Эргодическая теорема Блума - Хансона в банаховых решетках последовательностей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 3, С. 3^10

УДК 517.98

ЭРГОДИЧЕСКАЯ ТЕОРЕМА БЛУМА - ХАНСОНА В БАНАХОВЫХ РЕШЕТКАХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

А. Н. Азизов, В. И. Чилин

Хорошо известно, что линейное сжатие Т в гильбертовом пространстве обладает так называемым свойством Блума — Хансона: слабая сходимость степеней Тп эквивалентна сильной сходимости средних Чезаро Для любой строго возрастающей последовательности натуральных чисел {кп}. Аналогичное свойство верно и для линейных сжатий в -пространствах (1 < р < то), для линейных сжатий в Ь1 или для положительных линейных сжатий в Ьр-пространствах (1 < р < то).

Мы доказываем, что это свойство Блума — Хансона справедливо и для любых линейных сжатий р

р

рема.

1. Введение

Хорошо известно, что для любого линейного сжатия Т в рефлексивном банаховом пространстве X средние Чезаро АП(Т) = о Тк сходятся в X в сильной оператор-

ной топологии (см., например, [8, гл. 8, § 5]). В частности, для любого сохраняющего меру отображения т : (П, ^, ^ (П, ^, где (П, ^— измеримое пространство с полной ст-конечной мерой средние Чезаро АП(Т) сходятся сильно в Ьр := ЬР(П, ^ 1 < р < го (здесь (Tf )(ш) = /(т(ш)). В случае, когда ^ — вероятностная мера и т — перемешивающее преобразование, эргодическая теорема Блума — Хансона [6] утверждает, что для любого / £ Ьр, 1 ^ р< го, имеет место сходимость

1

п + 1

Е (тк / )(ш) -I№

3=0 о

0

для всех строго возрастающих последовательностей ко < к\ < ... натуральных чисел. В частности, отсюда следует, что последовательность {Тп(/)}^=о сходится слабо в Ьр для всех / £ Ьр [10, гл. 8, утверждение 1.2].

В связи с этим, естественно, возникает задача о выделении класса банаховых пространств X, в которых слабая сходимость последовательности {Тп(ж)}^=о при действии линейного сжатия Т в X влечет сильную сходимость средних Чезаро ^^ Для

каждой подпоследовательности {Т}?=о последовательности {Тп}^=о-

Обозначим через С(X) множество всех линейных сжатий в банаховом пространстве (X, || ■ Ух)) а через N — множество всех строго возрастающих последовательностей натуральных чисел. Говорят, что банахово пространство X имеет свойство Блума — Хансона

р

© 2017 Азизов А. Н., Чилин В. И.

относительно подмножества А С С(X), если для любых Т £ А, х £ X, либо последовательность {Ти(х)}~=о не сходится слабо, либо слабая сходимость этой последовательности к элементу хо € X влечет сходимость ¡¡^¡- Х^о-^ (ж) — ж°Их ~~^ Следует отметить, что согласно [10, гл. 8, утверждение 1.2] условие

1 и

п + 1

^=0

^ 0 }£=0 £ N хо £ X)

X

всегда влечет слабую сходимость последовательности {Тга(х)}^=о- При этом с помощью аргументов из доказательства импликации (н) ^ в теореме 1.1 работы [1], устанавливается, что слабым пределом последовательности {Тгах}^=о обязательно является эле-х0

Говорят, что банахово пространство X имеет условное свойство Блума — Хансона относительно подмножества А С С (X), если для любого Т £ А слабая сходимость последовательности {Тга(х)}^=о ПРИ всех х £ X имеет место тогда и только тогда, когда последовательность ^^ (ж) сходится по норме в X для каждого х £ X. Яс-

но, что свойство Блума — Хансона относительно А, вообще говоря, сильнее условного свойства Блума — Хансона относительно А.

Для гильбертова пространства Н свойство Блума — Хансона относительно С(Н) независимо получено в работах [1, 12, 14]. Кроме того, в [1] установлено условное свойство Блума — Хансона для пространства £1 относительно С(£1), а в работе [3] — для пространств Ьр, 1 < р < го, относительно множества А всех положительных линейных сжатий в Ьр. В то же время, в работе [2] приведены примеры банаховых пространств X, которые не обладают свойством Блума — Хансона относительно С(X).

Т

странства Ьр, 1 <р< го, 0 ^ / £ Ьр, слабая сходимость поеледовательности {Ти(/)}^=0 влечет сходимость

1 и

п + 1

^=0

^ о }==0 £ N /0 £ Ьр

Ьр

Аналогичное свойство положительных линейных сжатий в функциональных пространствах Орлича с равномерно гладкой нормой Орлича получено в [16].

Наличие свойства Блума — Хансона в пространствах Ьр, 1 ^ р < го, относительно С (Ьр) в случае произвольных пространств с мерой до сих пор не установлено. Известен только следующий результат В. Мюллера и Ю. Тамилова [17, теорема 2.5].

Т

тельностей 1р, 1 ^ р < го. Тогда для любого элемента х £ 1р последовательность {Ти(х)} слабо сходится к хо £ 1Р в том и только в том случае, когда || Тк;> (х) — Хо || —> 0

для всех {kj }?=0 £ N.

Отметим также недавнюю работу [11], где с помощью свойства асимптотической гладкости выделяется класс действительных симметричных пространств последовательностей, для которых сохраняется вариант теоремы 1.1.

Основная цель настоящей работы состоит в получении эргодической теоремы Блу-

р

сепарабельных идеальных банаховых решеток последовательностей). Доказательство

р

ход от методов работы [11].

2. Предварительные сведения

Пусть s(K) — линейное пространство всех последовательностей комплексных (K = C) или действительных (K = R) чисел, E — бесконечномерное идеальное линейное подпространство в s(K) (свойство идеальноети для E означает, что из условий x G E, y G s(K) и |y| ^ |x| следует включение y G E).

Носителем элемента x = G E называют подмножество supp x = {n G N :

= 0} во множестве N всех натуральных чисел. Поскольку dimE = го, то suppE = UxgE supp x есть бесконечное подмножество в N, и поэтому, заменяя N на supp E, можно supp E = N

Обозначим через coo линейное подпространство в s(K), состоящее из финитных последовательностей вида x = {£1,^2, • • • >€n(x)> 0,0,...}. Из равенства suppE = N следует, что для любого k G N существует такое x = G E, что А = | = 0. Поэтому

для орта efc = {0,... , 0,1, 0,...}, где единица стоит на k-ом месте, верно неравенство Cfc ^ G Е, что влечет включение G Е. Это означает, что Соо С Е.

Пусть || ■ ||e — банахова монотонная норма на E. Последнее означает, что из условий x,y G Eh |x| ^ |y| следует, что ||x||e ^ ||у||я. В этом случае пару (E, || ■ ||e) называют банаховым идеальным пространством (БИП) в s(K) [9, гл. 4, § 3]. При этом в силу равенства suppE = N, БИП (E, || ■ ||e) является фундаментальным идеальным пространством [9, гл. 4, §3].

Говорят, что БИП (E, || ■ ||e) имеет порядково непрерывную норму, если из условий

0 < x(n) | 0, x(n) G E, n G N,

следует, что ||ж(п) ||е ^ 0. Известно [9, гл. 4, §3, теорема 3], что идеальное банахово фундаментальное пространство (Е, || ■ ||е) в 5(К) сепарабельно тогда и только тогда, когда норма || ■ ||е порядково непрерывна.

Банахова решетка (Е, || ■ ||е) называется ^выпуклой (1 ^ р < го), если существует такая константа М > 0, что для любого конечного набора элементов {Жг}*=1 С Е верно следующее неравенство:

Ei^

^ M

Ei

up

He

E

p

p

Мр Е М(р) (Е).

Каждая банахова решетка Е является 1-выпуклой, при этом М(1) (Е) = 1. Кроме рр

М>0

элементов {жг}*=1 С Е верно неравенство

Е

xi

^ M

Ei

xi

IIP |E

E

p

3. Теорема Блума — Хансона в сепарабельных банаховых идеальных пространствах последовательностей

Как уже отмечалось во введении, для любого линейного ограниченного оператора Т, действующего в БИП (Е, || • ||е) С сходимость — Жо||е —> 0 для

всех {к^- }?=0 £ N и некоторого Хо £ Е всегда влечет слабую сходимость последовательности {Тп(ж)} в Е к элементу Жо- Следующая теорема устанавливает свойство Блума — Хансона для каждого сепарабельного р-выпуклого (р > 1) БИ П Е С в (К).

Теорема 3.1. Пусть (Е, || ■ ||е) — бесконечномерное р-выпуклое сепарабельное банахово идеальное подпространство в в (К) с константой р-выпуклости М(р)(Е) = 1, р > 1. Тогда для любого линейного сжатия Т : Е ^ Е из слабой сходимости в (Е, || ■ ||е) последовательности {Тп(ж)} к элементу Жо £ Е следует сходимость

1

жо

п + 1

¿=0

^ 0

Е

для всех {к5- }?=0 £ N.

< Если Тп(ж) ^ ж0 слабо в Е, то Тга+1(ж) = Т(Тп(ж)) ^ Т(ж0) слабо и поэтому Т(ж0) = ж0. В случае ж0 = 0 заменяем элемент ж0 на (ж — ж0), и будем считать, не ограничивая общности, что Тп(ж) ^ 0 слабо. Таким образом, для доказательства утверждения теоремы следует установить, что слабая сходимость Тп(ж) ^ 0 в Е влечет сходимость

п + 1

^=0

Тк (ж)

^ 0

Е

при п ^ го для любой последовательности {к^- }?=0 £ N.

Поскольку Т сжатие, то ||Тга+1 (ж)||е ^ ||Тга(ж)||Е, и поэтому предел ||Тга(ж)||Е

существует. Если этот предел равен нулю, то утверждение теоремы 3.1 очевидно. Предположим, что этот предел равен а ф 0. Заменяя, если необходимо, элемент ж на элемент можно считать, что ||ТП(ж)||е = 1.

Зафиксируем 5 > 0 и выберем натуральное число £ так, чтобы выполнялось нера---1 я

венство Поскольку 1 + 2рв < 2р(в + 1) для всех в £ Н, то существует такое

е £ (0,1), что

((1 + е)р + 2р^ <2(з + 1)р -(в + 1)е (1)

для всех в = 1,..., £ — 1.

Согласно равенству ||Тп(ж)||е = 1, существует такое к £ Н, что верно нера-

венство

||Тк(ж) Це < 1 + е. (2)

Рассмотрим оператор проектирования Рг в Е на линейную оболочку Ып{в1,..., ег} ортов е1, е2,..., ег £ Е, т. е.

г

Рг({Ып=1) = {£!,...,&•, 0,0,...} = Е£„е„.

П=1

Обозначая через / тождественный оператор вЕ,в силу порядковой непрерывности нормы || ■ ||е имеем, что

||(/ — Рг)Тк(ж)||е ^ 0 при г ^ го. Следовательно, существует такое г £ Н, что верно неравенство

||(/ — Рг)Тк(ж)|е < е. (3)

1

Так как Рр (Е) = Ып{в1,..., еР} — конечномерное линейное подпространство в Е и Тк+3 (ж) ^ 0 слабо при ] ^ го, т0 найдется такое й £ Н, для которого

||РрТк+3 (ж)|в <е (4)

при всех ] ^ й.

Отметим, что из неравенств ||Рр(ж)||е ^ ||ж||е и ||(1 — РР)(ж)||е ^ ||ж||е следует, что

|Рр ||е^е < 1, ||1 — Рр||е^е < 1. (5)

Покажем теперь, что

\\Тт1(х) +... + Тт°(х)\\Е^2зг, (6)

где к ^ ш1 < ш2 < ... < ш5, з ^ Ь и шг+1 — шг ^ й для всех I = 1,..., 5 — 1.

Докажем неравенство (6), используя индукцию по з. Для з = 1 неравенство (6) верно в силу выбора числа е. Предположим, что неравенство (6) верно для з < Ь и последовательность Ш1,Ш2,... ,ш5+1 удовлетворяет указанным выше требованиям. Тогда

ЦТт1 (ж) + ... + Т™^1 (ж) ЦЕ = ЦТ™1 -к (Тк (ж) + Т™2-™1+к (ж) +... + Т™^1-™1+к(ж)) ЦЕ < ЦТкж + Т™2-™1+к(ж) + ... + Т^+1-т1+к(ж) ЦЕ < цРрТкж + (/ — Рр) (Т™2+к(ж) + ... + Т™^1-™^(ж)) ЦЕ + Ц(/ — Рр)Тк(ж)ЦЕ + цРр (Тга2+к(ж) + . . . + Т™^1-™^(ж)) ЦЕ.

В силу неравенств (3) и (4) имеем, что

Ц(/ — Рр)Тк(ж)ЦЕ + цРр(Т™2-™1+к(ж) + ... + Т™^1-™^(ж))ЦЕ < (з + 1)е.

Е р р

М(р) (Е) = 1, то Е удовлетворяет верхней р-оценке с той же константой, т. е.

п

жг

г=1

п

жг У|Е

Е *

в случае, когда элементы {жг}*=1 С Е попарно дизъюнктны.

Так как элементы (/ — Рр)(Т™2-™1+к(ж) + ... + Т™а+1-™1+к(ж)) и РрТк(ж) попарно дизъюнктны, то, используя предположение индукции (6) и неравенства (2), (5), получим следующую оценку:

цРрТк(ж) + (/ — Рр^Т™2-™1^(ж) + ... + Т™^1-™1+к(ж)) ЦЕ < (||РРТк(ж) ||* + Ц (/ - РР) (Тт2~т1+к(х) + ... + тт°+1~т1+к(ж)) ||* ) ^ ((1 + е)р + 2Ре) г. Следовательно, в силу неравенства (1) имеем, что

|Тт1 (ж) + ... + Т(ж) || < ((1 + е)р + 2рз)р + (в + 1)е < 2(в + 1)р.

Таким образом, неравенство (6) верно для каждого з ^ Ь.

Пусть {Пг}?=о — произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел, и пусть N > к — достаточно большое натуральное число. Тогда N = к+шЬ+г,

где 0 ^ г < и т есть натуральное число, для которого т ^ й. Используя доказанное неравенство (6), получим, что

N

Ет nj (x)

j=0

E

k+r m

ET nj (x) + E

j=0 E s=1

i- 1

Tnk+r+s+jm (x)

j=0

^ (А; + r + 1)||ж||е + m • 2 • U.

E

Таким образом 1

N

ET nj (x) j=0

N + 1

и согласно выбору t,

(А: + г + 1)||Ж||Е 2mt? _ (k + r + 1)\\х\\Е i-i

____"I- t --1\ т I н ^ ^ ?

E

Иш

N + 1

tm

N + 1

1

N^^ N + 1 Так как 6 > 0 произвольное, то

lim

N

Ет nj (x) j=0

^ 2tp'1 < 6.

E

1

n ^^o n +1

ET fcj (x) j=0

0.

E

4. Примеры

Приведем примеры бесконечномерных сепарабельных банаховых идеальных подпространств (Е, У ■ ||е) С з(К), для которых верна теорема 3.1.

4.1. Пусть Ф — функция Орлича, т. е. Ф : [0, го) ^ [0, го) — выпуклая непрерывная в нуле функция, для которой Ф(0) = 0 и Ф(и) > 0 при и = 0. Пусть

1ф = ¿ф(М) = |ж = G s(K) : Е ("^Г")) < °° ДЛЯ некот°Р°го ^ > 0

пространство Орлича последовательностей, снабженное нормой Люксембурга

||ж||ф=ШЛа>0:Е(Ф <1}

n=1

(см., например, [13, т. 1, гл. 4]). Ясно, что (1ф, || ■ ||ф) есть бесконечномерное банахово идеальное подпространство в з(К).

Говорят, что функция Орлича Ф удовлетворяет Д2-условию в нуле, если Ф^ < оо. В этом случае пространство Орлича (1ф, || • ||ф) является сепара-бельным [13, т. 1, гл. 4, теорема 4.а.4]. Согласно теореме 5.5 из [15] банахова решетка 1ф является р-выпуклой (с константой 1) в том и только в том случае, когда функция Ф(и1/р)

(0, 1)

^ 1. таким образом, согласно теореме 3.1, при выполнении последних условий для р > 1 в случае, когда Ф удовлетворяет Д2-условию в нуле, пространство Орлича (1ф, || ■ ||ф) имеет свойство Блума — Хансона.

4.2. Пусть со — банахова решетка всех сходящихся к нулю последовательностей ж = комплексных (действительных) чисел. Обозначим через ж* = невоз-

растающую перестановку последовательности чисел |ж| = {|£п|}£=1 £ с0. Зафиксируем

1 ^ р, q < го и рассмотрим пространство Лоренца lp,q всех таких последовательностей

С Со, ДЛЯ КОТОРЫХ

(оо \ ^

-(«-!)")) <00.

Известно, что при 1 ^ q ^ р < го пространство (lp,q, У ■ ||p>q) есть сепарабельное банахово симметричное пространство последовательностей (см., например, [5, гл. 4, §4]), при этом lp,q q-выпукло с константой q-выпуклости M(q) (lp,q) = 1 [7, утверждение 3.3]. Следовательно, в случае 1 < q ^ р < го банахово пространство (lp,q, У ■ ||p>q) имеет свойство Блума — Хансона.

4.3. Пусть (E, У ■ ||e) — произвольное бесконечномерное сепарабельное р-выпуклое банахово идеальное подпространство в s(K), где р > 1. Согласно [13, т. 2, гл. 1, утверждение l.d.2] в E существует норма || ■ ||E, эквивалентная норме || ■ ||e, относительно которой пара (E, || ■ ||E) есть р-выпуклое банахово идеальное подпространство в s(K) с константой р-выпуклости M(p) ((E, || ■ ||E )) = 1. Следовательно, для (E, || ■ ||E) верно утверждение теоремы 3.1.

4.4. В силу [13, т. 2, гл. 1, теорема l.f.7] любая банахова решетка, имеющая верхнюю r-оценку для r > 1, является р-выпуклой банаховой решеткой для любого 1 < р < r. Следовательно, согласно п. 4.3 любое бесконечномерное сепарабельное банахово идеальное подпространство в s(K), удовлетворяющее верхней r-оценке при r > 1, имеет эквивалентную норму || ■ ||E, относительно которой (E, || ■ ||E) обладает свойством Блума — Хансона.

Известно, что в случае 1 < р < q < го функция || ■ ||p>q есть полная сепарабельная квазинорма на векторной решетке lp>q, удовлетворяющая в ерхней р-оценке [7], при этом на lp,q существует норма || ■ || (p,q), эквивалентная квазинорме || ■ ||p>q, относительно которой (lp,q, 11' М(p,q)) есть банахово симметричное пространство последовательностей (см., например, [5, гл. 4, §4]). Поэтому из сказанного выше следует, что существует норма || ■ ||P;q, эквивалентная норме || ■ ||(p,q^, относительно которой пара (lp,q, || ■ ||Pq) имеет свойство Блума — Хансона.

В заключение заметим, что примеры из пунктов 4.3 и 4.4 выделяют классы банаховых пространств с положительным ответом на проблему 15 из [11].

Литература

1. Akcoglu М., Sucheston L. On operator convergence in Hilbert space and in Lebesgue space // Period. Math. Hungar.—1972.—Vol. 2.-P. 235-244.

2. Akcoglu M. A., Huneke J. P. and Rost H. A couterexample to Blum-Hanson theorem in general spaces // Pacific J. of Math.—1974.—Vol. 50.-P. 305-308.

3. Akcoglu M. A., Sucheston L. Weak convergence of positive contractions implies strong convergence of averages // Zeitschrift feur Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete.—1975.—Vol. 32.— P. 139-145.

4. Bellow A. An Lp-inequality with application to ergodic theory // Hous. J. Math.—1975.—Vol. 1, № 1,— P. 153-159.

5. Bennet C., Sharpley Я. Interpolation of Operators.—N. Y.: Acad. Press, Inc., 1988.

6. Blum J. R., Hanson D. L. On the mean ergodic theorem for subsequences // Bull. Amer. Math. Soc.— I960.—Vol. 66.-P. 308-311.

7. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz of Lp,q spaces // Indag. Math.—1981.—Vol. 43.—P. 145-152.

8. Dunford N., Schwartz J. T. Linear Operators. Part I: General Theory.—Wiley, 1988.

9. Kantorovich L. V., Akilov G. P. Functional Analysis.—Oxford-N. Y. etc: Pergamon Press, 1982.

10. Krengel U. Ergodic Theorems. De Gruyter Stud. Math. Vol. 6. Walter de Gruyter.—Berlin-N. Y., 1985.

11. Lefevre P., Matheron E. and Primot A. Smoothness, asymptotic smoothness and the Blum-Hanson property // Israel J. Math.-2016.-Vol. 211.-P. 271-309.

12. Lin M. Mixing for Markov operators // Z. Wahrsch. Verw. Geb.-1971.-Vol. 19.-P. 231-242.

13. Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces.—Berlin-N. Y.: Springer-Verlag, 1996.

14. Jones L. K., Kuftinec V. A note on the Blum-Hanson theorem // Proc. Amer. Math. Soc.—1970.— Vol. 30.-P. 202-203.

15. Hao M. C., Kami'nska A. and Tomczak-Jaegermann N. Orlicz spaces with convexity or concavity constant one // J. Math. Anal. Appl.-2006.-Vol. 320.-P. 303-321.

16. Millet A. Sur le théorème en moyenne d'Akcoglu-Sucheston // Mathematische Zeitschrift.—1980.— Vol. 172.—P. 213-237.

17. Muller V., Tomilov Y. Quasisimilarity of power bounded operators and Blum-Hanson property // J. Punct. Anal.—2007.—Vol. 246.-P. 385-399.

Статья поступила 28 октября 2016 г. Чилин Владимир Иванович

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, профессор кафедры алгебры и функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок E-mail: [email protected], [email protected]

Азизов Азизхон Нодирхон угли

Национальный университет Узбекистана им. М. Улугбека, магистр кафедры алгебры и функционального анализа УЗБЕКИСТАН, 100174, Ташкент, Вузгородок E-mail: [email protected], [email protected]

BLUM-HANSON ERGODIC THEOREM IN A BANACH LATTICES OF SEQUENCES

Azizov A. N., Chilin V. I.

It is well known that a linear contraction T on a Hilbert space has the so called Blum-Hanson property, i. e., that the weak convergence of the powers Tn is equivalent to the strong convergence of Cesaro averages Sr=o for any strictly increasing sequence {k„\. A similar property is true for linear contractions on ip-spaces (1 < p < <x), for linear contractions on L1, or for positive linear contractions on Lp-spaces (1 < p < to). We prove that this property holds for any linear contract ions on a separable p-convex Banach lattices of sequences.

p