words: interpolation process, equidistant nodes, convergence at point.
Один из основных вопросов теории интерполирования состоит в выяснении для данной матрицы M узлов интерполирования условий на функцию f е С, обеспечивающих равномерную или поточечную сходимость интерполяционного процесса Лагранжа {Zn(M, f, x)}. Признаком сходимости интерполяционных процессов Лагранжа, построенных для конкретных матриц, посвящено большое количество работ. Укажем работы С.Н. Бернштейна [1], Д.Л.Бермана [2], Г.Н. Неваи [3], А.А.Привалова [4].
В данной работе получен аналог признака Р. Салема [5] для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов в точке x е [—п; п].
Пусть MT = {ik,n}, = 2nkrr, —n — k — n, n = 0, ±1, ±2, ±3,... - матрица равноотстоящих узлов интерполирования на [—п; п]. Для любых n е N и f е С2п тригонометрический интерполяционный многочлен Tn(x, f) в точке x е [—п; п] запишем в виде
T, (*,/)= £ л, sin(m-(ik-n - x))
k=-n
2mn sin
(1)
где mn = n + 1/2 и = f (tk,n).