CC BY
43
References
1. Gal'perin A., Countrymen A. N. Matematicheskie bil'iardy [Mathematical Billiards]. Moscow, Nauka, 1990, 288 p. (in Russian).
2. Rademacher H., Toepliz O. Chisla i figury [Numbers and Shapes]. Moscow, Nauka, 1964, 264 p. (in Russian).
3. Tabachnikov S. Geometry and Billiards. Providence, R. I., Amer. Math. Soc., 2005. 176 p. (Rus. ed.: Tabachnikov S. Geometriia i billiardy. Moscow, Izhevsk, NITs «Reguliarnaia i khaoticheskaia dinamika», Izhevskii institut komp'iuternykh issledovanii, 2011, 180 p.)
УДК 517.538.52+517.538.53
КВАДРАТИЧНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ ЭРМИТА-ПАДЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
А. П. Старовойтов
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и теории функций, Гомельский государственный университет им. Фр. Скорины, Беларусь, [email protected]
В работе изучаются экстремальные свойства квадратичных диагональных аппроксимаций Эрмита-Паде I типа для системы экспонент {ех^ *}2=0 с произвольными различными действительными показателями Ао, А1, А2. Доказанные теоремы дополняют известные результаты П. Борвейна и Ф. Вилонского.
Ключевые слова: аппроксимации Эрмита-Паде I типа, квадратичные аппроксимации Эрмита-Паде, асимптотические равенства, метод перевала.
ВВЕДЕНИЕ
Диагональными аппроксимациями Эрмита-Паде I типа (Latin type) и (n — 1)-го порядка для набора экспонент {epz}k=o называют k + 1 многочлен A0(z), Ai(z),..., Ak(z) степени не выше n — 1, для которых
k
J^Ap (z) epz = O(zkn+n-1) , z ^ 0, (1)
p=0
где предполагается, что хотя бы один многочлен Ap(z) тождественно не равен нулю.
Такие аппроксимации введены в рассмотрение Эрмитом (C. Hermite) [1] в 1883 г. Ещё раньше, при доказательстве трансцендентности числа e, Эрмит [2] определил k + 1 многочлен Qkn(z), Pkn(z),..., Pkkn(z) степени, не выше kn, для которых
Rn(z) := Qkn(z) ejz — Pj(z) = O (zkn+n+1) , z ^ 0. (2)
Набор рациональных функций n3kn kn(z; ej5) = Pjn(z)/Qkn(z), j = 1, 2,..., k принято называть диагональными аппроксимациями Эрмита-Паде II типа (German type) n-го порядка (по поводу терминологии см. [3]). В [4] показано, что с помощью аппроксимаций Эрмита-Паде I типа можно также доказать трансцендентность числа e.
В одномерном случае (k = 1) общая постановка задачи о нахождении многочленов, удовлетворяющих равенствам (1), (2), принадлежит Паде (H. Pade) [5], а построенные в обоих случаях многочлены совпадают. В многомерном случае (k ^ 2) систематическое изучение аппроксимаций Эрмита-Паде I и II типов связано с появлением работы К. Малера (K. Mahler) [4] (об участии других авторов в создании формальной теории см., например, [6]). Оба типа аппроксимаций Эрмита-Паде, явно различные в многомерном случае, имеют множество приложений [6-8].
При k = 1 приходим к классическим аппроксимациям Паде. В этом случае A0(z) = — РП-1 (z), A1 (z) = Qn-1 (z), и хорошо известно, что аппроксимации Паде nn,n(z;e5) = РП(z)/Qn(z) обладают рядом экстремальных свойств, в частности, являются локально наилучшими рациональными аппроксимациями ez.
В данной статье рассматриваются квадратичные (k = 2) диагональные аппроксимации Эрмита -Паде I типа для системы экспонент {eA°z,eAlz,eA2z} с произвольными различными комплексными
показателями Ао, Ах, А2. Для многочленов АП(г), АП(г), АП(г) степени не выше п — 1, удовлетворяющих условиям
2
Rn(z) = ^ A£(z) eXpZ = O (z3n-1) , z ^ 0, (3)
p=0
найдена асимптотика остаточного члена Яп(г) и установлено, что при действительных А0 < Ах < А2 нормированные и преобразованные соответствующим образом многочлены {Ап(г)}р=0 являются решением следующей экстремальной задачи: при заданном п найти многочлены аП(г), р = 0,1,2, степени, не выше п, со старшим коэффициентом многочлена аП(г) равным 1, реализующие минимум в следующем равенстве
En = En(Ao ,Ai ,А2; р) = min
(z) eApz
p=0
где ||h||p = max{|h(z)| : z e Dp}, а Dp = {z : |z| ^ р} С C.
Поскольку найти точные значения En не представляется возможным, конечной целью задачи является нахождение асимптотики убывания последовательности {En}^=1.
При k = 2 и Ap = p, p = 0,1,..., k, для р = 1 данная задача была поставлена и решена П. Борвей-ном (P. B. Borwein) [9]. Ф. Вилонский (F. Wielonsky) [10] исследовал случай, когда k ^ 2 и р < n/k. Ранее при k = 1 решение близких по содержанию задач для круга и отрезка получено Л. Трефезеном (L. N. Trefethen) [11] и Д. Браессом (D. Braess) [12]. Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Пусть р < п/(А2 — А0), а А0 < А1 < А2 — произвольные действительные числа. Тогда при n ^ го
_ п!(а2 — А0 )n+1 (А2 — А1 )n+1 рЗп+2
En--0зПГ2)-р .
Теорема 1 является обобщением теорем П. Борвейна [9] и Ф. Вилонского [10] при k = 2. Она получена в результате исследования асимптотических свойств интегральных представлений остаточного члена Rn (z) и многочленов An (z). Асимптотические свойства остаточных членов Rn (z) аппроксимаций Эрмита-Паде II типа с помощью метода Лапласа описаны в работе автора [13] (см. также работу [14]). В данном случае применяется метод перевала в сочетании с методом Лапласа. Технология их применения является результатом дальнейшего совершенствования методов работ [10,13].
Анализ доказательства теоремы 1 показывает, что без существенных изменений оно проходит и в общем случае, т.е. для набора экспонент {eApZ}^=1 при произвольных действительных Ар и k ^ 2.
1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
В этом и следующем параграфах считаем, что А0, А1, А2 - произвольные различные комплексные числа, упорядоченные по модулю, т.е. |А01 ^ |А1| ^ |А2|.
Полиномы An (z), An (z), An(z), удовлетворяющие равенствам (3), могут быть получены решением линейной системы 3n — 1 однородных уравнений с 3n неизвестными коэффициентами. Поэтому нетривиальное решение всегда существует. Легко показать, что такие нетривиальные решения могут быть выписаны в явном виде. Действительно, пусть Cp - граница круга с центром в точке Ар столь малого радиуса, что все остальные Aj лежат во внешности этого круга, а C^ — граница круга с центром в нуле столь большого радиуса, что все числа Aj, j = 0,1, 2 принадлежат его внутренности. Используя теорему Коши о вычетах, легко показать, что функции
х e-Apz Г e5zdf
An(z)—4 щ?, 0 <2, (4)
1 С e 5z df
Rn(z) = — r ^Nin , (5)
nW 2ni Jc„ Hf)]n ' V '
где ^(f) = (f — A0)(f — A1 )(f — A2), удовлетворяют (3) и всем другим условиям.
2
о
p
p
Далее будем рассматривать нормированную функцию Дп(г), полученную делением Дп(г) на старший коэффициент многочлена А-(г). Чтобы найти его численное значение, продифференцируем равенство (4) п — 1 раз при р = 2. В результате получим, что численное значение старшего коэффициента А- (г) совпадает со значением интеграла
1 Г ¿С
2^ (п — 1)! УС2 (С — Л2) (С — Ао)п (С — А:)- ' который вычисляется по интегральной формуле Коши, и равно
(Л2 — Ло)-п(Л2 — Л1)-п/(п — 1)!.
При изучении асимптотики интеграла в (5) будем использовать известные методы комплексного анализа. Приведем без доказательств в удобном для нас виде необходимые утверждения (см. [15, гл. 7, §43, теорема 2; §45, теорема 2]).
Утверждение 1 (метод Лапласа). Пусть /(х), Б(х) — непрерывные на отрезке [а, Ь] функции, при этом Б(х) принимает только действительные значения, а /(х) может быть комплекснозначной. Полагаем
С ь
= /(х) еп5(х) ¿х.
о а
Предполагаем, что Б(х) в точке х0 е (а, Ь) имеет абсолютный максимум на отрезке [а, Ь], т. е. Б(х) < Б(х0), х = х0, Б''(х0) = 0, и функции /(х), Б(х) бесконечно дифференцируемы в некоторой окрестности точки х0. Тогда при п ^ +го справедливо асимптотическое равенство
= \/—п^ е"а<хр 1 (/(х'0 > +0(1/п)) •
Утверждение 2 (метод перевала). Пусть функции / (г) и Б (г) регулярны в некоторой области О, содержащей кусочно-гладкую кривую 7 и
К = / / (С) е^1 ¿С-
Предположим, что тах { Яе Б (С) : С е 7} достигается только в точке г0, которая является внутренней точкой контура и простой точкой перевала, т. е. Б' (г0) = 0, Б'' (г0) = 0. Считаем также, что в окрестности г0 контур 7 проходит через оба сектора (см. [15, гл. 7, §45], в которых Яе Б (С) < Яе Б (г0). Тогда при п ^ го
^ Ч — те е"5<г0> (/) + 0(1/п)) - (6)
Выбор ветви корня в (6) определяется из условий
агв\/— = '
где — угол между касательной к кривой I в точке г0 и положительным направлением действительной оси, а I - линия наибыстрейшего спуска, проходящая через точку г0, т. е. для I в окрестности г0 выполняются условия: 1т Б (г) = 1т Б (г0) при г е I; Яе Б (г) < Яе Б (г0) при г е I, г = ¿0.
2. АСИМПТОТИКА ОСТАТОЧНОГО ЧЛЕНА Дп(г)
Теорема 2. Равномерно по г на компактах в С при п ^ го
Ар +А1+А2
е з 2
)--7-ТТ" г3п-1 - (7)
пК 1 (3п — 1)! v 7
1
Доказательство. Без ограничения общности считаем, что А0 = 0. Общий случай сводится к рассматриваемому, если равенство (3) умножить на e-A°z.
В интеграле (5) перейдём к новой переменной, полагая z = nw. Тогда
1-, / \ 1 f df
Rn(mB) = äS./0_ F^IT ■ (8)
Будем искать критические точки функции ^(f) = ^(f), т.е. нули ^'(f). Они являются корнями уравнения
w^(f) = Ч>'(fX
которое можно записать в виде
w = ¿ + f—ÄI + ■ (9)
Поскольку контур C^ должен охватывать все точки Aj, то будем искать критическую точку, достаточно удалённую от нуля. В этом случае, сделав замену Z = 1/f, представим правую часть равенства (9) в виде степенного ряда
w = 3Z + (А1 + А2)С2 + (А1 + А2 )Z3 +.... (10)
Обращая ряд (10) с использованием формул Бурмана - Лагранжа [15, гл. 5, §31] и возвращаясь к прежней переменной f, получим зависимость поведения критической точки f0 от значений w, которые с учётом замены z = nw находятся в достаточно малой окрестности нуля:
.3 А1 + А2 „, N
f0 = - +-ö-+ O(w). (11)
w 3
Определим теперь контур C^ так, чтобы он проходил через f0, охватывал все точки А0, А1 ,А2, а модуль функции ^(f) достигал на C^ своего наименьшего значения в единственной точке f0. С этой целью рассмотрим линии уровня функций ^(f) и , проходящие через точку f0:
L = {f e C : | p(f)| = | ^(f0)|} ,
L1 = {f e C : | e-w51 = | e-w501} .
L является лемнискатой, а L1 — прямой, проходящей через f0 и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол, равный arg(i/w). Уравнение лемнискаты L запишем в виде
к(&) + ^(f — f0) + ... + Ä(f — f0)3|= И&)|.
Опираясь на предыдущее соотношение и равенство ^'(f0) = w^(f0), легко показать, что угловой коэффициент касательной к L в точке f0 равен tg(arg(i/w)). Таким образом, L1 является касательной к L в точке f0.
При достаточно малых |w| лемниската L является [16, гл. 3, §3.3] жордановой аналитической кривой и охватывает все нули ^(f), а прямая L1 разбивает плоскость на две полуплоскости, одна из которых (полуплоскость О) содержит L. В полуплоскости О модуль больше модуля .
Лемниската L разбивает плоскость на две связные области — внутреннюю и внешнюю. Если f принадлежит внешней области, то |^(f)| > |^(f0)|.
Учитывая возможность деформирования контура интегрирования в интеграле (8), построим теперь необходимый контур C^. Для этого возьмём отрезок с центром в точке f0, принадлежащий L1, и соединим его концы гладкой жордановой кривой, которая лежит в полуплоскости О и охватывает L. Построенный контур C^ соответствует всем необходимым требованиям.
В силу принципа аргумента при обходе точкой f контур C^ в положительном направлении приращение аргумента функции ^(f) равно 6п. Поэтому C^ можно разбить на два контура Cj, j = 0,1, так, что на контуре C^ приращение аргумента функции ^(f) равно 5п. Без ограничения общности можно считать, что f0 лежит внутри контура C°,, и —п/2 ^ arg ^(f) ^ п/2 при f e C°. В противном случае, правую часть равенства (8) следует умножить и разделить на eina, где действительное число а выбирается так, чтобы —п/2 ^ arg(eia^(f)) ^ п/2, и далее вместо ^(f) рассматривать функцию eia^(f).
Л. П. Старовойтов. Квадратичные аппроксимации Эрмита - Паде экспоненциальных функций Определим функцию Б (С), полагая
S(С) = < - lnС е C
где 1п ^(С) = 1п |^(С)| + г aгg0 ^(С) — однозначная ветвь логарифма, для которой а^0 ^(С) е е [—п/2,п/2]. Б (С) является сужением на С^ С О однозначной аналитической функции Б (С), определённой в односвязной области О, не содержащей нулей ^(С). В этой области
Б' (С) Р'(С) 1 1 1
Б (С) = ю--т-т- = ю — - —
р(С) С С - Ах С - а2 S'' (С) = ^ + ттА^ +
и S' (Со) = 0, S" (Со) = 0.
Заметим, что для всех С е Cc
С2 (С - Ах)2 (С - а2)2'
1_ = en(Re(wg)-ln |^(0|)
№(С)|
а функция Яе(юС) — 1п |^(С)| достигает на С^ своего наибольшего значения в единственной точке Со. Введём в рассмотрение интегралы
w _di
F(n) = — I =0,1.
Рассуждая как при доказательстве неравенств (8) в [15, гл. 7, §45], нетрудно показать, что
|Fl(n)| ^ c en(S(5°)-<5) , (12)
где c, S > 0 — постоянные. Интеграл F0(n) представляется в виде
Fo(n) = -^/ enS(« ¿С-
Так как max{ Re S(С) : С е C^} достигается только в точке С0, которая является внутренней точкой контура C^ и простой точкой перевала, то для нахождения асимптотики этого интеграла применим утверждение 2. В результате получим:
Из неравенств (12) и предыдущего равенства следует, что основной вклад в асимптотику Дп(пю) вносит интеграл Р0 (п). Поэтому
(nw) = ¿i \/пЙ0) e"S<&'(1+ O(1/n)) - (13)
Точка С0 достаточно далеко удалена от нуля. Поэтому
S(Со) = <о - 3lnСо - ln(l - -1^1 - = w& + 3ln 1 + + о( С2
Отсюда из (11) следует, что
2
S(Со) = 3 + 31n 3 + w + O( w2 ).
Тогда
enS(5°) = e3n (3Пe^ nw (1 + O(nw2)). Математика 391
n
Если перейти здесь от переменной w к z, то получим
N 3П Л1+Л2
S(5o) = e з z (1 + O(z2/n)) . (14)
Из полученного ранее выражения для S''(C) следует, что
S''(Co) = i(1 + 2^f^2 + O(l/í2)) .
2 w2
Отсюда из (11) находим, что
S''(Co) = ^(1+ O(w)),
поэтому
— 1 /—3
= \ (1 + O(w)).
S'' (Co)
Учитывая, что для выбранного контура CO угол = arg(i/w), переходя к переменной z, окончательно получаем:
= V3 - (1+ O(w))= iV3 П (1 + O(z/n)). (15)
V S'' (Co) w v v " z
Из (13), (14) и (15) следует, что
l3n f e \3n o^ 1 Л1+Л2
Rn(z) = J£ (£) z3-1 e^ z (1 + 0(1/n)).
Отсюда с учётом формулы Стирлинга вытекает справедливость асимптотического равенства (7) для любого комплексного числа z.
Равномерность асимптотики в (7) следует из теоремы Витали [17, гл. 4, § 1] и того, что последовательность функций (3n — 1)! e-(Al +А2)z/3 Rn(z)/z3n-1 равномерно ограничена по модулю на компактах в C. Действительно,
i ¡Ф
|Я„(nw)| ^ — en(Re(wZ(t))-ln^(C(t))|) | z'(t)| dt, 2n Ja
где контур интегрирования СО прежний и параметризуется вещественным параметром t е [а, в] - Если обозначить через [а1,в1] отрезок, соответствующий параметризации контура C0, то при достаточно больших n
1 гв 1
|Rn(nw)| ^ - en ReS(z(t)) | Z'(t)| dt, (16)
n Jai
Для нахождения асимптотики интеграла в (16) применим утверждение 1. В результате получим,
что
Г' еп Ке| С'(0| ^ =А -2П .. еп Ке | С'(*°)| (1 + 0(1/п)) , (17)
4 ' и' V п [Яе5(С(г))]^ У1))' " '
где выбрано так, что £(¿о) = Со.
Функция Яе 5(£(£)) в точке имеет максимум. Поэтому
[Яе5(С(^))];и = — Г (С°)1 1С(*°)|2 (1 + 0(1/п)) < 0. (18)
Из равенств (17) и (18), переходя к переменной г и учитывая соотношения (14), (15), при достаточно больших п получим необходимое неравенство:
|Rn(z)| ^
2 |z|
3n-1
(3n - 1)!
Л1+Л2
□
3. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1
Вслед за Д. Браессом [12] рассмотрим сдвиг аппроксимаций Эрмита-Паде п-го порядка. Пусть А° < Ах < А2 — произвольные действительные числа,
;(г) = п! (А2 — А°)п+1(А2 — Ах)п+1 АП+1 (г — *п),
-п(г) = п! (А2 — А°)п+1 (А2 — Ах)п+1 -п+1 (г — *п),
п+1
0 ^ р ^ 2 ,
еп = ||—<
пИР
где
гп —
(А° + А1 + А2) р2
3(3п + 2)
а множитель п! (А2 — А°)п+1 (А2 — А1 )п+1 в приведённых выше формулах нормализует многочлен ¿^(г) так, что его старший коэффициент равен 1.
Справедливость теоремы 1 вытекает из следующих лемм. Лемма 1. При п ^ го
^!(А2 — А°)п+1 (А2 — А1 )п+1
е* ^ п! (А2 — А°) (А2 — А1) р3п+2
Еп ^ ^ , ИМ р
(3п + 2)!
Доказательство. Из теоремы 2 при п ^ го имеем, что
-
п+1
(г — ¿п) =
Ар + А1+А2 : 3
(г — гп)3п+2 (1 + 0(1/п))
(3п + 2)!
(19)
(20)
Принимая во внимание соотношение
^гп)3п+^ г3п+2 е- Рт
из (20) для |г| = р получим, что при п ^ го
—п+1—
3п+2
(3п + 2)!
□
Отсюда и из определения #п следует (19).
Лемма 2. При р < п/(А2 — А°) и достаточно больших п Еп = #п.
Доказательство. Воспользуемся методом из работы [9]. Достаточно показать, что Е, ^ Еп при больших п. Предположим, что это не так. Тогда Еп < #п, и, следовательно, найдутся многочлены ап (г), р = 0,1, 2, degап ^ п, ап(г) имеет старший коэффициент, равный 1, такие, что
|Е<(г) еАр2
р=°
<
Еап(г) е
Р(-у)еар2
Р=°
Отсюда и из полученных при доказательстве леммы 1 асимптотических равенств следует, что при достаточно больших п для |г| = р
Еап(^) еАр2<|Е ^(г) е
Р=°
р (у) еар2
р=°
Тогда по теореме Руше функция
ар2
Е(<(г) — ап(г)) е
р=°
имеет в ЕР, по крайней мере, 3п + 2 нуля. Но это не так. Действительно, рассмотрим многочлены Ьп(г) = ап(г) — ап(г), р = 0,1, 2. Сумма степеней всех этих многочленов к ^ 3п — 1. Известно [18, задача 206.2], что функция Х^Р=° Ьп(г) еАр2 в круге ЕР может иметь не более чем к + 2 + (А2 — А°)р/п нулей. Поскольку р < п/(А2 — А°), то число таких нулей не больше, чем 3п + 1. Полученное противоречие доказывает лемму 2. □
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования Республики Беларусь.
2
2
2
2
2
Библиографический список
1. Hermite C. Sur la généralisation des fractions continues algébriques // Ann. Math. Pura. Appl. Ser. 2A. 1883. Vol. 21. P. 289-308.
2. Hermite C. Sur la fonction exponentielle // C. R. Akad. Sci.(Paris). 1873. Vol. 77. P. 182-293.
3. Mahler K. Perfect systems // Comp. Math. 1968. Vol. 19, № 2. P. 95-166.
4. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus // J. Reine Angew. Math. 1931. Vol. 166. P. 118-150.
5. Padé H. Memoire sur les developpements en fractions continues de la fonctial exponential // Ann. Ecole Norm. Sup. (Paris). 1899. Vol. 16, № 3. P. 394-426.
6. Aptekarev A. IStahl H. Asymptotics of Hermite -Pade polynomials // Progress in Approximation Theory / eds. A. A. Gonchar, E. B. Saff. N.Y. ; Berlin : SpringerVerlag, 1992. P. 127-167.
7. Mahler K. Applications of some formulas by Hermite to the approximation of exponentials and logarithms // Math. Ann. 1967. Vol. 168. P. 200-227.
8. Chudnovsky G. V. Hermite - Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of n // Lecture Notes in Math. Vol. 925. N. Y. ; Berlin : Springer-Verlag, 1982. P. 299322.
9. Borwein P. B. Quadratic Hermite - Pade approximation to the exponential function // Const. Approx. 1986. Vol. 62. P. 291-302.
10. Wielonsky F. Asymptotics of Diagonal Hermite - Pade Approximants to ez // J. Approx. Theory. 1997. Vol. 90, № 2. P. 283-298.
11. Trefethen L. N. The asymptotic accuracy of rational best approximations to ez on a disk // J. Approx. Theory. 1984. Vol. 40, № 4. P. 380-384.
12. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ex // J. Approx. Theory. 1984. Vol. 40, № 4. P. 375-379.
13. Старовойтов А. П. Аппроксимации Эрмита-Паде для системы функций Миттаг - Леффлера // Проблемы физики, математики и техники. 2013. № 1(14). C. 8187.
14. Аптекарев А. И. О сходимости рациональных аппроксимаций к набору экспонент // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1981. № 1. С. 68-74.
15. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М. : Наука, 1989. 477 с.
16. Walsh J. L. Interpolaton and approximation by rational functions in the complex domain. Publ. by the Amer. Math. Soc., 1960. 508 p.
17. Маркушевич А. И. Теория аналитических функций : в 2 т. Т. 1. М. : Наука, 1967. 486 с.
18. Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis. Vol. 1. Berlin : Springer-Verlag, 1972. 419 p.
Quadratic Hermite -Pade Approximants of Exponential Functions
A. P. Starovoitov
Gomel State University, 106, Sovetskaya str., Gomel, 246019, Belarus, [email protected]
The paper deals with extremal properties of diagonal quadratic Hermite-Pad'e approximants of type I for exponential system {eXjz}2=o with arbitrary real A0, Ai, A2. Proved theorems complement known results of P. Borwein, F. Wielonsky.
Key words: Hermite-Pad'e approximants of type I, quadratic Hermite-Pad'e approximants, asymptotic equality, saddle-point method.
This work was supported by the Ministry of education of the Republic of Belarus.
References
1. Hermite C. Sur la généralisation des fractions continues algébriques. Ann. Math. Pura. Appl. Ser. 2A. 1883, vol. 21, pp. 289-308.
2. Hermite C. Sur la fonction exponentielle. C. R. Akad. Sci. (Paris), 1873, vol. 77, pp. 18-293.
3. Mahler K. Perfect systems. Comp. Math., 1968, vol. 19, no. 2, pp. 95-166.
4. Mahler K. Zur Approximation der Exponentialfunktion und des Logarithmus. J. Reine Angew. Math., 1931, vol. 166, pp. 118-150.
5. Pade H. Memoire sur les developpements en fractions continues de la fonctial exponential. Ann. Ecole Norm. Sup. (Paris), 1899, vol. 16, no. 3, pp. 394-426.
6. Aptekarev A. I., Stahl H. Asymptotics of Hermite -
Pade polynomials. Progress in Approximation Theory / eds. A. A. Gonchar, E. B. Saff, New York ; Berlin, Springer-Verlag, 1992, pp. 127-167.
7. Mahler K. Applications of some formulas by Hermite to the approximation of exponentials and logarithms. Math. Ann., 1967, vol. 168, pp. 200-227.
8. Chudnovsky G. V. Hermite-Pade approximations to exponential functions and elementary estimates of the measure of irrationality of n. Lecture Notes in Math., vol. 925. New York ; Berlin, Springer-Verlag, 1982, pp. 299-322.
9. Borwein P. B. Quadratic Hermite-Pade approximation to the exponential function. Const. Approx., 1986, vol. 62, pp. 291-302.
10. Wielonsky F. Asymptotics of Diagonal Hermite-Pade Approximants to ez. J. Approx. Theory, 1997, vol. 90, no. 2, pp. 283-298.
11. Trefethen L. N. The asymptotic accuracy of rational best approximations to ez on a disk. J. Approx. Theory, 1984, vol. 40, no. 4., pp. 380-384.
12. Braess D. On the conjecture of Meinardus on rational approximation of ex. J. Approx. Theory, 1984, vol. 40, no. 4, pp. 375-379.
13. Starovoitov A. P. Hermite-Pade approximants of the system Mittag-Leffler functions. Problemy fiziki, matematiki i tekhniki, 2013, no. 1(14), pp. 81-87 (in Russian).
14. Aptekarev A. I. Convergence of rational approxima-
tions to a set of exponents. Russ. Math. [Moscow Univ. Math. Bull.], 1981, vol. 36, no. 1, pp. 81-86.
15. Sidorov Yu. V., Fedoruk M. V., Chabounine M. I. Lektsii po teorii funktsii kompleksnogo peremennogo [Lectures on the theory of complex variable]. Moscow, Nauka, 1989, 477 p. (in Russian).
16. Walsh J. L. Interpolaton and Approximation by Rational Functions in the Complex Domain. Publ. by the Amer. Math. Soc., 1960. 508 p.
17. Markushevich A. I Teoriia analiticheskikh fuktsii [Theory of Analytical Functions]. Vol. I. Moscow, Nauka, 1967, 486 p. (in Russian).
18. Polya G., Szego G. Problems and Theorems in Analysis. Vol. 1. Berlin, Springer-Verlag, 1972, 419 p.
УДК 517.51+517.98
АФФИННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ ТИПА УОЛША. ОРТОГОНАЛИЗАЦИЯ И ПОПОЛНЕНИЕ
П. А. Терехин
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой теории функции и приближений, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, [email protected]
Введено и изучено новое понятие аффинной системы функций типа Уолша. На основе теоремы факторизации для операторов, перестановочных с мультисдвигом, установлено, что с каждой аффинной системой типа Уолша однозначно с точностью до унимодулярной постоянной связаны две другие аффинные системы типа Уолша, одна из которых ортонор-мирована, а другая полна. Показано, что классическая система Уолша является единственной с точностью до унимоду-лярной постоянной полной и ортонормированной аффинной системой. Приведены примеры полных и отдельно ортонор-мированных аффинных систем типа Уолша.
Ключевые слова: система Уолша, аффинная система функций, полнота, ортогональность, мультисдвиг, факторизация.
1. ОБОЗНАЧЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Обозначим через L0 = L0 (0,1) пространство всех вещественно- или комплекснозначных периодических функций f е L2(0,1) с нулевым интегральным средним на периоде:
f (t + 1) = f (t), Г f (t) dt = 0.
0
Рассмотрим в пространстве L0 линейные операторы W0 и Wi, заданные равенствами
Wof (t) = f (2t), Wif (t) = f (2t)w(t),
где w(t) — периодическая функция Хаара - Радемахера - Уолша:
(t) /1, t е (0,1/2), w(t) = <
1-1, t е (1/2,1).
Лемма 1. Операторы W0, Wi : L0 ^ L2 изометрические, их образы Im(W0) и Im(Wi) ортогональны. Ортогональное дополнение прямой суммы Im(W0) ф Im(Wi) является одномерным подпространством, порожденным функцией w.
Свойства операторов W0, Wi, приведенные в лемме 1, проверяются непосредственно и могут быть записаны в следующем виде:
W0* W0 = W* Wi = I, W0*Wi = W* W0 = 0, W0W0 + Wi W* = I - P,
где I — тождественный оператор и P — ортопроектор на одномерное подпространство span{w}.
