Индексы Банаха - Сакса для подпространств Радемахера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982

ИНДЕКСЫ БАНАХА — САКСА ДЛЯ ПОДПРОСТРАНСТВ РАДЕМАХЕРА1

© 2009 А.И. Новикова2

В данной работе рассматриваются подпространства перестановочно-инвариантных пространств, порожденные системой Радемахера, и исследуется индекс Банаха — Сакса.

Ключевые слова: система Радемахера, перестановочно-инвариантное пространство, индекс Банаха — Сакса.

Перестановкой измеримой на [0,1] функции x(t) [1, гл. 2.2] называется убывающая непрерывная слева функция x*(t), определяемая формулой

x*(t) = inf{т : П|х| (т) < t},

где пх(т) = mes{t : x(t) > т} — функция распределения. Банахово пространство E = E[0,1] с мерой Лебега называется симметричным или перестановочно-инвариантным (rearrangement invariant, далее — r.i.), если из того, что y € E и x*(t) ^ V*(t) для всех t € [0,1], следует x € E и l|x||e ^ ||у||е [1, гл. 2.4; 2, гл. 2a]. Примерами r.i. пространств служат пространства Lp[0,1], 1 ^ p ^ то, пространства Орлича Lm :

1

||x|lm = inf {A : A > 0, J M ()dt < 1},

0

где M — положительная выпуклая на [0, то) функция, M(0) = 0. Через G будем обозначать сепарабельную часть пространства Орлича Ln2 , N2 (t) = = et2 - 1.

R.i. пространством является также пространство Марцинкевича Mф измеримых на [0,1] функций x, для которых

1

||x|M = sup x*(s)ds < то,

^ 0<t<1 w) J 0

где ф — возрастающая, вогнутая функция на [0,1] и ф(0) = 0.

хСтатья поддержана грантом РФФИ 08-01-00226а.

2Новикова Анна Игоревна ([email protected]), кафедра теории функций и геометрии Воронежского государственного университета, 394006, Россия, г. Воронеж, Университетская пл., 1.

Пространства , 1 <р< то, 1 ^ д ^ то состоят из последовательностей x = (ж1, Ж2,...), для которых конечно выражение

xllp,q —

(ЁК)qkq/p-1)1/q, q < то, k=1

supxkk1/p, q — то, k

гДе К}fc=i

невозрастающая перестановка последовательности ||х^|}£=1-Данное выражение является нормой для 1 ^ д ^ р и квазинормой, эквивалентной некоторой норме, при p < д. Пространство несепарабельно, через обозначим замыкание ¿1 в норме

Если 0 < т < то, то семейство операторов растяжения

о> x(t) —

x(t/r), 0 < t < min(r, 1), 0 для остальных t € [0,1]

действует ограниченно в любом гл. пространстве Е. Числа ае и ве, заданные формулами

1п \\о> ||е

aE — lim

т ^+0

вЕ — lim

т

ln т

ln Hoy Уд ln т ;

называются индексами Бойда (индексами растяжения) пространства E [2, гл. 2b; 1, гл. 2.4]. Для любого r.i. пространства E 0 ^ ag ^ Де ^ 1-

Индексом Банаха — Сакса y(E) банахова пространства E [3] называется sup p, удовлетворяющих следующему условию: любая слабо сходящаяся к 0 последовательность {xn} С E содержит подпоследовательность {xnk} такую, что

sup m p

m

k=1

< то.

E

Пусть E — r.i. пространство на [0,1]. Обозначим через R(E) подпространство E, порожденное системой Радемахера rk(t) — sign sin(2knt), t € [0,1]. Последовательность x — (X1,X2,...) принадлежит R(E), если

те

^ Xkrk принадлежит E и k=1

11хУд(е) —

xkrk

k=1

E

Так как || ХкГк||е = || Хкг^Уе для любых п € € М1^ = ±1 и к=1 к=1

перестановки п чисел 1, 2,...,п [2, гл. 2Ь], то естественный базис в Я(Е) является симметричным. В силу неравенства Хинчина ) (1 ^ р < то)

совпадает с ¿2 с точностью до эквивалентных норм, = ¿1 [4]. В этой

работе также было показано, что пространство Я(Е) изоморфно ¿2 тогда и только тогда, когда Е Э С.

i

Пусть Хо, X — банаховы пространства, непрерывно вложенные в отделимое топологическое пространство. Сумму Хо + X и пересечение Хо П Х1 будем рассматривать с обычными нормами [2, гл.

||ж||х0+х1 =

= Ы{||жо||х0 + ||Х1 |х1 : ж = жо + жь жо € Хо, ж1 € Х1}, ||х|хоПХ1 = тах{||ж||хо, ||х||х1 }•

Через I(Хо,Х1) будем обозначать множество всех интерполяционных относительно (Хо,Х1) пространств. Банахово пространство X называется интерполяционным относительно пары (Хо,Х1), если имеет место непрерывное вложение Хо П Х1 С X С Хо + Х1 и любое линейное ограниченное отображение Т : Хо + Х1 ^ Хо + Х1, сужения которого на Хо и Х1 представляют собой ограниченные линейные отображения Т : Хо ^ Хо, Т : Х1 ^ Х1, также ограниченно действует из Х в Х [5, гл. 2.4].

К-функционал К(Ь,ж; Хо,Х1) определяется для ж € Хо + Х1 и Ь > 0 по формуле

К(Ь,ж; Хо, Х1) = = Ы{||жо||х0 + Ь|ж1|х1 : ж = жо + Ж1, жо € Хо, Ж1 € Х1}

Для каждого Ь > 0 функционал К(Ь, ж; Хо,Х1) есть норма в пространстве Хо + Х1. Пусть 0 < 0 < 1, 1 ^ д ^ то. Функционал , называемый параметром вещественного метода интерполяции, определяется на неотрицательных функциях ^ формулой

Фе,д Ы =

оо \ 1/9

/(Ь-е<^(Ь))9| , 1 < д< то, о )

вир Ь-е^>(Ь), д = то.

Пространство всех ж € Хо + Х1, для которых выполнено

Фе,д(К(Ь,ж; Хо,Х1)) < то, обозначается через (Хо,Х1)е,д и по определению [5, гл. 3.1]

||ж||е,д = Фе,д (К(Ь,ж; Хо ,Х1)).

Нам понадобятся следующие утверждения.

Лемма 1 [6]. Пусть Х €1 (¿1,^2) и определяется соотношением Х = = (¿1, ¿2)К для некоторого параметра Е вещественного К-метода интерполяции, и Е = , С)к. Тогда пространство Я(Е) изоморфно Х, то есть выполнено

сим

X

<

Х^к тк

к=1

< С2|а|х

Е

с константами, не зависящими от последовательности а = (ак)о=1. Вместо последнего двойного неравенства мы будем писать

актк

к=1

а||х •

Е

Лемма 2 [6]. Для того чтобы банахово пространство последовательностей X совпадало с пространством Я(Е) для некоторого гл. пространства Е, необходимо и достаточно, чтобы X €1 (¿1, ¿2)-

Для 1 <р< то, 1 ^ д < то введем пространство Е^ :

1/9

Х||е —

(x*(uMu))q ^ u

_ — _1 1 1

где = 1п р' 4 (и), р + р- = 1. Данное выражение совпадает с нормой пространства Лоренца Лд^(з) = 1п р' (^) :

Nkq И У(X*(S))9#(s)

1/9

для 1 < р, д < то, д ^ р', (д — 1 ^ р—у) и эквивалентно норме в остальных случаях.

Теорема 1. Если 1 <р< 2, 1 ^ д < то, то система Радемахера в пространстве эквивалентна каноническому базису в , то есть ) = = с точностью до эквивалентных норм и

^ak rk

k=1

ll(flk )||

p,9-

E.

Доказательство. Так как lp,q — (¿1,^2)n,9, где 2 — P—1 — p [5, т. 5.2.1],

то по лемме 1 для такого п

Р,9

те

X^ak rk k=1

Далее будем использовать следующую формулу для K-функционала [7]: для х € G

K(t,x; L^,G) — K(t,x; ) -

x t sup (x*(u) ln-1/2(e/u)).

0<«^min(1,e1-t2)

В силу равенства п — 2/p

(1)

l|X|

—/(t-n K(t,x; ^,G))qf —

— J t-n9-1+9 sup (x*(u)9ln-q/2(e/u))dt ^

0 0<«^min(1,e1-t2)

те

^J t-n9-1+9 sup (x*(u)9 ln-q/2(e/u))dt.

0

9

те

Так как sup (x*(u)ln 1/2(e/u)) > x*(e1 t2)t 1, то, продолжая цепоч-

0<«^e1-t2

ку неравенств, имеем

°о 2

"x»(L»>G)4l, > 1 t-nq-1x*(e1-t )q=

0 1 1 1 q = -/ln( u)-221 -1 x*(u)q ■ 1 ln( u)-2 du = и ln( u)-^-1x*(u)qdu = 10 1

= 2/ (x*(uMu))qdu = 1 llx^E^i,. 0

Последнее неравенство доказывает непрерывное вложение С . Следовательно,

y^afc rfc

< С||(ак)||р,,

к=1

для некоторой константы С > 0.

о

Докажем противоположное неравенство. Обозначим жа = ^ акТк и Л,а =

к=1

о

= Е акХ(о,2-к-1). Имеем к=1

КИЕ^ > е2( * + 1)|ае2жв|ЕЕ^ = С £ /^Г ^(в-2М«))* £ >

к=1

0 , „е-к+1 Ч 1 л

> с^ жв(в-к-1)^ее-к 1п(и)-17-1 ^. к=1

Отметим, что

к

^а(е-к-1) ^ Ы2-к-1 - 0) ^ а* (к = 1,2,...),

г=1

и верно элементарное неравенство

в

1 + 2ж < (1 + ж)в (0 < ж < 1, в > 0). (2)

Последний интеграл оценим снизу с помощью неравенства (2):

„„-к+1 Ч 1 , „_-к + 1 Ч 1

Г-к 1п (и)-17-1= -Г-к 1п( и)--1^п( и )) =

Р (к-* - (к + 1)-= Р(т+Т^ ((^)9/р' - 1) > (3)

> q 1 (1 + ■ 1 — 1) > ()2 1 > (()2 1

Р' (к+1)ч/1^ к / ^ 2к(к+1)ч/р' ^ V7 2«/1 кч/?/+1 '

В [4, 8] было показано, что для а € ¿2 справедливо неравенство Л-а(Ь) ^ жв(Ь). Используя этот факт и оценку (3), получаем

„ 0 ч 1 , -, 0 Ч 1 , -,

||жа|Е ^ С^ к-р'- 1жв(е -к -1)9 ^ С^ к-р' Л,а(е-к -1)9 ^ кр'4 к=1 к=1 о ч . / к \ 9 о ч

> С2 • £ к-+9 I 1 Е а* > С^ к1 -1а*9 = С||(ак)||РЛ. ■ к=1 V г=1 / к=1

Теорема 2. Для 1 < р < 2 система Радемахера в пространстве Мар-

— 1 1

цинкевича М^, ^(и) = 1п(Ц)и, р + р = 1 эквивалентна каноническому базису в то есть ) =

y^afc rfc

fc=i

Hte )||

M,/;

Доказательство. Так как = (¿ьУп,^, где 2 = ^р- = р [5

т. 5.2.1], то по лемме 1 для такого п

y^afc rfc

fc=i

Используя формулу (1), имеем

= sup rn+1 sup (x*(u)ln-1/2 (e/u)) =

4 0<«^min(1,e1-t2)

= sup [x*(u) ■ ln-1/2(U) sup i-n+1|.

0^i^ln1/2( u)

^ ^ K u'

Заметим, что для p < 2 справедливо неравенство n < 1 и, следовательно,

sup

0<«<1

[ж» ■ in-1/2( e) ■ in1/2-n/2( e )] =

= sup [X(u) ■ ln-1/p(e)]= sup [ж» ■ ^]

0<«<1

0<«<1

||ж|

M

Замечание 1. Случай пространств 1р, 1 < р < 2 был рассмотрен в статье [4, 8], а случай пространств в статье [9].

Замечание 2. Пространства 1р,д принадлежат множеству I(¿1, ¿2), если и только если р = д = 2 или 1 < р < 2 [5, 10].

Несложно показать, что для гл. пространства Е = индексы Банаха-Сакса пространств Е и Й(Е) удовлетворяют соотношению

1 ^ 7(Е) ^ 7(Д(Е)) ^ 2.

Теорема 3. 1. Для Е = верна следующая альтернатива: 7(Е) = 1 или 7(Д(Е)) = 2.

2. Для любой пары (р, д) : р = 1, 1 < д ^ 2 или 1 ^ р ^ 2, д = 2 найдется гл. пространство Е = Е[0,1] такое, что 7(Е) = р, 7(Л(Е)) = д.

Доказательство. 1. Предположим, что 7(Е) > 1. Тогда [11, т. 4.2] нижний индекс Бойда ае > 0 и [2, т. 2.Ь.3] Ьд С Е С Ьу, для любого д : 0 < у < ае. Тогда для произвольного х € Й(Е) в силу неравенства Хинчина имеем:

А1||ж||г2 ^ || Е ХкГк^ || ЕХкГк||е = к к = ||ж||д(Е) < С|| £ ХкГк||ь? ^ СД,||хУ¿2, к

где , А1 — константы из неравенства Хинчина. Таким образом, Я(Е) изоморфно ¿2 и 7(Я(Е)) = 2.

2. Для семейства пространств £р, 1 ^ р ^ 2 имеем 7(£р) = р, а Л(Ьр) = = ¿2 и 7(Я(£р)) = 2. Напротив, для семейства пространств , рассмотренных в теореме 1, 7) = 1 и 7(Л(Е^,д)) = 7(^) = шт(р, д), 1 ^ д < то, 1 < р < 2.

Литература

[1] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. M., 1978. 400 с.

[2] Lindennstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces II: Function Spaces. Berlin: Springer-Verlag, 1979. 243 p.

[3] Семенов E.M., Сукочев Ф.А. Индекс Банаха — Сакса // Матем. сборник, 2004. Т. 195(2). С. 117—140.

[4] Rodin V.A., Semenov E.M. Rademacher series in symmetric spaces // Anal. Mathematika. 1975. V. 1. P. 207—222.

[5] Bergh J., Lofstrom J. Interpolation Spaces. An introduction. Berlin: Springer-Verlag, 1976.

[6] Асташкин С.В. Об интерполяции подпространств симметричных пространств, порожденных системой Радемахера // ИЗВЕСТИЯ РАЕН. Сер. МММИУ. 1997. T. 1(1). С. 18—35.

[7] Асташкин С.В. О пространстве мультипликаторов, порожденных системой Радемахера // Матем. заметки. 2004. T. 75(2). С. 173—181.

[8] Никишин Е.М. Об одном свойстве сумм независимых величин // Матем. заметки. 1974. T. 16(5). С. 703—707.

[9] Pisier G. De nouvelles caracterisations des ensembles de Sidon. Mathematical analysis and applications, Part B // Adv. in Math. Suppl. Stud. 1981. V. 7B. P. 686—725.

[10] Sparr G. Interpolation of weighted Lp-spaces // Studia Math. 1987. V. 62. P. 229—271.

[11] Astashkin S.V., Sukochev F.A., Semenov E.M. The Banach-Saks p-property // Mathematische Annalen. 2005. V. 332. P. 879—900.

Поступила в редакцию 25/Ц/2009; в окончательном варианте — 25////2009.

BANACH — SAKS INDEXES OF RADEMACHER

SUBSPACES

© 2009 A.I. Novikova3

The paper is devoted to the study of subspaces of rearrangement invariant spaces, generated by Rademacher system, and to the calculation of their Banach — Saks indexes.

Key words and phrases: Rademacher system, rearrangement invariant space, Banach — Saks index.

Paper received 25/77/2009. Paper accepted 25/77/2009.

3Novikova Anna Igorevna ([email protected]), Dept. of Function Theory and Geometry, Voronezh State University, Voronezh, 394006, Russia.