Аффинные системы функций типа Уолша. Ортогонализация и пополнение Текст научной статьи по специальности «Математика»

10. Wielonsky F. Asymptotics of Diagonal Hermite-Pade Approximants to ez. J. Approx. Theory, 1997, vol. 90, no. 2, pp. 283-298.

11. Trefethen L. N. The asymptotic accuracy of rational best approximations to ez on a disk. J. Approx. Theory, 1984, vol. 40, no. 4., pp. 380-384.

12. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ex. J. Approx. Theory, 1984, vol. 40, no. 4, pp. 375-379.

13. Starovoitov A. P. Hermite-Pade approximants of the system Mittag-Leffler functions. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki, 2013, no. 1(14), pp. 81-87 (in Russian).

14. Aptekarev A. I. Convergence of rational approxima-

tions to a set of exponents. Russ. Math. [Moscow Univ. Math. Bull.], 1981, vol. 36, no. 1, pp. 81-86.

15. Sidorov Yu. V., Fedoruk M. V., Chabounine M. I. Lektsii po teorii funktsii kompleksnogo peremennogo [Lectures on the theory of complex variable]. Moscow, Nauka, 1989, 477 p. (in Russian).

16. Walsh J. L. Interpolaton and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain. Publ. by the Amer. Math. Soc., 1960. 508 p.

17. Markushevich A. I Teoriia analiticheskikh fuktsii [Theory of Analytical Functions]. Vol. I. Moscow, Nauka, 1967, 486 p. (in Russian).

18. Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis. Vol. 1. Berlin, Springer-Verlag, 1972, 419 p.

УДК 517.51+517.98

АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ТИПА УОЛША. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ И ПОПОЛНЕНИЕ

П. А. Терехин

Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теории функции и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]

Введено и изучено новое понятие аффинной системы функций типа Уолша. На основе теоремы факторизации для операторов, перестановочных с мультисдвигом, установлено, что с каждой аффинной системой типа Уолша однозначно с точностью до унимодулярной постоянной связаны две другие аффинные системы типа Уолша, одна из которых ортонор-мирована, а другая полна. Показано, что классическая система Уолша является единственной с точностью до унимоду-лярной постоянной полной и ортонормированной аффинной системой. Приведены примеры полных и отдельно ортонор-мированных аффинных систем типа Уолша.

Ключевые слова: система Уолша, аффинная система функций, полнота, ортогональность, мультисдвиг, факторизация.

1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Обозначим через L0 = L0 (0,1) пространство всех вещественно- или комплекснозначных периодических функций f е L2(0,1) с нулевым интегральным средним на периоде:

f (t + 1) = f (t), f1 f (t) dt = 0. Jo

Рассмотрим в пространстве L0 линейные операторы W0 и Wi, заданные равенствами

Wof (t) = f (2t), Wif (t) = f (2t)w(t),

где w(t) — периодическая функция Хаара - Радемахера - Уолша:

(t) Ji, t е (0,1/2), w(t) = < () I-1, t е (1/2,1).

Лемма 1. Операторы W0, W1 : L0 ^ L^ изометрические, их образы Im(W0) и Im(W1) ортогональны. Ортогональное дополнение прямой суммы Im(W0) ф Im(W1) является одномерным подпространством, порожденным функцией w.

Свойства операторов W0, W1, приведенные в лемме 1, проверяются непосредственно и могут быть записаны в следующем виде:

W0* Wo = W* W1 = I, WOW = W* Wo = 0, WoW0 + W1W* = I - P,

где I — тождественный оператор и P — ортопроектор на одномерное подпространство span{w}.

Пусть А — множество всех конечных наборов а = («о, ), к = 0,1,..., состоящих из

нулей и единиц: а^ = 0 или 1, 0 ^ V ^ к — 1, включая при к = 0 пустой набор. Пусть, далее, |а| = к — длина набора а = (а0,..., ак-1) и ав = (а0, •..,ак_1,в0, •••,вг_1) — конкатенация наборов а = (а0,..., ак-1) и в = (в0, • • •, вг_1 )•

Укажем на естественную биекцию между множествами А и М, при котором набору а = (а0,...,

к_1

ак-1) соответствует натуральное число п = ^ а^2" + 2к. Мы будем пользоваться таким соответ-

"=0

ствием для замены индекса ха = хп.

Для каждого набора а = (а0,..., ак-1) е А положим

wа = Wao ••• Wak_1

— произведение операторов (первым действует оператор ^^^, последним — Wao; при к = 0 пустое произведение полагаем равным тождественному оператору I).

Пусть, далее, гк(«) = т(2к«), к = 0,1,..., — система Радемахера.

Для любой функции / е ¿0 будем иметь:

к_1

/а(«) := Wа/(«) = Wao • • • Wвk_l /(«) = /(2к«)так-1 (2к-1«)... та0 («) = /(2к«) Ц ^ («)•

V=0

В частности, для функции / = т семейство {та}аеА совпадает с системой Уолша {тп}пем (без постоянной функции, тождественно равной единице) в нумерации Пэли:

к_1 к_1 та(«) = гк(«) П ^(«) = тп(«), п = ^ »V2" + 2к.

V=0 "=0

Определение 1. Семейство функций {Wа/}а€А назовем аффинной системой функций типа Уолша, порожденной функцией / е ¿0•

Для аффинной системы функций типа Уолша будем использовать обозначения {/а}аеА или {/п}пем с учетом соответствующей замены индекса.

Следующая операторная структура мультисдвига введена и изучена в статье [1].

Определение 2. Будем говорить, что изометрические операторы W0 и W1, действующие в гильбертовом пространстве Н, образуют мультисдвиг, если существует вектор е е Н такой, что семейство {Wae}aGA является ортонормированным базисом пространства Н.

Рассмотренные нами операторы W0 и W1 образуют мультисдвиг в пространстве Н = ¿0, поскольку для вектора е = т семейство {Wae}aGA совпадает с системой Уолша {тп}пем, являющейся ортонормированным базисом в Н = ¿0. Этот факт будет использован в дальнейшем при изучении свойств аффинных систем функций типа Уолша {/п}п^м- В частности, в статье [1, §2] отмечается, что вектор е е Н из определения 2 задан с точностью до постоянного множителя, модуль которого равен единице (короче, с точностью до унимодулярной постоянной), т. е. справедлива

Лемма 2. Если {/п}пем полная и ортонормированная аффинная система типа Уолша, то функции / и т совпадают с точностью до унимодулярной постоянной.

Таким образом, классическая система Уолша {тп}пем является единственной с точностью до унимодулярной постоянной полной и ортонормированной аффинной системой. В данной работе на основе теоремы факторизации исследуются свойства полноты и, отдельно, ортонормированности аффинных систем типа Уолша {/п}пем.

Пусть W0, W1 — мультисдвиг в гильбертовом пространстве Н. Обозначим Н0 = spаn{Waе}аеА — всюду плотное линейное многообразие в Н, состоящее из всех конечных линейных комбинаций элементов ортонормированного базиса {Wае}аеА. Для каждого вектора / е Н определим оператор ф/ с областью определения Н0 посредством равенства

Ф/Е ^ае = Са Wа/.

аЕА аЕА

Не трудно видеть, что оператор ф/ перестановочен с мультисдвигом:

ф/ ^0 = WоQ/, ф/= WlQ/.

Верно и обратное, всякий перестановочный с мультисдвигом оператор ф с областью определения Н0 имеет вид ф = ф/ для вектора / = фе.

В статье [1, §4, теорема 4] установлена теорема факторизации для операторов, перестановочных с мультисдвигом, являющаяся обобщенным аналогом канонической факторизации аналитических функций из пространства Харди на внутренний и внешний множители.

Теорема факторизации. Для любого ненулевого вектора / е Н справедливо представление

ф/ = ,

где — изометрический оператор и — оператор полного ранга: 1т (ф_р) = Н. 2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Теорема 1. Для каждой ненулевой функции / е ¿2, порождающей аффинную систему типа Уолша {/п }пем, существует и притом единственная с точностью до унимодулярной постоянной функция у е ¿2, порождающая ортонормированную аффинную систему типа Уолша {уп}пем и такая, что

span{/n}neN = зрап{^п }пем- (1)

Доказательство. Пусть / е ¿0 и / = 0. По теореме факторизации существуют функции у, ^ е ¿0 такие, что ф/ = . Так как — изометрический оператор с всюду плотной областью опре-

деления, то он допускает единственное продолжение до изометрии, определенной на всем пространстве Н. Это продолжение будем снова обозначать как По определению оператора имеем: та = уа для всех а е А. С учетом изометричности отсюда получаем ортонормированность системы {уа}аеА и равенство 1т (ф^) = !рап{уа}абА. Теперь для получения соотношения (1) осталось проверить равенство

1т (^) = 8рап{/а}аеА-

Сразу заметим, что

/а = ф/та = та е 1т (О,).

Поэтому 8рап{/а}а6А С 1т (ф^). Докажем обратное включение. Для этого снова используем теорему факторизации, а именно всюду плотность образа 1т(ф^), в силу которой существует последовательность полиномов Уолша:

= С^,а та аЕА

таких, что т = 11т^. Поскольку — изометрия, то

у = т = Ит = Ит ф/р^ = Ит У^ с^а/а,

N^^ N^^ N*—'

аЕА

откуда у е 8рап{/а}абА. Подпространство зрап{/а}аеА инвариантно относительно мультисдви-га {W0,W1}. Следовательно, имеем уа е зрап{/а}абА для всех а е А, что доказывает включение 1т (ф^) = 8рап{уа}абА С зрап{/а}аеА. Соотношение (1) доказано. Единственность функции у с точностью до унимодулярной постоянной следует из разложения

Зрап{уа}аеА = Span{у} е WоSpan{уа}аеА ® Wl8р1п{уа}аёА,

по которому однозначно восстанавливается одномерное подпространство spаn{у}. □

Теорема 2. Для каждой ненулевой функции / е , порождающей аффинную систему типа Уолша {/п }пем, существует и притом единственная с точностью до унимодулярной постоянной функция F е ¿0, порождающая полную аффинную систему типа Уолша {^}п€м и такая, что

/п = п е М, (2)

где ф : ¿2 ^ ¿0 — изометрический оператор.

Доказательство. По теореме факторизации имеем: ф/ = . Так как

span{Fа}аеА = 1т (^) = ¿2,

то аффинная система типа Уолша {5п}пем является полной в пространстве £0• Кроме того, полагая, что Q = ^, будем иметь:

/а = Qf = QF= а £ А,

что равносильно соотношению (2). Докажем единственность функции 5 с точностью до унимодуляр-ной постоянной. Предположим, что наряду с соотношением (2) также справедливо представление

/п = П £ N

где <5 — изометрический оператор и {5п}пем — полная аффинная система. Как и при доказательстве теоремы 1, отсюда получаем:

1т = !рап{/а}аеА = 1т (С?). Тогда найдутся функции и,-и £ £2, такие, что

Qw = (5«, = Qv.

Поскольку операторы Q и перестановочны с мультисдвигом {^э, } (здесь надо учесть полноту систем {5п}пем и {Рп}п€^), то для всех а £ А имеем:

QWa = ¿^Иа = QQ„ Ша, ^Ша = QVа = QQv Ша. Итак, получили операторные равенства:

° - QQU 7 Q - QQV .

Изометричность операторов Q и {5 означает, что Q*Q = Q*Q = I. Следовательно,

QUQu = QU (Q*Q)Qu = (QQuУQQu = Q* Q = I, Q: Qv = Q: (Q*Q)Qv = (QQv ) = Я* ^ = I.

Таким образом, операторы Qu и Qv являются изометрическими. Более того, имеем:

Qu = Й* (5)Qu = Q* Q, Qv = (Q*Q)Qv = Q* д,

откуда видим, что изометрические операторы Qu и Qv друг к другу сопряжены: QU = Qv .В таком случае, Qu, Qv — унитарные операторы и {иа}аСА, }аеА — полные ортонормированные аффинные системы. Такие системы совпадают с точностью до унимодулярной постоянной с системой Уолша {ша}а£А согласно лемме 2. Поэтому Qu = к1, |к| = 1, и Qv = . Окончательно находим Q = к(Q и 5 = к5. □

Определение 3. Система элементов {/п}пем гильбертова пространства Н называется системой Бесселя, если существует постоянная В такая, что для любого вектора Н £ Н выполняется неравенство

^|(Н,/п)|2 ^ вуну2.

п=1

Следствие 1. В условиях теоремы 2 аффинные системы функций типа Уолша {/п}пем и {5п}пем являются или не являются системами Бесселя одновременно.

Доказательство. Достаточно заметить, что в силу соотношения (2) матрицы Грама рассматриваемых систем совпадают. □ Замечание 1. Теорема 1 показывает, что каждая аффинная система типа Уолша {/п}пем допускает ортогонализацию с сохранением структуры аффинной системы. Отметим, что результат классической ортогонализации Грама-Шмидта аффинной системы {/п }пем заведомо не будет аффинной системой, за исключением очевидных случаев, когда исходная система {/п}пем изначально является ортогональной.

Подобные вопросы об ортогонализации системы функций с сохранением ее структуры часто возникают в различных задачах математической физики. В качестве примера рассмотрим классический

вопрос об ортогонализации системы целочисленных сдвигов {/(£ — к)}кег. Хорошо известно, что если преобразование Фурье /(А) функции / е Х2(К) удовлетворяет условию

А ^ £ 1/(А + к)|2 ^ В

кег

для почти всех А е М с некоторыми постоянными 0 < А ^ В < га, то функция у, определяемая равенством

/"(А)

у(А) =

Е 1/Г(А + к)|2)

кег 7

1/2 '

порождает ортонормированную систему сдвигов {у(£ — к)}кег.

Замечание 2. Теорема 2 показывает, что каждая аффинная система типа Уолша {/п}пем допускает специального вида пополнение с сохранением структуры аффинной системы. При этом исходная система {/п}пем является изометрическим образом полной аффинной системы типа Уолша {^}пем в силу соотношения (2). Следствие 1 означает, что такое пополнение также сохраняет свойство бес-селевости аффинной системы.

Такие результаты тесно связаны с вопросами продолжения систем функций на более широкое множество, такими как классическая теорема Шура о продолжении [2] и ее обобщения [3-5].

3. ПРИМЕРЫ

Пример 1. Примерами ортонормированных аффинных систем функций типа Уолша {/п}пем, кроме самой системы Уолша {тп}пем, служат аффинные системы, порожденные функциями вида

2к + 1 -1 / = Сп тп,

п=2к

где к = 0,1,... фиксировано.

Пример 2. Пусть Ф(г) — внутренняя аналитическая в единичном круге Б = (|г| < 1) функция из пространства Харди Н2(Б), т.е.

= Е сигк, |2 < га,

к=0 к=0

и для некасательных граничных значений Ф(е^) имеем: |Ф(е^)| = 1 для почти всех Тогда предста-вимая рядом по системе Радемахера {гк}^=0 функция

те

у = Ск Гк к=0

порождает ортонормированную аффинную систему типа Уолша {уп}пем.

Пример 3. Пусть функция / е ¿2 задана своим разложением по системе Уолша:

/=

— 7 сп тп • п=1

Если выполняется условие

те .2к + 1-1 х 1/2

Е( Е |спП

к=1 п=2к У

то аффинная система функций типа Уолша {/п}пем полна в пространстве £2.

Пример 4. Пусть (г) — внешняя аналитическая в единичном круге функция из пространства Харди Н2(Б), т.е.

те те

&(г) = £ Скгк, ^|ск |2 < га, к=0 к=0

и справедливо интегральное представление:

f (z)—K exP(¿ £ eir+f f ^4

где |k| — 1 и F) — граничные значения функции F(z). Тогда функция

œ

F = Ck rk k=0

порождает полную в пространстве LO аффинную систему типа Уолша {Fn}neN•

Замечание 3. В обозначениях примеров 2 и 4 заметим, что если функция f G L2 представима в виде суммы ряда по системе Радемахера и по теореме факторизации Qf — Q^QF, то f (z) — ^(z )F (z) — разложение на внутренний и внешний множители аналитической функции f (z), соответствующей функции f. Это обстоятельство позволяет указать конструктивный способ ортогонализации и пополнения аффинных систем функций типа Уолша, порождающая функция которых представима рядом по системе Радемахера. Далее, отмеченная связь между факторизацией операторов, перестановочных с мультисдвигом, и канонической факторизацией аналитических функций на внутренний и внешний множители (подробности см. в статье [1]), дает обоснование справедливости утверждений примеров 2 и 4. Наконец, заметим, что утверждение примера 1 проверяется непосредственно, а утверждение примера 3 мы оставляем без доказательства, которое основано на стандартных рассуждениях об устойчивости свойства полноты для близких систем функций.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-1354.2013.1) и при поддержке РФФИ (проект № 13-01-00102).

Библиографический список

1. Терехин П. А. Мультисдвиг в гильбертовом про- 2007. Т. 81, вып. б. С. 893-903. DOI: 10.4213/mzm3739.

странстве // Функц. анализ и его прил. 2005. Т. 39,

1 Г СП О, ПЛ1 m/1010/f QO 4. CzajaW. Remark on Naimark s duality // Proc. Amer.

rc 1. C б9-8/. DOI-11^u421;3/faa32. J U u Math. Soc. 2008. Vol. 13б, iss. 3. P. 8б7-871. DOI:

2. Schur I Uber endliche Gruppen und H™^ 10.1090/S0002-9939-07-09048-X. Formen // Math. Z. 1918. Vol. 1, iss. 2-3. P. 183-207. '

DOI: 10.1007/BF01203611. 5. Терехин П. А. О бесселевых системах в банаховом

3. Новиков С. Я. Бесселевы последовательности как пространстве // Матем. заметки. 2012. Т. 91, вып. 2. проекции ортогональных систем // Матем. заметки. С. 285-296. DOI: 10.4213/mzm7697.

Affine Systems of Walsh Type. Orthogonalization and Completion

P. A. Terekhin

Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., Saratov, 410012, Russia, [email protected]

The new notion of affine system of Walsh type is introduced and studied. We proved results about orthogonalization and completion of affine systems of Walsh type with preservation of structure of affine systems.

Keywords: Walsh system, affine system, comletness, orthogonality, multishift, factorization.

This work was supported by the Grant of the President of the Russian Federation for state support of young Russian scientists (project M^-1354.2013.1) and by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 13-0100102).

References

1. Terekhin P. A. Multishifts in Hilbert spaces. Funct. Anal. Appl., 2005, vol. 39, iss. 1, pp. 57-67. DOI: 10.1007/s10688-005-0017-5.

2. Schur I. Über endliche Gruppen und Hermitische Formen. Math. Z., 1918, vol. 1, iss. 2-3, pp. 184-207. DOI: 10.1007/BF01203611.

3. Novikov S. Ya. Bessel sequences as projections of orthogonal systems. Math. Notes, 2007, vol. 81,

no. 6, pp. 800-809. DOI: 10.1134/S0001434607050276.

4. Czaja W. Remark on Naimark's duality. Proc. Amer. Math. Soc., 2008, vol. 136, no. 3, pp. 867-871. DOI: 10.1090/S0002-9939-07-09048-X.

5. Terekhin P. A. On Bessel Systems in a Banach Space. Math. Notes, 2012, vol. 91, no. 2, pp. 272-282. DOI: 10.1134/S0001434612010270.