Минимальность аффинных систем функций типа Уолша Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.51+517.98

В. А. Миронов, П. А. Терехин

МИНИМАЛЬНОСТЬ АФФИННЫХ СИСТЕМ ФУНКЦИИ

ТИПА УОЛША

Аффинные системы функций типа Уолша введены в статье [1]. Пусть Ь2 = £0(0,1) _ пространство всех вещественно- или комплекснозначных периодических функций / € Ь2(0,1) с нулевым интегральным средним на периоде:

/(* + 1) = /(*), / /(*) ^ = 0.

./о

Рассмотрим в пространстве ЬО линейные операторы Ж0 и Ж15 заданные равенствами

Ж/(*) = / (2£), Ж/(*) = / (2*)Ц*),

где Ц^) = 10 < £ < 1, и Ц^) = —1 1 < £ < 1.

Пусть А - множество всех конечных наборов о = (о0,..., о^-1)5 к = 0,1,..., состоящих из нулей и единиц: о^ = ^и 1,0 < V < к — 1, включая при к = 0 пустой набор. Пусть, далее, |о| = к - длина набора о = (о0,... , ок—^ и ов = (о0,..., ок—1, в0,... , в/—0 _ конкатенация наборов о = (о0,..., ок—^ и в = (в0,..., в/—0-

Укажем на естественную биекцию между множествами А и М, при котором набору о = (о0,..., ок—1) соответствует натуральное число п = = о^2^ + 2к. Мы будем пользоваться таким соответствием для

замены индекса ха = х(о0,..., ок—1) = хп.

Для каждого набора о = (о0,..., ок—1) € А положим

Ж« = ... Жак-!

_ Пр0изведение операторов (первым действует оператор Wak-1, последним - Wao ; при k = 0 пустое произведение полагаем равным тождественному оператору /).

Пусть, далее, rk(t) = w(2kt), k = 0,1,..., - система Радемахера. Для любой функции f G L0 будем иметь

fa (t) := Wa f (t) = Wao ...Wak_! f (t) =

k-1

= f (2kt)wak-(2k-1t)... wao(t) = f (2kt) П С(t).

В частности, для функции f = w семейство {wa}aGA совпадает с системой Уолша {wn}nGN (без постоянной функции, тождественно равной единице) в нумерации Пэли:

k-1 k-1 Wa(t) = Тк(t) П С(t) = Wn(t), n = ^ a,2V + 2k.

v=0 v=0

Определение 1. Семейство функций {Waf }aGA назовем аффинной системой функций типа Уолша, порожденной функцией f G L0-

Для аффинной системы функций типа Уолша будем использовать обозначения {fa } a£A или {fn}nGN с учетом соответствующей замены индекса.

Рассмотрим вопрос о существовании биортогонально сопряженной системы {fn}nGN к аффинной системе типа Уолша {fn}nGN, т-е- такой системы функций, что

(fi ,j)= t Mt)j(t) dt = 5tJ, i,j G N. 0

Разложим порождающую функцию f G L0 аффинной системы в ряд Фурье^Уолша

то

f ^ ^ XnWn. n=1

Предположим, что функция f нормирована условием x1 = (f,w) = 1. По числовой последовательности {xn}nGN построим новую числовую последовательность {yn}nGN следующим образом. Пусть y1 = 1 и все a G A, |a| = k > 1, определяются из рекуррентных соотношений

к

У^ Хв y7 = ^2 x(a.0,..., av-\)y(av,..., ak-1) = 0. (1)

Теорема 1. Семейство функций

к

fn = fa =^2 У7we = ^2 y(av,...' ak-1)w(a0,..., av-1) (2)

а=в7 v=0

является биортогонально сопряженной системой к аффинной системе функций типа Уолша {fn}nGN.

Доказательство. Пусть а, в G A, |a| = k, |вI = l- Вычислим

k

f fe) = X]y(av,..., Oik-OM^ ..., -1), f (в0,..., в1-1)).

v=0

По аналогии с [2, лемма 11 имеем

( ! \ £ю о \\ I ,/), если (о0,..., 1) = в7,

(о0,..., 1), / (в0 ,...,в/—( , ^0, ипа че. ' , ) в/,

Уравнение (о0,..., о^—1) = вт разрешимо относительно 7 лишь в том случае, если / < V и о0 = в0? • • • > о/—1 = в/—ь При этом |71 = V — / и о/ = 70, ..., о^—1 = 7^—/—ь Таким образом, устраняя заведомо равные нулю слагаемые, окончательно находим

к

(/а> Л?) = X] , . . . , °к—1)(^(о/, . . . , /)

V=/

у^ х(о/,..., аv—,..., ок—1).

ч ,, , аv—1)у(оь

V=/

Применяя рекуррентные соотношения (1) с заменой (о0,..., ок—1) на (о/,..., ок—1) получаем, что (/*,/) = 0 при к = /. Если же к = /, то (/*,/в) отлично от нуля в том и только в том случае, когда о = в? при этом (/*, /в) = х1у1 = 1.

Представление (2) показывает, что функции /П биортогонально со-

п

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для молодых российских ученых (проект МД-1354-2013.1) и гранта РФФИ (проект № 13-01-00102).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1, Терехин П. А. Аффинные системы функций типа Уолша, Ортогонализация и пополнение // Изв. Сарат, ун-та. Нов, сер. Сер, Математика, Механика, Информатика, 2014, Т. 14, вып. 4, ч, 2,

2, Терехин П. А. О сходимости биортогопальпых рядов по системе сжатий и сдвигов функций в пространстве Ьр[0,1] // Математические заметки, 2008, Т. 83, вып. 5, С. 722-740.

УДК 519.713.2, 512.534

В. А. Молчанов

ОБ ОПРЕДЕЛИМОСТИ КАНОНИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ УНИВЕРСАЛЬНЫХ ПЛАНАРНЫХ АВТОМАТОВ

В настоящей работе продолжаются исследования автоматов, у которых множества состояний и выходных сигналов наделены дополнительной алгебраической структурой плоскости.