CC BY
20
О ЗНАЧЕНИЯХ НЕКОТОРОГО РЯДА В ПОЛИАДИЧЕСКИХ ТОЧКАХ, ХОРОШО ПРИБЛИЖАЕМЫХ НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ
В.Ю. Матвеев
Аннотация. Доказано, что ряд определенного вида отличен от 0 в бесконечном множестве полей Шр. Используется полиадический анализ и аппроксимация Эрмита-Паде для обобщенных гипергеометрических рядов.
Ключевые слова: полиадические числа, аппроксимация Эрмита-Паде.
Summary. The article describes that the number of a certain type is different from 0 in the endless variety of fields. Polyadic analysis and approximation of Hermite-Pade for generalized hypergeometric series is used.
Keywords: polyadic numbers, Hermite-Pade approximation.
ля простого числа p пусть Dp обозначает поле p -адических чисел. Пусть a, b е □ ,
a
(a, b) = 1, X = -.
b
В [1] рассмотрена задача об арифметической природе величины
1 + + 1)...(X + (n - 1))bn,
П=1
которая рассматривалась, как значение в полях Dp , p \ b, функции
1+£ць+1)...(ь+(„-1)у 255
n=1
в точке z = b.
В настоящей работе методом, использованным в [1], устанавливается обобщение результата статьи [1] на полиадические точки ^ , хорошо приближаемые натуральными числами.
Любое натуральное число N допускает единственное разложение в виде
N = Х a„
Д
k
,-n!
n=1
an е {0;1;...;n}.
Это представление называется полиадическим (факториальным).
Теорема. Пусть - полиадическое число, обладающее следующими свойствами:
1. Существует бесконечное множество T чисел s е □ таких, что
+Ts, Рsе □ ,
вЛС^. (1)
2. Для всех простых чисел p, p^a + bs, выполнено неравенство
Тsip =|S-Psip < ^s-2s^-C2s. (2)
4 / 2oi3 Преподаватель ^
256
Тогда существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле Пр справедливо неравенство
1 + £Х(Х + 1)...(Х + (п-1))£" ф 0. (3)
п=1
Для любого аеП обозначим (а)0 = 1, (а)п = а(а+ 1)...(а + (п-1)), п^1. Как и в работе [1], обозначим
¥(а, р,г) = У (а)п(в )п гп
п=0 п!
и рассмотрим
/о( г) = Ё (X )пгп = ¥ (Х,1, г).
п=0
Рассмотрим также
/1( г) = ¥ (Х +1,1, г).
Вновь используя обозначения из [2], положим а1 = Х, а2 = 1 и для любого N е □ определим числа I и 5 равенствами N = I+1, N = 25 + г, где г = 1 или г = 2. Для любого N>3 положим а„ = аг + 5, что означает, что
а 2 5+1 = Х + 5 а 2 5+2 = 1 + 5 . (4)
Обозначим
/ы (г) = ¥ (а N+1, а „+2, г), (5)
ы„ (г) =а 1 ...а^-'/,, (г), N>2, (6)
">00 = /0( г), и1( г) = /(г).
Из (4), (5), (6) получаем
"2 5+1( г ) = а 1. а 2 5+1 г25 ¥ (а а 2 5+3, г ) = (Х ) ^ 5!¥ (1 + 5, х +1 + 5, г ), " 2 5+2 (г) = а 1 .а 2 „2 г2 5+1 ¥ (а , а 2 „4, г) = (X) „1 ■ (5 +1)! ¥ (X +1 + 5,2 + 5, г).
Лемма 1. Для любого Nе □ существуют многочлены РЫ0(г), РМ1(г) с целыми коэффициентами такие, что справедливы равенства
"н ( г ) = РН ,0 ( г К ( г ) + РН ,1( г >1( г ) , UN+2( г) = "«+1( г)-а N+1 г"м (г), РН+2, (г) = РН(г) " аN+1 гРНЛ (г), ' = 0,1,
Р„,0(г) РЯ1(г) Р«+1,0(г) Р„+1д(г)
Лемма представляет собой следствие из замечания в конце статьи [2]. Пусть С02 > 1 + С0, С0 > | X | +1.
Лемма 2. Для любого 5 е □ и для N = 25 + 1, N = 25 + 2 выполнены неравенства Н (Р„, ( г)) < С0" (С0 +1) ...(С0 + 5). (Н(Р(х)) - высота многочлена Р(х)).
Преподаватель 4 / 2013
М г) =
Из
н(р„зд) = Н (р2„-а
2 5+ 2
<Н(Р25+2,, ) + (1 + 5)Н(р2, + К <С025+2 (С„ + 1)... (С„ + 5) + (1 + 5)-С0251 (С„ + 1) ... (С0 + 5) = С025+1(С0 + 1) ... (С0 + 5 + 1) следует, что для любого N и любого ре□
Р»,о(Р ) Р^(Р )
ЛN(в ) PN+1,о(P ) PN+1Д(P ) Поэтому хотя бы один из определителей
= а1 .аNРN-1 * 0.
1 0
Р^0(Р 5 )
отличен от 0. Выбираем □ так, что
1 0
Р*о(Р,) Р*д(Р,)
Лемма 3. При имеет место неравенство
1 0 Р™,0(Р,) Р™д(Р, )
= PN Д(Р, ) * 0.
П| Р А )|,
—51п 5 — 1п 5 —Сз5
(7)
(8)
где произведение в левой части (8) взято по всем простым числам р, р \ Ь, для которых
е<р<а + Ы, (9)
а о1 и С3 - положительные постоянные, зависящие от С0,С1, С2, Ь,Е, . Доказательство. Ввиду (7), по формуле произведения
№,1(Р 5 )| р ■ рN,lФ 5 )| = 1, (10)
Р
где произведения в левой части (10) взято по всем простым числам р . Поэтому
ПР«(М = ЪЛйЧ. (11)
Из леммы 2 и условия (1), как в случае N = +1, так и в случае N = + 2, получаем
257
|р*д(Р, )| ^С25+2(С0 + 1)...(С0+з)-(Се^ у.
(12)
Из (11), (12), (а + 1)...(а + 5) =
Г(а + 5 +1) Г(а +1)
1п Г(. + а) = | л + а — 2-1 1п .5 — .5 + 1п -2ж + О Г1!, . и из известных свойств Г -функций
следует, что
П| р.N д(Р-)|
51П 5—ЯЫ 1п 5—Сз5
(13)
4 / 2013
Преподаватель
ЕК
Докажем что в полях Dp где p^a + bs, выполнено равенство
K,i(ß s) p = I« )| p. (14)
Для этого используем разложение по формуле Тейлора:
PN д(4 ) = Pv ,i( ß , ) + PN ,i( ß , )(^-ß , ) + •••
Все величины
PN"}( ßs ) k!
представляют собой целые p -адические числа. Поэтому, ввиду (2), (13),
P<k)(ß )
N,1 VrsJ |4 — ß |k < e~ss-2Wins-C^ < -sIns-sVln7-C3s < P (ß )|
(k I) I I s'\p
при s^g1 . Тем самым равенство (14), а с ним и лемма 3 доказаны. Лемма 4. При s^o 2 выполнено неравенство
П|un(4)|p^e 2sh, (15)
где o2,C4 - положительные постоянные, зависящие от с ,C ,C ,b,4 , а произведение в левой части (15) взято по всем простым числам p, p + b, удовлетворяющим (9). Доказательство леммы 4 совпадает с доказательством леммы 4 из [1].
Так как согласно формулам f0(z) = ^(X)nzn = F(X,1,z), f(z) = F(X +1,1,z) имеет ме-
n=0
сто равенство
fo( z) = 1+ X zf1( z), (16)
то если предположить, что для p, p \ b, p удовлетворяющих (9) имеем f0(4) = 0 в поле □p , то тогда в этих Up, согласно (16), /1(4) * 0. nun По лемме 3, при
П | Pn ,1 (4 )/1(4 )| p>e -s In s-C3s, (17)
где произведение в левой части (17) взято по всем простым p, p \ b, удовлетворяющим (9).
Ввиду равенства uN (z) = PN0(z)u0( z) + PW1(z )u1(z) получаем
uN (4) = Pw,0^) /,(4) + Pw(4) ./1(4 )
и по лемме 4, при s^o 2
П1 uN (4 )|p ^ e"lsIn, (18)
где произведение в левой части (18) взято по тем же p, что и в (17), при s^o3 получаем что при некотором p, p \ b, удовлетворяющем (9), должно выполняться неравенство
P,0(4 ^./0(4)| p * 0.
Итак, доказано что если s^o 3, то в промежутке [е45", a+bs ] найдется простое число p такое, что в поле üp выполнено неравенство (3).
Преподаватель ^
4 / 2013
Для завершения доказательства теоремы достаточно рассмотреть последовательность е □ такую, что 3 и для каждого к^1 справедливо неравенство
е*ь> а + .
Теорема доказана. I
В заключение приведем пример полиадического числа ^ , удовлетворяющего условиям теоремы.
Пусть выбраны числа
так, что для числа
п1 <п2 <...<пк, п1 е □ ,I = 1,...,к
Г Ч 1 , 1
л = \_е к 1 ] + 1
выполнено неравенство э^о 3. Положим
и пусть пк было выбрано так, что
в, =1 П!
в, ^ Се^ .
(19)
(20)
Рассматриваем простые числа р ,
р ^ а + Ь,
и выбираем число пк+1 из условий
1п р I _Пк+1— ^ пк+1 > , 1п , + 2э\11п , + С2э .
Iр -1 J
При этом для любого р , р < а + Ь,
I || , -, |п ,-2
\Пк+1 !|р < е •
Осталось положить
Пк!
к=1
При этом
|^-Р ,|р = |Пк+1!| р
и (19), (20) означают, что условия теоремы выполнены.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ
1. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций // Матем. сборник, - Т. 185. - № 10. - 1994. - С. 48-72. ■
259
4 / 2013
Преподаватель
