CC BY
114. Смолянов О.Г., Шамаров Н.Н. Формулы Фейнмана и Фейнмана-Каца для эволюционных уравнений с оператором Владимирова // Докл. РАН. 2008. 420, № 1. 27-32.
5. Шамаров Н.Н. Мера Пуассона-Маслова и формулы Фейнмана для решения уравнения Дирака // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, вып. 6. 193-211.
6. Шамаров Н.Н. Poisson-Maslov type formulas for Schrodinger equations with matrix-valued potentials // Infinite dimensional analysis quantum probability and related topics. 2007. 10, N 4. 641-649.
Поступила в редакцию 16.07.2008
УДК 517.5
ПРИМЕР РАСХОДЯЩЕГОСЯ РЯДА ФУРЬЕ ПО ПЕРЕСТАВЛЕННОЙ СИСТЕМЕ УОЛША-ПЭЛИ
И. В. Поляков1
В работе рассматривается специально выделенный класс шипповских перестановок системы Уолша. Для полученных систем строится пример расходящегося почти всюду ряда Фурье из класса L(ln+ ln+)1-eL.
Ключевые слова: ряды Фурье, система Уолша, кусочно-линейные перестановки системы Уолша, шипповские перестановки, расходимость почти всюду.
A specially chosen class of Shipp's rearrangements of the Walsh system is considered in the paper. An example of a Fourier series from the class L(ln+ ln+)1-eL divergent almost everywhere is conctructed for the systems obtained here.
Key words: Fourier series, Walsh system, rearranged Walsh system, Shipp's rearrangments of Walsh system, divergence almost everywhere.
Для тригонометрической системы хорошо известен классический результат Карлесона [1] о сходимости почти всюду ряда Фурье функции из L2[0, 2п] по тригонометрической системе к этой функции. Не менее известен классический пример Колмогорова [2], который доказал существование функции из L1[0, 2п], ряд Фурье по тригонометрической системе которой расходится почти всюду. Усилением теоремы Карлесона является результат Антонова [3]. Он показал, что для всякой функции из класса L ln+ L ln+ ln+ ln+ L([0, 2п]) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду. Это наилучший результат, касающийся сходимости для данной системы. Аналогичный результат получен для системы Уолша в нумерации Пэли Сьелином и Сориа [4]. В то же время многие авторы обобщали пример Колмогорова. Например, Конягин [5] показал, что для всякой функции р: [0, +ж) ^ [0, +ж) и последовательности {ф(ш)} со следующими свойствами: функция p(u)/u является неубывающей на (0, +оо), tp(m) ^ 1 (m = 1, 2,...) и выполнено p(m)ip(m) = о(т^/\а т/ \/ln In т) при т —оо — найдется функция f £ L[-п,п], такая, что
/п
р(|f(x)\)dx < ж
-п
и limsupm^^ Sm(f, x)/0(m) = ж для всех x £ [—п,п], где Sm(f) — m-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f.
Для системы Уолша последний результат в этом направлении принадлежит Бочкареву [6], который доказал, что для всякой функции F(u) = uf (u), где f (u) — неубывающая, непрерывная на [0, ж) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию
/(■и) = о(л/log и) при и —> оо, существует функция g £ F(L), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду на [0,1).
1 Поляков Игорь Викторович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:
igorp86@mail.ru.
Этот пример является более сильным, чем построенный ранее пример Муна [7] функции из класса Ь(1п+ 1п+)1-еЬ, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится почти всюду.
Отметим также пример Балашова для системы Уолша в нумерации Качмажа. Он показал [8], что для всякого класса Ь(Ьп+Ь)1-е([0,1]), е € (0,1), найдется функция из этого класса, ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой расходится почти всюду.
Система Уолша обычно рассматривается в нумерациях Пэли, Качмажа и самого Уолша. Наиболее известна первая из них. Шипп рассматривал некоторые классы перестановок (кусочно-линейные), с помощью которых из нумерации Пэли можно получить нумерации Качмажа и Уолша [9]. Система Уолша может быть определена как на отрезке [0,1], так и на специальной двоичной группе С. В данной работе выделяются некоторые классы шипповских перестановок системы Уолша-Пэли, причем некоторые из них содержат в себе систему Уолша в нумерации самого Уолша. На эти классы переносится конструкция Муна, и для систем из этих классов строится соответствующий пример.
Пусть С = х х ... — группа Уолша. Каждый элемент группы представим в виде бесконечной последовательности 0 и 1, х = (хо , х1,...). Групповой операцией является покомпонентное сложение последовательностей по модулю 2. В [10] на группе С определяется так называемая мера Хаара, обозначаемая Существует каноническое отображение С на отрезок [0,1], биективное с точностью до счетного множества. Оно определяется по формуле Х(х) = Щ- + тр + ... + т^т + • • • • Благодаря этому отображению систему Уолша можно рассматривать как на группе, так и на отрезке [0,1]. Функции Радемахера определяются так: гп(х) = ( — 1)Хп. Всякое натуральное п представимо в виде
п = по + П12 + П222 + ... + П|п|2|п|. Функции Уолша в нумерации Пэли могут быть определены следующим образом:
^п(х) = Го(х)п0п(х)п1 ■ ... ■ гн(х)г
|п|
Система этих функций является ортонормированной. Введем определение шипповской перестановки системы Уолша. Пусть задано семейство невырожденных матриц {Ап}^=1 над полем ^2, причем Ап имеет размеры п х п. Отметим, что здесь и далее под сложением и умножением элементов матриц {Ап}^=1 подразумеваются сложение и умножение по модулю 2. Построим семейство отображений Тп (х) : С ^ С, У = тп(х), yi = Xi при г ^ п, yi = ^"-о А«7х7- при г < п. Все эти отображения будут биективными в силу
невырожденности матриц. Пусть 2т ^ п < 2т+1, тогда положим Хп(х) = гт(х)^га-2™ (тт(х)). Легко проверить, что система {%} является переставленной системой Уолша. Определим ядро Дирихле и константы Лебега по системе {%}:
п—1 „
=Хк, =
к=0
Для всякого натурального к введем класс шипповских перестановок Рк. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц {Ап}^=1 выполнено А«7 = 0 при ] > г + к для всех натуральных п > к, 0 ^ г < п — к. Отметим, что систему Уолша в классической нумерации (в той, в которой ее изначально рассматривал Уолш) можно получить из нумерации Пэли с помощью шипповской перестановки класса Р1.
Для констант Лебега } системы Уолша-Пэли {^п} известно следующее свойство [11]: существует строго возрастающая последовательность натуральных чисел {п^, такая, что > С 1пп^
Докажем вспомогательную лемму.
Лемма. Пусть система {хт} получена из системы Уолша-Пэли с помощью некоторой перестановки из класса Рк. Для всякого натурального п существует множество Еп со следующими свойствами:
1) ^(Еп) = 2—2т+1, где 2т < п < 2т+1;
2) С(1вп) = /с 1вп(%*= 0, если 0 < V < 2т+к+1 или V ^ 2т+к+1+2т+1;
3) М1еп{х) = 8ирг>1 \3*1еп(х)\ ^ /л(Еп) при х € где /л(А), 1д обозначают меру и характеристическую функцию множества А соответственно, Е^ = {х € С : х^ = 0,х^+1 = 0,..., х^+к-1 = 0} и б'Х/ = ^к—О Ск(/)Хк, где Ск(/) — коэффициенты Фурье функции / по системе {х}-
Доказательство. Обозначим через ]-й слева (при отображении Л) двоичный интервал ранга т + 1, ] =0,1,... , 2т+1 — 1. Заметим, что ядро Дирихле ^^(х), п ^ 2т+1, принимает постоянное значение на каждом интервале . Обозначим через /гк двоичные интервалы ранга т + 1+ к, I = 0,1,..., 2т+1+к — 1.
Внутри каждого такого интервала мы выберем интервал йк ранга т + 1 + к + 2т+1, а затем положим Еп = и2=о+ + -1 йк, тогда
2т + к+1 —1
мЕО = Е м]) = 2-2т+1.
]=о
Заметим, что при 0 < V < 2т+1+к
е Еп : XV(*) = 1} = М* е Еп : XV(*) = -1},
а при V ^ 2т+1+к+2т+1
е й] : XV (*) = 1} = е й : XV(*) = -1}
для ; =0,1,..., 2т+к+1 - 1. Значит,
а (1Еп) = 0, если 0 < V < 2т+к+1 или V ^ 2т+к+1+2"+1.
Осталось выбрать интервалы й] так, чтобы выполнялось последнее условие. Отметим, что ^ (х + *) принимает постоянное значение, если х е /¿, £ е I]. Здесь под сложением элементов имеется в виду групповая операция над ними. Введем обозначение
<7(х) = |0- Х ^ 0;
[1, х < 0.
Введем интервалы Кгк С / ранга т + 1 + к по формуле
Кк = {х е / : Хт+1 = 0, Хт+2 = 0,..., хт+к = 0}.
Заметим, что £^+1 = и2=о+ -1 Кк. Докажем вспомогательное утверждение.
Предложение. Пусть п ^ 2т+1, 0 ^ 1 < 2т+1, 0 ^ ^ < 2т+к+1, г > 0, тогда множество т^К^ + /к)
лежит в некотором /¿0 и, следовательно, определено значение а(Оп (т(Кгк + /к))).
Первая часть утверждения следует из того, что рассматриваемое отображение т задается матрицей, у которой не более первых к диагоналей над главной отличны от нуля. Вторая часть следует из того, что на интервале /¿0 функция , п ^ 2т+1, принимает постоянное значение. Определим йк как множество
йк = {х е /к : хт+к+1+г = арф(тт+к+ж^к + ]))), г = 0,..., 2т+1 - 1}. Отметим, что для всех £ е йк, х е Кк имеет место равенство
Гт+к+1+г(^ (тт+к+1+г(х + *)) = (-1)^ (г^+^+т ^ф (тт+к+1+г(х + *)) ^ 0
для каждого 0 ^ г < 2т+1 - 1.
Теперь покажем, что 1е„ удовлетворяет последнему условию леммы. Для всякого х из £^+1 существует номер г, такой, что х е /¿. Значит, х е Кк. Положим = п + 2т+1+к+г. Тогда получаем
/Е„ (х) ^Хт+1 + к + г /Е„ (х)| =
/ /еп (¿)гт+1+к+г(х + (тт+1+к+^(х + ¿))й^ .Ус
— 1 2т+ 1 + к_1
(тт+1+к+г(х + ¿))й^1 = V / (тт+1+к+^(х + ¿))\й^
]=о мк ]=о ./¿к
■г+1_1
Е I (*№ = ^(Еп)2_к£
_п 11
]=0
2т+1_1
. 2_2т+1_к ^ I ,пф ,йп = п(£ )2_к
Здесь мы учли, что для каждого /.,• найдется номер ^о, такой, что + ^) С /•/. Это следует из то-
го, что рассматриваемая перестановка лежит в классе и задается невырожденными линейными отображениями. Из неравенства Еп{х)-8*т+1+к+11еп{х)\ ^ ^{Еп)2~кполучаем М1Еп(х) ^ \ц{Еп)2~к^1 и лемма доказана. □
Основным результатом данной работы является
Теорема. Пусть к — произвольное неотрицательное целое число. Тогда для всякой системы {%„}, полученной из системы Уолша-Пэли с помощью некоторой перестановки из класса , и для любого 1 > е > 0 найдется функция / £ Ь(1п+ 1п+)1-еЬ, такая, что б«/ расходится почти всюду в С.
Доказательство. Пользуясь свойством констант Лебега, найдем последовательность {«¿}, такую, что ^ С 1пщ, 2т < т < 2^+1 и ш,+1 >т, + 1 + к + 2т+1.
В качестве искомой функции возьмем
22mi + 1
= -ХЕГЧ-
¿=1
Тогда из леммы видно, что ряд Фурье по системе {%„} расходится во всех точках, принадлежащих бесконечному числу множеств {Е^.+1} (т.е. верхнему пределу системы этих множеств ), а верхний предел этих множеств с точностью до множества меры 0 совпадает с группой С, так как эти множества независимы в вероятностном смысле и сумма их мер равна бесконечности.
Проверим, что функция принадлежит нужному классу. Обозначим С« = ЕП1 \ У^=¿+1 Е«. Ясно, что и°=1 Еп \ У°=1 С« имеет меру 0. Также для х £ С« верно неравенство
22тч+1
|/(Ж)К2—-
Тогда
так как
|/(ж)|(1п+1п+(|/(ж)|))1_е = / 1/(ж)|(1п+ 1п+(|/(ж)|))1-е — ,
lo J Gn.. mi
22mi+1 I ! 22mi+1 \ \ " " С
1-е
, -ХЕИг (X) ( ln+ ln+ I 2—-ХЕИг (X) ) ) dx^
Jon. \ \ Lni ) ) mi
Теорема доказана.
В заключение хочу выразить благодарность профессору В. А. Скворцову за помощь при написании данной работы.
Работа поддержана программой "Ведущие научные школы", проект НШ-3252.2010.1, и РФФИ, грант № 08-01-00669.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Carleson L. On the convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta. Math. 1966. 116. 135-157.
2. Kolmogoroff A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout // C.r. Acad. sci. Paris. 1926. 183. 1327-1329.
3. Antonov N.Y. Convergence of Fourier series // East J. Approx. 1966. 2, N 2. 187-196.
4. Sjolin P., Soria F. Remarks on theorem by N.Y. Antonov // Stud. Math. 2003. 158. 81-97.
5. Конягин С.В. О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье // Матем. сб. 2000. 191, № 1. 103-126.
6. Бочкарев С.В. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // Успехи матем. наук. 2004. 59, вып. 1(355). 103-124.
7. Moon K. An everywhere divergent Fourier-Walsh series of the class L(ln+ ln+)1-eL // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. 50. 309-314.
8. Балашов Л.А. О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1971. 12, № 1. 25-39.
9. Schipp F. Некоторые перестановки системы Уолша // Матем. заметки. 1975. 18. 193-201.
10. Schipp F., Wade W., Simon P. Walsh series. An Introduction to Dyadic Harmonic Analysis. N.Y.: Adam Hilger, 1990.
11. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша: теория и применения. М.: Наука, 1987.
Поступила в редакцию 26.06.2009
