Оценки нормы функционала погрешности на пространствах h кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.518.87

Оценки нормы функционала погрешности на пространствах На кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае

Кирилл А. Кириллов*

Институт космических и информационных технологий, Сибирский федеральный университет, Киренского, 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 31.03.2012, окончательный вариант 31.03.2012, принята к печати 31.03.2012 Для кубатурных формул, обладающих й-свойством Хаара в двумерном случае, получены верхние оценки нормы функционала погрешности на пространствах На.

Ключевые слова: й-свойство Хаара, функционал погрешности кубатурной формулы, пространства функций На.

Введение

Задача построения и исследования формул приближенного интегрирования, точных для некоторого заданного набора функций, в основном решалась ранее для вычисления интегралов, точных на алгебраических и тригонометрических многочленах. Квадратурные и кубатурные формулы, точные для системы функций Хаара, можно найти в монографии И. М. Соболя [1]. В указанной работе точность формул приближенного интегрирования на конечных суммах Хаара использовалась при выводе оценок погрешности этих формул.

Описание всех минимальных весовых квадратурных формул, обладающих ¿-свойством Хаара (формул, точных на константах и функциях Хаара первых с! групп), было проведено в [2].

В двумерном случае задача построения кубатурных формул, обладающих ¿-свойством Хаара (формул, точных для полиномов Хаара степеней, не превосходящих заданного числа !), решалась в [3-5]; исследование нормы функционала погрешности указанных кубатурных формул проводилось на пространствах £р в [6].

В представленной работе продолжены указанные исследования. Для кубатурных формул, обладающих ¿-свойством Хаара в двумерном случае, получена оценка нормы функционала погрешности на пространствах На:

||5*||н* < [¿(2а - 1)-1 + (2а+2 - 3)(2а - 1)-2] .

Установлено также, что для исследованных формул ||5^||н* при N ~ 2 , ! ^ то ограничена по сравнению с N-alnN, N ^ то, что соответствует результатам, полученным И. М. Соболем для некоторых из построенных им кубатурных формул. В то же время исследованные в настоящей статье формулы, будучи минимальными (близкими к минимальным) формулами приближенного интегрирования при указанных ограничениях на число узлов, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость [/] к нулю.

* kkirillov@rambler.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

1. Основные определения

В настоящей работе используется оригинальное определение функций Хт,з (х), введенное А. Хааром [7], отличное от определения этих функций из [1].

Двоичными промежутками назовем промежутки с концами в точках (_?' — 1)/2т-1, (то =1, 2,..., ] = 1, 2,..., 2т-1). Если левый конец двоичного промежутка совпадает с 0, то будем считать этот промежуток замкнутым слева, если правый конец совпадает с 1 — замкнутым справа. Остальные двоичные промежутки считаются открытыми. Левую и правую половины (без середины этого двоичного промежутка) будем обозначать I,

и 1+ . соответственно.

m,j

Система функций Хаара строится группами: группа номер т содержит 2т-1 функций Хт,з (х), где т =1, 2,..., ] = 1, 2,..., 2т-1. Функции Хаара Хт,з (х) определим следующим образом:

Xm,j (x)

2 т2г1 -2

при x £ I,

m, j'

при x

£ 1+

при x £ [0, 1] \ 1m j,

2[xm,j(x — 0) + Xm,j(x + 0)], если x — внутренняя точка разрыва,

1m,j

j — 1

j

m = 1, 2, ..., j = 1, 2,

2т-1 > 2^-1 ' "" _ '''' ^ _ "2т 1. В систему функций Хаара включают

также функцию Хо,о(х) = 1, которая остается вне групп.

В двумерном случае полиномами Хаара степени ! назовем линейные комбинации с вещественными коэффициентами функций хт1,л(х1 )хт2,52(х2), где т1 + т2 = 0,1,...,!, если тп = 0, и ]п = 0, если тп = 0, п =1, 2, причем хотя бы один

jn

= 1, 2,

2m

г 1

из коэффициентов при мономах хт1,л (х1)хт2,^2 (х2) степени ! (т1 + т2 = !) отличен от нуля.

Будем рассматривать кубатурные формулы

1 1

I [f ]

f (xi, x2) dxi dx2

N

f (x(ii)

Ci f (x^ ,x24))= Q[f ]

(1)

0 0

где (x(i),x2i)) £ [0,1]2 — узлы кубатурной формулы, C — коэффициенты формулы при узлах (вещественные числа), i = 1, 2,..., N.

Будем говорить, что формула (1) обладает d-свойством Хаара, или просто d-свойством, если она точна для любого полинома Хаара P(xi,x2) степени, не превосходящей d, т. е.

Q[P ] = I [P ].

Введем обозначения:

Atif(xi,x2) = f(xi + t(,x2) — f(xi,x2), Ai2f(xi,x2) = f(xi,x2 + ¿2) — f(xi,x2).

Пусть 0 < a ^ 1, L(, L2, L(,2 > 0. Множество функций f (xi, x2), определенных на [0,1]2 и удовлетворяющих неравенствам

|Atif(xi,x2)| < Lj|tj|a,i = 1,2, |AtiAt2f(xi,x2)| < Li,2|tit2|a

для любых (xi+k(ti, x2+^2^2) £ [0,1]2, k(,k2 £ {0, 1}, называют классом Ha(L(, L2, Li,2) [1]. Константы Li,L2,L(,2 называют определяющими постоянными этого класса.

В [1] показано, что множество функций f(xi,x2), принадлежащих всем классам Ha(L(, L2, L12) (со всевозможными L(, L2, L12, значение a фиксировано), с нормой ||f ||на, равной наибольшей из точных верхних границ величин |Atlf(xi,x2)| |ti|-a, |At2f(xi,x2)| |t2|-a, |AtlAt2f(xi,x2)| |tit2|-a (точные верхние границы берутся по всем (xi+kiti,x2 +k2t2) £ [0,1]2, ki,k2 £ {0, 1}), образует линейное нормированное пространство,

которое обозначается На. При этом все функции / (ж1, Ж2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию.

Множество функций /(ж1,ж2), определенных в единичном квадрате [0,1]2 и представи-мых в виде ряда Фурье-Хаара

то 2™1-1 то 2т2-1

/ (х1, х2 ) = Со + ^ ^ С^оХтьл (ж0+Е Е ^2 Хт2,^2 (х2) +

mi ,0АU "Г °0,m2A™2,J2

mi = 1 ¿i = 1 m2=1 ¿2 = 1

TO TO 2mi-1 2m2

-1 2m2-1 (2)

+ У ] У ] У ] У ] cmmi,77^2Xmi,ji (xl)Xm2,j2 (x2)

,m2 Лmi ,ji

mi =1 m2 = 1 ji = 1 ¿2 = 1

с вещественными коэффициентами c0, c^m' 0, ^¿m^, cmim (mn = 1,2,..., jn = 1, 2,..., 2mn-1, n =1, 2), удовлетворяющими условиям

_ nmi —i _ r>m2 — i

to 2 i i to 2 2 i

Ap1 )(/)=x 2^ [ £ ^,0|р]p < A1, Ap2 )(/) =^ 2^ [ £ j1

mi = 1 ji=1 m2 = 1 ¿2 = 1

P £ A2

2,

(3)

AP1'2 )(/) = z E E E Ip

TO TO 2mi-i 2m2-i i

mi = 1 m2=1 ji =1 ¿2 = 1

p £ A

1,2

(р ^ 1, А1, А2, А.1,2 — вещественные константы), определяется как класс £р(А.1, А2, А^). В монографии [1] доказано, что множество функций /(ж1,ж2), принадлежащих всем классам 5р(^1, А2, ^1,2) (со всевозможными А.1,А.2, А.1,2, значение 1 ^ р < то фиксировано), с нормой

к = АР1)(/) + А2)(/) + А1^ (/) (4)

Sp "p \J / 1 "p \J / 1 "p

образует линейное нормированное пространство, которое обозначается Sp. При этом все функции /(ж1,ж2), отличающиеся постоянными слагаемыми, считаются за одну функцию.

2. Оценки нормы функционала погрешности кубатурных формул

1 1 N

Обозначим

[/]= I [/] - 3[/] = УУ /(Х1,Х2) !Х1 ЗДж^ , ж^ ), (5)

о о 4=1

где /(ж1,ж2) — функция, определенная и суммируемая на [0,1]2. В [6] были введены величины

1

2mn-i n q

4n)(m„)=2-^[ ]Г Cxmj (x«)^

¿n = 1 i=1

2mi-i 2m2-i n

^ (Ш1,Ш2)=2-^ - ^[E E IE CiXmi'ji (x1i))Xm2,j2 (

n = 1, 2,

¿n = 1 i=1

1

mi —i r, m-2 — i

2mi-i 2m2-i n q

x1 ) )Xm2 ,¿2 (x2

¿1 =1 ¿2 =1 i=1

(6)

Ш1, m2 = 1, 2,..., q > 1, а также доказаны неравенства, справедливые для кубатурных формул (1), обладающих d-свойством:

41,2)(m1,m2) < 2p x (2d)-p, i<")(m„) < (2d)-p, n = 1, 2, (7)

2m1— 12т2 — 1 ЕЕ jmm2 rf ¿f2) (mi,m2)+

J1 = 1 J2 = 1

|<W[f]| < E 2^

m1 +m2 = 2

то _2m1 —

(8)

+ E 2^ £ |«o|P p i^mi)^ 2^ |j |p p

т1 = 1 j1 = 1 т2 = 1

В [1] доказаны утверждения, которые в двумерном случае принимают следующий вид.

Лемма 1. Для коэффициентов Фурье-Хаара суммируемой функции /(х1,х2) класса На(Ь1, ¿2, Ь1;2) имеют место следующие неравенства:

| 1 < 2—(m1+m2 )(a+1 )-1Li,2, | j | < 2—m1(a+1 )—2 Li, |j21 < 2—m2(a+ 2 )—1L2. (9)

Лемма 2. Если ар > 1, то Яа(ЕьЕ2,Ь1;2) С 5р(Аь А2, А1;2), где А, = 0.5Е,/(2а — 2р), i = 1, 2, А1;2 = 0.5Е12/(2а — 2Р).

Лемма 3. Для функции /(х1,х2) £ На(Ь1, Ь2, Ь12) норма ||/||На ^ тах {¿^ ¿2, ¿12}. Если для /(х1,х2) выбрать наименьшие возможные определяющие постоянные Ь1,Ь2,Ь12, то ||/||на =тах {¿1,Е2,Ь1,2}.

Имеет место следующая лемма. Лемма 4. Для любого / £ ( — 1,1) и любого натурального ! имеет место следующее равенство:

Е (к — 1)/' = ^ + 7^". (10)

1 - t (1 -1)

Лемма доказывается с помощью почленного интегрирования ряда ^ (k — 1)tk 2.

fc=d+1

Теорема 1. Если функция f (x1,x2) G то для нормы функционала погрешности куба-турной формулы (1), обладающей d-свойством, имеет место следующая оценка:

ll<WУн- < 2-

-ad—2

d

2a+2 — з

2a — 1 (2a — 1)2_

+

(11)

Доказательство. Пусть р > 1/а, а Е1,Е2,Е12 — определяющие постоянные одного из классов На(Е1, ¿2, ¿1,2), содержащих функцию /(х1,х2). Тогда в соответствии с леммой 2 /(Х1, Х2) £ 5Р(АЬ А2, А1,2), где А, = 0.5^/(2° — 2р), i =1, 2, ¿1,2 = 0.5^,2/(2° — 2р). Введем следующие обозначения:

Ap1)(f)= е Е |cmm11,o|p р, Ap2)(f)= E j1

2m1—

m1 =d+1

j1=1 то

4P |j |p

m2=d+1 2m1 — 1 2m2 — 1

Ap1'2)(f ) = E 2**

m1 +m2=d+1

2 1 2

В силу (9) имеем:

2

AP1)(f) < E 2^

m1 =d+1

AP2) (f) < E 2

m1=d+1

m2 —1 2

EV^ |r(j1>j2) |P / ■> I m1,m2l

j1 =1 j2 = 1

2m1 — 1 Ы—m1(a+1 )— 2 L

-d(a— P )i

2m2 — 1 ¡2—m2(a+1 )— 2 L

20+1 — 21+P 2 —d(a— P )r.„

20+1— 21+

(12)

TO

TO

то

p

p

TO

2

p

TO

p

(1 2)

Применяя (9) к выражению Ap ' ;(/), получаем:

2mi — 1 х 2m2-i х ^*2-(т1+т2)(а+1 )_1Li 2

то

>L1>2 2—(mi+m2)(a— Р

AP1'2)(/) < E 2^

mi +m2 = d+1

1-2-^ = 2 1 Li 2

mi+m2 = d+1

Так как в последней сумме каждому значению т1 + т2 = к соответствует к - 1 слагаемое, в силу равенства (10) имеем:

АР12)(/) <

22+ Р

Е (k - 1)2

fc=d+1

-k(a-p)

-d(a—1 )-1-1

+

2

-d(«-p)

2«+1 - 21+Р (2«+1 - 21+Р )2^

L1,2. (14)

Применяя (7), (13), (14), из (8) с учетом (12) получаем:

|<*N[/]| < АР1)(/)Г(1)(Ш1) + аР2)(/)^(2)(Ш2)+ АР1,2)(/)Г(1'2)(Ш1,Ш2) <

< (2d

2—d(a—Р> r , 1 d х 2—d(a—Р)-1-Р

---—i(L1 + L2)+2рL^l -:-—-+

2«+1 - 21+Р

-*(«-Р)

2«+1 - 21+Р

(2«+1 - 21+Р )2,

(15)

=2

— ad— 1

i

2 Р

L1 + L2 1 d

-г + о L1,2 -г + "-Г—

2« - 2Р 2 у 2° - 2Р (2« - 2Р )2

Несложно проверить, что

inf

р> Г

L1 + L2

2« - 2 Р

- +

L

1,2

2« - 2 Р

- +

i

2 Р

(2° - 2Р )2

L1 + L2 2« - 1

+

L

1,2

+

2a - 1 (2a - 1)2

Следовательно,

|<*N[/]| < 2-

-ad—1

d

+

1

L1 + L2 + L1,2

2a - 1 + 2 V 2a - 1 ' (2a - 1)2

(16)

Выберем в качестве ¿1,^2 ,¿12 наименьшие возможные определяющие постоянные для /(ж1,ж2). В соответствии с леммой 3 из неравенства (16) получим:

|<*N [/]| < 2

—ad—1

2

1

+

d

+

1

2a - 1 2 2a - 1 (2a - 1)

Отсюда следует неравенство (11). □

Рассмотрим теперь кубатурные формулы (1), обладающие d-свойством, число узлов которых N ~ 2d при d ^ то. Например, указанному условию удовлетворяют минимальные кубатурные формулы (формулы с наименьшим возможным числом узлов), обладающие d-свойством, которые были построены в [3] для значений d ^ 5 — число узлов каждой такой формулы N = 2d - A(d), где

_ f 2d+1 - 2 при d = 21,

A(d) — < d-i

[3 х 2— - 2 при d = 21 - 1,

1 = 3,4,... Тогда в силу (11) имеет место

Теорема 2. Если кубатурная формула (1), число узлов которой N ~ 2d при d ^ то, облагает d-свойством, то норма ее функционала погрешности удовлетворяет неравенству

||<WНя* < 02(N), где 02(N)

N—a log2 N 4(2« - 1)

при N ^ то.

р

Р

то

L1,2

2

d

d

1

2

2

2

Заключение

В [1] рассмотрены кубатурные формулы

1 1

. / (х1,Х2 ,...,!„) !х1 « ^Е/ (ж1г) ,*2° ,...,х!г)) (17)

0 0

= 1

с 2^ узлами ( Х^'), х2'), . . . , Хп О £ [0,1]п, образующими Пт-сетки (0 < т < V), и доказано, что они точны на полиномах Хаара степеней в ^ V — т. Для нормы функционала погрешности таких формул на пространствах На доказано [1] асимптотическое равенство

||я. = О (М-а1п"-1Ж), N ^ те. Очевидно, что норма функционала погрешности ||н* формул, изученных автором дан-

Н а

ной работы, при N ~ 2^, ! ^ те тоже ограничена по сравнению с N-а1пМ, N ^ те.

В частности, условию N ~ 2^, ! ^ те удовлетворяют кубатурные формулы, построенные в [3]. Указанные формулы являются, в некотором смысле, обобщением формул, исследованных в [1] при п = 2; в то же время они, будучи минимальными формулами приближенного интегрирования, обеспечивают наилучшую поточечную сходимость [/] к нулю.

Работа выполнена при финансовой поддержке АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы"(проект П-5 "Кубатурные формулы и их приложения").

Список литературы

И.М.Соболь, Многомерные квадратурные формулы и функции Хаара, М., Наука, 1969.

К.А.Кириллов, М.В.Носков, Минимальные квадратурные формулы, точные для полиномов Хаара, Журнал вычислительной математики и математической физики, 42(2002), №6, 791-799.

К.А.Кириллов, Построение минимальных кубатурных формул, точных для полиномов Хаара высших степеней в двумерном случае, Вычислительные технологии, 10(2005), спец. выпуск, 29-47.

M.V.Noskov, K.A.Kirillov, Minimal cubature formulas exact for Haar polynomials, Journal of Approximation Theory, 162(2010), №3, 615-627.

К.А.Кириллов, Алгоритм построения минимальных кубатурных формул, обладающих d-свойством Хаара в двумерном случае, Журнал СФУ, Сер. "Математика и физика", 10(2010), №2, 205-215.

К.А.Кириллов, М.В.Носков, Оценки погрешности на пространствах кубатурных формул, точных для полиномов Хаара в двумерном случае, Журнал вычислительной математики и математической физики, 49(2009), №1, 3-13.

A.Haar, Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme, Math. Ann., 69(1910), 331-371.

Estimates for the Norm of the Error Functional in Ha for Cubature Formulas which Exact for Haar Polynomials in the Two-Dimensional Case

Kirill A. Kirillov

In the two-dimensional case upper estimates of the norm of the error functional in Ha are obtained for cubature formulas possessing the Haar d-property.

Keywords: Haar d-property, error functional of cubature formula, function spaces Ha.