Об оценках погрешности кубатурных формул, точных для полиномов Хаара Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

К. А. Кириллов

ОБ ОЦЕНКАХ ПОГРЕШНОСТИ КУБАТУРНЫХ ФОРМУЛ, ТОЧНЫХ ДЛЯ ПОЛИНОМОВ ХААРА

На пространствах На найдены оценки нормы функционала погрешности кубатурных формул, обладающих ё-свойством Хаара в двумерном случае.

Ключевые слова: ё-свойство Хаара, оценка погрешности кубатурной формулы.

Задача построения и исследования формул приближенного интегрирования, точных для некоторого заданного набора функций, ранее в основном решалась для интегралов, точных на алгебраических и тригонометрических многочленах. Квадратурные и куба-турные формулы, точные для системы функций Хаара, можно найти в монографии И. М. Соболя [1], в которой точность формул приближенного интегрирования на конечных суммах Хаара использовалась при выводе оценок погрешности этих формул.

Описание всех минимальных весовых квадратурных формул, обладающих ё-свойством Хаара, т. е. формул, точных на константах и функциях Хаара первых ё групп, было проведено в [2].

В двумерном случае задача построения кубатурных формул, обладающих ё-свойством Хаара, т. е. формул, точных для полиномов Хаара степеней, не превосходящих заданного числа ё, решалась в [3-5], а исследование нормы функционала погрешности этих кубатурных формул на пространствах 8Р проводилось в [6].

Основные определения. В данной статье используется оригинальное определение функций Хи/х), введенное А. Хааром [7], отличное от определения этих функций в [1].

Двоичными промежутками /т; назовем промежутки с концами в точках (/ -1)/2т- ,_у'/2т-1 (т = 1, 2, ..., } = 1, 2, ..., 2т-1). Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать этот промежуток замкнутым слева, если его правый конец совпадает с 1, то замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины /т, / (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать /т,/ и /+т^/ соответственно.

Система функций Хаара строится группами. Группа номер т содержит 2т-1 функций %»,/х), где т = 1, 2, ..., / = 1, 2, ..., 2т-1. Функции Хаара хт, /х) определим следующим образом:

х m,j(х) =

-2(

,(m-1)/2

0 при x е [0,1] \ l ,

m,j

0,5 [х . (х - 0) + х . (ж + 0)J, если x - внутренняя точка разрыва,

---- , m-1 , m-1 m-1

где l = [(j-1)/2 ,j12 ], m = 1,2,..., j = 1,2,...,2 .

В систему функций Хаара включают также функцию х 0 0 (х) =1, которая остается вне групп.

В двумерном случае полиномами Хаара степени ё назовем линейные комбинации с вещественными коэффициентами мономов Хаара

X Л( X1) Xm2, j2( X2 )

где m1 + m2 = 0, 1,

Jn =

j1

...,d

2mn 1, если mn Ф 0,

I!,2- - -

10, если mn = 0, n = 1, 2.

причем хотя бы один из коэффициентов при мономах Хаара степени ё (т1 + т2 = ё) отличен от нуля.

Будем рассматривать кубатурные формулы

11 N

1[/] = Ц f(x\,х2) ёХ ёх2 Cif(x1l), х2г)) = б[/], (1)

0 0 X(i) х(г h

i=1

где (х ,x2j) е [0,1] - узлы формулы (1); Ci - коэффициенты при ее узлах (вещественные числа), i = 1, 2, ..., N, f (х1, х2) - функция, определенная и суммируемая на множестве [0,1]2.

Будем говорить, что формула (1) обладает d-свойством Хаара, или просто d-свойством, если она точна для любого полинома Хаара Р(х1, х2) степени, не превосходящей d, т. е. Q[P] = I[P].

Сформулируем определения классов функций двух переменных Ha(L1, L2, L12) и Sp(A1, A2, A12), приведенные в [1] для n-мерного случая.

Введем обозначения:

f (X1, X2) = f (х + ч, X2) - f (X, X2),

At2 f (X1, X2) = f (X1, X2 + t2) - f (X1, X2).

Пусть 0 < a < 1, L1, L2, L12 > 0. Тогда множество функций f (х1, х2), определенных в единичном квадрате [0, 1]2 и удовлетворяющих неравенствам

\Atjf (X1, X2) < L^ Г , i = i,2,

|At1 At2 f (X1, X2^ < L1,2 |t1t2 I

для любых

(x1 + k1t1, x2 + k2t2) е [0,1]2, k1,k2

L 2

называют классом На(Ь1, Ь2, Х12), а константы Ь1,

Ь12 - определяющими постоянными этого класса.

В [1] показано, что множество функций / (х1, х2), принадлежащих всем классам На(Ь1, Ь2, Х12) (со всеми возможными Ь1, Ь2, Ь12, значение а фиксировано),

является линеиным пространством, на котором норма вводится по формуле

ll/Ik = max {sup Д f ^ х2)\|^|-а,

sup|\f(xl, Х2)\\t2\~a, sup|д^ Д2 f(Xl,х2)\\tit2\|,

где точные верхние границы берутся по всем

(xV + k1t1, x2 + k2t2) e [0, l]2, kV,k2 e {0, l}.

Введенное линейное нормированное пространство обозначается Ha. При этом все функции f (x1, x2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию.

Множество функций f (x1, x2), определенных в единичном квадрате [0, 1]2 и представленных в виде ряда Фурье-Хаара

ю 2"1-1

f (X1, x2 ) = Со + X Z CS X "i,1 (x1 ) +

m1=1 Ji =1

ю 2m2-1

+ z z c0m2 x m2, j2( x2)+

m2=1 J2 =1 ю ю 2'm-12m2-1

+ ZZ Z Z cm^) Xm1, Л( x1) X m2, J2 (x2 )

m1 =1 m2 =1 Ji =1 J2 =1

с вещественными коэффициентами

c(J) c (J2) c( Л, j2) = 12 j = 12 7”

^m1,0^0,m2> m1,m2 V n *"> ' ' ' ’ Jn

, n = 1, 2),

удовлетворяющими условиям

~2"1 -1

A»>(f) =X 2<“1-1»2-

m1 =1

ю

Af(f) = Z 2'"’41/2

m2 =1

mi,0

Z Id

. 11=1

2m2-1,

V p

< A

Z

J2 =1

c( j2)

""0,m2

<

(3)

4U)( f) =

= Z Z 2(m1 "1^2+(m2 1^2

m1 =1 m2 =1

2"i -1 t"2-1

Z Z

J1 =1 J2 =1

c( j1, j2)

m1,m2

< A

1,2

=a®( f)+424 f)+<2)( f).

(4)

Sn [ f ] = I[ f ] - Q[ f ] =

1 1

N

= U f (x, x2) dx1 dx2 - Z Ctf (x(), x«).

0 0 i=1

В [6] были введены величины

(5)

z q (mn)=2-

Ю 1 1 2"п-1 N q

Z ZCiX"“,J“ (x“))

j. =v i=1

V q

(6)

n = 1, 2,

Z q1^2)(m1, m2) = 2-(m1 -1^2-(m2-1)/2:

2”i-1 2m2-1 N q

Z Z Z Ci XmV, j1(xi(i)) Xm2, J2(x2!))

_ л=1 J2-1 i=1

V q

где ш\, т2 = 1, 2, ..., q > 1, а также доказаны неравенства, справедливые для кубатурных формул (1), обладающих ^-свойством:

-V р

Z“Vm2)< 2V P (2d)

Z“m) = (2dГ P , n = 1,2,

2"Ч -1 2m2 -1

|SN [ f]\ < Z 2(m1 -1V2+(m2-1)/2

m1 +m2 =2

z ql’2)(ml, m2) + z 2

(mi -1V2

+z 2( m2-1^2

m2 =1

"j =1

~2m2-1

Z Z

Jl =V J2 =V 2m1 -1

,‘ J1, J2) mi,m2

V p

(7)

V p

Z

Ji=i

Ш

m1,0

Z>i)

Z

J2 =V

c( J2)

""0,m2

V P

В [1] доказаны утверждения, которые в двумерном случае принимают следующий вид.

Лемма 1. Для коэффициентов Фурье-Хаара суммируемой функции/(хь х2) класса На(Ь1, Ь2, Х12) имеют место следующие неравенства:

(9)

где р > 1, А1, А2, А12 - вещественные константы, определяется как класс Sp(Al, А2, А1,2). В [1] доказано, что множество функций / (х1, х2), принадлежащих всем классам Sp(A-l, А2, А1,2) (со всеми возможными А 1, А 2, А1,2, значение 1 < р < ® фиксировано), является линейным пространством, на котором норма вводится по формуле

Данное линейное нормированное пространство обозначается Sp. При этом все функции / (хь х2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию.

Оценки нормы функционала погрешности кубатурных формул на пространствах На. Обозначим через 5дг / функционал погрешности кубатурной формулы (1):

СJl,h) \ < 2-("1 +m2)(a+1/2)-1 Т mi,m2 _ M,2 ’

С^ I < 9-ml‘“+V2’-V2 Т |c(J2) I < 7-m2‘«+V2’-V2 Т |6m1,^2 L1, |60,m^2 L2.

Лемма 2. Если ap > 1, то

H a (A, L2 , A,2 ) C ^p (A1, A2 , A1,2 ),

где

4 = 0,5Lj(2a - 2Vp), i = 1, 2;

A12 = 0,5L1^/(2a - 2Vp).

Лемма 3. Для функции f(x1, x2) класса Ha(LV, L2, L12) норма

IHk < max { L1, L2 , L1,2 }.

Если для /xv, x2) выбрать наименьшие возможные определяющие постоянные LV, L2, L12, то

= max

{ ^1, L2 , LV,2 }.

X

30

X

GO

o’

a

Имеет место следующая лемма.

Лемма 4. Для любого натурального ё и любого -1 < / < 1 справедливо следующее равенство:

ад

£ (к -1)^ = ^+'(1 -/)-1 + /ё+2(1 -/)-2. (10)

к=ё+1

Лемма доказывается с помощью почленного интегрирования ряда

ад

£ (к -1) /к-2 .

к =ё+1

Теорема 1. Если функция /(х1, х2) е На, то для нормы функционала погрешности кубатурной формулы (1), обладающей ё-свойством, имеет место следующая оценка:

||5^||н. < 2-аё-2 {с1 (2а -1)-1 + (2а+2 - 3)(2а -1)-2 ). (11)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть р > 1/а, а Ь1, Ь2, Ь12 - определяющие постоянные одного из классов На(Ь\, Ь2, ^1,2), содержащих функцию /хь х2). Тогда в соответствии с леммой 2

где

f <X1, x2 ) Є Sp <A1, A2 , A1,2 ),

4 _ 0,5lJ(2a - 2V p), i _ 1, 2; A12 _ 0,5L12/(2a - 2V p).

Введем следующие обозначения:

2“i-1

>( f ) _ Z 2“HV2

-Api,</) - Z 2<"H)/2

“і >d

Z L<ЛІ

. л _i

2m2 -1

Z|

j2 -1

“i,0

L< j2 ) '"0,m2

V p

A<U)(f) _ Z 2<“і-іУ2+<“2 -1)/2 “і +m2 >d

В силу (9)

2“і-1 2m2-1

Z Z

j1-1 j2-1

L< j1, j2) ““і ,m2

A<n)(f) < Z 2<“n _1V2 2“n-1 (“n <a+V2)-V2 j )

mn >d

_ 2-d<a-Vp) j (+1 - 2Vp+1)

V p

n _ i, 2.

A(1,2) (f) < Z 2<“1 -1^2+ <“2-1V2 x

“i+“2 >d

2mi-1 x 2m2-1 x^2-(mi +m2)<a+V2)-1 j 2 )p

_ 2-2-^pL12 Z 2-<mi +m2)(a-Vp)

“i+“2 >d

V p

Так как в последней сумме каждому значению т\ + т2 = к соответствует (к - 1)-е слагаемое, то в силу равенства (10) имеем

Apu)( f) < 2-2-2/pL12 Z (k - І) 2-k<a-Vp) _

k >d

d x 2-d<a-^p)-1-^p (а+1 - 2Vp+v )-1 +

+ 2'

-d (a-

Vp) ^2a+1 - 2Vp+v )

(І4)

L1,2.

Применяя (7), (ІЗ), (14), из (В) с учетом (І2) получим

+ 0,5L

|Sn[ f ]| < 2-ad-1 {(Li + L2 ) - 2Vp )-1

d (2а - 2Vp )-1 + 2Vp (2a - 2Vp )

(І5)

Тогда

|Sn[ f ]| < 2-ad-1 {(Li + L2 )( - i)

+ 0,5L1,:

d(2a -i) 1 +(2a-i)

(1б)

(12)

V p

поскольку выражение в левой части (16) может быть представлено в виде

^ |2-аё-1 (!1 +12 )(2а - 21 р )-1 +

+ 0,5Ь12 ^ё (2а - 21 р )-1 + 21 р (2а - 21 р ) -2 ^

Выберем в качестве Ь1, Ь2, Ь12 наименьшие возможные определяющие постоянные для /хь х2). В соответствии с леммой 3 из неравенства (16) получим:

|8ы[/]| < 2-аё-1 ^2 (2а -1)-1 + 0,5 ё(2а -1)- + (2“ -1)

(1З)

Применим первое из неравенств (9) к выражению

A pu)( f):

Отсюда следует неравенство (11). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь кубатурные формулы (1), обладающие d-свойством, число узлов которых N ~ 2d при d ^ да. Указанному условию удовлетворяют минимальные кубатурные формулы, т. е. формулы с наименьшим возможным числом узлов, обладающие d-свойством, которые были построены в [З] для значений d > 5 (число узлов каждой такой формулы N = 2d - 1(d), где

іу/2+V - 2 при d _ 2l,

l(d) _<! ,

[З x 2<d-1)/2 - 2 при d _ 2l - i, l _ З, 4,....

Тогда в силу (11) имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Если кубатурная формула (1), число узлов которой N ~ 2с при С ^ да, обладает С-свойством, то норма ее функционала погрешности удовлетворяет неравенству

1М1„; ^©^

где © (N) ~ 0,25N-а log2 N ^2а -11 при N ^ да .

З5

В [І] рассмотрены кубатурные формулы

і і і

{{••• j f (x1, x2Й Й Xn ) dx1 dx2 ••• dxn *

1N

^ Zf (xi

(17)

N і~і

с 2d узлами (x1<i),

ДО

■<i) x<i)

1 > x2 >

^ni))

х”)) є [0,1]”, образующими Пт-сетки (0 < т < С ), и доказано, что они точны на полиномах Хаара степеней 5 < С - т. В данной статье доказано асимптотическое равенство [1] для нормы функционала погрешности таких формул на пространствах На

||5X . = 0(N-а 1п”-1 N), N ^ да.

II 11на

норма функционала погрешности изученных автором данной статьи,

Очевидно, что

II5 Л * фор^^

при N ~ 2ё, ё ^ да тоже ограничена по сравнению с ^а 1п N, N ^ да.

В частности, условию N ~ 2ё, ё ^ да удовлетворяют кубатурные формулы, построенные в [3]. Данные формулы являются в некотором смысле обобщением формул, исследованных в [1] для случая п = 2. В то же время они, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость 5дг[/] к нулю при N ^ да.

Библиографические ссылки

1. Соболь И. М. Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара : монография. М. : Наука, 1969.

2. Кириллов К. А., Носков М. В. Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т. 42. № 6. С. 791-799.

3. Кириллов К. А. Построение минимальных куба-турных формул, точных для полиномов Хаара высших степеней в двумерном случае // Вычисл. технологии : спец. выпуск, посвящ. 50-летию Краснояр. гос. техн. ун-та. Т. 10. Красноярск, 2005. С. 29-47.

4. Noskov M. V., Kirillov K. A. Minimal Cubature Formulas Exact for Haar Polynomials // J. of Approximation Theory. 2010. Vol. 162, Iss. 3. P. 615-627.

5. Кириллов К. А. Алгоритм построения минимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара в двумерном случае // Журн. Сиб. федер. ун-та. Серия «Математика и физика». 2010. Т. 3. № 2. С. 205-215.

6. Кириллов К. А., Носков М. В. Оценки погрешности на пространствах op кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2009. Т. 49. № 1. С. 3-13.

7. Haar A. Zur Theorie der orthogonalen Funktionen-systeme // Math. Annalen. 1910. Vol. 69. S. 331-371.

K. A. Kirillov

ON ERROR ESTIMATES FOR CUBATURE FORMULAS EXACT FOR HAAR POLYNOMIALS

On the spaces Ha the estimates are found for the norm of the error functional dN[f ] of cubature formulas possessing the Haar d-property in the two-dimensional case.

Keywords: Haar d-property, error estimate for cubature formula.

© Кириллов К. А., 2012

УДК 004.932

Д. Ю. Колосов

ОЦЕНКА ДВИЖЕНИЯ В ВИДЕОПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НА ОСНОВЕ ТЕНЗОРНОГО ПОДХОДА

Рассмотрен подход к оценке движения с использованием ориентированного тензора. Представлен алгоритм построения оптического потока. Разработано программное обеспечение, с помощью которого проведены экспериментальные исследования.

Ключевые слова: оценка движения, ориентированные тензоры.

Информация о движении в видеопоследовательности может быть использована в разных областях: сжатия видео, в системах видеонаблюдения, при реализации интерфейса между человеком

и компьютером, в системах анализа дорожного трафика и т. д. В данной статье будет рассматриваться метод оценки движения, основанный на тензорном подходе.

0 0 0

Зб