Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул, точных для полиномов Хаара

Кирилл А. Кириллов*

Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 06.07.2011, окончательный вариант 06.08.2011, принята к печати 10.09.2011 На пространствах Яр и На найдены оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул, обладающих й-свойством Хаара.

Ключевые слова: й-свойство Хаара, функционал погрешности квадратурной формулы, пространства функций Яр, На.

Введение

Задача построения и исследования кубатурных (квадратурных) формул, точных на некотором конечномерном классе функций, характеризует одно из важных направлений теории приближенного интегрирования. Ранее эта задача в основном решалась для вычисления интегралов, точных на алгебраических и тригонометрических многочленах. Кубатурные формулы, точные для конечных сумм Хаара, можно найти в монографии И. М. Соболя [1]. Описание всех минимальных весовых квадратурных формул, обладающих ¿-свойством Ха-ара (формул, точных для полиномов Хаара степеней, не превосходящих заданного числа ¿), было проведено в [2, 3]. В [4] были получены оценки нормы функционала погрешности некоторых из весовых квадратурных формул, построенных в [2].

Представленная работа посвящена исследованию квадратурных формул с весовой функцией д(х) = 1, точных для полиномов Хаара. На пространствах Бр найдена нижняя оценка нормы функционала погрешности квадратурных формул, точных на константах, и верхняя оценка нормы функционала погрешности квадратурных формул, обладающих ¿-свойством Хаара; на пространствах На получена верхняя оценка нормы функционала погрешности квадратурных формул, обладающих ¿-свойством Хаара.

Установлено, что для рассмотренных в данной работе квадратурных формул Уд*

при N = 2 имеет наилучший порядок сходимости к нулю при N ^ ю, равный N р; величина || ||н* при N = '2Л-1, так же как и для формул с узлами на Пт-сетках, ис-

следованных И.М.Соболем [1], ограничена по сравнению с N- а, N ^ ю. В то же время исследованные автором настоящей статьи квадратурные формулы, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования при указанных ограничениях на число узлов, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость 6N[/] к нулю при N ^ ю.

1. Основные определения

В настоящей работе используется оригинальное определение функций Хт,] (х), введенное А.Хааром [5], отличное от определения этих функций из [1] в точках разрыва.

* [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

Двоичными промежутками 1т,з- назовем промежутки с концами в точках 2-т+1^' — 1), 2-m+íj (т =1, 2,..., j = 1, 2,..., 2т-1). Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать этот промежуток замкнутым слева, если правый конец совпадает с 1 — замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины /т,з- (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать 1т з-и ¿т з соответственно.

Система функций Хаара строится группами: группа номер т содержит 2т-1 функций Хт,з (х), где т =1, 2,..., j = 1, 2,..., 2т-1. Функции Хаара \т,з (х) определим следующим образом:

Хт , з (х)

2

—2 ^

1 [Хт,з (х — 0) + Хт ,з (х + 0)],

при х е 1т , з ,

пРи х е С,з ' _

при X е [0, 1] \ 1т,з, если х — внутренняя точка разрыва,

(1)

1т,з = [2-т+1 (j — 1), 2-т+^' ], т = 1, 2,..., j = 1, 2,..., 2т-1. В систему функций Хаара включают также функцию хо,о(х) = 1, которая остается вне групп.

Полиномами Хаара степени ! назовем линейные комбинации с вещественными коэффициентами функций хо,о(х), Хт,з(х), где т =1, 2,..., j = 1, 2,..., 2т-1, причем хотя бы один из коэффициентов при функциях Хаара х<1з(х) группы номер ! отличен от нуля.

Будем рассматривать квадратурные формулы

I [/]

1 N

J /(х) С/(х(^) = д[/]

(2)

где /(х) — функция, определенная и суммируемая на [0,1], х(г) е [0,1] — узлы формулы, С — коэффициенты формулы при узлах (вещественные числа), г = 1, 2,..., N. Функционал погрешности квадратурной формулы (2) обозначим через [/]:

Г К

^[/] = I[/] — д[/] = у /(х) — С/(х(^).

(3)

Будем говорить, что квадратурная формула (2) обладает С-свойством Хаара, или просто — С-свойством, если она точна для любого полинома Хаара Р(х) степени, не превосходящей С, т. е.

3[Р ]= I [Р ].

2. Оценки нормы функционала погрешности квадратурных формул на пространствах £р

В настоящем разделе будем считать, что коэффициенты при узлах квадратурной формулы (2) положительны:

С > 0, г = 1,2,..., N.

Сформулируем определение линейного нормированного пространства £р [1].

Пусть р > 1 — фиксированный параметр, через д обозначим сопряженное ему значение:

р-1 + д-1 = 1.

-1

0

Множество функций /(х), определенных на отрезке [0,1] и представимых в виде ряда Фу-рье-Хаара

/(х) = С0,0 + £ £ ст,]Хт,] (х) т=1 ¿ = 1

(4)

с вещественными коэффициентами со,о, ст,] (т =1, 2,..., ] = 1, 2,..., 2т 1), удовлетворяющими условию

Ар(/) = Е 2^ £ |ст,]|р

т=1

^ А,

(5)

(А — вещественная константа), определяется как класс Бр(А). Доказано [1], что множество функций /(х), принадлежащих всем классам Бр(А) (со всевозможными А), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле

= Ар(/).

(6)

Указанное линейное нормированное пространство обозначается Б р. При этом все функции /(х), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию. Лемма 1. Если функция / € Бр, то для модуля функционала погрешности квадратурной (2), точной на константах, имеет место неравенство:

|6*[/]1 < £ 2^ £ |ст,]|р "Еч(т)

'-¿=1

где

(т) = 2-

~ 2

г 2"

£ 13[Хт,] ]|*

¿=1

т = 1, 2,

(7)

(8)

Доказательство. В [1] доказано, что если /(х) € Бр, то ряд (4) сходится абсолютно и равномерно. Подставим его в выражение (3) для 6* [/]. Учитывая точность квадратурной формулы (2) на константах, выражение для |б*[/]| запишем в виде

то 2"-1

[/]| = £ Е ст,] ^[Хт,]]

т=1 ¿=1

(9)

В силу абсолютной сходимости ряда в правой части равенства (9) имеет место неравенство

|б* [/]1 < £ Е I

т=1 ¿=1

(10)

Применяя неравенство Гёльдера к сумме по ] в правой части (10), с учетом равенства (8) получаем (7). □

Лемма 2 [2]. Функции

2т при х € /т+1,], Кт,] (х) = { 2т -1 при х € /т+1,] \ /т+1,], 0 при х € [0, 1] \ /т+1,],

(11)

] = 1, 2,..., 2т, являются полиномами Хаара степени т и образуют базис в линейном пространстве полиномов Хаара степеней, не превосходящих т, т =1, 2,... Лемма 3. Имеют место 'равенства:

Хт,] (х) = 2 + [Кт,2] - 1(х) - Кт,2] (х)], т = 1, 2, = 1, 2,..., 2Г-

1

(12)

2

то

21

1

2

то

,2j-i(x) + Km,2j (x) = 2Km_ij (x), m = 2, 3, .. ., j = 1, 2, ..., 2'

г-1

(13)

Соотношения (12), (13) непосредственно следуют из равенств (1) и (11). Лемма 4. Для любой квадратурной формулы (2) и любого целого положительного числа М существует хотя бы одно значение т0 ^ М, такое что

Sq (mo) = sup Sq (m).

M

(14)

Доказательство. Пусть mi = min {m ^ M: каждый отрезок 1m+i,j содержит не более одного узла квадратурной формулы (2), j = 1,2,..., 2m}. Если узлы формулы (2) X / {2-mi (2j — 1) : j = 1, 2,..., 2m1-1}, г =1, 2,..., N, то положим m' = m1. В противном случае положим m' = 1 + max {m : существует x(r) = 2-m(2jr — 1) jr G {1, 2,..., 2m-1} }.

Тогда для значения m = m' выполняются следующие три условия:

- имеет место неравенство m ^ M,

- каждый отрезок 1m+1,j содержит не более одного узла квадратурной формулы (2) (j = 1,2,..., 2m), _ _

- узлы формулы (2) не являются точками вида 2-m(2j — 1) (j = 1, 2,..., 2m-1).

Очевидно, для всех m > m' указанные три условия также будут выполняться. В соответствии с (8), (12) имеем:

Sq (m') = 2—

2m -1

Е

j=i

N

m',2j-i(x(i)) - Km',2j (x(i))

(15)

Обозначим через N1 число узлов квадратурной формулы (2), лежащих на границах отрезков 1т'+1,з = вирр {кт',з} и отличных от 0 и 1, то есть в точках 2-тj = 1, 2,..., 2т — 1). Для определенности будем считать, что это узлы х(1), х(2),..., х(№1) формулы. По определению числа т' узлы квадратурной формулы (2) не являются точками вида {2-т — 1)} = вирр {кт',2з-1}П вирр {кт',2з-} и каждый отрезок /т'+11з- содержит не более одного узла формулы. Тогда равенство (15) можно записать в следующем виде:

Sq (m') = 2—

N 2m

е:

i=ij=1

E E (CiKm',j(x«))q

N

+ E (2m Ci

i=Ni + 1

N

22

i=1

m ' — 1 /

CA +

N1 N

2 E (0.5 Ci)q + E Ciq

i=1 i=N1 + 1

(16)

Очевидно, £q (m) есть величина, не зависящая от m для всех m ^ m', так как проведенные рассуждения имеют место не только для m = m', но и для любого m > m'. Поэтому sup

M

в равенстве (14) фактически сводится к max , откуда получаем утверждение леммы. □

M^m^m '

Теорема 1. Для функционала погрешности квадратурной формулы (2), точной на константах, имеют место следующие соотношения:

l<*N[f]| < IIfIk sup Sq(m), f G Sp

Sp

II ^n Is

sup Sq (m).

Если квадратурная формула (2) обладает d-свойством, то

l<*N [f]| < If Ik sup Sq (m), f G Sp

d<m<00

(17)

(18)

к

q

q

к

m

2

m

q

II ¿n lis. = sup Zg (m). (20)

p d<m<TO

Доказательство. В силу (5), (6) неравенство (17) следует из (7). Из (17) получаем:

s* ^ sup Zq(m)-

p

Требуется доказать, что это неравенство неулучшаемо. Воспользуемся техникой доказательств, примененной в [1]. Зафиксируем значение mo, существование которого было доказано в лемме 4. В соответствии с этой леммой

2mo-i 1

mo — 1 Г х-^ 1 q

sup zq(m) = 2- — ]Г |Q[Xmo,j]|q q. (21)

Рассмотрим функцию

2mo —

mo — 1

/то (х)=2 2 д[Хто,]] |^[Хтс,]Г Хто,] (х).

¿ = 1

Легко видеть, что для функции /то (х) коэффициенты Фурье - Хаара вычисляются по формулам:

"0 2 1 П 1 1

сто,3 =2 - 88П д[Хто,^ ] |^[Хто,^ Г 1 , 3 = 1, 2,..., 2т°-1, со,о = 0, ст,^ =0, т = то, 3 = 1, 2,..., 2т-1. Следовательно,

Ap(fmo )

и в соответствии с (9)

2mo —1

Е IQ[Xmo,j ]|9 j—1

(22)

2mo —

6* [/то ] = -2^^ Е |^[Хто ]|9 . (23)

¿=1

Из (21), (22), (23) с учетом (6) получаем:

|6* [/то ]| = Ар ( /то ) вир (т) = ||/то ||яр вир (т).

1^т<то 1^т<то

Отсюда следует равенство (18).

Если квадратурная формула (2) обладает ¿-свойством, то в силу ее точности на полиномах Хаара степеней, не превосходящих нижний индекс в сумме по т в правой части равенства (9), а значит, и неравенства (7), будет равен й +1, и тогда неравенство (17) примет вид (19). Так же, как и при доказательстве равенства (18), строится функция /то(х), для которой

|6* [/то ]| = ||/то |к вир Г, (т), (24)

^<т<то

где то > й удовлетворяет следующему условию:

(то) = вир (т). (25)

^<т<то

Число то > й, для которого выполняется равенство (25), существует в силу леммы 4, применяемой в данном случае для значения параметра М = й + 1.

p

Из (19) и (24) вытекает равенство (20). Лемма 5. Для целых положительных 1 ^ т — 1 имеет место неравенство

2

Zq(m) < 2-m+'[]T Qq[Km-I,j]

j=i

□

(26)

Доказательство. Доказательство неравенства (26) проведем индукцией по 1. Из (12), (13) получаем:

Q [Xm ]

m + 1

2—+1

г -i m+1 m + 1 I 1

Q[Km,2j -1 — Km,2j J ^ 2 2 Q[Km,2j -1 + Km,2j J=2 2 Q [кт — 1 J

откуда непосредственно следует истинность (26) при 1 = 1. Исходя из индуктивного предположения о справедливости неравенства

Zq (m) < 2—

2 m— i + 1

Е

j=1

Qq [Km-! + 1,jJ

докажем (26). Легко видеть, что при а, Ь > 0, д > 1 имеет место неравенство

а^ + bq < (а + Ь)<*. Принимая во внимание (13), (28), из (27) получаем:

(27)

(28)

Zq (m) < 2-m+I-1[]T (Qq [Km-I + 1,2j-1] + Qq [Km-l+1,2j J)

j=1

<

< 2

-m+I-1

(Q [Km-l+1,2j -1 ] + Q [Km-1+1,2 j ])?

j=1

_ 2-m+I

'У ] Qq [Km-] j=1

Лемма 6. Если квадратурная формула (2) обладает d-свойством, то

- i

sup Zq(m) < (2d) p .

d<m<^>

□

(29)

Доказательство. Из леммы 2 и условия точности квадратурной формулы (2) на полиномах Хаара степеней, не превосходящих следует равенство

Q[Kmj] _ I[Kmj] = 1, m =1, 2,..., d, j = 1, 2,..., 2m.

(30)

В силу (30), (26) для m — 1 ^ d

Zq(m) < 2-m+I[^ 1 q = (2m-1) p. j=1

Подставляя в это неравенство значение m = d +1, приходим к (29). Лемма 7. Если квадратурная формула (2) точна на константах, то

sup Zq(m) ^ 2-p N-p.

1<m< ^

□

q

q

-i

2

2

q

2

Доказательство. Несложно показать, что при условии

С + С2 + ... + С* = 1 (С > 0, г =1, 2,..., N), которое следует из точности квадратурной формулы (2) на константах, функция

*1 N

¥>(61,62,..., С* ) = ^(0.5 + ]Т С^9

¿=1 ¿=N1+1

достигает своего наименьшего значения, равного ^ + , когда

С = С2 = ... = = 2(N + N1)^, С*1+1 = С*1+2 = ... = с* = ^ + N1)^. Тогда из (16) получаем:

(т') > (N + р > 2-рN-р,

где т' — значение, выбранное в доказательстве леммы 4. Отсюда следует неравенство (31).

□

Теорема 2. Для нормы функционала погрешности квадратурной формулы (2), точной на константах, справедлива следующая нижняя оценка:

||6*Из* > 2-рN-р. (32)

Если квадратурная формула (2) обладает й-свойством, то

||6*||5* < (2')*. (33)

р

Неравенство (32) следует из теоремы 1 (равенство (18) ) и леммы 7, неравенство (33) — из теоремы 1 (равенство (20) ) и леммы 6.

Замечание 1. В [2] описаны все минимальные весовые квадратурные формулы

I д(х)/(х) йх С/(х«),

обладающие й-свойством. Доказано, что в случае весовой функции д(х) = 1 минимальная формула единственна: число ее узлов N = 2'-1, узлы этой формулы х^ = 2-'(2г — 1), коэффициенты при узлах C¿ = 2-'+1, г = 1, 2,..., 2'-1. Указанная квадратурная формула имеет вид (2); в соответствии с неравенством (33) норма ее функционала погрешности

||6*||з* < 2-рN-р,

и поскольку ||6*||з* удовлетворяет также неравенству (32), имеет место равенство

*

||6*||з* = 2-рN-р . (34)

Отсюда, в частности, следует, что константа 2-р в правой части неравенства (32) не может быть увеличена, а величина (2') р в (33) не может быть уменьшена. Таким образом, мы установили, что минимальная квадратурная формула (2), обладающая й-свойством, является наилучшей формулой на пространствах Бр.

3. Верхняя оценка нормы функционала погрешности квадратурных формул на пространствах На

Сформулируем определение классов функций На(Ь), введенное в [1].

Пусть 0 < а ^ 1, Ь > 0. Множество функций /(ж), определенных на отрезке [0,1] и удовлетворяющих неравенству

|/(ж) - /(у)| < Ь|ж - у|а

для любых ж, у € [0,1], называют классом На(Ь). Константу Ь называют определяющей постоянной этого класса.

В [1] показано, что множество функций /(ж), принадлежащих всем классам На(Ь) (со всевозможными значениями Ь, значение а фиксировано), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле

||/||на = вир {|/(ж + *) - /(ж)||Га|.

Указанное линейное нормированное пространство обозначается На. При этом все функции /(ж), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию.

В [1] доказаны утверждения, которые в одномерном случае принимают следующий вид (леммы 8 - 10).

Лемма 8. Для коэффициентов Фурье - Хаара суммируемой функции /(ж) € На(Ь) имеют место неравенства

|ет,д | < 2-т(а+ 2)" 2 Ь, т =1, = 1, 2,..., 2т-1. (35)

Лемма 9. Если ар > 1, то На(Ь) С (А) при А = 0.5 Ь (2а - 2р)-1.

Лемма 10. Для функции /(ж) € На(Ь) норма ||/||На ^ Ь. Если для /(ж) выбрать наименьшую возможную определяющую постоянную Ь, то ||/||На = Ь.

Теорема 3. Если функция /(ж) € На, то для нормы функционала погрешности квадратурной формулы (2), обладающей й-свойством, имеет место следующая оценка:

< 2-^-1(2а - 1)-1. (36)

Доказательство. Пусть р > а 1, Ь — определяющая постоянная одного из классов На(Ь), содержащих функцию /(ж). Тогда в соответствии с леммой 9 /(ж) € £р(А), где А = 0, 5 Ь (2а - 2р)-1.

Рассмотрим неравенство (7). Так как квадратурная формула (2) точна на функциях Хаара первых й групп, то с учетом (8)

г2т-1 у = 1

В силу (35) имеем:

[/]| <£ £ |ст,з |Р £ МХт,;? ] 1 ¿=1

Р г 2

< £ 2^ £ |ет,у|р ' вир (т). (37)

| V

¿ = 1 с£<т<то

2

2

£ |Р < £ 2

¿ = 1 т>^

2

2т-1 I 2-т(а+ 2)-2Ь

2-1-РЬ £ 2-т(а-Р) =2-^(а-Р)Ь (21+а - 21+Р )-1.

-1

2

2

р

р

Из неравенства (37) с учетом (29), (38) получаем:

[f]| < 2-d(a-Р}L (2d)-1 (2a+1 — 21+P)-1 = 2-ad-1L (2а — 2P)-1.

Следовательно,

|<*n[f]| < 2-ad-1 L(2а — 1)-1, (39)

поскольку выражение в правой части (39) есть inf {2-ad-1L (2а — 21/p)-1}.

p> 1/а

Выберем в качестве L наименьшую возможную определяющую постоянную для f (x). В соответствии с леммой 10 из (39) получим:

|<*n[f]| < 2-ad-1 (2а — 1)-1||f IH, откуда следует неравенство (36). □

Замечание 2. В случае минимальных квадратурных формул (2), обладающих d-свойством, с N = 2d-1 узлами x(j) = 2-d(2г — 1) и коэффициентами при узлах C = 2-d+1, г = 1, 2,..., 2d-1 (замечание 1) оценка (36) может быть записана в виде

II^n||H. < 2-а-1(2а — 1)-1N-а.

Следовательно, для указанных квадратурных формул

II^n|| = O(N-а) при N ^ те.

H а

Заключение

В [1] рассмотрены кубатурные формулы

1 1

N

f (x1, X2,. .., xn) dx1 dx2 . .. dxn « N-1 f (x^, x2j), .. ., x^-1) (40)

0 0

с 2^ узлами ( х^'), х2'},. .., хП '') е [0,1]п, образующими Пт-сетки (0 < т < С), и доказано, что они точны на полиномах Хаара степеней в ^ ! — т. Для нормы функционала погрешности таких формул на пространствах На доказано [1] асимптотическое равенство

11^||н. = О ^-а1п"-1^, N ^ те,

а на пространствах £р — двусторонняя оценка

N-р < ||е. < 22=р±тN-р. (41)

Также установлено [1], что при п = 1, 2, 3 Пт-сетки со сколь угодно большим числом N = 2^ узлов существуют для любых значений т = 0,1, 2,... Следовательно, в одномерном случае константа-множитель в правой части неравенств (41) принимает наименьшее значение при т = 0, и соотношения (41) записываются в виде равенства

Н^ ||5* = N- р. (42)

Очевидно, для квадратурных формул, исследованных автором данной работы, норма функционала погрешности ||н* при N = 2^-1 тоже ограничена по сравнению с N-а,

н а

N ^ те. Норма функционала погрешности Ия* при N = 2^-1 так же, как и для формул

1

(40), рассмотренных в [1] (в случае п = 1), имеет порядок N-р, причем константа в правой части равенства (34) меньше, чем в (42).

В частности, условию N = 2^-1 удовлетворяют квадратурные формулы, построенные в [2]. Указанные формулы можно рассматривать как обобщение формул (40), исследованных в [1] (при п = 1) — квадратурные формулы (40) с 2^ узлами, образующими П0-сетки, представляют собой частный случай формул, обладающих й-свойством. При этом квадратурные формулы, рассмотренные в [2], будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость [/] к нулю при N ^ то.

Список литературы

[1] И.М.Соболь, Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара, М., Наука, 1969.

[2] К.А.Кириллов, М.В.Носков, Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара, Журнал вычислительной математики и математической физики, 42(2002), №6, 791-799.

[3] M.V.Noskov, K.A.Kirillov, Minimal cubature formulas exact for Haar polynomials, Journal of Approximation Theory, 162(2010), №3, 615-627.

[4] К.А.Кириллов, Об оценке погрешности минимальных весовых квадратурных формул, точных для функций Хаара, Вычислительные технологии, 11(2006), спец. выпуск, 44-50.

[5] A.Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69(1910), 331-371.

Estimates for the Norm of the Error Functional of Quadrature Formulas Exact for Haar Polynomials

Kirill A. Kirillov

On the spaces Sp and Ha, the estimates are found for the norm of the error functional of quadrature

formulas possessing the Haar d-property.

Keywords: Haar d-property, error functional of quadrature formula, function spaces Sp, Ha.