Интерполяция подпространств коразмерностио дин Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.982.27

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПОДПРОСТРАНСТВ КОРАЗМЕРНОСТИ ОДИН

© 2007 С.В. Асташкин1

Найдены необходимые и достаточные условия, при которых вещественный метод интерполяции порождает эквивалентные нормы на произвольной банаховой паре пространств и подпаре их пересечений с ядром линейного функционала.

Введение

Одной из центральных в теории интерполяции операторов [1] по-прежнему остается проблема интерполяции подпространств, упомянутая еще в монографии Ж.-Л. Лионса и Е. Мадженеса [2]. Ни в коей мере не претендуя на полноту, сошлемся на работы [3-12], в которых изучались ее различные аспекты. Важным частным случаем этой проблемы является задача интерполяции пересечений, которую для вещественного метода интерполяции (определения см. ниже) можно сформулировать следующим образом. Пусть (Хо, Х1) — банахова пара, т.е. два банаховых пространства, линейно и непрерывно вложенных в отделимое линейное топологическое пространство Т. Если N — линейное подпространство Т, то оно порождает нормированную (вообще говоря, не банахову) пару (Хо П N, Х\ П Щ, где норма в Х{ П N — сужение нормы Хг (г = 0,1). Спрашивается, при каких условиях на тройку (Хо, Х1, ^ и параметры вещественного метода интерполяции 0 € (0,1) и ^ € [1, то] выполнено следующее естественное равенство (по составу элементов с эквивалентностью норм):

(Хо П N Х1 П ^0,? = (Хо, Х^ П N. (1)

Мы будем рассматривать ситуацию, когда N — ядро линейного функционала у € (Хо П Х1)*. В этом случае равенство (1) означает просто эквивалентность норм пространств N0,д = (Хо П N, Х1 П ^0,д и Х0Д = (Хо, Х\)0Д на подпространстве N. В работах автора [13, 14], а также независимо в работе [15] были введены четыре индекса растяжения К-функционала Петре, функционала у как элемента суммы Хо + Х* в сопряженной паре (Хо, Х*), позволившие решить задачу при некотором дополнительном условии. В этой работе, продолжающей заметку [13], мы покажем, что введение еще двух аналогичных индексов позволяет снять это условие и в итоге получить полное решение рассматриваемой задачи.

1 Асташкин Сергей Владимирович (astashkn@ssu.samara.ru), кафедра функционального анализа и теории функций Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.

Важный частный случай описанной проблемы был рассмотрен в работе Н.Я. Кругляка, Л. Малигранды и Л.-Э. Перссона [16]. При некоторых дополнительных предположениях ими были найдены условия на 0 € (0,1), р € [1, то) и весовые функции Wo(x) и ^1(х), при которых выполнено равенство

(Ьр^о) П N Ьр^) П ^)0,р = (Lp(wo), Ьр^1))0,р П N (2)

где Ьр^) — весовое Ьр-пространство на (0, то) с обычной нормой, а N — линейное пространство всех функций f : (0, то) ^ К таких, что

/-»то

f(x) йх = 0. (3)

^0

При этом выяснилось, что выполнение равенства (2) тесно связано с возможностью ’’интерполяции” некоторых интегральных неравенств типа неравенства Харди. Там же была поставлена более общая задача: найти, при каких условиях на w0(x), w1(x), р0, р1 € [1, то), 0 € (0,1) и q € [1, то] имеет место равенство

(Ьр0^0) П N, Ьр1^1) П ^0,д = (Ьр>0), Ьр^)^ П N (4)

(здесь, вообще говоря, р0 Ф р1, а пространство N определяется по-прежнему соотношением (3)). Нетрудно видеть, что решение этой задачи, по существу, вытекает из результатов, полученных здесь. Не останавливаясь на этом подробно, сошлемся на работы [14, 17]. В последней из них предлагается иной подход к рассматриваемой здесь проблеме, основывающийся на ее сведении к частному случаю вложенных банаховых пар.

1. Определения, обозначения и формулировка основных результатов

Для нормированной пары (Хо, Xi) и t > 0 определим K-функционал Петре:

K(t,x;Хо,Xi) = inf (||хо||хо + tlxiH^), x e Хо + Xi.

X=Xo+Xi ,X/eXi

Если 0 < 0 < 1 и 1 ^ q < то, то интерполяционное пространство вещественного метода X0,q = (Хо,Xi)0,q состоит из всех x e Хо + Xi, таких, что

f гто dtli/q

l|x||X0q = { X (t"0K(t, x : Хо, Xi»q-\ < то.

Анализ доказательства теоремы эквивалентности [1, §3.3] показывает, что она справедлива не только для банаховых, но и для нормированных пар. Поэтому пространству X0,q можно дать и другое определение (с эквивалентной нормой), используя J-функционал

J(t, x;Хо,Xi) = maxdlxlX, t||x|xi), x e Хо П Xi,

а именно X0,q состоит из всех x e Хо + Xi, представимых в виде x = ^ 20kxk (сходимость в Хо + Xi),

keZ

с нормой

inf |Xl(J(2k, xk; Хо, Xi))q| , (5)

UeZ )

где нижняя грань берется по всевозможным представлениям указанного вида.

Если Хо П Xi всюду плотно в Хо ив Xi, а у e (Хо П Xi)*, то можно рассмотреть банахову пару сопряженных пространств (Хо, X*) и у e Хо + X* [1, §3.7]. Важную роль в дальнейшем играет K-функционал k(t) = K(t, у; Хо, X*), а также функции

.... k(ts) k(ts)

M(t) = sup —— , Mо(t) = sup ——,

5>о k(s) 0<s^min(1,1/^) k(s)

.... k(ts)

Mco(t) = sup ———.

s>max(1,1/t) k(s)

Они полумультипликативны при t > о, и поэтому существуют числа

log2 M(t) log2 Mо(t) log2 Мто(0

a = lim — ------, ао = lim — ------, aTO = lim — ------,

^о log2 t 1^о log2 t 1^о log2 t

log2 M(t) log2 Mо(t) log2 Mто(t)

в = lim ■-------, во = lim — -------, в^ = lim — ------,

t *то log2 t t ^то log2 t t ^то log2 t

называемые индексами растяжения функции k(t). Легко видеть, что о ^ a ^ ао ^ ^ во ^ в ^ 1 и о ^ а ^ ато ^ вто ^ в ^ 1.

Предположим, что (Хо,Xi) — банахова пара такая, что Хо П Xi всюду плотно в Хо ив Х1. Пусть у e (Хо П Х1)*, у ф о, N = Кегу и Ni — пространство N, рассматриваемое с нормой из Xi (i = о, 1).

Теорема 1. Нормы интерполяционных пространств N0,q = (N3,Ni)0,q и X0,q = = (Хо, Xi)0,q эквивалентны на N тогда и только тогда, когда

0 e (о, a) U (вто, ао) U (во, ато) и (в, 1). (6)

При этом, если 0 e (о, a) U (во, ато) U (в, 1), то N0,q = (N2,Ni)0,q всюду плотно

в X0,q = (Хо, Xi)0,q; если 0 e (вто, Оо), то N0,q всюду плотно в некотором подпространстве коразмерности 1 пространства X0,q.

Замечание 1. Под интервалом (a, в) всюду далее понимается, как обычно, множество всех вещественных x, удовлетворяющих неравенству a < x < в. Поэтому ввиду неравенств Оо ^ во и ото ^ вто непустым может быть, самое большее, лишь один из интервалов (во, ото) и (вто, оо).

Альтернативную формулировку теоремы 1 можно дать, используя следующее определение из [15].

Пусть по-прежнему (Хо, Xi) — банахова пара, Хо П Xi всюду плотно в Хо ив Х1, у e (Хо П Х1)*, N = Кегу. Для произвольных о < 0 < 1 и 1 ^ q < то через

Х0А у = (Хо, Xi)0,w мы обозначим множество всех x e Хо + Xi, допускающих пред-

ставление в виде

x = ^ 20kxk , xk e N (сходимость в Хо + Х1), (7)

keZ

с нормой (5), где нижняя грань берется по представлениям вида (7).

Теорема 2. Для того чтобы пространство X0,q v было замкнуто в пространстве X0,q = (Хо, Xi)0,q, необходимо и достаточно выполнение условия (6).

При этом, если 0 e (о, a) U (во, ото) U (в, 1), то X0,q v = X0,q; если 0 e (вто, Оо), то X0,w = X0,q П Кег у, где у — непрерывное продолжение функционала у на пространство X0,q.

Теорема 2 является усилением предложения 5.6 из работы [15], где дополнительно предполагалось, что вто ^ Оо.

2. Доказательства теорем

Мы используем идею, состоящую в сведении сформулированной ранее задачи интерполяции пересечений к изучению оператора сдвига в некотором весовом ^-пространстве последовательностей. Впервые она была применена С.А. Ивановым и Н.Калтоном для сравнения интерполяционных пространств (Х0, Xi)e,q и (N0, Xi)e,q, где у € Х0* и No = Kerу [10]. Этот случай является частным по отношению к рассматриваемому здесь, и поэтому интерполяционные результаты [10] являются следствием теоремы 1 нашей работы (см. также [14, 15]).

Предполагая выполненными условия теоремы 1, введем некоторые обозначения. Если -n = (k(2-n))-1 (n € Z), то -n > 0 и, так как k(t) — возрастающая вогнутая

на (0, то) функция, то

-n ^ -n+1 ^ 2-n (n € Z). (8)

Кроме того,

а = - lim 1 log2 sup , |3 = limn^TO 1 log2 supkeZ ,

n^“ n kez -n+k -k-n

ага = - lim - log2 sup —, вто = limn^TO ~n log2 sup^ -r-, (9)

n^“ n k^0 -k ' -k-n 4 '

а0 = - lim - log2 sup —, в0 = limn^ \ log2 supk>0 -f.

n^TO n k>0 -n+k n ' -k

Пусть ek (k € Z) — стандартные орты в пространстве числовых последовательностей, а /q(-) — пространство двусторонних числовых последовательностей a = (оОТО=-то с нормой

INIq,- = |aklq-q

Uez

Далее нас будут интересовать оператор сдвига S (ak) = (ak-i), обратный к нему S-1, а также операторы Te = S - 2eI (0 < e < 1), где I — тождественное отображение. Ввиду (8) S и S-1 ограничены в пространстве /q(-) и ||S У ^ 2, ||S-1|| ^ 1.

Как показывает доказательство теоремы 1 в [14] (см. также [15, теоремы 4.2 и 4.3]), теорема 1, а вместе с ней и теорема 2 будут доказаны, если получить следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть 0 < e < 1 и 1 ^ q < то. Тогда оператор Te замкнут как оператор в /q(-) тогда и только тогда, когда выполнено условие (6).

При этом, если e € (0, a)U(в0, ато)U(в, 1), то образ ImTe = /q(-); если e € (вто, а0), то ImTe является замкнутым подпространством коразмерности 1 пространства /q(-), состоящим из всех (ak)k€Z € /q(-) таких, что

Yj2keak = 0. (10)

k€Z

Доказательство. Предположим сначала, что выполнено условие (6). Так как в случае вто ^ а0 теорема 3 доказана в [14] (см. лемму 2 и замечание 1), то мы ограничимся рассмотрением случая, когда а0 < вто. Кроме того, там же утверждение получено для e € (0, а) U (в, 1). Поэтому достаточно показать, что из условия

в0 < e < ато (11)

следует

ImTe = /q(-).

(12)

Ввиду соображений двойственности [18, В. 3.9, предложение 2] соотношение (12) эквивалентно тому, что сопряженный оператор Уд = 5-1 - 2еI будет инъекцией, т.е. изоморфизмом 1д>(--1) на 1тУд, где 1/д' + 1/д = 1.

Прежде всего, если ао < е < (и тем более, если выполнено (11)), то

^^—i <то. (із)

Действительно, из неравенства e > а0 и определения индекса а0 следует, что при достаточно малом е > 0

sup> C12-k(e-e), k = 1,2,...,

n>0 -k+n

откуда

-k2-ek < -02-ek, k = 1,2,... .

C1

Аналогично, так как e < вто, то при достаточно малом п > 0

--k2ek < ^°2-nk, к = 1,2,... .

С2

Как легко видеть, соотношение (13) следует из последних двух неравенств.

Оператор Ve инъективен. В самом деле, если Vea = 0, то an = 2ena0. Но из (13) следует, что последовательность (2en)n€Z £ /q>(--1), и, значит, Ker Ve = {0}.

Далее, так как

Ve

n— 1

J^2<n-1-i)ee-i

i=Q

= e-n - 2ene0, n є ;

то еп - 2-епео € 1тУд для всех п € X. Рассмотрим линейный функционал #е € 1д>(--1)* = /?(-), который аннулируется на 1тУе. Тогда gе(en) = с2-еп (п € X) и,

следовательно, gе порождается последовательностью (с2-еп)пеХ. Ввиду (13) можно считать, что с = 1 и Кег gе совпадает со множеством всех (а*)к€Х таких, что

^2-кЧ = 0. (14)

Так как по теореме Хана-Банаха 1тУд = Кегgе, то остается доказать, что при условии (11)

1т Уд = Кег gе. (15)

Рассмотрим оператор Ща = (Ща)п,

( - £= 2(п- !'-1)еа ,•, п > 1,

где (Ша)п = \ , ( . ...

12?--« 2(п-г-1)еа ., п < 0.

Для доказательства того, что он ограниченно действует в пространстве 1д>(--1), нам понадобится следующее простое утверждение.

Лемма 1. Для произвольного е > 0 определим оператор Не следующим образом: если с = 0^=1, то

НєС =

j>+W2-*

j=1

i=1

Тогда He ограничен в /р для произвольного 1 ^ p ^ то.

со

Доказательство. Ограниченность Иг в очевидна. Кроме того

со со

наді < Х&г+і-'і2-іє = 2-^^]іСкі2(к-і:

і=1 у=1 к=1 і=к

—і)е =

і

2е - 1і

т.е. Не ограничен в /1. Применяя интерполяционную теорему Рисса-Торина [1, теорема 1.1.1], получаем утверждение леммы.

Продолжим доказательство теоремы. Для любого а € 1д>(--1)

\1/ч'

\№\\і (,-і)

<

ЕЕ 2('-і

—і—1)0

Цп

Е Е2(п—і'

—і—1)0

цп

1/ї'

(16)

Так как выполнено соотношение (11), мы можем взять е € (0,1) так, что в0 < е - е < е + е < ато. Тогда ввиду (9) для некоторого С > 0

ц-1 < С2(;-п)(е-е)ц-1, 1 < п < .

(17)

(18)

Применяя сначала (17), для произвольного с = (сд)^, ||с||? ^ 1 и сп ^ 0 (п = 1,2,..)

получим

со со

2>п£ 2(п—і—1)0| а і | ц—1 = £ 2—(і+1)0 І аі |£ Сп2п0ц—1 <

п=1

п=1 =п

=1

< С £ Іа іІЦ—^ Сп2—( і—п)е < 2С^] |аі|ц—1 ^ с+1— у2‘

уе -

=1

У=1

2С |аг-|ц; 1(Яєс)і.

=1

Тем самым, по лемме 1

—1)0

1/д'

(19)

Аналогично ввиду (18) для таких же последовательностей с = (сп)

ТО -ТО -ТО - .-1

^сп ^ 2-(п+г'+1)е|а г-|^-1 = 2 2-(;+1)е|а ;| ^ с„2-иец-п <

=-1 п=0

-ТО - -1 -ТО - -1

< С ^ |а;|ц-+11 ^ сп2(.+1+п)е < С ^ |а;|ц-^ ^ с- ;-1-у2-^

=0 =—п—1

—уе _

=—1

п=0

=—1

У=о

С^ |аг-|ц; 1(ЯеС)—і—1.

=—1

Отсюда опять по лемме 1

Кп=0

=—п—1

—д

ц—п

1/д'

< С1|Яе||г,^,ЦаЦь(ц—1).

(20)

д

+

д

и

д

—д

ц

0

д

В итоге из (16), (19) и (20) следует, что оператор Ш ограниченно действует в пространстве 1д> (ц-1).

Покажем далее, что

Уе(Ша) = а, если а е Ке^е. (21)

Действительно, если п ^ 1, то

ТО ТО

(Уе(Ша))п = -£ 2(п-!')еа; + 2е £ 2(п-;-1)еа; = ап,

г=п+1 г=п

и точно так же для п < 0

-ТО -ТО

(Уе(Ша))п = -£ 2(п-!')еа; - 2е ^ 2(п-;-1)еа; = ап.

г=п г=п— 1

Наконец, ввиду (14)

ТО -ТО

(Уе(Ша))о = (Ша)1 — 2е(Ша)о = — ^ 2—;еа{ — 2е ^ 2—(;+1)еа; =

г=1 г=—1

ТО

= ао — ^ 2—геаг- = ао.

г=—то

В итоге нужные нам соотношения (15) и (12) следуют из (21) и доказанной ранее ограниченности оператора Ш в пространстве 1д>(ц—1).

Перейдем к доказательству обратного утверждения. Так как оператор Те замкнут, то 1тТе может совпадать либо с Кег /е, где линейный функционал /е задается последовательностью (2еп)пеЖ, либо с 1д(ц) (см. доказательство леммы 2 в [14]). Если при этом оператор Те инъективен, то ввиду [14, лемма 2 и замечание 1] мы сразу заключаем, что 0 е (0, а) и (вто, а0) и (в, 1), и, кроме того, если 0 е (0, а) и (в, 1), то 1тТе = 1д(ц), а если е е (вто, ао), то 1тТе является замкнутым подпространством коразмерности 1 пространства /д(ц), состоящим из всех (а*)*еЖ е /д(ц), удовлетворяющих соотношению (10).

Предположим теперь, что Те не инъективен. Тогда последовательность (2—еп)пеЖ е 1д(ц), т. е. выполнено (13), и, значит, функционал /е неограничен. Поэтому 1тТе = 1д(ц), и опять используя [18, В. 3.9, предложение 2], заключаем, что сопряженный оператор Уе является изоморфизмом 1д> (ц—1) на Кег gе. Таким образом, для некоторого с > 0 и г = д' мы имеем

IIуеаНгг(ц—1) ^ с\\а\\1г(ц—'). (22)

Предполагая, что е > а, докажем неравенство:

е > в0. (23)

Выберем п е N так, чтобы

пс2 > 16, (24)

где с — константа из (22).

Далее, для произвольного т е Ж рассмотрим последовательность

а = (I + 2—е5 —1 + ... + 2—п05 —п)2ет. Непосредственные вычисления показывают,

что а ^ п2—пе ет—п. Поэтому

НаНцц—1) > п2—пецт—п. (25)

Кроме того,

S'

2^® (n+1)6S —n—1 1)2 2^^I 2^ + (1—'n)®S —n—1 + ^—2n®S —2n-2

vf(/ + 2—6S —1 + ■ ■ ■ + 2—n6S —n)2 _ [Ve(I + 2—6S —1 + ... + 2—n6S —n)]2 _

и значит,

Via _ 22e— 21 + (1—n)eеш—n—1 + 2—2n6em—2n—2.

2 n6 Mm,1— n < oW + 2 2n6 ^m1—2n) < max(^m1, 2 2n6^„1_2„).

Следовательно, ввиду (8)

||У2а||гг(ц—1) = (22гецтг + 2(1+е—пе)г(С— п—1 + 2—2гпецтГ— 2п—2)1/г <

< 4цт1 + 8 ■ 2—пе цт—п + 4 ■ 2—2пе цт—2п

(в случае г = то промежуточное выражение соответствующим образом модифицируется). Отсюда, а также из (22) и (25) получаем неравенство

4цт1 + 8 ■ 2—пе цт—п + 4 ■ 2—2пецт—2п > с2п2—пецт—п

или с учетом (24)

1

2(

Тем самым, полагая V* = 2е*ц—1 (* е Ж), приходим к соотношению

Vm—п < тах(*Ут, Vm—2п), (26)

верному для всех п е К, удовлетворяющих (24), и т е Ж. Так как е > а, то для зафиксированного п е N существует * е Ж такое, что ц*—п > 2—пец*. Тогда V— < V*,

и если в (26) взять т = к + п, то мы получим:

V* < тах^к+п, Vk—n), (27)

откуда V* < Vk+n. Аналогичным образом из (26) при т = к + 2п следует: Vk+n < Vk+2n и т.д. Следовательно, последовательность ^*+*^“0 монотонно возрастает.

Пусть } ^ * и т ^ п. Найдем 0 ^ *1 < *2 такие, что

* + *1п < } < * + (*1 + 1)п и * + (*2 — 1)п ^ } + т < * + *2«.

Тогда ввиду (8)

2*2 п е V—1

ц >+т < ц*+ *2 п = *+*2п < 2п(*2—*1)е

ц ц*+*1п

Так как т + 2п > (*2 — *1)п, то получаем

Ц j

откуда

sup ^ < C2me (m > n).

j>k Ц j

Если к > 0, то для 0 ^ j ^ к ввиду (8)

Ц j+m ^ ^fe+m ^fe ^ 2* ^fe+m

Ц j Ц j

и значит,

sup ^ < C'2m e (m > n).

J>0 My

В итоге, учитывая (9), получаем соотношение (23).

Аналогичным образом, предполагая, что e < в, докажем неравенство

e < а». (28)

Пусть опять n € N удовлетворяет (24). Так как e < в, то существует fe € Z такое,

что ^n+fe > 2neили vn+fe < Vfe, где по-прежнему vs _ 2es^—1 (s € Z). Тем самым

ввиду (27) Vfe < Vfe—n и применяя (26) рекуррентно, доказываем, что последователь-

ность (Vfe—sn)»_0 монотонно возрастает.

Если j ^ — к и m ^ n, то существуют 0 ^ S1 ^ S2 такие, что

к — s1 n < — j < fe — (s1 — 1)n и к — (s2 + 1)n < — j — m < fe — s2n.

Тогда

2—s1«e v—1

Ц—j > Mfe—s1n _ _fe—s1n > 2B(s2—s1)e

Ц—m—j Mfe—S2K 2 s2neV——s2n

Так как (s2 — s1)n > m — 2n, то

sup ^ j m < C12—me (m > n),

j>—fe Ц—j

откуда, как и ранее, легко получить, что

sup Ц j m < CJ2—me (m > n).

J>0 Ц—j

Тем самым ввиду (9) получаем (28).

Таким образом, если оператор Te замкнут и не инъективен, то из условия 0 £ (0, a] U [в, 1) следует: 0 € [во, а»]. Поэтому, если 0 € (а, во) U (а», в), то Te не замкнут. В то же время при e € (0, a) U (в, 1) он — фредгольмов с индексом 0 [14, лемма 2], а при e € (в0,а») — с индексом 1 (см. первую часть доказательства). Так как множество всех фредгольмовых операторов с фиксированным индексом открыто, то для значений e , равных а, а», в и в0, оператор Te также не замкнут. Тем самым теорема 3 доказана.

Литература

[1] Берг, Й. Интерполяционные пространства. Введение / Й. Берг, Й. Леф-стрем. - М.: Мир, 1980. - 264 с.

[2] Лионс, Ж.Л. Неоднородные граничные задачи и их приложения / Ж.Л.Лионс, Э.Мадженес. - М.: Мир, 1971. - 420 с.

[3] Triebel, H. Eine Bemerkung zur nicht-kommutativen Interpolation / H. Triebel // Math. Nachr. - 1975. - V. 69. - P. 57-60.

[4] Maligranda, L. On commutativity of interpolation with intersection / L. Mali-granda // Suppl. Rend. Circ. Mat. Palermo. - 1985. - V. 10. - P. 113-118.

[5] Wallsten, R. Remarks on interpolation of subspaces / R. Wallsten // Lect. Notes in Math. - 1988. - V. 1902. - P. 410-419.

[6] Pisier, G. Interpolation between Hp spaces and non-commutative generalizations

1 / G. Pisier // Pasific J. Math. - 1992. - V. 155. - P. 341-368.

[7] Janson, S. Interpolation of subcouples and quotient couples / S. Janson // Arkiv Math. - 1993. - V. 31. - P. 307-338.

[8] Кисляков, С.В. Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы / С.В. Кисляков, ШуКуанхуа // Алгебра и анализ. - 1996. - Т. 8. - №4. -С. 75-109.

9] Lofstram J. Interpolation of subspaces / J. Lofstram // Technical report, Univ. of Goteborg. - 1997. - №10. - 63 p.

10] Ivanov, S. Interpolation of subspaces and applications to exponential bases / S. Ivanov, N.Kalton // Алгебра и анализ. - 2001. - Т. 13. - №2. - С. 93-115.

11] Astashkin, S.V. About interpolation of subspaces of rearrangement invariant spaces generated by Rademacher system / S.V. Astashkin // Journal of Math. and Math. Sci. - 2001. - V. 25. - №7. - P. 451-465.

12] Kaijser, S., Sunehag P. Interpolation subspaces and the unit problem / S.Kaijser, P. Sunehag // In: Function Spaces, Interpolation Theory and Related Topics (Lund 2000), de Gruyter, Berlin. - 2002. - P. 345-353.

13] Асташкин, С.В. Об интерполяции пересечений, порожденных линейным функционалом / С.В. Асташкин // Функц. анал. и его прилож. - 2005. - Т. 17. -№2. - С. 61-64.

14] Асташкин, С.В. Об интерполяции пересечений вещественным методом / С.В. Асташкин // Алгебра и анализ. - 2005. - Т. 17. - №2. - С. 33-69.

15] Sunehag, P. Subcouples of codimension one and interpolation of operators that almost agree / P. Sunehag // J. Approx. Theory. - 2004. - V. 130. - P. 78-98.

16] Krugljak, N. The failure of Hardy’s inequality and interpolation of intersections / N. Krugljak, L. Maligranda, L.-E. Persson // Arkiv Mat. - 1999. - V. 37. -P. 323-344.

17] Astashkin, S.V. Real method of interpolation on subcouples of codimension one / S.V. Astashkin, P. Sunehag // Stud. Math. (to appear).

18] Пич, А. Операторные идеалы / А. Пич. - М.: Мир, 1982. - 536 с.

Поступила в редакцию 18/XI/2007; в окончательном варианте — 19/X///2007.

INTERPOLATION OF SUBSPACES OF CODIMENSION ONE

© 2007 S.V. Astashkin2

The necessary and sufficient conditions under which the real method of interpolation generates equivalent norms on an arbitrary Banach couple and a subcouple of intersections of these spaces with the kernel of a linear functional are found.

Paper received 18/XI/2007. Paper accepted 19/X///2007.

2Astashkin Sergey Vladimirovich (astashknSssu.samara.ru), Dept. of Functional Analysis and Theory of Functions, Samara State University, Samara, 443011, Russia.