СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ПОЛУЧАЮЩИЕСЯ ВОЗМУЩЕНИЕМ ЯДРА ФЕЙЕРА В L1 (0, π) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Полученный результат можно обобщить на случай, когда 5 представляет собой объединение нескольких дуг единичной окружности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Беляков И.В. Минимальное уклонение от нуля отображений Чебышсва, соответствующие равностороннему треугольнику // Мат. заметки. 1996. Т. 59, № б. С. 919-921.

2. Дзядык U.K. Введение в теорию равномерного приближения функции полиномами. М.: Наука,-!977.

УДК 517.51

В. И. Филиппов

СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, ПОЛУЧАЮЩИЕСЯ ВОЗМУЩЕНИЕМ ЯДРА ФЕЙЕРА В 1,(0,л)'

В работе [ 1 ] из ядра Фейера строится система вида

рМ-1 Р(л)_. 1 (вт2"(х-(2к-1}п/2п))2

1 l-cos(2"+4)

22("+1) 1 - cos(x - {¿к - 2>t / 2" )'

(1)

где п = 0,1,2,...; к =1,...,2" и устанавливается, что система (1) является диадическим интерполяционным базисом в пространстве непрерывных 2л-периодических функций.

В данной статье рассматривается возмущение системы (1), а именно, система (8) и возмущение тригонометрической системы в пространстве Существование 'устойчивости полных систем в банаховых пространствах рассматривалось в работе [2], а возмущение полных минимальных систем - в работах [3 - 5].

Приведём теоремы А и В об устойчивости полных минимальных систем так, как они приводятся в работе [4].

ТЕОРЕМА А (М. Г. Крейн, Д. П. Мильман, М. А. Рутман [3]).

Минимальная последовательность 1 = устойчива в том

смысле, что при любых {е* >0}^=1, для которых

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 03-01-00390) и фанта Президента РФ на поддержку ведущих научных школ на выполнение научных исследований (проект НШ-1295.2003.1).

любая последовательность где — [| < (к =1,2,...),

эквивалентна (и, более того, О-изометрична) X и полнота X влечёт полноту У.

Тем самым, У- минимальна; более того, если X - базисная, то и У -базисная, а если X - безусловная базисная, то и У - безусловно базисная последовательность.

В том случае, если

<00,

указанные выше выводы также справедливы после удаления, быть может, конечного числа элементов из/и У.

Назовём последовательность II = {ик подчиненной X = {хк если существует С < 0 такое, что при любых {аки п= 1,2,...

Е«*«* и с

II*=1

(3)

II*=1

Будем писать в этом случае II <Х . Последовательность {хк + ик}" обозначим X +и , а {ел^ обозначим гХ .

ТЕОРЕМА В (Ю. Б. Тумаркин [5]). Пусть X - минимальная в В система и ¿7 •< X с некоторой константой С0 в неравенствах (3). Тогда

при любом е<80=— последовательность У = Х + г11 эквивалентна X и

С0

полнота X влечёт полноту X +е11 .

Следствие А [4]. Из теоремы В следует теорема А, так как условие (2) означает, что последовательность У - X =и ч X с константой ц в (3).

л л

Действительно, пусть х= ^акхк • Тогда

*=1

*=1

*=1

2л(*Ь ~Хк)

к-Л

*= 1 Ч*=1

4*4* ■

Приведём некоторые другие факты, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение. Система {/„ }с Ьр, 0 < р < со называется системой представления в пространстве Ь если для любой функции / е Ьр

существует ряд Y.ckfk такой, что

к=1

Rkfk\

lim ||/ - Ёс*

уп

Здесь 1/^=1 J1 /(>)!' ^

= 0.

р

•i'1

а

, {)< р < 00, - 00 < я <Ь< +00 .

Рассмотрим функциональную систему {<p„(f)}„<=# G Ц{а,Ь) такую, что

supa„=cr<l, (4)

где Пели е>0 такое, что

ст + е = о' < 1, то существуют Хп е R, Qn = |J \а" ,b" ] такие,

что

¿=1

< = п^ИxQn(О- К ■ Ф„(')||, ^ ст + е = a' < 1 (5)

и также sup„ а'п < и' < 1. Пусть система {ф„ }neN удовлетворяет условию

WVeN, Uß„| = 0. (6)

Пусть хп = min,\а"}, у„ - max, [b"}, обозначим с?(ф„) = уп - хп и suppcp„ = {/:ф„(г)*0}. Пусть

d{Фп)->0, л-юо, ¿(ф„)*0. (7)

Ниже мы используем определение покрытия в смысле Витали [6, с. 30, 231].

ТЕОРЕМА С [7]. Предположим, что система

(ф* )neN с L\(a'b)> - 00 < a < Ь < +оо удовлетворяет условиям (5) - (7) и для каждого N е N множество (а,Ь) покрывается в смысле Витали семейством {(2„}"=JV • Тогда если N е N, то система {ф„ является системой представления в L,(a,b).

123

ТЕОРЕМА О [8]. Если система функций {/„} является системой представления в пространстве ¿^(0, л), 0 <д < °о, то система {/„} является системой представления и в пространствах ¿Д0,я) для всех р, 0 < р< 1, Р^Ч-

Используя теоремы С и Д получим следующую теорему. ТЕОРЕМА 1. Пусть

2 л]

<Рп,к -*соь2л+1х

¿г <0.37, п = 2,3,...; А =0,1,...,2я 2-1.

1-4-^)

Тогда существует число такое, что система

1

,п-1

1-<[>„,*(*)

1 1 (2*+1)2яЛ 1 - сох|х - 1--— I

, п = п0+ 2, па + 3,...; к = 0,1.....2я"2-1, (8)

является системой представления в пространстве ¿р(0,л), 0<р<1, и

существует конкретный алгоритм приближения по системе (8) в этих пространствах.

Непосредственно из теоремы 1 вытекает

ТЕОРЕМА 2. Пусть система 2л -периодических функций {<р„ е ¿5 (0,2л) удовлетворяет условию

1 2я

— ||совАус — фА<стА, А=0,1,2,... 2л

Если

2" -1 9Л _ .

+ У ±-*а<0.37

2 А=1 2"

для всех я =1,2,..., то система {<рп(*)}о полна в пространстве /.,((),л) и существует конкретный алгоритм приближения в пространстве £](0,л) по

системе {ф„(ж)}п.

Следствие 1. Пусть система 2л-периодических функций {ф„(х)}о 2л) удовлетворяет условию

1 2п

— ЦсовАх-ф^д^Л^ст*, к = 0,1,2,...

Если

о,

1 к=\

то система {<P„(*)}u полна в пространстве L,(0,7t) и существует конкретный алгоритм приближения в пространстве Lt (0,тг) по системе

{фИ(*)}о -

Замечание 1. В теоремах Л и В приводятся результаты об устойчивости полных минимальных систем. В теореме I рассматривается специальное возмущение системы (1), при этом системы (1) и (8), очевидно, не являются минимальными. А в теореме 2 более слабое возмущение, чем в теоремах А и В, но дается алгоритм представления по новой, полученной возмущением системе, что пока не представляется возможным сделать для всех систем при использовании теорем А и В в пространстве L{ (так как процесс ортогонализации в Lx не применим).

Заметим, что в работе [9] приводится более сильное возмущение в

пространстве , ™ Хаара, . тс„рсме , (рш £., Щ

к =0

расходится), но свойство полноты остаётся устойчивым, при этом приводится алгоритм приближения по новой, полученной возмущением, системе.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. БочкаревС.В. Построение интерполяционного диадического базиса в пространстве непрерывных функций на основе ядер Фейера // Тр. Мат. ин-та им. В.А. Стеклова АН СССР. 1985. Т. 172. С. 29 59.

2. Олевский A.M. Об устойчивости оператора ортогонализации Шмидта // Изв. АН СССР. Сер. Математика. 1970. Т. 34. С. 808 - 826.

3. Крейн М.Г., Мильман Д.Г/., Рутман МА. Об одном свойстве базиса в пространстве Банаха // Зап. мат. общества. Харьков, 1940. Т. 16, Ks 5. С. 97 - 112.

4. Мильман В.Д. Геометрическая теория пространств Банаха // УМ11. 1970. Т. 25, вып. 3(153). С. 113-174.

5. Тумаркин Ю.Б. Устойчивость базисов в ß-нространствах и других классах ЛВП // Теория функций, функциональный анализ и его применения: Сб. науч. тр. 1970. Вып. 14. С. 87-94.

6. Данфорд //., Шварц Дж. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Изл-во иностр. лит., 1962.

7. Filippov V.l. On the completeness and other properties of some function systems in W, 0 < p < со // JAT. 1998. Vol. 94. P. 42-53.

8. Filippov V.Í. Linear continuous functionals and representation of functions by series in the spaces F.v H Analysis Mathematica. 2001. Vol. 27, № 4. P. 239 - 260.

9. Филиппов В.И. О сильных возмущениях системы Хаара в пространствах L,(0,l) // Мат. заметки. 1999. Т. 66, выи. 4. С. 596 - 602.