Свойство Банаха - Сакса Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал Июль-сентябрь, 2005, Том 7, Выпуск 3

УДК 517.98

СВОЙСТВО БАНАХА - САКСА1

Е. М. Семенов, Ф. А. Сукочев

Профессору Юрию Федоровичу Коробейнику в связи с его 75-летием

Статья посвящена изложению и обсуждению свойства и р-свойства Банаха — Сакса. Вводится понятие индекса Банаха — Сакса. Основное внимание уделено перестановочно-инвариантным пространствам. Показано, что свойство и р-свойство Банаха — Сакса тесно связаны с другими геометрическими свойствами банаховых пространств (тип пространства, р-выпуклость, индексы Бойда). В качестве примера рассматриваются пространства Орлича и Ьр,ч.

Пусть Е — банахово пространство, Хк £ Е

п

ка ¿2 х к к=1

задача о получении нетривиальных оценок типа

^ 1, к = 1, 2,... Тривиальная оцен-^ п справедлива всегда. В теории банаховых пространств часто возникает

хк

к=1

= о(п)

(1)

при п — то. Предположение о слабой сходимости к 0 (обозначается Хк 0) оказывается недостаточным для этого. Действительно, рассмотрим в гильбертовом пространстве ¿2

п

последовательность ортов еп = (0, 0,..., 1, 0 ...) с повторениями

(хк) = (е1 ,е1,... ,е1,е2,е2,... ,е2,...).

Очевидно, Хк 0. Если Шк стремится к то достаточно быстро, то

п

ЕХк

к=1

п

2

для всех п £ N. Более того, с помощью подобных рассуждений можно построить такую

последовательность Хк £ ¿2, что

= 1, Хк

Иш —

п^те п

к=1

Хк

0и = 1.

© 2005 Семенов Е. М., Сукочев Ф. А.

Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, программой «Университеты России» и Австралийским исследовательским советом.

Однако для некоторых подпоследовательностей (1) будет выполнено.

В 1930 году С. Банах и С. Сакс доказали следующую теорему ([1, гл. 12, 1.2]). Пусть 1 < р < то, Хк € 1], Хк 0. Существуют такие константа С > 0 и подпоследовательность Шк € N что

п

^ ^ тах(1,1)

< СП 2'

к=1

'mk

для всех n G N, где через N обозначено множество натуральных чисел. Оценка точна в

_ i

следующем смысле. Если 1 < p ^ 2, Xk(t) = (mes ) p Kek (t), где Ke(t) — характеристическая функция измеримого множества e С [0,1], ek — последовательность дизъюнктных подмножеств [0,1], то Xk 0 и

к=1

1

= n P

для любого n € N и любой возрастающей последовательности mk € N. Если 2 ^ p < то, Xk (t) = Гк (t) = sign sin 2k nt, то Xk -w 0 ив силу неравенства Хинчина

Vñ <

к=1

"mk

для любого п € N и любой возрастающей последовательности Шк € N. Теорема Банаха — Сакса приводит к следующим определениям.

Пусть Е — банахово пространство и р ^ 1. Ограниченная последовательность {Хк} С Е называется р-ББ-последовательностью (^^-последовательностью), если существует подпоследовательность {ук} С {Хк} такая, что

sup n p

neN

E^k к=1

< то

lim 1

n

Eyk к=1

Следуя [2, 3], мы будем говорить, что Е обладает р-ББ-свойством (ББ-свойством) и писать Е € р-ББ (Е € Б Б), если всякая слабо сходящаяся к 0 последовательность содержит р-ББ-подпоследовательность (^^-последовательность). Очевидно, всякое банахово пространство обладает 1-ББ-свойством. Множество Г(Е) = {р : р ^ 1, Е € Б Б(р)} есть [1,а] или [1,а) для некоторого а ^ 1. Мы будем называть число а индексом Банаха — Сакса пространства Е и писать:

Y (E) =

а

если Г(Е) = [1, а], а - 0, если Г(Е) = [1,а).

Близкое понятие было введено С. А. Раковым в работе [4], где было изучено р-БЙ1-свойство пространств Орлича.

Сформулированная выше теорема Банаха — Сакса означает, что 7(£р) = шш(р, 2) для р € (1, то). Ясно, 7(^1) = 1. В. Шленк доказал, что Ь\ € ББ [5].

Пусть р € (1, то). Так как всякая слабо сходящаяся к 0 последовательность хп € 1Р сходится к 0 покоординатно, то существует такая подпоследовательность {уп} С {хп}, что уп = ип+^п, где ||г>п||гр ^ 2-п для всех п € N и носители ип € 1Р попарно дизъюнктны. Отсюда вытекает, что 7(1р) = р и 7(со) = то. В силу теоремы Шура слабая и сильная сходимость в ¿1 совпадают, поэтому 7(^1) = то.

L

p

L

p

1

0

Свойство Банаха — Сакса и p-свойство Банаха — Сакса изучались во многих работах. С. Какутани доказал, что всякое равномерно выпуклое пространство обладает свойством Банаха — Сакса [6, гл. 3, § 7, теорема 1]. Примеры рефлексивных пространств с безусловным базисом, но без свойства Банаха — Сакса были построены А. Баернстейном [7] и Б. Бозами [3].

Свойство Банаха — Сакса наследуется подпространствами. Поэтому универсальные пространства C или также не принадлежат классу BS. С. А. Раков показал, что всякое пространство, имеющее тип Радемахера p £ (1, 2], обладает p-BS-свойством [4]. Наиболее полно BS- и p-BS-свойства изучены в классе перестановочно-инвариантных пространств. Приведем необходимые определения [8, 9].

Банахово функциональное пространство E на [0,1] с мерой Лебега называется перестановочно-инвариантным (r. i.) или симметричным, если

1) из |x(t)| ^ |y(t)| вытекает x £ E и ||x||E ^ \\у\\е;

2) из равноизмеримости x(t), y(t) и y £ E следует x £ E и ||x||e = ||у||е.

Всюду в дальнейшем будем предполагать, что E сепарабельно или сопряжено к се-парабельному.

Обозначим через Ke(t) характеристическую функцию измеримого множества e С [0,1].

Для любого т > 0 оператор

^x(t) = f x(T) 0 < t < mrnfr 1),

^x(t) ^0, min(T, 1) < t < 1

ограничен в r. i. пространстве E и ||ay||e ^ max(1,T). Числа

v ln ||о>||e a -,. ln ||о> ||e

aE = lim —--, pE = lim —--

r ln т r ^^ ln т

называются индексами Бойда пространства E. Всегда 0 ^ aE ^ Ре ^ 1- Без ограничения общности можно считать ||к(о,1) |е = 1-

Если E — r. i. пространство, то через E' обозначается множество измеримых на [0,1] функций, для которых

1

x||E' = sup / x(t)y(t)dt < ж.

IIvIIe j

т\Е, о

Известно, что Е' также г. 1. пространство. Если Е сепарабельно, то Е' совпадает с сопряженным пространством Е* и их нормы равны. Если Е сепарабельно, то вложение Е С Е'' изометрично.

Пространства Лоренца Ьрл играют важную роль в теории г. 1. пространств. Если 1 < р < ж, 1 ^ Я ^ ж, то через Ьрл обозначается множество суммируемых функций, для которых

1

' 1 \ Я

Я // М

l|x||Lp,q = I Р/ (x-(t)tР )q ^ I < Ж,

, v- v,- )г-

Р У *

о

где ж*(*) — перестановка функции |ж(*)| в убывающем порядке. Для д = ж норма модифицируется обычным образом. Если Я > р, то || ■ ||Ер — квазинорма, эквивалентная некоторой норме. Если 1 ^ Я < г < ж, то Ьрл С Ьр,г и это вложение строгое. Очевидно, Ьр,р совпадает с Ьр.

Обозначим через Ф множество возрастающих вогнутых на [0,1] функций, удовлетворяющих условию ф(0) = 0, ф(1) = 1. Всякая функция ф £ Ф порождает пространство Лоренца Л(ф) с нормой

1

||ж||л(ф) = ^ ж*(£) #(£). о

Пространство Л(ф) сепарабельно, если ф непрерывна в 0. В этом случае сопряженным к Л(ф) является пространство М(ф) с нормой

т

1

|х||м(ф) = sup —- x*(t) dt.

0<тф(т) J 0

Пусть M(t) — возрастающая выпуклая функция на [0, то), lim -M(t) = ^lim -щ^у = 0. Тогда пространством Орлича Lm называется множество суммируемых функций, для

которых

1

M|lm = ifЛ : Л > 0, J M(|x(t)|/A) dt ^ 1 < то j.

0

Если E — несепарабельное r. i. пространство, то замыкание L^ в E обозначается через E0. За исключением случая, когда E = L^, пространство E0 сепарабельно.

R. i. пространство E обладает свойством Фату, если из условий xn | x п. в., xn ^ 0, sup ||xn|| < то вытекает x G E и ||x|| = lim ||xn||. Пространство E называется p-вы-

n n—

пуклым (p > 1), если существует такая константа C > 0, что для любого n G N и любых

x1, x2,..., xn е E

1

p

n

1 p

Ew

<C El

Если в определении Вй'-свойства ограничиться только последовательностями функций с дизъюнктными носителями, то мы приходим к определению В^-^-свойства. Аналогичным образом, если в определении множества Г(Е) ограничиться лишь последовательностями независимых функций или функций с дизъюнктными носителями, то мы приходим к определению множеств Г^(Е) и Г^(Е).

Если сепарабельное г. 1. пространство обладает свойством Фату, то для него свойство и В5-^-свойство эквивалентны. Предположение о свойстве Фату в этой теореме существенно. Нетрудно проверить, что всякое сепарабельное пространство Лоренца, обладает свойством Фату и В5-^-свойством. Поэтому всякое сепарабельное пространство Лоренца обладает Вй'-свойством. Однако классу принадлежит не всякое пространство Мф. Для того, чтобы пространство Орлича Ьм обладало Вй'-свойством необходимо и достаточно, чтобы Ьм было сепарабельно. Если же Ьм несепарабельно, то ЬМ (замыкание в Ьм) не обладает В5-свойством.

Как отмечалось выше, индекс пространства может принимать любые значения из [1, то]. В классе г. 1. пространств индекс может принимать значения лишь из промежутка [1, 2]. Более того, для любого г. 1. пространства Е Г(Е) С Г^(Е) С Г^(£)П[1,2]. Если сепарабельное г. 1. пространство Е р-выпукло для некоторого р > 1 и ае > 0, то 7(Е) ^ тш(р, 2). В частности, если сепарабельное г. 1. пространство Е 2-выпукло и ае > 0, 7(Е) = 2. Если Е — сепарабельное г. 1. пространство и ае > 1, то Г(Е) = Г»(Е).

p

x

В этой теореме предположение > 2 нельзя заменить на аЕ ^ 2. Действительно, Г(Ь2,1) = [1, 2) и Гг(Ь2,1) = [1, 2]. Если 1 < р ^ 2, Е — сепарабельное г. 1. пространство, р £ Г^(Е) и 0 < аЕ ^ вЕ < р, то р £ Г(Е). В частности, если Е — сепарабельное г. 1. пространство и 0 < аЕ ^ Ре < 2, то

Г(Е)=Гг(Е) = ^(Е) П [1, 2].

Эта теорема позволяет значительно упростить задачу о нахождении индекса Банаха — Сакса конкретных г. 1. пространств. Если 1 <р ^ 2 и р £ Г(Е), то 0 < аЕ ^ Ре < р. Отсюда вытекает, что Ьг С Е С для некоторого г < ж. Для р = 2 справедливо

точное вложение Е С Ь2. Таким образом максимальным элементом (в смысле вложения) в классе сепарабельных г. 1. пространств с индексом р является для 1 < р < 2 и

Ь2 для р = 2. Минимальный элемент (в смысле вложения) в классе сепарабельных г. 1. пространств с заданным индексом Банаха — Сакса отсутствует.

Пусть Е, как и ранее, сепарабельное г. 1. пространство. Для того, чтобы Г(Е) было нетривиально (т. е. Г(Е) = {1}) необходимо и достаточно, чтобы Г^(Е) было нетривиально и 0 < аЕ ^ Де < 1. Для основных классов сепарабельных г. 1. пространств эта теорема допускает следующее уточнение. Пусть Е есть пространство Орлича Ьм или пространство Лоренца Л(ф) или пространство Марцинкевича М0(ф). Для того, чтобы Г(Е) было нетривиально необходимо и достаточно, чтобы 0 < аЕ ^ Ре < 1.

Однако эта теорема не может быть распространена на множество всех сепарабель-ных г. 1. пространств. Универсальное в классе пространств с безусловным базисом пространство Пелчинского и допускает реализацию как сепарабельное г. 1. пространство [9]. Пространство и имеет безусловный базис, поэтому 0 < аи ^ ви < 1. Однако и £ так как и содержит как подпространство пространство, построенное А. Баернстейном [7], следовательно Г(и) = {1}.

Был вычислен индекс Банаха — Сакса пространств Ьр>д. Доказано, что для р £ (1, ж), Я £ [1, ж)

{шш(р, я, 2), р = 2, я = 1 или р = 2, 1 < я ^ 2, шш(р, 2), р = 2, я = 1, 2 - 0, р = 2, я = 1 или я > 2,

(Ьо ) Г тш^ 2) р = 2, 7(Ьр'те) \ 2 - 0, р = 2.

При нахождении 7(Ьр>9) появились новые эффекты, которые отсутствовали в классическом случае пространств Ьр. Тип Радемахера пространства Ьр>д не всегда совпадает с его индексом Банаха — Сакса. Для некоторых значений р, я множество Г(Ьр>д) есть полуоткрытый интервал. Функция 7(Ьр>д) разрывна при я = 1. Для любого а £ (1, 2] множество пространств Ьр>д с индексом ^ а неустойчиво относительно комплексного и вещественного методов интерполяции.

Изложенные выше результаты о свойстве Банаха — Сакса и индексе Банаха — Сакса г. 1. пространств содержатся в работах [10-13].

Работы [14] и [15] содержат результаты о свойстве Банаха — Сакса и индексе Банаха — Сакса симметрично-нормированных идеалов компактных операторов и симметричных пространств измеримых операторов, являющихся соответственно некоммутативными аналогами симметричных пространств последовательностей и г. 1. пространств функций. Изложим вкратце эти результаты.

Если Е — это симметричное сепарабельное пространство последовательностей, то, как показано в [14], Е обладает В 5-свойством тогда и только тогда, когда симметрично нормированный идеал компактных операторов Се обладает В5-свойством. Здесь Се — это пространство всех компактных операторов х на некотором сепарабельном гильбертовом пространстве Н, для которых в(х) £ Е с нормой ||х||се = ||з(х)||е, где в(х) = {зга(х)}^=1 — это последовательность 5-чисел оператора х. Подход, использованный в [14], базируется на следующем утверждении: любая базисная последовательность в Се содержит подпоследовательность, эквивалентную некоторой базисной последовательности в пространстве ¿2 ФЕ. В некотором смысле этот результат является некоммутативным аналогом следующего факта: любая базисная последовательность в Е содержит подпоследовательность, эквивалентную базисной последовательности дизъюнктных элементов. Отсюда, в частности, мы можем заключить, что пространство Се обладает В 5-свойством тогда и только тогда, когда Е обладает Вй'-й-свойством. Более того, вопрос об описании множества Г(Се) сводится к описанию множества Г^2 Ф Е).

Подобный подход неприменим при изучении свойств типа Банаха — Сакса в более общем случае симметричных пространств измеримых операторов Е(М, т), ассоциированных с сепарабельным г. 1. пространством Е и полуконечной алгеброй фон Неймана М, снабженной точным нормальным полуконечным следом т (за более подробной информацией об этих пространствах мы отсылаем к статье [16] и содержащейся в ней библиографии). Использованный в [15] метод может быть охарактеризован как некоммутативный аналог методов, использованных в [10-13]. Основной результат в [15] показывает следующее: если алгебра фон Неймана (М, т) неатомична и если г. 1. пространство Е обладает свойством Фату, то Е(М, т) обладает В 5-свойством тогда и только тогда, когда Е обладает В 5-(1-свойством. Отсюда, в частности, следует, что пространство ЬМ (М, т) нельзя вложить изоморфно в пространство С^о , если пространство Орлича Ьм несепарабельно.

Если Е = Ьр, то пространство Е(М, т) совпадает с (так называемым) некоммутативным Ьр-пространством. Как следует из работ [17-20] имеет место равенство Г(Ьр) = Г(Ьр(М, т)) при всех 1 < р < ж. Для пространств Лоренца (и их обобщений) аналог последнего равенства получен в [15].

Литература

1. Банах С. Теория линейных операций.—Ижевск: Регулярная и хаотичная динамика, 2001.—272 с.

2. Johnson W. B. On quotiens of Lp which one quotients of lp // Compositio Math.—1977.—V. 34.—P. 6989.

3. Beauzamy B. Banach-Saks properties and spreading models // Math. Scand.—1979.—V. 44.—P. 357384.

4. Раков С. А. О показателе Банаха — Сакса некоторых банаховых пространств последовательностей // Мат. заметки.—1982.—Т. 32, № 5.—С. 613-626.

5. Szlenk W. Sur les suites faiblement convergentes dans l'space L // Studia Math.—1965.—№ 25.—P. 337341.

6. Дистель Дж. Геометрия банаховых пространств.—Киев: Вища школа, 1980.—216 с.

7. Baernstein A. On reflexivity and summability // Studia Math.—1972.—V. 2, № 17.—P. 91-94.

8. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. II. Function spaces.—Berlin: Springer-Verlag, 1979.—x+243 p.

9. Крейн С. Г., Петунин Ю. И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.—400 с.

10. Dodds P. G., Semenov E. M., Sukochev F. A. The Banach-Saks property in rearrangement invariant spaces // Studia Math.—2004.—162 (3).—P. 263-294.

11. Semenov E. M., Sukochev F. A. The Banach-Saks index of rearrangement invariant spaces on [0,1] // C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I.—2003.—V. 337.—P. 397-401.

12. Семенов Е. М., Сукочев Ф. А. Индекс Банаха — Сакса // Мат. сб.—2004.—Т. 195, № 2.—С. 117-140.

13. Astashkin S. V., Semenov E. M., Sukochev F. A. The Banach-Saks p-property // Math. Annalen (to appear).

14. Arazy J. Basic sequences, embeddings and the uniqueness of the symmetric structure in unitary matrix spaces // J. Func. Anal.—1981.—V. 40.—P. 302-340.

15. Dodds P., Dodds T. and Sukochev F. Banach-Saks properties in symmetric spaces of measurable operators, submitted.

16. Chilin V. I. and Sukochev F. A. Weak convergence in non-commutative symmetric spaces // J. Operator Theory.—1994.—V. 31.—P. 35-65.

17. Sukochev F. A. Non-isomorphism of Lp-spaces associated with finite and infinite von Neumann algebras // Proc. Amer. Math. Soc.—1996.—V. 124.—P. 1517-1527.

18. Haagerup U., Rosenthal H. P. and Sukochev F. A. Banach embedding properties of non-commutative Lp-spaces // Memoirs Amer. Math. Soc.—2003.—V. 163, № 776.

19. Raynaud Y. and Xu Q. On subspaces of non-commutative Lp-spaces // J. Func. Anal.—2003.—V. 203.— P. 149-196.

20. N. Randrianantoanina. Sequences in non-commutative Lp-spaces // J. Operator Theory.—2002.— V. 48.—P. 255-272.

Статья поступила 14 мая 2005 г.

Семенов Евгений Михайлович, д. ф.-м. н.

г. Воронеж, Воронежский государственный университет

Email:semenov@func.vsu.ru

Сукочев Федор Анатольевич, к. ф.-м. н. г. Аделаиде, Австралия, Университет Флиндерс E-mail: sukochev@infoeng.flinders.edu.au