CC BY
34
24
Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2010. № 2(76)
УДК 519.512
ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ МУЛЬТИПЛИКАТОРОВ ФУРЬЕ — ХААРА
© 2010 Р.Ж. Галимьянов, Р.Ф. Узбеков1
Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов Фурье — Хаара, определяемых последовательностями: \к,г = ( — 1)к, при % = 1 и 1, при % = 1, 1 ^ % ^ 2к, к € М; \к,г = если % = т и 1, если % = т, т € N.
Найдены эквивалентные условия тому, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном симметричном пространстве.
Ключевые слова: система Хаара, симметричное пространство, мультипликаторы, безусловный базис, ряд Фурье — Хаара.
Введение
Двоичным интервалом называется интервал вида Дп = Агк = ,
д-\
V 2к '
а левую и правую половины интервала Дп будем обозначать соответственно
Д+ = (Дгк)+ = (--ц-, 21 ) , Д- = (ДгкГ = ( 21 , ,
где п = 2к + %, 1 < % < 2к; к = 0 , 1 ,...
Система Хаара — это система функций XI (х) = 1,
{1 для х € Д+, -1 для х € Д-, 0 в остальных случаях.
Формула п = 2к + % дает взаимно однозначное соответствие между множеством индексов О = {(к,%) : к = 0,1,...,% = 1,... 2к}, отвечающих функциям Хаара, и множеством натуральных чисел. Поэтому определять функции Хаара можно с помощью одного индекса {хп}. Группа функций {Хп(х)}п=2г+1 называется к-й пачкой, причем хп(х) = Хк(х). Тогда система Хаара состоит из объединения пачек \^Хк(х)}г=1 ,к=0,1,... и функции
Хо(х) = 1. г=
хГалимьянов Раиль Жавдатович (rail_170@mail.ru), Узбеков Роман Фатихович (uzbekov_roman@mail.ru), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
Рядом Фурье — Хаара функции /(х) € ¿1(0,1] называется ряд
п=1
где Сп(/) = Сп(/,хп) — коэффициенты Фурье — Хаара функции /(х), которые вычисляются по следующим формулам:
1 /
С1(/) = У /(х)(1х, Сп(/) = 2к J /(х)(1х - J /(х)(1х
0 \д+ Д- )
Всякая последовательность Л = {Лп}^=1 порождает линейный оператор Л, называемый мультипликатором, который на полиномах по системе Хаара определяется следующим образом:
Л Спхп I - ^ ^ ЛпСпХп■
пп
Согласно [2, с. 84], мультипликатор Л ограниченно действует в пространстве Ьр[0,1], 1 <р < ж, причем ||Л||£р = ||Л||г^. Откуда следует, что система Хаара образует безусловный базис в данном пространстве.
Целью настоящей работы является исследование ограниченности мультипликаторов Фурье — Хаара, действующих в парах функциональных пространств. Подобные вопросы изучались в работах [2-4].
1. Определения, обозначения, вспомогательные утверждения
Определение 1. Функциональное банахово пространство Е на (0,1) с мерой Лебега называется симметричным (перестановочно-инвариантным) (СП), если:
1) из того, что у € Е и \х(Ь)\ ^ \у^)\ почти всюду на (0,1), вытекает, что х € Е и ЦхЦЕ ^ ЦуЦЕ;
2) из того, что у € Е и функция \х(Ь)\ равноизмерима с функцией \у(£)\, следует, что х € Е и | х| Е = | у| Е.
Всюду в дальнейшем будем предполагать, что СП Е является сепарабель-ным или сопряженным к сепарабельному пространству.
Определение 2. Для любой измеримой по Лебегу почти всюду конечной функции х(Ь) на (0,1) определен оператор растяжения по следующей формуле:
яТх(г) = (т > 0), если т-Ч € (0,1).
Оператор ат коммутирует с операцией перестановки (атх)*(Ь) = ат(х*)(Ь) = = х*(т-1 ¿) и ограниченно действуют в любом СП Е, причем ЦатЦе ^ ^ тах{1,т }■
Определение 3. Нижний и верхний индексы Бойда пространства E задаются соответственно равенствами [1, с. 138]
1- ln \\е а V ln \\ат \\е aE = lim —--E, pE = lim —--E.
тln T Tln T
Всегда справедливо неравенство: 0 ^ aE ^ ßE ^ 1-
Если E — СП, тогда через E' будем обозначать множество измеримых
1
на [0,1] функций с нормой \\ж\\е' = sup J x(t)z(t)dt < ж. Если E — сепа-
M\e <1 0
рабельное СП, то E' совпадает с сопряженным пространством E*, и их нормы равны. Все определения, перечисленные выше, можно найти в [1, гл. 2].
k
Система функций Хаара {22xk(x)}^=i является ортонормированной системой (ОНС) в L2[0,1] и образует базис в пространстве Lp[0,1], 1 ^ p < ж [2]. Если E — сепарабельное СП, то множество полиномов по системе Ха-ара плотно в E.
Определение 4. Базис {Хп}Ж=1 банахова пространства X называется безусловным, если для любой перестановки натурального ряда а =
= {а(п)}Ж= 1 система {Ха(п)}Ж=1 также является базисом в X.
Пусть (k,i) Е П, последовательность вложенных друг в друга двоичных интервалов ДО D Д^1 D ... D Аг£ называется цепью. Множество цепей обозначим через A. Каждой цепи К = (1,ii,... ,ik) поставим в соответствие число
к
V(K,\) = ^ - Аm-i,im_i
m=1
которое естественно называть вариацией А по цепи K. Введем на пространстве последовательностей А = {Ak,i : (k,i) Е П} полунорму
к
WA\\w = SUP V(К,А) = SUP V \Am,im - Am-1,im_i\,
кел KeA,keN
и множество тех А, для которых \\A\w < ж, будем обозначать через W.
Теорема 1 [5, т. 2.1]. Для ограниченности мультипликатора Л в пространстве Li необходимо и достаточно, чтобы \\A\w<ж. Более того, норма
\\Л\^1 эквивалентна \\A\w + sup \Aki\.
(k,i)en
Следствие 1 [5, сл. 2.2]. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом сепарабельном симметричном пространстве E, необходимо и достаточно, чтобы А Е W.
2. Основной результат
Обозначим через М множество мультипликаторов Л, определяемых коэффициентами Ап = ±1, п € N. Рассмотрим мультипликатор Л1, порожден-
ный последовательностью
(—1)к для г = 1,
ЛкА { 1 для г = 1, к € N.
Теорема 2. Если Е — сепарабельное симметричное пространство, тогда следующие условия эквивалентны:
1) мультипликатор Л1 ограничен в Е,
2) семейство мультипликаторов Л(Л € М) равномерно ограничено в Е,
3) 0 <аЕ < вЕ < 1.
Доказательство. Импликация 2)^1) верна в силу того, что мультипликатор Л1 является одним из семейства М.
Проверим теперь эквивалентность условий 2) и 3). Действительно, условие 2) равносильно тому, что система Хаара является безусловным базисом в пространстве Е. В свою очередь, ее безусловная базисность эквивалентна условию 3) [1].
Остается доказать условие 1)^3). Покажем, что ограниченность мультипликатора Л1 влечет ограниченность оператора Харди — Литтльвуда Н1 и сопряженного к нему оператора Н2:
г 1
Н1х(1) = 1 У х(в)йв, Н2х(Ь) = J ^^ о г
Рассмотрим функцию
те те / п-1
хш = У^ х„х1ш = - хоХ I ^ а) + -х.
= 2 хпхп® = -хоХ( 1+ ^ [-хп + хн Х( 1 , -П)('1). (1) п—0 п—1 V к=0 ) V 2П+1 ' 2П/
пЛ.п\Ч — 1,1)1^7 I I ^п
п—0 п—1 \ к—0
Если х2п = —х2п+1 > 0 для любого п € N, то
п1
Поэтому
-х + хк = 1 —2х2з-1, п = 2 — 1 (2)
хп + —хк = 1 —х21, п = 23. (2)
те
= 52(—1)пхпХп^) = —х0 * Х(1,1)(^ +
п—0
те / п-1 \
хп
п—1 \ к—0 Рассмотрим функцию
те
у® = ^2 \хп\Х( 1
п—0 ^'2")
Так как
+ £ ( —1)"+1х„ + $>\ Х(^^
п — 1 \ £>—П / \ 2 '
\ х(1) \ = \х0 \ * Х( 2д^ + Е спХ( __+!, 2П где Сп = { ^ 1 , п = 2к,+ 1,
п—1 ^ ' 4
поэтому
\х\ < 21 у\ . (3)
Имеем
1
1
(н2у)(2п+л) = / Е\хклят = Ехк\ I Т = 1п2Е\хк\ 42 У 1 к=0 т к=0 1 к=0
2Й+Т 2^+1
и, учитывая, что Н2у(Т) — убывающая функция, получаем
те ✓ 1 ч те / п \
Н2у(т) Н2у( —И 1 _ (Т) = 1п2^ £\хк\ )х( 1 _т_ит).
п=0 ^^ п=0 \к=0 7
Покажем выполнение неравенства
щЦзН2у(т) < \ ^4Лтх(Т) \ + \ азЛтх(Т) \. (4)
Непосредственно проведя необходимые вычисления, получим:
°2Х( 1 \(т) = Х( _г_ 1 \(т)
^ 2_+1 ' 2_ ) \2_ ' 2_-1 )
те / п+1 \
а4Лтх(г) = (- \х2 \ + \х1 \+\х2 \)Х(2д)С0+Е |- \хп+2 \ + Е \ хк\ I Х(^__ч(т),
п=1 \ к=0 / +1 2 '
2 те / п+2 \
а8Л1х(Т) = (-\хз \ + ^ \ хк\)Х( 1Д)(Т) + Е - \хп+з \ + Е \хк\ Х( х ,__х(Т).
к=0 п=1 \ к=0 ) 12_+1 '2_У
Пусть теперь Т € (^П+й, 2_), если п = 21, I € М, тогда
21+1 п
ствЛ^Т) = - \ х21+з \ + \ х21+2 \ + Е \ хк\ и, следовательно, У^ \ хк \ ^ \ ствЛ^Т) \.
к=о к=о
21+1 п
Если же п = 21 + 1, I € М, то ст4Л1х(Т) = ^ \хк\, и поэтому, ^ \хк\ ^
к=о к=о
^ \ СТ4Л1х(Т) \. Тем самым доказано неравенство (4).
В силу ограниченности оператора растяжения в СП Е и неравенства (3) имеем
\\Н2у\\Е < 1п21\ СТ4Л1х(Т) \ + \ авЛ1х(1)\
< 121п2\\Л1х\\Е < 241П2\Л1\еМ\е. (5)
По свойству перестановок [1, разд. 2.2.12] для функции и(Т) получаем
г г
Н1 п(г) = 1 J и(в)(18 < 1 J и*(в)^8 = Н1П*(Ь).
оо
Оператор Н1 является положительным, следовательно, его норма достигается на множестве неотрицательных невозрастающих функций. То же утверждение верно и для оператора Н2.
Е
Пусть теперь u(s) = u*(s) G E , a > 1. Тогда для функции
v(t) = E
u
k=0
11 x
(t)
выполняются неравенства v(t) ^ u(t) ^ aav(t). Откуда следует, что \\v\\E ^ ^ IM\e ^ a\v\e. В силу предыдущих рассуждений получаем
11 a 1
/ ч i u(s) , f aav(s) , f v(y) , f
H2u(t) = J ds ^ J s ds = J ydy ^ J
v(y)
dy =
= a a
v(y)
dy I = Oa(H2v(t)).
Поэтому
\\H2\\E = sup \\H2U\\E ^ sup \\0aH2v\\E ^ a sup \\H2V\\E. \H\<1 veE, \\v\\<1 veE, \\v\\<1
Применяя условие (5) и предыдущее неравенство со значением a = 2, имеем \\H2\\e < 2 sup \\H2v\\e < 481п2\\Л1\Е•
\\v\\<1
Итак, оператор H2 ограничен в пространстве E. Поскольку мультипликатор Л1 является самосопряженным оператором в L2 и из ограниченности Л1 в E следует его ограниченность в E', то в силу [4, формула (4)] \\Л1\е=\Л1 \ \e>, а значит, оператор H2 ограничен в ассоциированном пространстве E'. Тогда оператор H1 как сопряженный к H2 ограничен в пространстве E.
Ограниченность операторов H1 и H2 в симметричном пространстве E, согласно [1], влечет выполнение условия 3). Теорема 2 доказана.
Таким образом, ограниченность мультипликатора Л1 в сепарабельном СП эквивалентна тому, что система Хаара образует в этом пространстве безусловный базис.
Рассмотрим следующее семейство мультипликаторов Лт, определяемых последовательностью:
^k,i =
£к = ±1, г = т, 1, г = т, т £ N.
Теорема 3. Мультипликатор Лт при т ^ 2, т £ N ограничен в любом сепарабельном симметричном пространстве.
Доказательство. Проверим, принадлежит ли последовательность Ап^ пространству Ш. Для этого найдем полунорму ||А||^:
W = SUp У I \l,kl — \l-1fa_ J кeA,neN l=1
1
1
a
y
y
= sup ( V | \гМ - J + V | \iM - A—iM_J
KeA,neN \ ,
\ki=m ki=m
В последнем выражении вторая сумма состоит из одного слагаемого. Действительно, при фиксированном m(m ^ 2) носители функций Хт (t) не пересекаются,
m — 1 m\ /2т — 2 2m \
ш w — n i 2П ' ) = V 2П+1 ' 2n+w '
suppxm(t) = Am =
m im - 1 m \
suPPXn+i(t) = , ^n+ij •
Тогда в произвольной цепи K вложенных диадических интервалов
Ak1 D ... D Afl D ... D ДП" найдется не более одного интервала с ki = m. Следовательно, \\A\\w = sup ( | 1 — en I + | £n — 1 | ) = 4 < то.
K eA,n€N
Согласно следствию 1, мультипликатор Лт ограничен в любом сепарабель-ном симметричном пространстве.
Литература
[1] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.
[2] Кашин Б.С., Саакян А.Л. Ортогональные ряды. М.: АФЦ, 1999.
[3] Novikov I., Semenov E. Haar series and linear operators. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1997.
[4] Брыскин И.Б., Лелонд О.В., Семенов Е.М. Мультипликаторы рядов Фурье — Хаара // Сиб. мат. журнал. 2000. Т. 41. № 4. C. 758-766.
[5] Уксусов С.Н. Мультипликаторы Фурье — Хаара в симметричных пространствах: дис. ... канд. физ.-мат. наук. Воронеж, 2006.
Поступила в редакцию 26/XI/2009;
в окончательном варианте — 26/XI/2009.
ABOUT THE BOUNDEDNESS OF THE FOURIER — HAAR MULTIPLICATORS
© 2010 R.Zh. Galimyanov, R.F. Uzbekov2
The boundedness of the Fourier — Haar multiplicators defined by the sequence \k,i = £k = ü, i = m and \k,i = 1, if i = m, m G N, m ^ 2 is considered.
The equivalent conditions to the unconditional basis of the Haar system are received.
Key words: Haar system, rearrangement invariant space, multiplicators, absolute basis, series of the Fourier — Haar.
Paper received 26/X/2009. Paper accepted 26/XI/2009.
2Galimyanov Rail Ghavdatovich (rail_170@mail.ru), Uzbekov Roman Fatikhovich (uzbekov_roman@mail.ru), Dept. of Theory of Functions and Functional Analysis, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
