Точная константа в оценках рядов из коэффициентов Фурье Хаара через вариацию как максимум некоторой функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2010, № б, с. 138-142

УДК 517.518.24, 517.518.3

ТОЧНАЯ КОНСТАНТА В ОЦЕНКАХ РЯДОВ ИЗ КОЭФФИЦИЕНТОВ ФУРЬЕ - ХААРА ЧЕРЕЗ ВАРИАЦИЮ КАК МАКСИМУМ НЕКОТОРОЙ ФУНКЦИИ

© 2010 г. О.Е. Галкин, С.Ю. Галкина

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского galkin@mm.unn.ru

Поступила в редакцию 08.09.2010

\1/Y

Показано, что точная константа су в оценке

X \ an (f) \Y < c-VOf , гДе {an (f)}„=i - коэффи-

су ■'ОJ ’ м \ип^ Пп =

V п=2 )

циенты Фурье - Хаара функции /, равна максимуму в степени 1/ у некоторой непрерывной функции Ьу на отрезке [0; 1]. Приведен пример функции положительной вариации, на которой в этой оценке достигается равенство.

Ключевые слова: система функций Хаара, коэффициенты Фурье - Хаара, функции ограниченной вариации.

Введение

Пусть функция / принадлежит пространству V[0,1] всех функций ограниченной вариации на отрезке [0,1], {ап(/)}^= — коэффициенты Фурье этой функции по системе Хаара, и / — полная вариация функции / на отрезке [0,1].

П.Л. Ульянов (см. [1, стр. 533], теорема 5') до-

ГО

казал, что ряд X | ап (/) |т сходится при любом

п=2

у> 2/3, а также показал, что для функции

ГО

/0(х) = х е¥[0,1] будет £ | ап(/0) |2/3 =« .

п=2

Настоящая статья посвящена вычислению точной константы су в оценке

(* V7у

X! ап (/)Г < Су -У^/. (1)

V п=2 у

Основной результат статьи содержится в теореме 1 и заключается в том, что при у > 1

константа су равна максимуму в степени 1/ у некоторой вещественной непрерывной функции Ху на отрезке [0,1]. Кроме того, приведен пример функции положительной вариации, на которой в оценке (1) достигается равенство. Ос-

новная теорема І предваряется рядом вспомогательных лемм.

Ограничение у > 1 возникает из метода доказательства.

Основные определения

Определение 1 (см. [2, стр. 381]). Разбиением отрезка [a, b] называется конечный набор точек

T = [tj}”_о , таких что a = t0 < ^ < ... < tn = b . Обозначим через т([а, b]) семейство всех разбиений отрезка [a, b]. Функция f , определенная на отрезке [a, b] и принимающая действительные значения, называется функцией с ограниченной вариацией на отрезке [a, b], если найдется такое число K, что для всякого разбиения T = [tj }"=0 отрезка [a, b] выполняется неравен-n

ство Z 1 f (ti) - f (ti-і) < K. Величина

І = 1

n

VaV = suP Z 1 f (ti) - f (ti-1)|^ K называ-

Tєт([а,b]) і=1

ется (полной) вариацией функции f на отрезке [a, b] . Класс всех функций, имеющих ограниченную вариацию на отрезке [a, b], обозначается через V[a, b].

Определение 2 (см. [3, стр. ??]). Система Хаара - это ортонормированная система функ-

Ций X = {Хп(0}гс=1 > 1 е [0,1] > в которой

Х\(I) = 1, а при п = 2к + і, і = к,

к = 0,1, к , функция хп (0 = Хк ) определяется следующим образом:

Хп (ґ):

- 2'

к/2

і — 1 і 2к ’ 2к

, і — 1 2і — 1 при ґє\ ~2г ,~2ш

2і —1 і при ґ е\^гг ^

і™ Хп(5) при ґ = 0;

8——+0

і™ Хп(1 — 5) при ґ = 1;

8—+0

1/2 !т(хп( + 5) + Хп(ґ — 5)) при остальных ґ є [0,1].

8— 0

0

Определение 3. Пусть функция / принадлежит множеству £1 [0,1] всех функций, интегрируемых по Лебегу на отрезке [0; 1]. Тогда ее коэффициенты Фурье - Хаара определяются формулой

ап (/) = //(?)Хп И')&, п є N.

(2)

Определение 4. Многочленом Хаара порядка М, где М е N , будем называть любую функ-

м

цию вида Р = Е ап%п , где а^...,ам е R . Если

П = 1

ап = ап(f) при п = 1,...,М, то будем называть Р многочленом Хаара функции / . Мно-

жество всех многочленов Хаара порядка 2^, отличных от постоянной, обозначим Ру • Кроме

ГО

того, положим Р = и ру .

N=1

Замечание 1. Многочлен Хаара Ру порядка

2^ — это ступенчатая функция, имеющая скачки величиной

Ъ= Р*(у/2* + о)- Р*(у/2* - о)

только в точках у/2^, у = 1,к,2^ - 1, и зна-

чения в этих точках

Р

(

Р

Л

Замечание 2. Вариация многочлена Хаара Р порядка 2# вычисляется по формуле 2 ы-1

г0Ч = Е Iъ) I • (3)

у=1

Замечание 3. Коэффициенты Фурье - Хаара ап (Р^) многочлена Хаара Р^ порядка 2^ при

п > 2^ равны нулю.

Замечание 4. У всякого многочлена Р є Р полная вариация положительна.

Определение 5. При всяком к = 0,1,... зададим на отрезке [0,1] ломаную 1 к (ґ) формулами:

0 при Ї = , Р = 0,...,2к;

о-к/2-1 + Р , 1

2 при Ґ = —г- +

2^ 2к+1

^ = 0,...,2г-1; линейна на каждом отрезке ■>Г+1

Л-1 Л-1

2*+13 2^+1

5 = 1,...,2

Определение 6. Для всякого у > 0 зададим на отрезке [0,1] функцию Ху равенством

ГО

^ (о = Е (/к (г ))у,

к=0

где функции 1к (?), к = 0,1,2, к, описаны в определении 5.

0

1

2

Замечание 5. Из определения 5 видно, что данный функциональный ряд составлен из непрерывных функций и при у > 0 мажорируется

да

V о(-к/2-1)У

сходящимся числовым рядом ^ 2 .

к=0

Значит, согласно признаку Вейерштрасса, ряд

ГО

£ (4 (? ))у сходится равномерно, а его сумма к=0

Ь„. (?) есть непрерывная функция, ограниченная

2

-Y/2

величиной

2Y/2 -1

Определение 7. При каждом у> 2/3 зададим величину су (точную константу в оценке (1) ) равенством

cy = sup

{(f )\Y )1/Y

n=2

Vo1./

f eV [0,1], Vjf * 0

Определение 8. Для каждого N є N и у > 2/3 зададим величину cN у равенством

cN, у = SUP

ГО

( T\an (Pn )\y )1/y

n=2

VoPn

Лемма 2. Пусть функция / принадлежит классу V[0,1], Ру - ее многочлен Хаара порядка 2^ . Тогда справедливо неравенство У0% < V1/.

Доказательство вытекает из равенства (3) в замечании 2 и леммы 1. □

Лемма 3. Пусть ? е [0,1] и к = 0,1,_____ То-

гда выполнено равенство 1 2 к+1

- / Е Хт (= Ь (),

г т=2к +1

где функция 1к (г) задана в определении 5.

Доказательство этой леммы приведено в [4, стр. 44].

Лемма 4. Пусть N е N, Ру - многочлен Хаара порядка 2^, и bj - его скачки в точках

у/2^, у = 1,...,2^ -1. Тогда при п = 2,...,2^коэффициенты Фурье - Хаара многочлена Рм можно записать в следующем виде:

2 *-1 1 ап (Р) = X ь] • / Хп а м т*

Доказательство следует из замечания 1 и формулы (2) в определении 3. □

При p > 1 будем обозначать через RM про-

где для

странство R

M

с нормой x

Вспомогательные утверждения

p

M

Лемма 1. Пусть функция / интегрируема по Лебегу на отрезке [0,1], и Ру — ее много- при р < да, и ||х

x = (xlv..,Хм) положим |Ы| = ( Z | x j \р)1/р

член Хаара порядка 2N. Тогда для всех

i = 1,...,2N и x є

i -1 i

При

_ = sup 1 x j 1 при p = да .

" "p j=1 p, r > 1 обозначим символом

N , ^ I верно равенство

L(RP, RM ) множество всех линейных ограни-

ченных операторов A : RM ^RM. Через

Р* (х) = 2 * • / / (? + 1-±\А.

о ( 2 \

Доказательство. Известно (см. [3, стр. 78], формула (8) ), что выполняется равенство

; /2м

Р^(х) = 2* • / /(№

(;-1)/2м

(I -1 I ПрИ х е|^_г Сделав линейную замену переменной, получим доказываемую формулу. □

p,r

обозначим норму оператора А є Х(РММ ) .

Лемма 5. Пусть у > 1 и А : ^ ^ -

линейный оператор с матрицей (а^ )Му=і. Тогда

норма оператора А вычисляется по формуле

м

У\1/Y

MllY = sup С Z \ an] \Y)

j=1,...,M n=1

Доказательство вытекает из равенства норм оператора A и сопряженного к нему оператора (см. [З, стр. З66]), а также из формулы вычисле-

ния нормы линейного функционала в Р ^ (см. [2, стр. 216]). □

Лемма 6. При у > 1, N е N величины су у вычисляются по формуле

С 2№ -1 ^1/У

cN, y

sup

j=1,K,2 N-1

Z \ anj\

n=1

(

CN, y _

sup

L

Y і о N

2 ))

1/y

NeN

2(2 Y/2 -1)1/Y '

Доказательство. Обозначим c* = sup c

В замечании 2 отмечено, что функция Ху ограничена сверху при у > 0:

Ly (t) <

2

-Y/2

2

Y/2

1

при t є [G, 1].

Тогда, в силу леммы 7, при у > 1 последовательность {е^ у=1 ограничена сверху вели-

2

-1/2

чиной

f 2 N

Zlan ( Pn)l n=2

- cN,Y ■ V0PN■

Если же У0 Ру = 0, то Ру — постоянная функция, и это неравенство превращается в равенство. Применяя формулу (4) и лемму 2, получаем:

^ 2№ Л17 V

Цап (PN )Г

где ащ = | х„+)(?и,у = 1,...,2у - 1.

] /2 *

Доказательство леммы следует из леммы 4, определения 8, равенства (3) и леммы 5. □

Лемма 7. При у > 1, N е N, величины су у вычисляются по формуле

n=2

< с; -vJpn < с; • v0f

j =1,K,^ -1V

Доказательство леммы вытекает из леммы 6, определения функций Хаара и леммы 3. □

Лемма 8. При у > 1 константа су, заданная определением 7, вычисляется по формуле

< ^ cY = sup cN Y , причем cY < -

при всех N е N.

Учитывая, что при п = 1,...,2у коэффициенты Фурье - Хаара функции / и многочлена Ру совпадают, и переходя к пределу при N ^ да, получим:

( “ У7 У

Х|а„ (/)Г < < • Г07.

V п=2 у

Поскольку это неравенство верно для произвольной функции / с ограниченной ненулевой вариацией, то

CY =

= sup

( I| an (f )|Y)

,Yn 1/y

n=2

Vf

f є V[0,1 ]Vf Ф 0

>< cv

С другой стороны, верна оценка

Y _ sup cN у •

N eN

CY =

= sup

( Е \ an (f )\Y )1/Y

n=2______________________

V01 f

f eV [0,1], V^f * 0

> sup-

PeP

( Е \ an (P)\ Y )1/Y

n=2____________________

Vo1 P

: sup cN Y _ Cy .

NeN

-Т-----. Поэтому

(2т/2 -1)17т

* л/2

^ = Г/м'*■’ " 2(2т'2 - !)■/т ■ (4)

Докажем, что су = с*. Пусть / — произвольная функция с ограниченной ненулевой вариацией, Ру — ее многочлен Хаара порядка

2^ . Если У^Ру > 0, то из определения 8 величин Су у следует неравенство

Таким образом, су = с*. Лемма доказана. □

Основная теорема

Теорема 1. При у> 1 выполняется следующее:

а) величина су, заданная определением 7,

вычисляется по формуле

( \Х1 Y

су =[ тах Ьу ()

y

l

с

/ (t) =

б) равенство в оценке (1) достигается, например, на функции

Г0 при 0 < t < ty,

I 1 при ty < t < 1, где ty — любая из точек, в которых функция Ly (t) принимает наибольшее значение на отрезке [0,1].

Доказательство. Докажем утверждение пункта а). Обозначим через а у величину

а =[ max L (t) (5)

Г ^/е[0,1] r и покажем, что су = ау . По леммам 7 и 8 при Y > 1 величина cN у вычисляется по формуле

Су — SUp у ,

NeN

(

J

\ г, N

V V2 /у

Л1/Y

ге[0,1]

ральное число N 0 так, что —<5 . Тогда

2 0

найдется номер у0 е{1,2,...,2No -1} такой, что | j0/2N0 - ty |< 5 . Поэтому

L

Л

. 1/у

а.

< 8.

где Cny = sup

j=1,,,2N -1

Очевидно, что cN у < а у . Переходя в этом неравенстве к супремуму по N е N , получаем:

Су < а у. (6)

Покажем, что верно и обратное неравенство. Как отмечено в замечании 5, функция Ly непрерывна на отрезке [0,1]. Поэтому найдется число tY & [0,1], такое что Ly (tY ) = max Ly (t).

Тогда а у = {ьу (7у ^у. Зафиксируем произвольное 8 > 0 . В силу непрерывности функции Ьу в точке ty, найдется 8 > 0 такое, что для

всех t е [0,1] при 11 — ?у |< 8 выполняется неравенство \(Ьу(?))1/у -ау \< £ . Возьмем нату-

Отсюда ау < е^0 у + в. А из леммы 8 следует, что ау < Су +8 . В силу того, что 8 можно взять сколь угодно малым, имеем

ау < ву.

Из последнего неравенства и из (6) получаем, что Су = а у . Тогда по (5) выполняется ра-

( V' у

венство сч = I тах () I . Утверждение У ^ /е[0,1] 7 )

пункта а) доказано.

Утверждение пункта б) теоремы следует из определения функций Хаара и леммы 3. □

Статья подготовлена при финансовой поддержке Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (проект НК-13П-13, контракт П945).

Список литературы

1. Ульянов П.Л. О рядах по системе Хаара // ДАН СССР. 1963. Т. 149. Вып. 3. С. 532-534.

2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. 624 с.

3. Кашин Б.С., Саакян А.А. Ортогональные ряды. М.: Наука, 1984. 496 с.

4. Галкина С.Ю. О коэффициентах Фурье - Хаара от функций с ограниченной вариацией // Матем. заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 42-54.

SHARP CONSTANT IN ESTIMATIONS OF SERIES OF FOURIER - HAAR COEFFICIENTS VIA VARIATION AS A MAXIMUM OF SOME FUNCTION

O.E. Galkin, S.Yu. Galkina

It is shown that the sharp constant cY in the estimation

Л/y

X | an{f) |Y < Cy- Vf , where {an(/)}*=1

\n=2 J

the Fourier - Haar coefficients of function f, is equal to 1/ y power of the maximum of some continuous function L,f on the interval [0; 1]. As an example, a positive variation function is presented that provides an equality in this estimation.

are

Keywords: Haar function system, Fourier - Haar coefficients, functions of bounded variation.