О квазиполиномах наименее уклоняющихся от нуля на заданных множествах Текст научной статьи по специальности «Математика»

Окончание табл.

21.1250 0.00001673 0.00003575 0.00002587 0.00000988

21.5000 0.00001673 0.00001903 0.00002145 0.00000242

26.3750 0.00000223 0.00000230 0.00000187 0.00000043

32.0000 0.00000007 0.00000007 0.00000011 0.00000004

В двух первых столбцах таблицы приводится точный закон распределения статистики Пирсона X2 — значения X и вероятности Р=Р(Х1=Х). В третьем столбце рассчитана вероятность "хвоста" для точного закона распределения статистики Пирсона X2, в четвёртом - вероятность "хвоста" для асимптотического закона распределения х(2). Пятый столбец содержит абсолютную погрешность е-~\Р{Хг^С)-Р^(7)>Х)\ между вероятностью "хвоста" точного и асимптотического законов распределения. Анализ последних трёх столбцов показывает, что критическая область, построенная на основе асимптотического закона распределения, не совпадает с критической областью, построенной по точному закону. И для некоторых значений уровня значимости наблюдается значимая потеря точности. Приведённый пример с равными вероятностями р\-р1=ру=\/Ъ даёт наименьшие отклонения от асимптотического закона, чем случаи, когда не выполняется требование р\=рг~ръ■ Таким образом, в некоторых случаях следует использовать точный закон распределения статистики Пирсона.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Михайлов В.Н., Точилкина С.А. Метод расчёта закона распределения функции от дискретных случайных величин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Сяратоп-Изд-во Сарат. ун-та, 2001. Вып. 3. С. 86 - 89.

2. Михайлов В.Н., Точилкина С.А. Распределение векторной функции от независимых дискретных случайных величин // Математика. Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сараг. ун-та, 2002. Вып. 4. С. 93 - 96.

3. Кендапл М., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973.

УДК 517.51

С. В. Тышкевич

О КВАЗИПОЛИНОМАХ, НАИМЕНЕЕ УКЛОНЯЮЩИХСЯ ОТ НУЛЯ НА ЗАДАННЫХ МНОЖЕСТВАХ*

В работе И. В. Белякова [1] была рассмотрена задача наименьшего уклонения от нуля отображений Чебышева, свойства которых во многом повторяют свойства классических многочленов Чебышева, на дельтоиде

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

(области Штейнера). В связи с этим представляют интерес аналоги таких отображений для рациональных функций с фиксированным знаменателем -так называемые квазиполиномы.

Определение. Система заданных на некотором множестве М метрического пространства (содержащем не менее п +1 точки) непрерывных функций

ФоОО ><PiOO .->ФП00 (1)

называется чебышевской на этом множестве, если любой обобщённый полином Pn(z) = Pn(<pk,ck\z) вида

1с =о

где ск - числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля, имеет на М не больше, чем п различных корней.

Теорема Хаара утверждает, что для того чтобы для любой непрерывной на М функции /(г) существовал единственный полином Р'п (z) сё

^ л

наилучшего равномерного приближения вида Pn(z)= ^с^ф^г), необхо-

*= о

димо и достаточно, чтобы система функций {ф*(г)}£=0 была чебышевской на М.

Критерий того, что полином P„(z) является полиномом наилучшего приближения порядка л для заданной на Мфункции /(г), даёт

ТЕОРЕМА Колмогорова (1948). Пусть на замкнутом ограниченном множестве М задано л + 1 фиксированных непрерывных функций (1) и непрерывная функция f(z), которую следует приблизить обобщёнными полиномами

Pn(z) = PÄ<?k,ck-,z)

вида (2).

п (

Тогда для того чтобы некоторый полином Р^ (z) = ^ck<pk(z) был

к--0

полиномом наилучшего равномерного приближения для функции /(z)в том смысле, что

|/0) - pn(z)\c = »nf I/O) - pn(z)\\c -

необходимо и достаточно, чтобы на множестве Е всех е-точек из М при любом полиноме Рп (z) вида (2) выполнялось неравенство

min Re (р„ (z)[/(z) — P„*(z)]j< 0. (3)

Цель данной статьи заключается в нахождении полинома, наименее уклоняющегося от нуля на заданном множестве, когда (г) представляют собой произведения Бляшке.

Пусть с,-, с) еС, / = 0,1,...,л-1, п = 1,2,...; ак еС, к =1,2,...,«. Обозначим через П множество функций Рп(г) вида

л-1 л-1

II -I 7 _ f. п— 1 п—» I

¡=0 к=1*~ак1 /-О k=\z~ak

(4)

S = {z<

С:

4

ТЕОРЕМА. Среди функций вида (4)

min max|P„(z)|

р„ еП z<=S

достигается только для функций

Pn(Z)= ——•

k=1l-akz k-^z-ak

Доказательство. Возьмём произвольное е>0 и рассмотрим произведение

(5)

Записав Pn_\{z) в виде

Рп-М= П

1=}l -akz

Л-1|

СоП

\2

«л-1

л-2|

Г!

1 -ап_хгк=

1 -akz

-t-... + Сп

заметим, что при обходе точкой г единичной окружности 5 в положительном направлении его аргумент увеличивается не более чем на 2(л -1)л, в то время как аргумент второго множителя в (5), записанного в виде

N2

= 1 Z ~ ÜL

п

*=Г

\-ai,z

+ 1

+ ё, уменьшается на 2лл, поэтому аргумент

i=l

\ /

произведения (5) уменьшится по крайней мере на 2л. А значит, действительная часть произведения (5), по крайней мере, в одной точке z0 е € S станет неположительной (это произойдёт в точке z0c, в которой или аргумент произведения (5) равен л + 2/ил, т = 0,1,-1,..., или же когда это произведение обратится в нуль). Устремляя s к нулю по некоторой последовательности С/, некоторая подпоследовательнос ть точек z() £( будет сходиться к точке zn, в которой будет выполняться неравенство

Rejp^zo^'czo)}^.

Согласно критерию Колмогорова, получаем требуемое. □

120

Полученный результат можно обобщить на случай, когда 5 представляет собой объединение нескольких дуг единичной окружности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беляков И.В. Минимальное уклонение от нуля отображений Чебышсва, соответствующие равностороннему треугольнику // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № б. С. 919-921.

2. Дзядык U.K. Введение в теорию равномерного приближения функции полиномами. М.: Наука,-!977.

УДК 517.51

В. И. Филиппов

СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ПОЛУЧАЮЩИЕСЯ ВОЗМУЩЕНИЕМ ЯДРА ФЕЙЕРА В 1,(0,л)'

В работе [ 1 ] из ядра Фейера строится система вида

рМ-1 Р(л)_. 1 (вт2"(х-(2к-1}п/2п))2

1 l-cos(2"+4)

22("+1) 1 - cos(x - {¿к - 2>t / 2" )'

(1)

где п = 0,1,2,...; к =1,...,2" и устанавливается, что система (1) является диадическим интерполяционным базисом в пространстве непрерывных 2л-периодических функций.

В данной статье рассматривается возмущение системы (1), а именно, система (8) и возмущение тригонометрической системы в пространстве Существование 'устойчивости полных систем в банаховых пространствах рассматривалось в работе [2], а возмущение полных минимальных систем - в работах [3 - 5].

Приведём теоремы А и В об устойчивости полных минимальных систем так, как они приводятся в работе [4].

ТЕОРЕМА А (М. Г. Крейн, Д. П. Мильман, М. А. Рутман [3]).

Минимальная последовательность 1 = устойчива в том

смысле, что при любых {е* >0}^=1, для которых

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00390) и фанта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).