Тригонометрическая аффинная система типа Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51

В. А. Миронов, П. А. Терехин

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ АФФИННАЯ СИСТЕМА

ТИПА УОЛША

Пусть {wn}^=0 - классическая система Уолша в нумерации Пэли и \ип\с^={) ~ тригонометрическая аффинная система функций типа Уолша, порожденная функцией

7Г

u(t) = — sin(2nt). 2

Теорема. Тригонометрическая аффинная система функций типа Уолша {un}^=0 образует базис Рисса в пространстве L2(0,1).

Аффинные системы функций типа Уолша введены в [1]. Напомним их определение.

Пусть H - гильбертово пространство, состоящее из всех функций f (t), t Е R, удовлетворяющих условиям:

f (t + 1) = f (t), f Е L2(0,1), í1 f (t) dt = 0.

0

Определим изометрические операторы W0, W1 : H ^ H равенствами

W0f (t) = f (2t), Wif (t) = r(t)f (2t),

где r(t) - периодическая функция Хаара^Радемахера^Уолша.

Операторы W0 и W1 образуют структуру мультисдвига в H (см. [2]). Для каждого натурального числа n = ^k=0 aV2V + 2k положим

k-1

fn(t) = Wa0 ... Wak.! f (t) = f (2k t) П С (t),

V=0

где {rk}^=0 - система Радемахера. Кроме того, пусть f0 (t) = 1. Система {fn}^=0 называется аффинной системой функций, типа Уолша, порожденной функцией f. В частности, если f = r, то мы получаем систему Уолша {wn}^=0 в нумерации Пэли. Нас интересует случай f = и, т. е. тригонометрическая аффинная система типа Уолша {un}^=0.

Лемма. Для коэффициентов Фурье Уолша функции, u(t) имеем

/2fc+1-i \ 1/2 . Uk = |(u,wn)|^ = sin2 2k+r, k > 2.

Кроме того, имеем и0 = (и,ы) = 1 и = 0. Доказательство теоремы. Докажем оценку

то /То \ 1/2

- Ып) < 1Сп|2)

п=1 ^п=1 '

с постоянной 0 < д < 1, го которой базисность по Риссу системы {ип}ТО=0 будет следовать стандартным образом. Для этого рассмотрим произведения операторов Wа = Wа0... Wаk_1, где а = (а0,..., ак-1) - произвольный конечный набор нулей и единиц длины |а| = к > 0, которому сопоставим натуральное число п = ^к=0 а^2^ + 2к. Из определения аффинной системы функций типа Уолша и с учетом леммы получим

ип - Ып = Wа(и - ы) = Wа £ (и, Wвы) Wвы.

2

Отсюда находим

ТоТо

£ Сп(ип - Ып) = £ С«W"(и - V) = £ £ £ Са(и, Wвы) WЫ.

п=1 а к=2 а

При каждом фиксированном к семейство {WаWвы : |а| > 0, |в| = к} ортонормированное. Поэтому

то

то

£ Сп(ип - Ып) < £ £ £ Са(и, Wвы) WЫ п=1 к=2 а |в |=к

то , \ 1/2 то ✓ то ч

Е(Е|Са!2 Е |(и,^Аш)р) = £ ц Е|С„!2

к=2 п=1 '

к=2 4 а |в|=к

Осталось заметить, что в силу леммы

1

9 = Е ик = *

к=2

к вШ2

п

<

п

к=2

2к+1 8^/2

< 1.

Теорема доказана.

Замечание. В работе [3] доказана, минимальность аффинной системы функций типа Уолша {/п}ТО=0 б пространстве Ь2(0,1)7 порожденной произвольной ненулевой функцией / € Н. В частности, из результатов /3/ следует существование биортогонально сопряженной системы {"Уп}ТО=0 к тригонометрической аффинной системе типа Уолша {ип}ТО=0- При, этом фун,кции являются полиномами порядка п по

системе Уолша, коэффициенты которых подлежат определению по коэффициентам Фуръе—Уолша (и,ып) с помощью явно выписанных в [3] рекуррентных соотношений. Таким образом,, в силу теоремы биорто-гональное разложение

то

/ = ^п)ип

п=0

безусловно сходится для любой функции / € Ь2(0,1) и его частные суммы

N-1 2к+1-1

^/ = £ £ (/>п)ип к=0 п=2к

подлежат эффективному вычислению по входным данным в виде набора коэффициентов Фурье—Уолша (/, ып)7 п = 0,... , 2я - 1. Заметим, что частная сумма / является непрерывной кусочно-синусоидальной функцией (тригонометрическим сплайном простейшего вида) с узлами в двоично-рациональных точках. Установленная нами теорема показывает, что аппроксимация в среднем квадратиче-ском функции, / посредством частных сумм / обладает свойством устойчивости по отношению к заданию приближаемой функции, с погрешностью.

Работа первого автора выполнена при, финансовой поддержке Ми-нобрнауки РФ (проект Жд 1.1520.20Ц/К).

Работа второго автора выполнена при, финансовой поддержке РФФИ (проект 13-01-00102).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Терехин П. А. Аффинные системы функций типа Уолша, Ортогонализация и пополнение // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 1, С, 395-400,

2, Терехин П. А. Мультиедвиг в гильбертовом пространстве // Функц, анализ и его прил, 2005, Т. 39, вып. 1, С, 69-81,

3, Миронов В. А., Терехин П. А. Минимальность аффинных систем функций типа Уолша // Математика, Механика : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат, ун-та, 2014, Вып. 16. С. 42-44.