Примеры расходящихся рядов Фурье для широкого класса переставленных систем Уолша-Пэли Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 517.5

ПРИМЕРЫ РАСХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ ФУРЬЕ ДЛЯ ШИРОКОГО КЛАССА ПЕРЕСТАВЛЕННЫХ СИСТЕМ УОЛША-ПЭЛИ

И. В. Поляков1

В работе рассматривается специально выделенный класс шипповских перестановок системы Уолша. Для полученных систем строится пример расходящегося почти всюду ряда Фурье из класса

Ключевые слова: ряды Фурье, система Уолша, шипповские перестановки, расходимость почти всюду.

A rearranged Walsh system is considered in the paper. An example of a Fourier series from the class Lo(V\n+)L divergent almost everywhere is constructed.

Key words: Fourier series, Walsh system, Shipp's rearrangements of Walsh system, divergence almost everywhere.

Для тригонометрической системы широко известен классический результат Л. Карлесона [1] о сходимости почти всюду ряда Фурье функции из L2[0, 2п] по тригонометрической системе к этой функции. Не менее известен классический пример А. Н. Колмогорова [2], доказавшего существование функции из L1[0, 2п], ряд Фурье по тригонометрической системе которой расходится почти всюду. Усилением теоремы Карлесона является результат Н. Ю. Антонова [3]. Он показал, что для всякой функции из класса L ln+ L ln+ ln+ ln+ L([0, 2п]) ее ряд Фурье по тригонометрической системе сходится к ней почти всюду. Это наилучший результат, касающийся сходимости для данной системы. Аналогичный результат получен для системы Уолша в нумерации Пэли П. Сьелином и Ф. Сориа в [4]. В то же время многие авторы обобщали пример Колмогорова. В частности, С. В. Конягин в [5] показал, что для всякой функции <р: [0, +то) ^ [0, +то) и последовательности [ß(m)} со следующими свойствами: функция <^(u)/u является неубывающей на (0, +оо), ß(m) ^ 1 (т = 1, 2,...) и выполнено равенство <p(m)ß(m) = о(т^/\а m/vln In m) при m ^ то, найдется функция h G L[-п,п], такая, что

/п

ip(\h(x)\)dx < то

-п

и limsupm^00 Sm(h,x)/ß(m) = то для всех x G [—п,п], где Sm(h) — m-я частная сумма тригонометрического ряда Фурье функции h.

Для системы Уолша наиболее сильный результат в этом направлении принадлежит С. В. Бочкаре-ву [6], доказавшему, что для всякой функции F(u) = uf (u), где f (u) — неубывающая, непрерывная на [0, то) функция, f (0) = 1 и f (u) удовлетворяет условию

/(■и) = о(л/log и) при и —> то,

существует такая функция g G F(L), ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится всюду на [0,1).

Этот пример является более сильным, чем построенный ранее пример Муна [7] функции из класса L(ln+ ln+)1-eL, ряд Фурье-Уолша-Пэли которой расходится почти всюду.

Отметим также работу Л.А. Балашова [8], в которой показано, что для всякого класса L(ln+ L)1-e([0,1]), е G (0,1), найдется функция из этого класса, ряд Фурье-Уолша-Качмажа которой расходится почти всюду.

Система Уолша обычно рассматривается в нумерациях Пэли, Качмажа и самого Уолша. Наиболее известна первая из них. Шипп рассматривал некоторые классы перестановок (кусочно-линейные), с помощью которых из нумерации Пэли можно получить нумерации Качмажа и Уолша [9]. Система Уолша может быть определена как на отрезке [0,1], так и на специальной двоичной группе G. В данной работе выделяется некоторый класс шипповских перестановок системы Уолша-Пэли. На этот класс переносится

1 Поляков Игорь Викторович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

конструкция Бочкарева, и для систем из этого класса строится соответствующий пример. Отметим, что выделенный класс содержит в себе систему Уолша в нумерации самого Уолша.

Пусть G = Z2 х Z2 х ... — группа Уолша. Каждый элемент группы представим в виде бесконечной последовательности 0 и 1, x = (xo, x\,...). Групповой операцией является покомпонентное сложение последовательностей по модулю 2. В [10] на группе G определяется так называемая мера Хаара, обозначаемая ß. Существует каноническое отображение G на отрезок [0,1], биективное с точностью до счетного множества. Оно определяется по формуле А(ж) = + fy + • • • + gifr + • • •• Благодаря этому отображению систему Уолша можно рассматривать как на группе, так и на отрезке [0,1]. Под двоичным интервалом ранга n будем понимать Ij1 = {x G G : Xi = ji, i < n}, где 0 ^ j < 2n, j = ^n=o Функции Радемахера определяются так: rn(x) = (—1)Xn. Всякое натуральное n представимо в виде n = no + ni2 + П222 + ... + n|n|2|n|. Функции Уолша в нумерации Пэли могут быть определены следующим образом:

^n(x)= ro(x)n0 ri(x)n1 ...r|n|(x)nM.

Система этих функций является ортонормированной. Введем определение шипповской перестановки системы Уолша. Пусть задано семейство невырожденных матриц {Am}^=i над полем Z2, причем Am имеет размеры т х т. Отметим, что здесь и далее под сложением и умножением элементов матриц {Am}^=i подразумеваются сложение и умножение по модулю 2. Построим семейство отображений тт (x) : G ^ G, У = Tm(x), yi = xi при i ^ m, yi = mfo1 Am xj при i < m. Все эти отображения будут биективными в силу невырожденности матриц. Легко видеть, что действие отображения Tm(x) на группу G представляет собой некоторую перестановку двоичных интервалов {Im},j = 0,..., 2m — 1. Это значит, что данное отображение сохраняет меру Хаара на группе G.

Пусть 2m ^ n < 2m+1, тогда положим

Xn(x) = Tm(x)^n-2m (Tm(x)) = ^n(Tm(x)). (1)

Легко проверить, что система {%} является переставленной системой Уолша. Определим ядро Дирихле и константы Лебега по системе {%}:

n—1 .

DX = Е Xk, LX = D\dß.

k=o Jg

Отметим известную формулу для ядер Дирихле системы Уолша в нумерации Пэли [11]

|n|

(x) = Фп^)^ nj Dj (x), (2)

j=o

где Dj (x) = rj (x)D2j (x).

Введем класс шипповских перестановок P. Перестановка принадлежит этому классу, если для семейства матриц {Am}^=i найдутся последовательности {gn}, {pn}, {fn}, для которых выполнено

Agj = 0 при i ^ gn — Pn, j < fn, lim pn = oo, lim fn = то, gn+i > gn.

Пусть kn = тогда limra^00 kn = oo. Переходя, если необходимо, к подпоследовательностям,

можно считать, что выполнено kn+i > 2kn, fn+i > gn.

Докажем следующую теорему.

Теорема. Пусть F(u) = us(u), где s(u) — неубывающая, непрерывная на [0, о) функция, s(0) = 1 и s(u) удовлетворяет условию

s(u) = о(д/(log и)) при и —> оо.

Система {%n} получена из системы Уолша с помощью некоторой перестановки класса P. Тогда существует функция d G F(L), у которой ряд Фурье по данной системе расходится всюду в [0,1).

Доказательство. Выберем монотонно убывающую последовательность {од}, од G (0,1), ^°=i од < о. Найдется константа R > 1, такая, что s(u) < u при u > R. Пусть C = s(R). Еще раз переходя к подпоследовательностям, можно добиться выполнения неравенств

/ 2ki \ 1

в (и) ^ аг\/\щй при и ^ ( —= ) , од > —=, ai2ki>CR. (3)

V Ыкг) Vк

Так как F (и) строго возрастает, то существует неубывающая обратная функция G(y).

Лемма. Верна оценка

G(y) >

av2^\ogy

при y ^ 2 v.

Доказательство. Действительно, С(у) = и(у) находится из уравнения ^(и) = из(и) = у. Пусть у ^ а^2^. Если и > Я, то у = из(и) < и2 и, значит, и > ^у. При и ^ И получаем противоречие:

kv \ 2

у = ив^и) ^ КС < 2^. Следовательно, из (3) находим и >

Из выбора применяя оценку для ,в(и), получаем а^лДщи ^ и,в(и) = у. Отсюда и\Д(Щ/й, ^ г, где г = Отметим, что по условию леммы г ^ 2^. Пусть и ^ "уЩр тогда приходим к противоречию:

z ^ -ид/log-и ^

Vl°g -г у \/l°g2

< z.

Значит, u >

>

avJ\og -И- a»V logy

, так как log ^ logy2. Это следует из того, что у ^ av2k

и поэтому ^ у в силу (3)

□

Положим Zn(x) = гг(ж)- Заметим, что принимает постоянное значение на дво-

ичных интервалах Т^-^1, j = 0,..., 2йп-А:п+1 - 1, обозначим его ^га(/дп-йп+1). Определим Ддп, j = 0,..., 2йп-йп+1 — 1, как множество {х е С : хг = г ^ — хг = ^^, — < г ^ дп}. Отметим,

что Ajn С Jj

T-gn-fcn + 1

. Положим

(2fcnZ„(Jgn-fcn+1),x e Af, j = 0,..., 2gn-kn+1 - 1;

0,ж eAgn, j — 0,...,2g"-fcn+1 - 1.

Оценим норму функции Pn(rgn(ж)) в Li[G]:

l|Pn(Tg„ (ж))У1 — ||Рп(ж)У1 — ||Z„(x)Hi —

л/К, ,

gn kn

E п(ж)

i=gn-2fcn + 1

<

gn kn i=gn-2fcn+1

U 2 m •

В силу неравенства Коши-Буняковского

9п

^ гг(х) г=дп-2йп+1

Таким образом, верна оценка ||Рп(тйп (х))||1 ^ 1.

Определим функцию ^(х) в виде сходящегося в £(С) ряда: ^(х) = ^^=0 ^(х), где

4 (ж) = -^=Р„(тя„(а:))-

Отметим, что спектр ^(х) по системе {хп} лежит в [2—, 2^+1). Это следует из того, что значение ^(у), У = т^(х), зависит только от координат у^, — < г ^ , и не зависит от остальных координат у. В силу вида отображения т^(х) эти координаты зависят только от х^, Д ^ г ^ д^. Отметим, что множества [2—, 2^+1) являются непересекающимися при различных г.

Для каждой точки х построим две последовательности натуральных чисел п(г,х) и д(г,х), такие, что 2^ ^ д(г,х) < п(г,х) < 2^+1. Положим

gv

п(г,х) = ^ е^ (х)2^,

где £j (ж) — 0,1. Пусть теперь

gv kv

Ei = { £ , E2 = G\El.

j =gv-2fcv + 1

z

z

y

z

v

1

Определим е,(ж) при < 3 < , полагая

е л^ = (К1 + (ж)))), Ж е Е\\

Ц(1 -щп(г3(т9г,(х)))), х е Е2.

Положим

ед--к- (ж) = 1. (4)

При — <3 ^ определим

е3(ж) = е3-к-(ж)- (5)

Числа д(г,ж) зададим по формуле д(г,ж) = 5^д=д +1 е,(ж)23. Отметим, что в силу (4) и (5) выполнены неравенства 2д- ^ д(г,ж) < п(г,ж). Так как при д(г,ж) ^ г < п(г,ж) функции Хг(ж) ортогональны ^т(ж), если т = г, то

ж) — ж) = ,ж) — ,ж) = Ус ¿V (4) £ X, (ж + ^ =

(с учетом формулы (1) и того факта, что 2д- ^ д(г,ж) < п(г,ж))

га(и,ж)-1

= Ус ¿V№ Е ^з(тд-(ж + = Ус ¿V(тд-(ж + *)) — Я^х)^ (ж + = = ¡с ^РЛт9ЛтО'ФпМ{т9Лх) + ТЯ„(*)) - + тя„(*)))<Й =

(поскольку отображение тд- сохраняет меру Хаара на группе G)

= I + г)~ в^х){тдЛх) + № =

(в силу (2))

[ 1

(ж) + 4) ^ е, (ж) ^ (т^ (ж) + 4) ^ ^ 3 =д--2к-+1

-09(«,я) (тд-(ж) + Е е,(ж)Я2' (тд-(ж) + ^ =

3 =д--2к-+1

(ввиду того, что функции ^(^х) (у) и (у) совпадают, если 3 > — К)

^ 1 д- к-

з=д--2к-+1

(поскольку = 1 на вирр = и2=о ^ 1 Дд-)

1

з

дV к-

/«1 у-

= Фп('а,х)(ТдЛх)) / Е 6з(Ж№ (ТЯ« (Ж) + ^

С ^ ^ 3 =д--2к-+1

1 к) (гди (ж)) / \ ej(x)D*j(тgv(x) +

./с V, _ ,

3 =д--2к-+1

Фп^,х){ТдЛх)) у Е ^ Е €э(Х)ЩЛТдЛ%) +

С ^ 3 =д--2к-+1 3=д--2к-+1

1 д- к-= Фп{>и,х)у Е £з(Ж)Гз(ТйЛж))-^ 3 =д--2к-+1

Таким образом,

|£Х( )(^,ж) — £Х( ) ж)| =

л.

Е е3 (ж)г3

(ж))

^ 3=д--2к-+1

Итак, установлено, что ряд Фурье функции ^(ж) по системе {%„} всюду расходится. Проверим, что ^(ж) принадлежит классу F(£). Обозначим = вирр ^ и положим Gv = Е„ \ У„=^+1 Ет. Из вида функции ^ следует, что мера множества не превосходит 2-к-, следовательно,

11ш N =0.

Поэтому с точностью до множества меры нуль вирр ^ = УGv.

Таким образом, учитывая, что Gv Р| Gm = 0 при т = г, получаем

,, те ,, те г / V

^ (|^(ж)|)^ж = Е/ F (|Й(ж)|)^ж = Е/ М Е ¿т(ж)

^ж.

Пользуясь тем, что мера Gv не превосходит 2 к-, имеем

/ F(|^(ж)|)^ж ^ од + / ¿ ¿т(ж)

> у Му.

Продолжим цепочку неравенств: СГ

> у Му ^ / ^

./а- 2к-

<

Е ¿т(ж)

т=1

^ г те ^

/ ^ |^т(ж)| ^

т=1 а-2к- I

Е ¿т(ж)

т=1

> G(y) ^у <

(г — т + 2)2

G(y) ¿у.

Для каждой функции на ее носителе Ет применим экспоненциальную оценку для суммы независимых случайных величин [12, с. 93]

^ ж е Ет : Ит (ж) | ^

G(y)

(г — т + 2)2

(ввиду того, что тт(ж) сохраняет меру Хаара)

2к"

ж е G :

дт кт

Е Г3(ж)

3=дт 2кт +1

С(у)А:т | < 4 / 1 С2(у)А:т (и - т + 2)22кт / "" 2к™ 6ХР V 2 (и - т + 2)422к"

Из нижней оценки для функции G(y) и предыдущих оценок, преобразуя интеграл, получаем

V 2к-

т=1

^ ¿т(ж) > G(yn ¿у < Е

4

2к™ 6ХР V 2 - т + 2)422кэт

т=1 ^

1 G2(y)fc„

¿у <

1

1

4

оо

1

1

V

V

оо

оо

Г — ( 1 уЧт 1.-7 =

" Jav2Ь> 2fc™ ехр V 8 av2 log y(v - т + 2)422^ IЩ

(замена переменной (y — z))

= а V Г —ex ( ___z4m

а" J2fcm 6ХР V 8 log(avz)(v - т + 2)422fc>

<а V Г — ex ( 1 z4m

^ ¿1 h** 2кт 6ХР \ 8 (log z)(v~m + 2)422fcm

(еще одна замена переменной (z — 2kmy))

<4а V f° exn f - -_^^_) dv <

" V ^J^v-km) PV 8(fcm + logy)(v-m + 2^4 I У "

2

" /1 У

^ ^ £ Л(^) 6ХР ( " 8(1 + 1оёу)^-т + 2)4] Лу-

Пользуясь тем, что (г — т + 2)4(1 + logу) < Су при у ^ находим окончательную оценку

/ ^(|^(х)|)^х < Са^.

•У Съ

Значит,

/ ^(|^(х)|)^х < то. ./с

Теорема доказана. □

В заключение автор выражает благодарность профессору В. А. Скворцову, оказавшему помощь при написании и редактировании данной работы.

Работа поддержана программой "Ведущие научные школы", проект НШ-979.2012.1, а также РФФИ (грант № 11-01-00321).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Carleson L. On the convergence and growth of partial sums of Fourier series // Acta. Math. 1966. 116. 135-157.

2. Kolmogoroff A.N. Une serie de Fourier-Lebesgue divergente partout // C.r. Acad. sci. Paris. 1926. 183. 1327-1329.

3. Antonov N.Y. Convergence of Fourier series // East J. Approx. 1996. 2, N 2. 187-196.

4. Sjolin P., Soria F. Remarks on theorem by N.Y. Antonov // Stud. Math. 2003. 158. 79-97.

5. Конягин С.В. О расходимости всюду тригонометрических рядов Фурье // Матем. сб. 2000. 191, № 1. 103-126.

6. Бочкарев С.В. Всюду расходящиеся ряды Фурье по системе Уолша и мультипликативным системам // Успехи матем. наук. 2004. 59, вып. 1(355). 103-124.

7. Moon K. An everywhere divergent Fourier-Walsh series of the class L(ln+ ln+)1-eL // Proc. Amer. Math. Soc. 1975. 50. 309-314.

8. Балашов Л.А. О рядах по системе Уолша с монотонными коэффициентами // Сиб. матем. журн. 1971. 12, № 1. 25-39.

9. Schipp F. Некоторые перестановки системы Уолша // Матем. заметки. 1975. 18. 193-201.

10. Schipp F., Wade W.R., Simon P. Walsh series. An introduction to dyadic harmonic analysis. Budapest, 1990.

11. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М.: Наука, 1987.

12. Петров В.В. Предельные теоремы для сумм независимых случайных величин. М.: Наука, 1987.

Поступила в редакцию 25.10.2010