Численное решение обратной задачи для оператора Штурма Лиувилля с разрывным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С РАЗРЫВНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Л. С. Ефремова

Студентка магистратуры кафедры математической физики и вычислительной математики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, liubov.efremova@gmail.com

В статье рассматривается дифференциальный оператор Штурма - Лиувилля с потенциалом, имеющим конечное число точек разрыва первого рода. Конечной целью является численное восстановление потенциала такого вида. Основной результат представленной статьи — доказанная теорема и процедура, указывающие способ получения характеристик разрыва из начальных данных. Далее, используя полученные сведения о разрывах в ранее известных алгоритмах численного решения данной обратной задачи, например, в обобщенной итерационной схеме Ранделла-Сакса, приходим к улучшению точности восстановления потенциала на всем отрезке.

Ключевые слова: оператор Штурма-Лиувилля, обратная задача, разрывный потенциал, численное решение.

Данная работа посвящена численному решению обратной задачи для оператора Штурма-Лиувилля с разрывным потенциалом.

Решение обратной задачи заключается в восстановлении потенциала по некоторым спектральным характеристикам. Данные задачи играют фундаментальную роль в различных разделах математики, имеют множество приложений в физике и в других областях естественных наук. Наиболее полные результаты в спектральной теории дифференциальных операторов получены для оператора Штурма -Лиувилля.

Теоретическая сторона вопроса решения обраной задачи для данного оператора достаточно хорошо изучена [1,2]. Получены теоремы единственности восстановления дифференциального уравнения по спектральным данным, известны различные методы восстановления потенциала: метод Гельфанда-Левитана, метод спектральных отображений, метод эталонных моделей, метод Борга.

Однако с точки зрения численной реализации приведенные выше методы решения обратных задач не являются эффективными. Как следствие, стали появляться работы, посвященные численным аспектам решения обратных задач для оператора Штурма - Лиувилля [3-5].

Численные методы восстановления потенциала в случае его непрерывности показывают хорошие результаты. В противном случае их использование приводит к ухудшению точности на всем отрезке. Рафлер (M. Rafler) и Бёкманн (C. Bockmann) в своей работе [4] предложили использовать обобщенную схему Ранделла - Сакса [5], которая в случае наличия информации о характеристиках разрыва использует адаптированный под эти данные модельный потенциал, что приводит к улучшению точности восстановления потенциала. Однако возникает вопрос о том, где взять необходимую априорную информацию о разрывах. Основной целью настоящей работы как раз и является описание процедуры, позволяющей найти характеристики разрывов.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ НАХОЖДЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ РАЗРЫВА

Рассмотрим на отрезке [0, п] дифференциальное уравнение Штурма - Лиувилля:

Пусть — спектры краевых задач для уравнения Штурма - Лиувилля с граничны-

ми условиями у(0) = у(п) = 0 и у(0) = у'(п) = 0 соответственно. По теореме Борга [6] задание двух этих множеств определяет д(х) единственным образом. Предположим, потенциал д(х) представим в виде

ВВЕДЕНИЕ

y" + q(x)y = Ay.

(1)

aj <x

где qi(x) G AC[0, п].

© Ефремова Л. С., 2014

Определим вспомогательное множество собственных значений (Ап:

А2п+1 = п ^ 0,

А2п = Мп, п ^ 1.

Если продолжить потенциал д(х) с [0, п] на [0, 2п] следующим образом

д(2п — х) = д(х), х £ [0,п],

то ясно, что (Ап)п^1 является спектром задачи Дирихле уравнения (1) на отрезке [0, 2п]. Как известно, асимптотические формулы для (Ап)п^1 имеют следующий вид [6]:

Ап = ( ^ ) + А + Сп,

1 2п

где А = — / д(х) ¿х, сп = о(1), п ^ го.

2п о

Так как нам даны (Ап)п^1, значение А может быть получено по формуле

А = Нш Ьп = Нш >

п—N —^^ —^

2М , Ьп

п—те М—те *

п=М

где Ьп = Ап — (п/2)2 известны для любого п. Определим следующую функцию:

О • 2М

2пг

Рм(х) := — Сппегпх,

+ п=М

где сп = Ап — (п/2)2 — А — данные, полученные из собственных значений.

Далее будет доказано, что при стремлении числа собственных значений к бесконечности значение функции |рМ(х)| во всех точках, не совпадающих с точками разрыва, стремится к нулю. Однако на практике мы можем использовать лишь конечное число точек спектра, в силу чего у функции |рМ(х)| при любом конечном N имеются дополнительные локальные максимумы, возникает так называемый эффект боковых лепестков. Очевидно, это приводит к затруднениям в обнаружении разрывов в случае, когда их несколько. Для устранения данной проблемы необходимо подавить боковые лепестки. Запишем функцию рМ (х) в виде

2пг те

Рм (х) = — ^ + 1 тп>мСппетх,

п=-те

где — «оконная функция» [7], в нашем случае — прямоугольная, т. е. = 1 при N ^ п ^ 2N и = 0 в противном случае. Проводя аналогию с наблюдением за спектром ограниченного во

времени сигнала [7], делаем следующий вывод: чтобы подавить боковые лепестки, нужно изменить «оконную функцию» , а именно сделать ее более гладкой. Окончательно получаем следующую конструкцию:

2М

2п ^ Сппетх

Рм (х) = — N+1 вМ-' (3)

п=М

1 2М

где вМ = —- ^ — коэффициент ослабления [7].

N + 1 п=М

Теорема 1. Пусть рМ (х) — функция, определенная в (3), где последовательность удовлетворяет следующим условиям:

1 2М

1) Т7 ■ етх ^ 0 равномерно на [—п, п] \ (—5,8) для любого 8 > 0;

N п=М

2) С1 < |вМ| < С2, где С1, С2 — некоторые положительные константы.

2

Тогда

Нш рк (ао-) = Но-, 11ш рк (х) = 0, х = ао-,

где сходимость является равномерной на любом множестве вида [0, п] \ и (ао- — 8, ао- + 8), 8 > 0.

¿=1

Доказательство. Известно [8], что

2п

Ап = + 2п / ^(х^1 — сов(пх)] ¿х + 0 ,

п ^ ГО.

Используя представление (2) для потенциала, получаем:

АП = (П) +— I Н1 [1 — еов(пх)] ¿х + ... +— I [Н1 + ... + Нт-1] [1 — еов(пх)] ¿х+

&т— 1

П П

+ — [Н1 + ... + Нт][1 — еов(пх)] ¿х +— д1(х)[1 — еов(пх)] ¿х + о ( — ) = п 3 п ] V"

ат 0

- ^пV + Н1(а2 — а1) + + (Н1 + ... + Нт-1)(ат — ат-1) + 2 п п

(Н1 + ... + Нт )(п — ат) 1 Г

+---1— (х) ах—

пп

Н1 ■ [в1п(па2) — э1п(па1)] (Н1 + ... + Нт-1) ■ [в1п(пат) — в1п(пат-1'

пп

пп

+

Тогда

(Н1 + ... + Нт) ■ 81п(пат) 1 [ , Л , Л , , / 1 ,

+----(х) еовтх) ах + о — , п ^ го.

пп п п

0

Сп -

Н1 ■ [в1п(па2) — э1п(па1)] (Н1 + ... + Нт-1) ■ [в1п(пат) — э1п(пат-1'

пп

пп

+

Рассмотрим

(Н1 + ... + Нт) ■ В1п(пат) 1 / / \ / \ . , 1 \

+----д! (х) ео8(пх) ах + о — .

пп п п

0

2пг г Н1 ■ [в1п(па2) — э1п(па1)]

вк ■ (^ + 1)

1) [-

п=К

пп

(Н1 + ... + Нт-1) ■ [в1п(пат) — э1п(пат-1)] (Н1 + ... + Нт) ■ в1п(пат)

пп

Н1

вк ■ (^ + 1)

Нт

2К

+

2К

■ е*п(ж-а1) — ^ тп,к ■ е

пп

■ егп(х+а1)

1т / п ¿пж

■]№„,к пе =

,п=К 2К

п=К

+... +

+

вк ■ (^ + 1)

2К

Е

,п=к

■ ет(ж-ат) — ^ ■ егп(ж+ат)

п=к

Тогда функция рк(х) имеет вид:

рк (х) = рк (х) + Н1к (х) + Н2к (х),

где

Рк(х) =

7 =

1 вк ■ (^ + 1)

' 2к

Е„„ ¿п(ж-а,)

,п=к

2к

Е

п=к

■ е

¿п(ж+а,)

т

а

П

П

Н

о

2N п

hiN(x) = ■ + 1) / qi(y) cos(ny)dy ■ ■ n ■ e

n=N

h2N (x) =

2ni

2N

ßN ■ (n+i) n=N

£n ■ w„,N ■ n ■ e

en удовлетворяют условию lim n ■ en = 0.

n —

Рассмотрим каждое из трех получившихся слагаемых.

1. В силу условий 1) и 2) для последовательности wn,N: при N ^ го функция pN (x) имеет ненулевые слагаемые только в точках x = aj:

2N

7 2N

pN (a) = NT! ^ ' где ßN = NT! .

n=N

n=N

Получаем:

lim pN (aj) = ,

N ^ro

lim pN (x) = 0, x = aj, j = 1,..., m.

N

2. Учитывая, что qi(x) G AC[0, п], и используя теорему Римана - Лебега, получаем

2N П

|hiN (x)| =

C

2i

ßN ■ (N +1)

1) ^ Wn,N ■ n ■ qi (y) cos(ny)dy ■ e"

n=N

<

2N

N ^ '

n=N

1

n ^ sinnyqi(y)|n _ n ■ П / sinny ■ qi (у)^у| =

nn

0

C 2N

n ■ 1 /sin ny ■ qi (y)dy| =o(1)' N ^ ro

n=N £

где C = 2C2/C1.

Следовательно, hiN(x) = o(1), N ^ ro. 3. Далее,

|h2N (x)| =

2ni

2N

ßN ■ (N +1) ^

n=N

£n ■ w„,N ■ n ■ e

C

2N

^ N ^|n ■ | ^ C ■

n=N

2N _ N

N

N ■ max | en |,

N<n<2N

где C = 2nC2 /Ci.

Тогда lim C ■ N ■ max |en| = 0. Получаем, что h2N(x) = o(1), N ^ ro.

N^ro N

Из пп. 1-3 заключаем, что теорема 1 доказана. □

Следствие 1. Пусть известно, что ai G [Ai,Bi] , ..., am G [Am,Bm], где Ak, — некоторые числа, удовлетворяющие неравенствам 0 < Ai < Bi < A2 < B2 < ... < Am < Bm < п. Для всех 8 > 0 существует N(5) = N5 такое, что: если N > N и x* является точкой глобального максимума функции |pN(x)| на [Aj, Bj], то x* G (aj _ 8, aj + 8).

2. ПРОЦЕДУРА НАХОЖДЕНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАЗРЫВОВ И ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА

Пусть даны (дп)n^i, (vn)n^0, [Ai,Bi],..., [Am,Bm]. Известно, что потенциал q(x) имеет вид (2). Требуется восстановить потенциал q(x). Алгоритм 1.

1. Определяем (An)n^i следующим образом:

A2n+i = vn, n ^ 0, A2n = Mn, n ^ 1.

n

2

2. Вычисляем А, используя формулу А = Нт ^ Ьп/(^ + 1), где Ьп = Лп — (п/2) .

3. Находим сп = Лп — (п/2)2 — А.

4. Конструируем функцию (х) по формуле (3).

5. На каждом отрезке А, В] приближенно находим точку разрыва а, ^ = 1,... ,т как глобальный максимум функции (х)| на этом интервале.

6. Для каждого скачка приближенно находим его высоту ^, ] = 1,..., т, как ^ = (а7-).

7. Применяем обобщенный итерационный алгоритм Ранделла - Сакса, где в качестве модельного потенциала берется ф = ^ ^ + С, С выбирается таким образом, чтобы выполнялось условие

а,- <х

J ф(х) ¿х = J д(х) ¿х. 0 0 3. ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Рассмотрим потенциал следующего вида:

'х(п — ж) + 3, 0 ^ ж ^ 1,

q(x) =

х(п — x),

1 < x ^ п.

(4)

На рис. 1 представлена функция (х)| при N = 22. Здесь и далее в данном параграфе в качестве была взята последовательность

/ 2п(п — 1.5N) вида = 0.54 + 0.46 ■ сое I —N + 1—

Легко проверить, что она удовлетворяет условиям, указанным в теореме 1.

Видно, что глобальный максимум (х)| характеризует разрыв потенциала (4). Отсюда приближенно находим точку разрыва ^ = 2.007 и высоту скачка = 2.989.

Рис. 2 демонстрирует восстановленный потенциал (4). Для восстановления используется

3 2.5 2 1.5 1

0.5

00 0.5 1 1.5 2 2.5 Рис. 1. График функции (х)| при N = потенциала (4)

3 3.5

22 в случае

обобщенная итерационная схема Ранделла-Сакса: а — с модельным потенциалом, не учитывающим знания о параметрах разрыва; б — с модельным потенциалом, адаптированным под найденные свойства.

1 1 1 1 1

- Е 1 ^____^^^^^^ " 1 1 1 1

0.5

1.5

2.5

3.5

1 1 1 1 1 1

-íS

к

1 1 1 1 1 1

0 0.5

1.5

2.5

3.5

б

Рис. 2. Восстановленный потенциал (4) с помощью алгоритма Ранделла - Сакса (1 — восстановленный потен-

п

циал; 2 — точная функция): а — с модельным потенциалом д = 1 / д(х) йх, б) — с модельным потенциалом,

о

адаптированным под найденные характеристики разрыва: аг = 2.007, = 2.989

п

п

0

1

2

3

1

2

3

а

Сведения об абсолютных и относительных погрешностях приведены в следующей таблице.

Абсолютные и относительные погрешности

L2

График Абсолютная Относительная Абсолютная Относительная

погрешность погрешность погрешность погрешность

Рис. 2, а 0.45866 0.08927 1.37606 0.26923

Рис. 2, б 0.05212 0.01014 0.16371 0.03203

Теперь обратимся к случаю, когда потенциал д(х) имеет несколько точек разрыва первого рода. Рассмотрим

'х(п - х) + 2, 0 ^ х ^ 0.7, д(х) =< х(п - х), 0.7 <х ^ 1.5, (5)

чх(п — х) + 0.5, 1.5 < х ^ п.

Для потенциала (5) функция (х)| имеет вид, указанный на рис. 3. А для потенциала

'х(п — х) + 1, 0 ^ х ^ 0.65, х(п — х), 0.65 < х ^ 1.5, х(п — х) + 2, 1.5 < х ^ 2.3, х(п — х) + 3, 2.3 < х ^ п.

q(x) = <

(6)

функция |pN(x)| представлена на рис. 4.

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2

00 Рис. 3.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 График функции |pn (x)| при N = 26 в случае потенциала (5)

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 Рис. 4. График функции |pn (x)| при N = потенциала (6)

3 3.5

27 в случае

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе впервые был представлен теоретически обоснованный метод отыскания параметров разрыва искомого потенциала по спектральным характеристикам, а также приведен численный алгоритм отыскания этих параметров. Полученные сведения дают возможность применения обобщенной итерационной схемы Ранделла - Сакса и других алгоритмов для получения более точного численного решения обратной спектральной задачи на отрезке в случае оператора Штурма - Лиувилля с потенциалом, имеющим конечное число точек разрыва первого рода.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 14-01-31042). Библиографический список

1. Левитан Б. М. Обратные задачи Штурма - Лиувилля. М. : Наука, 1984. 240 с.

2. Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев : Наук. думка, 1977. 331 с.

3. Ignatiev M. Yu., Yurko V. A. Numerical methods for solving inverse Sturm - Liouville problems // Results in

Math. 2008. Vol. 52. P. 63-74. DOI: 10.1007/s00025-007-0276-y.

4. Rafler M., Bockmann C. Reconstruction method for inverse Sturm - Liouville problems with discontinuous potentials // Inverse Problems. 2007. Vol. 23, № 3. P. 933-946. DOI: 10.1088/0266-5611/23/3/006.

5. Rundell W., Sacks P. E. Reconstruction techniques for classical inverse Sturm - Liouville problems // Mathematics of Computation. 1992. Vol. 58, № 197. P. 161-183. DOI: 10.1090/S0025-5718-1992-1106979-0.

6. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm - Liouville Problems and Their Applications. Huntington ; N.Y. : NOVA Science Publ., 2001. 305 p.

7. Оппенгеймер А. В., Шафер Р. В. Цифровая обработ-

ка сигналов : пер. с англ. М. : Связь, 1979. 416 с. 8. Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и собственных функций краевой задачи Штурма - Лиувилля на отрезке с суммируемым потенциалом // Изв. РАН. Сер. математическая. 2000. Т. 64, № 4. С. 47-108. 001: 10.4213/^295

Numerical Solution of Inverse Spectral Problems for Sturm - Liouville Operators

with Discontinuous Potentials

L. S. Efremova

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, liubov.efremova@gmail.com

We consider Sturm - Liouville differential operator with potential having a finite number of simple discontinuities. This paper is devoted to the numerical solution of such inverse spectral problems. The main result of this work is a procedure that is able to recover both the points of discontinuities as well as the heights of the jumps. Following, using these results, we may apply a suitable numerical method (for example, the generalized Rundell-Sacks algorithm with a special form of the reference potential) to reconstruct the potential more precisely.

Key words: Sturm - Liouville differential operator, inverse spectral problem, discontinuous potential, numerical solution.

This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 14-01-31042).

References

1. Levitan B. M. Inverse Sturm - Liouville Problems. Utrecht, VNU Sci. Press, 1987, 240 p.

2. Marchenko V. A. Sturm - Liouville operators and applications. Basel, Birkhauser, 1986. 367 p.

3. Ignatiev M. Yu., Yurko V. A. Numerical methods for solving inverse Sturm - Liouville problems. Results in Math., 2008, vol. 52, pp. 63-74. DOI: 10.1007/s00025-007-0276-y.

4. Rafler M., Bockmann C. Reconstruction method for inverse Sturm - Liouville problems with discontinuous potentials. Inverse Problems, 2007, vol. 23, no. 3, pp. 933-946. DOI: 10.1088/0266-5611/23/3/006.

5. Rundell W., Sacks P. E. Reconstruction techniques for classical inverse Sturm - Liouville problems. Mathema-

XUK 517.51

tics of Computation, 1992, vol. 58, no. 197, pp. 161-183. DOI: 10.1090/S0025-5718-1992-1106979-0.

6. Freiling G., Yurko V. A. Inverse Sturm - Liouville Problems and Their Applications. Huntington, New York, NOVA Science Publ., 2001, 305 p.

7. Oppenheim A. V., Schafer R. W. Discrete-time Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, 585 p.

8. Vinokurov V. A., Sadovnichii V. A. Asymptotics of any order for the eigenvalues and eigenfunctions of the Sturm - Liouville boundary-value problem on a segment with a summable potential. Izvestiya : Mathematics, 2000, vol. 64, iss. 4, pp. 695-754. DOI: http://dx.doi.org/10.4213/im295.

ОБ ОПЕРАТОРЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ НА КОМПАКТНЫХ НУЛЬ-МЕРНЫХ ГРУППАХ

Ю. С. Крусс

Аспирант кафедры математического анализа, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KrussUS@gmail.com

Для одномерного случая указаны условия, при которых оператор дифференцирования не зависит от ортонормированной системы, с помощью которой определен. Для многомерного случая указаны условия, при которых оператор дифференцирования не зависит от способа преобразования многомерной компактной нуль-мерной группы в одномерную. Получен явный вид аннуляторов в многомерной компактной нуль-мерной группе.

Ключевые слова: нуль-мерные группы, псевдодифференциальный оператор, сильная Р-ичная производная, сильный Р-ичный интеграл.